考点03 立体几何中的外接球、内切球、棱切球模型（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

考点03立体几何中的 外接球、内切球、棱切球模型 考点一：正方体长方体的外接球 1、正方体与长方体的外接球 （1）若正方体边长为，则它的外接球半径为 （2）若长方体的三边长分别为，则它的外接球半径为 2、补全为正方体与长方体的外接球 (1)若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可考虑补全为长方体或正方体，称之为墙角模型（如上图1、2、3）。这时三棱锥的外接球同补全的长方体或正方体的外接球，求球的半径公式如上。 (2)图2为九章算术中的鳖臑，即四个面都为直角三角形的四面体。 (3)若三棱锥的三对对棱两两相等，也可以补全为长方体或正方体（如图4），外接球的半径也同长方体或正方体的外接球半径。 考点二：圆锥的外接球 1、圆锥的外接球 若圆锥的高为，底部半径为，母线长为，则圆锥的外接球半径 2、可补全为圆锥的外接球 （1）若在平面上的射影是的外接圆圆心（即），则可以把三棱锥补为圆锥，根据圆锥的外接球模型来求外接球半径。 （2）正棱锥都可以补成圆锥，可以按圆锥的外接球模型来求。 考点三： 直棱柱、圆柱的外接球 1、柱体的外接球 （1）圆柱的高为，底面半径为，则圆柱的外接球半径 （2）若是直棱柱，则可以先找直棱柱上下底的外接圆，求外接圆半径，然后补成圆柱，按圆柱的外接球半径公式来算即可。 2、可补全成柱体的外接球 （1）一条侧棱垂直于底面 ⇒ 以底面的外接圆为底，侧棱为高作圆柱，然后找该圆柱的外接球。如上图中图1，图2 （2）若图形为非规则图形，但上下底平行，上下底的外接圆半径相等且两个圆心的连线垂直于上下底，这时也可以构造一个圆柱（如图3），这时圆柱的外接球即为所求的外接球。 考点四：圆台、棱台的外接球 1、台体的外接球 (1)圆台的上底半径 ,下底半径，高为，（如图1，图2），两次使用勾股定理，可求得它的外接球的半径 (2)棱台的外接球（如图3），先找上下底面的外接圆半径，然后按照圆台的外接球半径公式。 考点五：二面角模型的外接球 1、两面垂直的三棱锥的外接球 在三棱锥中，如有，求三棱锥的外接球的半径。设和 的外接圆为。首先，若两平面垂直是因为有一条侧棱垂直于底面，则可以参考前面的补全为棱柱，求棱柱的外接球半径，若没有侧棱垂直于另一面，我们来分情况来讨论一下（下列情况均在的前提条件下讨论的）。 (1)若平面在外接球的轴截面上，不在外接球的轴截面，如图1，此时平面的外接圆圆心即是外接球的球心。在题目条件上的体现为 。（此时我们不讨论P点在与的连线上，因为这就是前面补全为圆锥模型的情况，也不讨论PA，PB垂直于的情况。） (2)若平面在外接球的轴截面上，也在外接球的轴截面，如图2，的中点即是外接球的球心。在题目条件上的体现为 (3)若平面，都不在外接球的轴截面，如图3。找出两个外接圆圆心，它们与球心，的中点构成一个矩形，可求出长，再根据勾股定理，即可求出球的半径 2、二面角模型 二面角模型同上题型两面垂直的模型思想是一致的。在三棱锥中，如有，求三棱锥的外接球的半径。设和 的外接圆为。 不同于两面垂直的三棱锥，这里的四边形不是一个矩形，这时候球OD的长度没有那么容易计算，但是目标依然是计算出，然后再算出即为球的半径。 注意：若三棱锥中，则无论二面角为多少，三个心重合，这时则外接球的球心在斜边的中点上，这个斜边即为外接球的直径。 考点六：正四面体的外接球与内切球 在棱长为的正四面体中，下面几个数据是常考的内容 1、正四面体的高为 2、正四面体外接球半径为 3、正四面体内切球半径为 4、正四面体体积 考点七：内切球 1、锥体的内切球 无论是什么的内切球问题，都是先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 2、台体的内切球 先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 长方体、正方体的外接球 正方体、长方体的外接球的球心在其中心处，球的半径为体对角线的一半 1、若正方体边长为，则它的外接球半径为 2、若长方体的三边长分别为，则它的外接球半径为 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由球的体积公式可求得球的半径，由题意可得正方体的体对角线长度为，进而可求得正方体的棱长. 【详解】由球的体积为，可得球的半径满足，解得， 因为正方体的所有顶点在一个球面上，则有正方体的体对角线长度为， 设正方体的棱长为，则有，解得， 故选：C. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）长方体的体对角线长为，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体的结构特征和球的表面积公式计算即可. 