1.3.1等比数列的概念及其通项公式课件（第1课时）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 数列 第3节 等比数列 3.1 等比数列的概念及其通项公式 第1课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解等比数列的概念并掌握等比数列的判定方法. 2、掌握等比数列的通项公式. 3、能解决与等比数列的通项公式有关的运算. 1、理解等比数列的概念。 1、掌握等比数列的判定方法. 2、掌握等比数列的通项公式. 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 对于一个数列，如果从第2项起,每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列。 称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示. 1、什么叫作等差数列？ 2、等差数列的通项公式是什么？ 首项为a1,公差为d的等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d 3 新 知 引 入 韦 达 3、问题一：《庄子·天下》中提到：“一尺之捶，日取其半，万世不 竭.”如果把“一尺之捶”的长度看成单位“1”，那么 从第1天开始，每天得到的“捶”的长度依次是 ： ____，____，____，____，____，…… 问题二：现有一张厚度为0.1毫米的普通A4纸．如果对折1次，2次， 3次，4次，5次，纸的厚度依次是： _____，_____，_____，_____，_____，…… 问题三、拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、再拉抻、再 捏合，如此反复几次,就拉成了许多根细面条。这样拉抻、 捏合8次后可拉出多少根细面条？ ____，____，____，____，…… ，________。 1 2 4 8 128 0.2 0.4 0.8 1.6 3.2 4 新 知 引 入 布 丰 （1） （3）1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128. 以上三个问题，我们得到了三个数列： （2） 0.2 , 0.4 , 0.8 , 1.6 , 3.2，…… 这三个数列是等差数列么？ 不是。 每个数列中的各项之间有什么规律？ 对于数列（1），从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是 ； 对于数列（2），从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是 2 ； 对于数列（3），从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是 2 。 5 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比值 都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列. 称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 等比数列 注意：1、 2、 3、 4、 “都是同一个常数”。比如数列 1、4、9、16、25.每一项与它的前一项的比都是常数，但不是同一个常数，所以这个数列不是等比数列. 公比q是每一项（从第2项起）与它的前一项的比，不要把顺序弄颠倒. 公比可以是正数,负数，但不能是0. 等比数列中的项不能是0. 6 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 符号表示： ． 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比值 都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列. 称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 等比数列 注意：5、 6、 7、 若q＝1，则该数列为常数列． 常数列 a, a , a , a , … a≠0 时,既是等差数列,又是等比数列. 等比数列的符号表示： = = = …… = = q 或 或 7 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、以下数列中，哪些是等比数列?若是等比数列，公比是多少？ （1）1, , , , ; （2）1,1,1,…,1; （3）1,2,4,8,12,16,20; （4）a,a2,a3,…,an. 解：是等比数列，公比q = - 解：是等比数列，公比q =l 解：因为 ≠ ，所以该数列不是等比数列； 解： 当a≠0时，它是公比q=a的等比数列； 当a = 0时，它不是等比数列. 8 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比． (2)10，10，10，10，10，… (3)1，3，32，33，…，3n－1，… (4)－1，1，2，4，8，… （1）1， ， ，， ，…… 解：不是等比数列. 解：是等比数列，公比为1. 解：是等比数列，公比为3. 解：不是等比数列. 9 新 知 引 入 伯努利 若已知一个数列是等差数列（首项a1和公差d），它的通项公式的推导方法是： 累加，得an-a1=(n-1)d 所以an=a1+(n-1)d 10 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 若已知一个数列是等比数列（首项a1和公比q），类比等差数列，你能求出它的通项公式？ =______ =______ = ______ …… = ______ q q q q （n-1）个 累乘，得 ····…·=q·q·q·q·…·q=qn-1 整理，得 =qn-1 11 学 习 新 知 拉格朗日 等比数列的通项公式 首项为a1,公比为q的等比数列的通项公式为： an=a1·qn-1 注意：1、 2、 已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列． 