四川省内江市第六中学2025—2026学年高三上学期第3次月考数学试题

《第三次月考》数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A C D A A C D AC ABD AD 8．【详解】即，则圆心为，半径， 直线，令，解得，即直线恒过定点， 又，所以点在圆内，设，，，由，消去整理得，显然，则，则，所以，，则，则，又直线的斜率不为，所以不过点，所以动点的轨迹方程为（除点外），圆的圆心为，半径，又，所以，即，即的取值范围为. 10．ABD【详解】由题得， 所以当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又因为，所以在处取得极大值1，故A正确； 由于，， 所以在处的切线方程为， 整理得：，故B正确； 由，所以只有一个零点，故C错误； 由，可得，构造，求导得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又因为，所以在处取得最大值，所以，故D正确； 11.AD【详解】如图，以正方体的顶点为坐标原点建立空间直角坐标系， ∴，，，，，，，因分别为的中点，则，，则，，对于A，设与所成的角为，则，故A正确；对于B，，，则，，故不存在实数使得，故B错误；对于C，∵，∴点在侧面的运动轨迹为平面与球截面的圆弧，球心到平面的距离为，∴圆弧的半径，故在正方体侧面的运动轨迹圆弧，其长度为，故C错误；对于D，易得该正方体的内切球的球心，半径，则向量，∴球心到直线的距离，∴球心到过直线的平面最大距离为，此时截面为面积最小的圆，圆的半径，∴此时截面面积，故D正确. 12． 13． 14．【详解】由题意知：个球的球心组成一个底面边长为，侧棱长为的正四棱锥，如下图所示， 设， ，，， 小球的球心到水平桌面的距离为. 故答案为：. 15．【详解】（1）因，则，-----------------3分 又， ------------------------------------------------------------------------------------------------------4分 所以，从而，则是以为首项，公比为4的等比数列.----------------6分 （2）由（1）可得：.-------------------------------------------------------------9分 则 -------------------------------------------------------------13分 16．【详解】（1），所以．----------------------------------5分 （2）因为，， 所以中位数在8和12之间， 设中位数是，所以，可得；--------------------------------10分 （3）采用分层抽样的方法从评分在和的两组中共抽取5人， 则在抽取2人，在抽取3人，设事件为“抽取的2人评分分别在和内各1人”，-------12分 则，故抽取的2人评分分别在和内各1人的概率为.------------------15分 17．【详解】（1）连接，交于，连接，由正方形的性质可知为的中点， 因为是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面.-------------------------------------------------6分 （2）由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，，.------------------------8分 设， 则， , 因为，所以，即， 解得，所以.-------------------------------------------------------------------------------11分 设平面的一个法向量为，则, 令，得，----------------------------------------------------------------------------------13分 易知平面的一个法向量为， 设平面DEF与平面ABCD的夹角为，则. 即平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值为.-----------------15分 18． (1)；，所以，--------------------------------------------------------------4分 (2) -----------------------------------------6分 --------------------------8分 ----------------------------------------10分 (ii)可得直线 的方程为直线 的方程为--------------------------------------12分 则点 到直线 的距离为点 到直线 的距离为 由两点间距离公式得 则------------------------------------15分 因此即------------------------------------17分 19．【详解】（1）当时，，设，则， 所以令可知, 所以，即.------------------------------------4分 （2）（i）设， 则， 若则存在,当时，,此时，不符合； 若,则存在,当时，,此时，不符合 综上，只可能.------------------------------------8分 下面证明满足要求， 当时，，满足题目条件. 当时，先证明，．设，则，故为增函数，于是当时，，故，所以，成立，当时，，故，所以，成立． 当时，，成立.综上知成立，令， 则，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以由函数在上单调递增， 所以，当时，成立， 所以当时，，即， 可见满足要求.---------------------------------------------------------------------------------------------------10分 （ii）由（i）知，用代替，得， 所以，于是取，-----------------------------------------------12分 则， 又因为， 所以，由于， 所以，在不等式中，令， 可得：即， 所以， ，----------------------------------15分 因此， 所以 ， 至此不等式得证．