【详解】∵长方体的体对角线长为，设其外接球半径为， ，所以这个球的表面积为． 故选：C. 3．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设长方体外接球的半径为． 因为，所以，该长方体外接球的体积． 4．（24-25高二上·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由柱体的体积可得，长方体外接球的半径为，由基本不等式求出的最小值即可求出外接球表面积的最小值. 【详解】设，由长方体的体积为16可得： ，即， 长方体外接球的半径为， 所以， 当且仅当“”时取等，所以， 当，长方体外接球表面积的最小值为. 故选：C. 5．（2025·河北·模拟预测）已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】设长方体的外接球半径为，且，根据球的表面积公式，求得，再由长方体的对角线长公式，求得，结合基本不等式，即可求得长方体体积的最大值，得到答案. 【详解】设长方体的外接球半径为，且， 因为外接球表面积为，故，即， 又因为，可得，即， 所以该长方体的体积，当且仅当时，等号成立， 所以长方体的体积的最大值为. 故选：C． 补全为方体模型 1、墙角模型：有三条棱互相垂直的三棱锥，可以补全为方体，称之为墙角模型 2、三对对棱两两相等，也可以补全为方体。 1．（25-26高三上·广东深圳·月考）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知鳖臑中，平面，，，，，分别为线段，，的中点，则平面截鳖臑外接球所得截面的面积为______. 【答案】 【分析】运用割补法，结合线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、球的性质进行求解即可. 【详解】可将鳖臑补形为正方体，如图，    则该鳖臑外接球与正方体外接球相同，球心为中点， 外接球半径为， 取中点，中点，可知平面即为平面， ，平面，平面， 得平面，同理平面，， 得平面平面， 又平面， 则到平面距离即为平面与平面之间的距离，连接分别交，于，，因为平面，所以，，，所以平面，即平面， 因此所求面面距离即为， 所以所求截面圆的半径为，则截面圆面积为. 故答案为： 2．（25-26高三上·广东深圳·期末）在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 【答案】A 【分析】四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同，进而求得直径，再由球的表面积公式即可求解. 【详解】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同， 所以外接球的直径为， 所以外接球的表面积为， 故选：A. 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分别为三边中点，将△BEF，△AEG，△GCF分别沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，记为S，则三棱锥S–EFG的外接球面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三棱锥补充成长方体，求出长方体的体对角线长可得三棱锥的外接球的直径，从而求出三棱锥的外接球面积. 【详解】由题意得，三棱锥的对棱分别相等， 将三棱锥补充成长方体， 则对角线长分别为，，， 设长方体的长、宽、高分别为，，， 则，，， ， 三棱锥的外接球的直径为，半径为 ， 三棱锥的外接球的面积为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决的关键是根据题意得到的特征，从而放置到相应的长方体中，即可求解. 4．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，再求长方体外接球的体积即可. 【详解】由题意可知：，，， 则三棱锥可放置在如图所示的长方体中， 设三棱锥三组对棱的长分别为，，， 由对棱相等模型，，，， 即，所以长方体的体对角线平方为：， 即体对角线长为，则， 该三棱锥外接球的体积. 故选：B. 5．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出外接圆半径，再利用几何体的结构特征求出球心到平面的距离，并求出球半径，进而求出球的体积. 【详解】在三棱锥中，，由正弦定理得外接圆半径， 由平面，三棱锥外接球球心在线段的中垂面上， 得该中垂面平行于平面，因此球心到平面的距离为， 则该外接球半径，所以三棱锥外接球的体积为. 故选：D 圆锥的外接球 若圆锥的高为，底部半径为，母线长为，则圆锥的外接球半径 1．