第1章 专题强化练1 磁场中的临界、极值问题（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二物理选择性必修第二册（人教版 江苏北京专用）

专题强化练1　磁场中的临界、极值问题 一、选择题 1.(2025山东青岛测试)矩形边界ABCD内存在磁感应强度为B的匀强磁场,方向垂直纸面向里,AB长为2L,AD长为L。从AD的中点E在纸面内发射各种速率的粒子,方向与AD成30°角,粒子带正电,电荷量为q,质量为m,不计粒子重力与粒子间的相互作用,下列判断正确的是　(　　) A.粒子可能从BC边离开 B.经过AB边的粒子最小速度为 C.经过AB边的粒子最大速度为 D.AB边上有粒子经过的区域长度为L 2.(2025湖南名校联合体期中)如图所示,直角三角形MPN区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。∠M=30°,NP=L,C为MP的中点,D为NP的中点,在C点有一粒子源在纸面内不断沿垂直于PM方向射入速度大小不同的正、负带电粒子。粒子的质量均为m、电荷量大小均为e。不考虑粒子间的相互作用,不计粒子的重力。下列说法正确的是(　　) A.可能有粒子从M点射出磁场 B.从D点离开磁场的粒子的速度大小为 C.从MN边射出的正粒子在磁场中运动的最长时间为 D.负粒子在磁场中运动的最长时间为 3.(2024湖南长沙测试)一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外,其边界如图中虚线所示,ab=cd=2L,bc=de=L,一束粒子在纸面内从a点垂直于ab射入磁场,这些粒子具有各种速率。不计重力和粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为m、电荷量为+q。则在磁场中运动时间最长的粒子,其运动速率为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 4.(2025河南郑州测试)如图,在平面直角坐标系xOy的第一象限内,存在垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0,L)点,以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场,设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α(0≤α≤180°)。当α=150°时,粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则(　　) A.粒子一定带负电 B.粒子入射速率为 C.当α=45°时,粒子也垂直x轴离开磁场 D.粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为3L 5.(2025四川南充测试)一质量为m、电荷量为q的带电粒子以速度v0从y轴上的A点垂直y轴射入第一象限,第一象限某区域存在磁感应强度大小为B的匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向外,粒子离开第一象限时速度方向与x轴正方向夹角θ=60°,如图所示(粒子仅受洛伦兹力),下列说法正确的是(　　) A.带电粒子带负电荷 B.带电粒子在磁场中做圆周运动的时间为 C.如果该磁场区域是圆形,则该磁场的最小面积是 D.如果该磁场区域是矩形,则该磁场的最小面积是 6.(2025江苏苏州统测)如图所示,直角坐标系xOy中,第Ⅰ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度为B。在坐标为(0,L)的M点有一粒子源,可以向第Ⅰ象限沿垂直磁场的各个方向发射大量质量为m、电荷量为+q的粒子,粒子的速度均匀地分布在0~之间。不计粒子重力和粒子之间的相互作用。则第Ⅰ象限中有粒子经过的区域面积为(　　) A.L2　　　　B.L2 C.L2　　　　D.L2 7.