7.1.1正弦函数的图像（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第七章 三角函数 7.1 正弦函数的图像与性质 7.1.1 正弦函数的图像 学 习 目 标 1 2 3 理解正弦函数的定义及定义域为的依据，掌握正弦函数在上的图像特征. 能熟练用“五点法”作出正弦函数及简单变形正弦函数在指定区间的大致图像，知晓正弦曲线的形成原理； 经历单位圆找点，描点连线作图像，利用周期性拓展到的探究过程，提升几何直观能力、作图识图能力和归纳推理能力. 新课引入 经过前面的学习，你知道任意角的正弦值如何定义？实数与角的弧度数之间是什么关系？ 既然任意实数都对应唯一的，根据函数的定义，这构成了一个新的函数，这个函数就是正弦函数。 任意角的正弦值：以坐标原点为圆心作单位圆，角的终边与单位圆交于点，则. 实数与角的弧度数一一对应，任意实数都可以表示为某个角的弧度数 正弦函数的表达式是什么？定义域是什么？它的图像又是什么样的？这就是我们今天要深入探究的内容。 新知探究 探究一：正弦函数的定义与周期性 结合函数的定义，你能给出正弦函数的定义吗？ 对于任意一个给定的实数,都有唯一确定的角(其弧度数等于实数)与之对应. 这个角又对应着唯一确定的正弦值 这就是正弦函数，记作,其定义域为实数集。 回忆三角函数的诱导公式，化简成什么形式？若将替换为任意实数,可以得到什么结论？ 正弦函数的定义： 新知探究 结合所学可知： 若将替换为任意实数, 这个结论说明正弦函数具有周期性，周期为 这意味着，当的值增加或减少的整数倍时， 的值重复出现。 因此，我们只需要作出正弦函数在上的图像，就可以通过平移得到在上的完整图像。 1.下列关于正弦函数的说法，正确的是（ ） A. 定义域为 B. 对于任意实数，的取值范围是 C. 若是实数，则表示角（弧度数）的正弦值 D. 正弦函数的周期为 即时训练 【分析】正弦函数的定义为“任意实数对应角(弧度数)的正弦值故C 正确： C 知识小结 正弦函数的定义与周期性 正弦函数定义： ， 周期性: 化归思想：作上的图像 作图步骤： 新知探究 探究二：单位圆法作的图像 如何将单位圆上的正弦值（纵坐标）转化为函数图像上的点？ ① 作单位圆 ，与 轴右交点为 ； ② 设单位圆上点 满足 ，作 轴于 ，则 的纵坐标 ； ③ 在 轴上取点 ，将线段 水平平移至 ( 与 重合)，则 的坐标为 ，即正弦函数图像上的点。 单位圆上的 “角 ” 对应函数图像的 “横坐标 ” 单位圆上点的 “纵坐标 ” 对应函数图像的 “纵坐标 ” ①将单位圆 12 等分 、、、、、、、、 新知探究 ③将找到的 12 个点用光滑的曲线依次连接 ②得到直角坐标系中的12个点 现在我们已经能将单位圆上的点转化为坐标轴上的点了，那么该如何得到正弦函数图像呢？ 知识小结 单位圆法作的图像 单位圆法 ①原理：单位圆纵坐标→函数图像纵坐标 ②步骤：找点→描点→光滑连线 新知探究 探究三：五点法作图 自行尝试用这五点做正弦函数图象，可以发现，与十二个点做出的图像形状高度相似. 观察我们用单位圆法作出的 ()的图像，这 12 个点中，哪些点是决定图像形状和走势的关键节点？ 可以发现：起点、最高点、中点、最低点、终点是决定图像形状和走势的关键节点. (0,0) 、 、 、 、 他们的坐标分别是： 新知探究 2.判断题：下列关于五点法的说法，正确的打√,错误的打并改正。 (1)五点法的五个点可以任意选取区间内的点( ) (2)作图像时，五个关键点包含了函数的零点和最值点( ) (3) 五点法作图最后一步是用折线连接五个点 ( ) （1）改正：五点法的五个点必须选取区间内的零点、最高点、最低点等特殊点，不能任意选取 √ （3）改正：五点法作图最后一步是用光滑的曲线顺次连接五个点。 