（25-26高三上·河南商丘·期末）某圆锥的侧面积与底面积之比为2，则该圆锥外接球的表面积与圆锥的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，根据圆锥的面积公式及题意可得，圆锥的高，进而结合勾股定理可得圆锥外接球半径，进而求解即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，根据题意，得，所以， 则圆锥的高，因为圆锥外接球的球心在圆锥的高上，设圆锥外接球半径为， 则，解得， 则圆锥外接球的表面积为 圆锥的表面积为， 所以圆锥外接球的表面积与圆锥的表面积之比为. 故选：D. 2．（24-25高二下·江西宜春·月考）已知体积为的圆锥的轴截面为正三角形，则该圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥的轴截面形状与体积，求解出圆锥底面半径，再利用圆锥与外接球的关系，求出外接球半径. 【详解】 如图所示，设圆锥的底面半径为r，因为圆锥轴截面为正三角形， 所以圆锥的高为，体积为，所以． 设圆锥的外接球半径为R，则， 即，解得， 于是圆锥的外接球的表面积为． 故选：A． 3．（24-25高一下·甘肃天水·期末）已知某圆锥的母线长是底面半径的4倍，且该圆锥外接球的表面积为，则该圆锥外接球的半径为___________，该圆锥的底面半径为___________. 【答案】 / 1 【分析】设圆锥的底面半径为，圆锥外接球的半径为，根据已知条件结合球的面积公式及勾股定理求出、. 【详解】如图，设圆锥的底面半径，圆锥外接球的球心为，外接球的半径为， 由题意，球的表面积为，解得，即， 由，则， 在中，， 则，解得. 故答案为：；1. 4．（2025·安徽·一模）已知顶点为的圆锥的外接球为球为底面圆的一条直径，是母线的中点，为底面圆的中心，为线段的中点，若是边长为2的正三角形，则球的表面积为____________，与该圆锥底面所成角的正切值为____________. 【答案】 / 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，，，根据已知得，进而求出外接球的半径，即可得球的表面积，应用几何法求线面角的正切值. 【详解】取的中点，连接，取的中点，连接，，.    因为是边长为2的正三角形，所以， 所以 设球的半径为，由，得， 故球的表面积为. 易知圆锥底面，则是与该圆锥底面所成的角， 所以与该圆锥底面所成角的正切值为. 故答案为：， 侧棱相等模型 当三棱锥棱锥的三条棱相等时，则在平面上的射影是的外接圆圆心，此时可以把三棱锥补成圆锥，按圆锥的求外接球的方法来求球的半径 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可知正四棱锥底面边长为侧棱长为，进而求出外接球的半径，应用等体积法求内切球的半径，即可求解. 【详解】因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，为正四棱锥，设底面中心为, 则四棱锥外接球球心及内切球球心都在上，设外接球球心为，半径为. 连接，则有.四棱锥的底面是边长为2的正方形， 在中，， 由得，，整理得，. 设内切球的半径为，中，，， 所以，所以四棱锥表面积为， 由，即， ∴，则的长为. 故选：B. 2．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·月考）在三棱锥中，为等边三角形，，，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题给条件可知三棱锥各边长，，，以及的中心及相关线段长度，设三棱锥的外接球的球心为，，构造方程解出h，得出外接球半径r，进而求出球的体积. 【详解】，，． ， 在底面的射影为的中心， 设的中点为，则，， ， 设三棱锥的外接球球心为， ，在延长线上， 设，则， ，解得， 外接球的半径． 外接球的体积． 故选：． 3．（25-26高三上·湖北武汉·月考）在三棱锥中，，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为______. 【答案】或1 【分析】根据球的性质确定球心位置，根据球的表面积求出半径，利用勾股定理求出三棱锥的高，代入锥体体积公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 即为直角三角形，其外接圆的圆心为斜边的中点， 因为，所以点在平面上的射影为的外心， 连接，根据球的性质可知三棱锥外接球的球心在上， 连接，设三棱锥外接球的半径为，则 因为球的表面积为，所以， 因为， 所以该三棱锥的高为或， 如图:    所以该三棱锥的体积为或. 故答案为：或1 4．