(2025河北沧州、衡水名校联盟期末)如图所示,在xOy平面内有以O点为圆心、半径为R的圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B,在x=2R处有一垂直于x轴的足够长的挡板,一宽度为d(未知)且关于y轴对称的质子束,以一定的速度平行于y轴射入圆形磁场,偏转后所有质子都经过P点射出磁场,挡板上有质子打到的区域关于x坐标轴对称,长度为R。已知质子质量为m、带电荷量为e,忽略质子重力及质子间的相互作用,则质子束的宽度d为(　　) A.R　　　　B.R　　　　C.R　　　　D.R 二、非选择题 8.(2025山东枣庄测试)极光是由于太阳抛射出的高能带电粒子受到地磁场作用,在地球南北极附近与大气碰撞产生的发光现象。从北极地区看赤道平面的地磁场,可简化为如图甲:O为地球球心,R为地球半径,将地磁场在半径为R到3R之间的圆环区域看成是匀强磁场,磁感应强度为B。假设高能粒子的质量为m,电荷量为+q。不计粒子重力及大气对粒子运动的影响,且不考虑相对论效应。 　 (1)若高能粒子从A点以不同的速率v0沿切线进入磁场边界位置,求能到达地球表面的粒子的速率v0的范围。 (2)地球磁层是保护地球的一道天然屏障,它阻挡着高能粒子直接到达地球表面,从而保护了地球上的生态环境。 a.假设高能粒子从磁场边缘A点以速率v沿半径方向射入磁场时恰好不能到达地球表面,求粒子的比荷; b.高能粒子实际上可在赤道平面内向各个方向均匀地射入磁场,如图乙所示。若高能粒子仍从A点以速率v沿不同方向射入地磁场,若入射角用速度方向和AO连线之间的夹角表示,求恰好不能到达地球表面的粒子的最大入射角的正弦值。 答案与分层梯度式解析 1.D 2.C 3.B 4.D 5.C 6.B 7.A 1.D　应用“放缩圆”法作出粒子的运动轨迹如图所示。粒子的轨迹与CD边相切时,打到AB边上的距离最远(破题关键),对于经过AB边的粒子,此时运动的半径最大,为R1=L,粒子的最大速度vmax==,打到AB边上的点到A点的距离为L(1+cos 30°)=L<2L,可知粒子不可能从BC边射出,选项A、C错误;粒子打到AB边,当速度最小时,R2+R2 sin 30°=,得R2=,则vmin==,此时粒子打到AB上的位置到A点的距离为R2 sin 60°=L,则AB边上有粒子经过的区域长度为L-L=L,选项B错误,D正确。 2.C　 关键点拨 　　应用“放缩圆”法,以入射点C为定点,圆心在边界直线PM上,将半径放缩确定运动轨迹,探索粒子运动的临界轨迹及极值轨迹,如图1、2所示。 正粒子恰好从MN边界射出时轨迹如“关键点拨”图1所示,根据正粒子的运动轨迹可知,不可能从M点射出磁场,故A错误;粒子在磁场中运动的周期为T=,从MN边射出的正粒子运动的轨迹与MN相切时在磁场中运动时间最长,由几何关系可知圆心角为120°,则最长时间tmax=T=,故C正确;负粒子从D点离开磁场的轨迹如图2所示,负粒子从D点离开磁场时,由几何关系有+=r2,解得r=L,根据洛伦兹力提供向心力有evB=m,解得负粒子的速度大小为v=,故B错误;负粒子从PM边射出时在磁场中运动时间最长,则在磁场中运动的最长时间为t'max=×T=,故D错误。 3.B　 关键点拨 　　应用“放缩圆”法作出各种情况的运动轨迹如图所示,可知,当粒子过c点时,圆心角α最大,运动时间最长(周期相同,t=T)。 粒子在磁场中做匀速圆周运动,设运动时间最长的粒子轨迹半径为R,根据几何关系有L2+(2L-R)2=R2,解得R=L,由洛伦兹力提供向心力有qvB=m,可得v=,故选B。 4.D　当α=150°时,粒子垂直x轴离开磁场,运动轨迹如图所示, 根据左手定则可知粒子带正电,由几何关系可得粒子运动的半径为r==2L,由洛伦兹力提供向心力有qvB=m,解得粒子入射速率v=;若α=45°,粒子运动轨迹如图所示, 根据几何关系有PA==L<2L,可知A点不是圆心,即粒子离开磁场时与x轴不垂直,故A、B、C错误。粒子离开磁场的位置到O点距离最远时,粒子在磁场中的轨迹为半圆(破题关键),如图所示,根据几何关系有(2r)2=(L)2+,解得xm=3L,故D正确。 