知识小结 五点法作图 五点法作图 ① 五个关键点 ： 、、、、 ② 通用步骤：列横标→求原纵标→求变纵标→描点→连线 典例分析 例1 用“五点法”作出函数 ， 的大致图像，并写出使得 的 的取值范围． 【分析】按照列表 — 描点 — 连线 — 识图解题的步骤进行. 解 ：将五个关键点列表如下： 作出函数的图像，如图所示. 由图可知，使得 的的取值范围是. 题型1 五点法作基础正弦函数在非区间的图像 1.在上的图像，写出作图的五个核心点坐标。 【分析】确定目标区间的首尾端点，结合正弦函数的图像特征（周期，最值在、零点在，）； 解：区间为一个完整周期，五个关键点为： 根据五点所作图像如图所示： 题型2 五点法作正弦函数简单恒等变形的图像 2.在上的五个关键点坐标，描点并说明图像与的位置关系。 【分析】横坐标固定为0、、、计算原函数的对应纵坐标，代入变形函数或,计算新的纵坐标； 解：图像的五个关键点：、、、、； 图像关系：的图像由的图像向下平移1个单位得到。 题型3 根据正弦函数图像判断取值范围 3.作出在上的大致图像，写出使得的的取值范围。 【分析】结合图像的升降、零点、最值，求解满足等不等关系的自变量取值范围，关键是找到图像与直线y=m的交点. 解：如图：的图像由向上平移 2 个单位得到 直线与图像交点为0、、,在和上 ,因此取值范围为。 题型4 分析正弦函数简单变形的图像变换关系 4.分析的图像与的图像的位置关系，写出平移后最低点的坐标. 【分析】对比原函数与变形函数的关键点、最值、零点，分析相同点与不同点是关键. 解：图像位置关系：的图像由的图像向下平移 3 个单位得到； 的最低点为 平移后最低点纵坐标- 横坐标不变，即最低点坐标为。 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 正弦函数的图像 沪教版 · 必修二 1. 知识点回顾 2. 易错点警示 3. 解题技巧 01 核心定义与图像 正弦函数 y = sin x 的定义域为 R，值域为 [-1, 1]。 其图像称为正弦曲线。 五点法作图 在区间 [0, 2π] 上，五个关键点依次为： x 0 x π 2 x π x 3π 2 x 2π y 0 y 1 y 0 y -1 y 0 ⚠️ 常见陷阱与误区 1. 五点法作图的连线问题 错误做法：用直尺将五个点连成折线。 正确做法：必须用平滑的曲线连接各点，体现正弦函数的连续与柔和。 2. 五点的横坐标记忆混淆 错误做法：将五点的横坐标记为 0、π/4、π/2、3π/4、π。 正确做法：五点横坐标应为 0、π/2、π、3π/2、2π，即将周期 2π 四等分。 3. 图像的周期性理解不足 只画出 [0, 2π] 区间的图像，忽略正弦函数在整个实数域上的周期性特征。 提醒：正弦曲线向左右无限延伸，每隔 2π 重复一次，作图时应体现这种周期性。 数形结合法 解决方程根的个数问题时，将方程转化为两个函数图像的交点问题。 例如：sin x = x/10 的根的个数，即为 y = sin x 与 y = x/10 图像交点个数。 图像变换法 掌握 "左加右减"（平移）和 "纵横伸缩"（周期/振幅变化）。 y = sin x → y = sin(x + φ) → y = sin(ωx + φ) 五点法作图步骤 步骤1：确定区间 [0, 2π]，将其四等分得到五个关键点的横坐标。 步骤2：计算对应的函数值（0、1、0、-1、0）。 步骤3：在坐标系中描出五个点。 步骤4：用平滑曲线连接各点，并向两侧延伸体现周期性。 $