（2025·广东江门·模拟预测）在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________． 【答案】 【分析】先根据三棱锥的体积，求三棱锥的高，再根据三棱锥的几何性质，确定三棱锥外接球球心的位置和外接球的半径，利用球的表面积公式求面积. 【详解】如图：    在中，，，所以. 取中点，则为外接圆的圆心，且外接圆半径为. 连接，因为，所以. 又（）. 所以，即. 又平面，，所以平面. 所以. 所以三棱锥外接球的球心在线段上，设为，再设三棱锥外接球的半径为， 在中，，，, 由. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 5．（2026·广东肇庆·二模）在三棱锥中，，平面与平面夹角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角的大小求出的值，证明成立，则三棱锥为正方体的一个角，据此求出外接球的半径便可得到表面积． 【详解】取的中点，连接， 因为， 所以， 所以就是平面与平面的夹角， 设，则，则， 即，解得， 所以，即， 同理，，将三棱锥放置在如图的正方体中， 由正方体的外接球的直径为正方体的对角线长知， 三棱锥外接球的直径， 所以三棱锥外接球的表面积． 故选：B． 柱体的外接球 1、 圆柱的高为，底面半径为，则圆柱的外接球半径 2、 若是直棱柱，则可以先找直棱柱上下底的外接圆，求外接圆半径，然后补成圆柱，按圆柱的外接球半径公式来算即可。 1．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知圆柱与圆锥的底面半径相等，高相等，且圆锥的轴截面为正三角形，记圆柱外接球的表面积为，圆锥外接球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆柱与圆锥的底面半径为1，可得圆柱与圆锥的高均为，再设圆柱外接球的半径为，圆锥外接球的半径为，结合图象建立、的方程，解得，代入球的表面积公式计算即得. 【详解】不妨设圆柱与圆锥的底面半径为1，则由圆锥的轴截面为正三角形，可得圆柱与圆锥的高均为. 设圆柱外接球的半径为，圆锥外接球的半径为， 由图可得，， 解得，故， 则. 故选：A. 2．（25-26高三上·重庆·月考）在正三棱柱中，，则该三棱柱的外接球表面积为____________. 【答案】 【分析】先应用正弦定理得出底面正三角形外接圆半径，再应用图形特征得出外接球半径，最后得出球的表面积. 【详解】由正弦定理，底面正三角形的外接圆半径， 又正三棱柱的高的一半， 则外接球的半径， 所以表面积， 故答案为:. 3．（25-26高三上·河南周口·月考）已知某圆柱的轴截面的周长为12，设该圆柱外接球体积的最小值为，该圆柱体积的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该圆柱底面圆的半径为r，高为h，则，设该圆柱外接球的半径为R，先求出R的最小值，进而得到最小体积，表示出圆柱体积，得到最大值，再求即可. 【详解】设该圆柱底面圆的半径为r，高为h，则，故． 设该圆柱外接球的半径为R， 则， 当时，R取得最小值，则． 圆柱的体积， 当且仅当，即时，等号成立，则，． 故选：B． 4．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知圆柱的上、下底面圆周都在一个球的球面上，若圆柱的表面积是球的表面积的一半，则圆柱的底面半径与球的半径的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设圆柱的底面半径为r，高为2h，球的半径为R，再求出圆柱及球的表面积构造即可求解. 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为2h，球的半径为R，则． ， 分子分母同除以，然后设，即，解得（舍去）， 即， 所以． 5．（25-26高二上·云南大理·期末）在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析出三棱柱外接球的球心的位置，并求出到上、下底面的距离，由正弦定理求出外接圆的半径，即可根据求出球的半径，再根据球的体积公式计算即可得解. 【详解】设三棱柱外接球的球心为， 分别为和的外心，则. 由对称性可知为的中点，所以到上、下底面的距离. 设外接圆的半径为，则由正弦定理可知，所以. 由球的性质可知球的半径， 所以该三棱柱外接球的体积. 故选：B 补成柱体模型 1、侧棱垂直于底面，则可以补全成柱体，然后找柱体的外接球 2、不规则图形但是上下底平行，且上下底的外接圆圆心连线垂直于上下底。 1．（25-26高二上·广东深圳·期末）在三棱锥中，，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三棱锥补成三棱柱，求出外接圆半径，再求外接球半径，即可求外接球表面积. 