1.5.2 数量积的坐标表示课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

第1章 平面向量及其应用 1.5.2 数量积的坐标表示及其计算 1.平面向量基本定理： 设e1，e2是平面上两个不共线向量，则 (1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即v＝xe1＋ye2，其中x，y是实数. (2)实数x，y由＝xe1＋ye2唯一决定.也就是： 如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，则x____x′，y____y′. ＝ ＝ {e1，e2} 一组基 v＝(x，y) 基下的坐标 标准正交基 {i，j} 2 2.向量线性运算的坐标表示 3.共线向量坐标关系 （1）若 a ＝（ x 1， y 1）， b ＝（ x 2， y 2），则 a ＋ b ＝（ x 1＋ x 2， y 1＋ y 2）. （2）若 a ＝（ x 1， y 1）， b ＝（ x 2， y 2），则 a － b ＝（ x 1－ x 2， y 1－ y 2）. （3）若 a ＝（ x ， y ），λ∈R，则λ a ＝（λ x ，λ y ）. （4）设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）， C （ x 3， y 3），则 ＝（ x 2－ x 1， y 2－ y 1）， ＝（ x 3－ x 2， y 3－ y 2） a ， b 共线的充要条件是 x 1 y 2－ x 2 y 1＝0. ②向量垂直的判断 ①向量的数量积 ③夹角公式 ⑤投影 ⑥投影向量 ④模长公式 4.向量数量积的相关知识 O A B θ 试一试1：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，利用标准正交基你能用a与b的坐标来表示a·b吗？ 1.向量数量积的坐标表示 ， ∴ 又∵ ∴. 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (1)向量a=(x,y)与自身的夹角为0，因此a·a= . 于是得到计算向量a=(x,y)的模（即长度）的公式为|a|= . |a||a|cos0=|a|2 = (2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)， (x2，y2)，那么a=(x2-x1，y2-y1)，|a|= . 试一试2：你能完成下列公式的推导吗？ 两点间的距离公式 2.向量的模： 根据两个非零向量a=(,), b=(,)数量积的定义，得到计算两向量夹角余弦值的公式为cos<a,>= . 3.夹角余弦值： 4.垂直条件： 已知向量a=(,), b=(,)，则a⊥ba·b= = =0. 0 两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一. 例1 若向量m=(2，-1)，n=(3，2)，则(2m+3n)·(m-n)等于（ ） A.-25　 B.25　 C.-19　 D.19 A 解：因为向量m=(2，-1)，n=(3，2)， 所以2m+3n=(4，-2)+(9，6)=(13，4)， m-n=(-1，-3)， 所以(2m+3n)·(m-n)=(13，4)·(-1，-3)=13×(-1)+4×(-3)=-25. 题型1 数量积的坐标运算 11 (1)已知向量的坐标进行数量积运算时，要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2. (2)在运算的过程中，我们可以有两种方式，一种是先把各向量用坐标表示出来，再进行数量积的运算；另一种是先利用数量积的运算律将原式展开，再用坐标逐个计算其中的未知量. (3)常用的运算律有： ①(a+b)·(a-b)=a2-b2； ②(a±b)2=a2±2a·b+b2. 12 例2 （1）已知向量a=(2，4)，b=(1，n)，若a∥b，则|3a-nb|等于（ ） A.4　 B.12　 C.8　 D. A 解：因为向量a=(2，4)，b=(1，n)，且a∥b， 所以2n=1×4，解得n=2， 所以3a-nb=3(2，4)-2(1，2)=(4，8)， 所以|3a-nb|==4. 题型2 向量的模与夹角 注意：求模问题一般转化为求模的平方，即a2=|a|2=x2+y2，求模时，勿忘记开方. 要求这个向量的模，首先得求出n，怎么求呢？ 13 4. 已知向量a=(2，m)，b=(3，6)，若|3a+b|=|3a-b|，则实数m的值为（ ） A.1　 B.-1　 C.4　 D.-4 B 解：已知向量a=(2，m)，b=(3，6)， 则3a+b=(9，3m+6)，3a-b=(3，3m-6)， 由|3a+b|=|3a-b|可得=，解得m=-1. 14 例2（2） 已知 a ＝（1，－2）， b ＝（1，λ），且 a 与 b 的夹角θ为锐角， 则实数λ的取值范围是（　　） A. （－∞，－2）∪（－2，） B. （，＋∞） C. （－2，）∪（，＋∞） D. （－∞，） 解：∵ a 与 b 的夹角θ为锐角， ∴ cos θ＞0且 cos θ≠1，即 a · b ＞0且 a 不与 b 同向， 即 a · b ＝1－2λ＞0，且 a ≠ mb （ m ＞0）， A 题型2 向量的模与夹角 解得λ∈（－∞，－2）∪（－2， ），故选A. 说明 cos θ满足什么条件？你能列出相应的式子吗？ (1)求解方法：由cos θ==直接求出cos θ. 解决向量夹角问题的方法及注意事项 当θ＝0°时， cos θ＝1＞0，即 a · b ＞0； 当θ＝180°时， cos θ＝－1＜0，即 a · b ＜0. (2)注意事项： ①利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°. ②利用cos θ=判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况： 一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 5.已知向量a=(1，)，b=(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于（ ） A.2　 B.　 C.0 　D.- 解：因为a=(1，)，b=(3，m).所以|a|=2，|b|=，a·b=3+m， 又a，b的夹角为=cos =+m =， 解得m=. B 17 本节课你学到了哪些知识？ 1.已知a=(1，1)，b=(2，5)，c=(3，x)，若(8a-b)·c=30，则x等于（ ） A.6　 B.5　 C.4　 D.3 C 解：由题意可得，8a-b=(6，3)， 又(8a-b)·c=30，c=(3，x)， ∴18+3x=30，解得x=4. 19 2. 已知向量 a ＝（1， k ）， b ＝（2，2），且 a ＋ b 与 a 共线， 那么 a · b ＝ ⁠. 解析：依题意得 a ＋ b ＝（3， k ＋2），由 a ＋ b 与 a 共线， 得3× k －1×（ k ＋2）＝0，解得 k ＝1， 所以 a · b ＝2＋2 k ＝4. 4　 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．(　　) (2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2－y1y2＝0. (　　) (3)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为180°. (　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× D　 2．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝(　　) A．－1 B．－eq \f(1,2) C．eq \f(1,2) D．1 解析：∵a·b＝1×2＋(－1)×x＝2－x＝1，∴x＝1. 答案：eq \f(π,4)　eq \r(10) 3．已知向量a＝(3，1)，b＝(1，2)，则向量a与b的夹角为________，|a|＝________． 解析：由题意知，cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(3×1＋1×2,\r(32＋12)×\r(12＋22))＝eq \f(5,\r(10)×\r(5))＝eq \f(\r(2),2). 因为向量夹角的取值范围是[0，π]， 所以向量a与b的夹角为eq \f(π,4)，|a|＝eq \r(32＋12)＝eq \r(10). ±3 3．设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________． 解析：(a＋λb)⊥(a－λb)⇒(a＋λb)·(a－λb) ＝|a|2－λ2|b|2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3. 10 4．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝eq \r(10)，则a·b＝________． 解析：因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝eq \r((－2)2＋(－6)2)＝2eq \r(10). 又因为|b|＝eq \r(10)，向量a与b的夹角为60°， 所以a·b＝|a||b|cos 60°＝2eq \r(10)×eq \r(10)×eq \f(1,2)＝10. $