在公式中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a1，q为两个基本量． 12 学 习 新 知 狄利克雷 定义 符号表示 通项公式 等差数列 等比数列 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列。 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列. an-an-1=d. an=a1·qn-1 an=a1+(n-1)d 13 典 例 引 路 柯 西 例2、在等比数列{an}中，填写下表： 题号 a1 q n an 1 3 -2 5 2 4 3 4 4 256 4 3 5 48 5 3 2 24 48 4 2或 - 2 4 14 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、（1）在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则公比q为(　　) A．2　　 B．3 C．4 D．8 A (2)已知{an}是等比数列，a1＝4，公比q＝，则a5＝(　　) A． B． C． D． A （3）已知等比数列{an}的公比q=2，a4=8，则首项a1=（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 C 15 典 例 引 路 牛 顿 例3、一个等比数列的首项是2,第2项与第3项的和是12.求该数列的第8项的值. 解：设等比数列的首项为a1,公比为q,则由已知，得 将①式代入②式，得 q2+q-6=0. 解得q=-3或q=2. 当q=-3时，a8=a1q7=2×(-3)7=-4374. 当q=2时，a8=a1q7=2×27=28=256. 故该数列的第8项是-4374或256. 16 同 步 练 习 黎 曼 练3、若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项. 解：依题意得 的两边分别除以①的两边，得 解得或. 把 代入①，得 . 此时 . 把 代入①，得 . 此时 . 因此的第5项是24或. 17 典 例 引 路 皮 亚 诺 例4、一个等比数列的首项是1,第4项是8，求公比并写出通项公式an. 解：设等比数列的首项为a1，公比为q，则 将①式代入②式，得 q3=8，解得q=2. 当q=2时，an＝a1qn－1＝2n－1 故该等比数列的q为2，通项公式an＝2n－1 18 同 步 练 习 庞加莱 练4、已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2, a3=2a2+16,求{an}的通项公式。 解：设{an}的公比为q,由题设得 a1q2＝2a1q+16， 即q2-2q-8=0， 解得q=-2(舍去)或 q=4， 因此{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝24n－1 19 典 例 引 路 华罗庚 例5、已知数列{an}是首项为2，公差为-1的等差数列，bn=,求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式． 解：依题意an=2+(n-1)×(-1)=3-n，于是bn= 则有 = = ()-1 = 2 ∴数列{bn}是首项为,公比为2的等比数列， 通项公式为 bn = 2n-3 20 同 步 练 习 陈景润 练5、为等差数列，首项公差，证明数列为等比数列； 证明：由，，得的通项公式为. 设， 则 . 又 , 所以，是以 27为首项，9为公比的等比数列. 21 典 例 引 路 傅里叶 例6、据报载，在20世纪80年代末，中美洲地区毁林严重，森林面积还剩1.9x107 hm2。请你回答以下几个问题： (1)如果以每时平均毁林约48hm2计算，剩下的森林经过多少年将被毁尽?(1年按365天计) (2)根据(1)计算出的年数n，如果以每年3.6%~3.9%的速度减少，计算 n年后还剩的森林面积（结果写成ax10n(1≤a<10,n∈N+)的形式，a精确到0.01) (3)若按3.6%的速度减少，计算经过150年后，经过200年、经过250年后及经过300年后森林面积的情况，经过多少年森将被毁尽？ 解：(1)如果每时平均毁林约48hm2，则每年平均毁林 48x24x365=420 480(hm2), 列出比式 ≈45.2，故剩下的森林大约经过45年将被毁尽。 22 典 例 引 路 贝叶斯 （2）若以3.6%的速度减少，45年后还剩的森林面积为 1.9x107×(1-3.6%)45≈3.65x106(hm2); 若以3.9%的速度减少，45年后还剩的森林面积为 1.9x107×(1-3.9%)45≈3.17x106(hm2). (3)1.9x107x(1-3.6%)150≈77680(hm2); 1.9x107x(1-3.6%)200≈12421(hm2); 1.9x107x(1-3.6%)250≈1986(hm2); 1.9x107x(1-3.6%)300≈318(hm2); 1.9x107 x(1-3.6%)512≈0.134(hm2). 经过150年后，约剩77680hm2；经过200年后，约剩12421hm2； 经过250年后，还剩1986hm2； 经过300年后，约剩318hm2， 经过512年后，约剩0.134hm2，森林几乎被毁尽。 23 同 步 练 习 莱布尼兹 练6、用 10 000元购买某个理财产品一年. （1）若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？ 解：（1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列， 则是等比数列，首项，公比， 所以. 所以，12个月后的利息为（元）. （2）设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列， 首项 ，公比为，于是 . 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为元. 解不等式，得. 所以，当季度利率不小于时，按季结算的利息不少于按月结算的利息. 24 全 课 总 结 一、等比数列的定义 二、等比数列的通项公式 25 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 26 $