【详解】如图将三棱锥补成三棱柱，则它们的外接球相同， 其中，，， 由，，得平面， 则平面，则， 则， 则， 则， 则外接圆半径, 则三棱柱的外接球半径， 则外接球的表面积为， 故选：B. 2．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知四面体满足均为等腰三角形，若，则该四面体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过空间直角坐标系法求解，利用坐标定位各顶点，再根据外接球心到各顶点距离相等的性质列方程求解. 【详解】由为等腰直角三角形（，），得， 由为等腰三角形（，），用余弦定理： 验证ABBD：，故， 又，，得平面； 建立空间直角坐标系，，（在轴，在轴），点：由几何关系，可以得，过点作轴的垂线，依据勾股定理自然可得； 设外接球心为，则， 由：， 由：， 由：， 化简得； 因此，球心，半径：， 故选：B 3．（25-26高二上·浙江·月考）在三棱锥中，是边长为3的正三角形，且，，二面角的大小为，则此三棱锥外接球的表面积为________. 【答案】 【分析】根据题意结合面面垂直的性质分析可知平面，将三棱锥补形成直三棱柱，结合直三棱柱求外接球的半径和表面积. 【详解】由题意可知：，，，则，即， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 可知的外接圆半径， 将三棱锥补形成直三棱柱，    结合直三棱柱可知外接球的半径， 所以此三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 4．（24-25高二下·湖南·期中）棱长为3的正方体中，为棱靠近的三等分点，为棱靠近的三等分点，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中利用余弦定理求出，即可求出，从而求出外接圆的半径，设三棱锥的外接球的半径为，则，从而得解. 【详解】依题意可得，， 在中由余弦定理， 所以， 则外接圆的半径， 又且平面， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以外接球的表面积. 故选：D 5．（25-26高二上·贵州遵义·月考）在三棱锥中，平面ABC，，，，则三棱锥的外接球的体积为______. 【答案】 【分析】求出，可得外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径．即可求出体积． 【详解】， . 由正弦定理可知，的外接圆的直径，因此半径. 平面， 该三棱锥的外接球的半径， 则三棱锥的外接球的体积. 故答案为：. 圆台、棱台的外接球 1、 圆台的上底半径 ,下底半径，高为，，两次使用勾股定理，可求得它的外接球的半径 2、棱台的外接球，先找上下底面的外接圆半径，然后按照圆台的外接球半径公式。 1．（25-26高三上·江苏徐州·期中）一个正三棱台的上､下底面边长分别为1和2，则它的外接球体积的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用正弦定理求出上、下底面外接圆的半径，设高为，外接球的半径，上底面外接圆圆心，下底面外接圆圆心，外接球球心为，利用勾股定理得到，即可得到，再由基本不等式求出，最后由体积公式计算可得. 【详解】因为正三棱台的上､下底面边长分别为1和2， 所以上底面外接圆的半径， 下底面外接圆的半径， 设高为，外接球的半径，上底面外接圆圆心，下底面外接圆圆心，外接球球心为， 则，则， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 所以外接球体积的最小值为. 故答案为： 2．（2026·陕西·模拟预测）已知圆台的母线长为3，上下底面半径比为1:2，当圆台体积最大时，此圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用圆台的结构特征求出圆台体积与其高的函数关系，再利用导数求出取最大值的条件，再按外接球球心在两平行平面间及外分类求出球半径即可. 【详解】设圆台上底半径为，则其下底半径为，高， 此圆台的体积，， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则当，即时，此圆台体积取得最大值， 设球的半径为，则球心到两个截面距离分别为， 显然此圆台的外接球球心在两底圆心确定的直线上， 则或， 解，无解；解，得， 所以此圆台的外接球的表面积为. 故选：C 3．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正四棱台的体积公式求出该棱台的高，然后取正四棱台上、下底面中心分别为，根据勾股定理列出等式，确定其外接球 球心的位置，从而求得其半径，最后根据球的体积公式计算即可. 