名师点津　D选项,如果想象能力比较好,可以利用“旋转圆”思想轻松得出该结果;还可进行定量分析,设该段圆弧对应的弦长为s,有OP2+x2=s2,当弦长等于直径时,x有最大值。 5.C　磁场方向垂直于纸面向外,粒子向下偏转,根据左手定则可知粒子带正电荷,故A错误;由洛伦兹力充当向心力有qv0B=m,所以粒子做匀速圆周运动的半径R=,周期为T==,运动轨迹如图甲所示, 甲 由图可知粒子速度方向偏转了60°,则圆心角为θ=60°,粒子在磁场中运动的时间为t=T=,若是圆形区域磁场,则如图乙所示,以线段CD为直径的圆面积最小,CD=R,所以最小面积为Smin=π=π,故B错误,C正确;若是矩形区域磁场,则如图丙所示,矩形的面积最小,根据几何关系可得h=R-R=R,所以矩形区域磁场最小面积为S'min=Rh=R2=,故D错误。 　 6.B　 思路点拨　 先画出粒子沿y轴正方向射入磁场时的轨迹圆,再应用“旋转圆法”以M点为定点将轨迹圆顺时针旋转,轨迹圆扫过的区域如图所示。 由qvB=m可得r=,由于粒子的速度均匀地分布在0~之间,则所有粒子的轨迹半径范围为0<r≤L;则第Ⅰ象限中有粒子经过的区域如“思路点拨”图中所示,其中区域1为当粒子沿y轴正方向射入磁场时,有粒子经过的部分区域,此部分区域面积为S1=π=πL2;区域2为粒子运动方向改变时,以入射点M为圆心,以轨迹直径(2L)为半径旋转形成的扇形,由几何关系可知sin θ==,θ=30°,所以此区域的面积为S2=π(2rm)2=πL2;区域3的面积为S3=L×(2rm sin 60°)=L2。所以,第Ⅰ象限中有粒子经过的区域面积为S=S1+S2+S3=L2,故选B。 7.A　由于所有质子以一定的速度平行于y轴射入圆形磁场,偏转后都经过P点射出磁场(“磁聚焦”),则作出质子束运动轨迹如图所示,由图可知,正对O点射入的质子经过P点,则质子的轨迹半径为R。 设从e点射入的质子经过P点时速度方向与x轴的夹角为θ,则从c点射入的质子经过P点时速度方向与x轴的夹角也为θ;tan θ==,得θ=30°。线段cP为最左侧质子的轨迹半径,由于cP垂直aP,可得∠cPO=60°,即从e点射入磁场中质子的轨迹圆心c恰在磁场圆边界上,且轨迹恰过圆心O,可得△OcP、△eOc均为等边三角形,则ce=R,由几何知识可得最右侧质子在磁场中偏转角度为60°,必从c点射入磁场,所以质子束的宽度d=ce=R。故选A。 归纳总结　磁发散、磁聚焦模型 磁发散 磁聚焦 带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入,如果轨迹半径与磁场半径相等,则粒子出射方向与入射点的切线方向平行 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场,如果轨迹半径与磁场半径相等,则粒子从磁场边界上同一点射出,该点切线与粒子入射方向平行 8.答案　(1)<v0<　(2)a.　b. 解析　(1)若高能粒子从A点以速率v0沿切线进入磁场边界位置时,恰好不能到达地球表面的粒子的运动轨迹如图1中轨迹①②, 由几何关系可知,粒子的两个临界轨迹半径分别为r01=R,r02=2R 由洛伦兹力提供向心力有qv0B=m 联立解得粒子的速率分别为v01=,v02= 故能到达地球表面的粒子的速率范围为<v0< (2)a.假设高能粒子从A点以速率v沿半径方向射入磁场时恰好不能到达地球表面,轨迹如图2所示 由几何关系有(r+R)2=r2+(3R)2 解得r=4R 由洛伦兹力提供向心力有qvB=m 联立解得= b.若高能粒子仍以速率v射入地磁场,可知沿径向方向射入的粒子会和地球相切而出,设和AO方向成θ角向上方射入磁场的粒子也恰与地球相切射出,在此角范围内的粒子能到达地球表面,其余进入磁场的粒子不能到达地球表面,过A点作该速度的垂线,和切点与O点连线的延长线交于F点,则F点为圆心,如图3所示 由图中几何关系可得AF=r=4R,AO=FO=3R 则有sin θ=== 7 学科网（北京）股份有限公司 $