-----------------------------------------------------------------------------------------------------17分 答案第4页，共11页 答案第3页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $内江六中2025一2026学年（上)高2026届第三次月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷选择题（满分58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.) 1.已知集合A={1,2,3,B={xx2-3x+2=0},则AnB=() A.{1 B.{2} C.{1,3} D.1,2 2.已知复数z满足(1-)·z=1+i,则z等于() A.1 B.2 C.2 D.3 3.己知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的高为( A.3 B.3V2 C.4 D.5 4.设d,为夹角是锐角的单位向量，则a+b与a-b的夹角为( A. B.4 C. D. 5.已知xe(5),si2-6ox,则x=（) A.君 B.8 c.; D.月 6.己知椭圆：若+若=1的左、右焦点分别为R,F2,B为上顶点，则《） A.BF=5 B.△BF1F2的周长为14 C.E的长轴长为5 D.E的离心率等于 7.甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束）， 己知每局比赛甲获胜的概率为；，则甲第一局获胜并最终以3：1获胜的概率为() A.i B. C.ua D.总 8.已知直线l:x-ay-1=0与⊙C:x2+y2-2x+4y-4=0交于A,B两点，设弦AB的中 点为M,O为坐标原点，则OM的取值范围为() A.3-V5,3+⑤ B.[5-1,V5+1] C.[2-3,2+3 D.W2-1,V2+1] 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列有关说法正确的有（) A.设随机变量服从正态分布N(μ，2)，若P(5<1)=P(ξ>9)，则μ=5 B.记两个变量的样本相关系数为，若r越大，线性相关程度越强 C.已知随机变量~B(4,)则E(3-2)=1 D.数据1,3,9,4,5,16,7,11的中位数为7 10.对于函数)=，下列说法正确的有（) A.f(x)在x=1处取得极大值1 B.f)在x=e处的切线方程为y=-吉x+ C.f(x)有两个零点 D.若fx)<k-在(0，+o)上恒成立，则k>e 11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N,O分别为AB,CC1,A1C1的中点，点P 是正方体侧面ADD1A1上的一动点（含边界），则下列说法正确的是() D A.异面直线MN与A1C,所成角的余弦值为号 B.当点P为棱AA1的中点时，直线PO与直线MN平行 C.若保持MPI=2,则点P在侧面ADD1A1内运动路径的长度为v3m D.过直线MN的平面截该正方体的内切球O'所得截面圆的面积的最小值为 第Ⅱ卷非选择题（满分92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） lnx,x≥2 12.己知函数f(x)= 则f[f1)]= x2+x+1,x<2 13.在△ABC中a=2 bsinA,且(a>b),则B= 14.桌面上放有4个半径均为1的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.在这4 个球的上面放一个半径为2的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到桌面的 距离是」 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.己知数列{an}的首项a1=6,且满足an+1+2m+1=4an (1)求证：{a-2)是等比数列； (2)求数列{an的前n项和Sn 16.六盘水是贵州省地级市，因夏季平均气温19°℃被中国气象学会授予“中国凉都”称 号.2025年暑假期间，来凉都六盘水旅游的人数达到新高，为了解游客对六盘水旅游项目 的熟悉程度，某校学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对来六盘水旅游的100名游 客进行了有关六盘水旅游知识的调查.为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况 制成如图所示的频率分布直方图. 频率/组距 0.08- 0.05 0.03 0.02 048121620分数 (1)求x的值： (2)根据频率分布直方图，估计这100名游客调查问卷中得分的中位数； (3)该校学生采用分层抽样的方法从评分在[0,4)和[16,20)的两组中共抽取5人，再从5人中 随机抽取2人进行交流，求抽取的2人评分分别在[0,4)和[16,20)内各1人的概率. 17.如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PDI底面ABCD,PD=DC=2, E是PC的中点，作EF L PB交PB于点F (1)求证：PA/平面EDB; (2)求平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值， 18.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(1,yo)(yo>0)在C上，|PF=2. (1)求C的方程： (2)已知点D(2,O),过焦点F的直线与抛物线交与M,N两点，设直线MD,ND与C的另一 个交点分别为A,B. (i)求证直线AB过定点T,并求出T的坐标； (ii)设△MND,△ABD的面积分别为S1,S2,求 S2 19.己知函数f(x)=eax-1.(e为自然常数) (1)若a=1,证明：f(x)≥x: (2)若对任意实数x,均有f(x)≥2x+sinx. (i)求a (i)设正整数m之2，证明：1-cos(血)+1-cos(血到+…+1-cos(血)< 2h(2