【详解】因为正四棱台的上、下底面边长分别为和， 所以该正四棱台上底面面积为，下底面面积为. 设正四棱台的高为，则根据正四棱台的体积公式得 ，解得. 设正四棱台上、下底面中心分别为，则其外接球球心在线段上， 因为， 设外接球的半径为，设，则，因为， 所以，化简得， 即正四棱台的外接球球心位于处. 此时，所以该棱台的外接球体积为. 4．（2026·河北·一模）已知正四棱柱的体积为128，，，相交于点，分别为上的点，，则四棱台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】四棱台为正四棱台，外接球球心在上下底面的中心连线上，建立空间直角坐标系，利用球心到点和点距离相等，求出球心坐标和球的半径，可得球的表面积. 【详解】正四棱柱底面，故底面积为，体积为128，得高，    以为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，， 与相交于点，有，与相交于点，有， 由，得为靠近的四等分点，有， 同理，有，，， 下底面是边长为8的正方形，中心， 上底面是边长为2的正方形，中心， 中心连线垂直于底面，故四棱台为正四棱台。 四棱台的外接球球心在直线上，设球心坐标为， 由球心到和距离相等， 有，解得， 外接球半径的平方，表面积. 故选：D. 5．（2026·四川雅安·一模）在正四棱台中，，，，则该正四棱台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点分别为，连接，过作平面的垂线，垂足为，设正四棱台外接球的球心为，半径为，则在直线上，又，利用勾股定理求出即可求出从而得解. 【详解】正四棱台中，取中点分别为，连接， 由，，，可得，， 过作平面的垂线，垂足为，则点在上，且， 所以， 设正四棱台外接球的球心为，半径为， 由对称性可知球心在直线上， 若球心在线段上，则，此时无正数解， 所以球心在的延长线上，则， 即，解得， 所以， 所以该外接球的表面积为， 故选：B 两面垂直的三棱锥模型 1、找两个垂面的外接圆的圆心。 2、构造出两个外接圆圆心与球心所在的平面，然后利用勾股定理求求的半径 1．（2026·河南南阳·模拟预测）在三棱锥中，，其余棱长均为2，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，确定球心的位置，利用球的截面圆性质求出球半径，进而求出球的表面积. 【详解】在三棱锥中，都是边长为2的正三角形，取中点，连接， 则，，是二面角的平面角， 又，则，即，而， 平面，因此平面，令的外心分别为， 则平面，，同理，四边形是矩形， ，而，则， 所以球的表面积为. 故选：A 2．（25-26高三下·湖北武汉·月考）在三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】根据平面平面，由和的外接圆圆心位置即半径确定外接球的球心位置，再利用勾股定理求得外接球的半径即可求出表面积. 【详解】中，易知，可得； 在中，易知，可得； 易知和的外接圆半径分别为； 取的中点为，设和的外接圆圆心分别为，三棱锥的外接球的球心为，如下图所示： 易知，且，又平面平面，所以平面； 同理可得，平面； 由球心性质可知平面，平面； 因此可知，所以四边形为平行四边形，可得； 所以三棱锥的外接球的半径为； 因此外接球的表面积为. 3．（25-26高二上·四川南充·月考）如图1，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，将沿翻折，使得点到点的位置，如图2所示．若平面平面，三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用面面垂直的性质，结合球的截面性质确定球心位置，求出球半径即可求得球的表面积. 【详解】取中点，连接，由为正三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得是外接圆圆心，其半径， 三棱锥的外接球球心在直线上，而，设球半径为， 则，由，得，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 4．（24-25高一下·河南洛阳·期末）在三棱锥中，平面平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为________. 【答案】 【分析】取中点，连接，可证平面平面，记的外心为，为的外心为，过在平面内作，过在平面内作两直线交于点，求得即为外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】取中点，连接，所以，， 因为，所以， 又，，，所以， 所以，所以，所以， 所以为二面角的平面角， 又因为平面平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 记的外心为，的外心为， 过在平面内作，过在平面内作两直线交于点， 可得为三棱锥的外接球的球心， 因为，设，则， 解得，所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 二面角模型 二面角模型同上题型两面垂直的模型思想是一致的，但是计算上更难一些。 1．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球表面积最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设、的外心分别为、，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，设这两垂线的交点为，求出、的长，利用勾股定理可得出，可得出长的最小值，再利用球体表面积公式可求得结果. 【详解】设、的外心分别为、， 则为的中点，为的中心， 过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，设这两垂线的交点为， 则为四面体的外接球球心，如下图所示： 因为为等边三角形，则， 所以，易知， 因为为等腰直角三角形，且其底边长为，所以， 故球的半径为， 当且仅当点与点重合时，取最小值，即球的半径的最小值为， 所以四面体的外接球表面积最小值为. 故选：C 2．（江苏泰州市2025-2026学年高三下学期期初数学试卷）在三棱锥中，若，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连接，，结合已知条件即可得到即为二面角的平面角；判断出外接球球心在平面上，且在过和外心且垂直于各自平面的直线上，设和外心分别为，，连接，，，，结合三角形外心性质及直角三角形即可求出半径，代入球的面积公式求解即可. 【详解】取中点，连接，. 在等边中，为中点，所以，. 在等边中，为中点，所以，. 所以即为二面角的平面角，所以. 设外接球的球心为，则球心在平面上，且在过和外心且垂直于各自平面的直线上. 设和外心分别为，，连接，，，. 则平面，，；平面，，. 所以，所以. 在中，. 在中，，. 即三棱锥外接球的半径为， 所以. 3．（25-26高二上·河南南阳·月考）在三棱锥中，二面角为，为边长为2的等边三角形，为等腰直角三角形（），则该三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】 【分析】利用球的截面小圆性质，分析探讨出三棱锥的外接球球心位置，求出球半径即可得解. 【详解】取的中点为点，过作底面，如图所示， 设为球心，过作，且在底面上，连接、、， 由性质易得，即二面角的平面角，大小为， 在中，，则，；设，易得， 由球的性质知，，过点作于点，，， 在中，，在中，，， 则，，化简可得， .. 故答案为： 4．（25-26高三上·山东德州·期中）在四边形中，，对角线，将沿翻折成，使二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为___________． 【答案】 【分析】取中点，连接，弦2由题设和二面角定义得到，分别取外接圆圆心，分别过作垂直于平面和平面的垂线得到两垂线交点O为四面体外接球的球心，依据题设信息求出和即可分析计算求解. 【详解】由题可得是正三角形，如图取中点，连接， 则，所以为二面角的一个平面角，故， 分别取外接圆圆心，连接， 则分别在上，且， 分别过作垂直于平面和平面的垂线，两垂线相交于点O， 则O为四面体外接球的球心，且， 连接，则，所以， 所以四面体外接球的半径R满足. 所以四面体外接球的表面积为. 故答案为： 5．（25-26高三上·重庆·期中）在三棱锥中，，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若为的中点，结合题设知是外接圆的圆心，进而有棱锥的球心在过且垂直于平面的直线上，若平面，在平面内过作，构建合适的空间直角坐标系，令并标注出相关点坐标，应用球体半径相等列方程求参数，进而得到半径，即可求球体面积. 【详解】由题设为直角三角形且斜边，若为的中点，则是外接圆的圆心， 所以棱锥，即棱锥的球心在过且垂直于平面的直线上， 若平面，则球心在直线上，在平面内过作，如图示，    由，则，所以是二面角平面角的补角，为， 又，，可得， 构建空间直角坐标系，设，且， 所以外接球半径，则，可得， 所以外接球半径，其表面积为. 故选：B 两直角三角形共斜边模型 若三棱锥中，则无论二面角为多少，三个心重合，这时则外接球的球心在斜边的中点上，这个斜边即为外接球的直径。 1．（2025高一·全国·专题练习）将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为，连接，得到四面体，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为______. 【答案】 【分析】根据题意得到翻折后四面体是2个直角三角形构成的，所以外接球球心在斜边的中点处，可得到半径进而求得体积，由翻折特性可知平面，又可求体积. 【详解】翻折后所得图形如下图所示，易知的中点为球心， 故该四面体的外接球体积， 又，平面，， 所以平面， 二面角的大小为，， ， 故所求体积之比为. 故答案为：. 2．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在矩形中，，，沿对角线将折起，折至，则四面体的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四面体的外接球的球心到四个顶点的距离相等可得球心为的中点，从而可得体积. 【详解】因为四边形为矩形， 所以折起后均为直角三角形， 所以的外接圆的圆心均为的中点， 又四面体的外接球的球心到四个顶点的距离相等， 所以球心为的中点，半径， 所以外接球的体积为. 故选：B. 3．（25-26高二上·云南昭通·期末）在矩形ABCD中，，，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角，则四面体ABCD的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】中点到四面体的四个顶点、、、的距离相等，是四面体的外接球的球心，再求出球半径及表面积. 【详解】如图 设AC的中点为O，由矩形ABCD可知点O到四面体的每个顶点的距离都相等，为， 则点O即为四面体外接球的球心，所以四面体ABCD的外接球的半径为， 则四面体ABCD的外接球的表面积为． 故选：B. 4．（25-26高二上·广东·期末）如图所示，四边形为正方形，将绕翻折得到三棱锥，且，若三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三棱锥的体积求出棱长，再由为三棱锥的外接球球心，求出球的半径，利用球的表面积公式得解. 【详解】设正方形的边长为，则， 取中点，连接，如图，    则，又，所以为正三角形． 因为，平面 所以平面，则三棱锥的体积， 解得， 因为与均为直角三角形，且为斜边，为中点， 所以为三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的半径． 则该三棱锥外接球的表面积为． 故选：D 5．（24-25高一下·广西河池·月考）在矩形中，，，以对角线为折痕将进行翻折，折后为，连接得到三棱锥，在翻折过程中，三棱锥外接球的表面积为________． 【答案】 【分析】结合图形特点，取中点，分析推得点为三棱锥外接球的球心，利用公式计算即得. 【详解】 如图，在矩形中，，，则， 取中点，连接，则， 故点为三棱锥外接球的球心，外接球的半径为1， 故外接球的表面积为. 故答案为：. 棱锥、圆锥的内切球 无论是什么的内切球问题，都是先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 1．（25-26高三上·新疆·月考）已知圆锥的底面半径为12，高为9，则该圆锥的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出圆锥的轴截面，设内切球半径，求得对应线段长，然后利用相似三角形边的关系建立方程，解得球的半径，然后求得球的表面积. 【详解】画出该圆锥的轴截面，如图所示， ， 设该圆锥的内切球的球心为，半径为， 则，，， ∵，∴，即，解得． 故所求内切球的表面积为． 故选：C.    2．（25-26高三上·湖南·月考）若一个圆锥的底面半径和母线长分别为3和5，则圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的高为，利用三角形相似可求得圆锥的内切球半径为，进而根据圆锥的表面积公式及球的表面积求解即可. 【详解】由题意，圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的高为， 则圆锥的表面积为， 设圆锥的内切球半径为R，球心为O，如图， 可知，底面圆圆心为E，则，可得， 即，解得， 所以圆锥的内切球表面积为， 则圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为. 故选：C 3．（24-25高一下·河南商丘·期中）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用轴截面图来研究两球关系，利用等体积法来求内切球的半径，再利用相似来求小内切球的半径即可. 【详解】解：如图所示： 依题意得， 底面的外接圆半径为， 点到平面的距离为， 所以， 所以， 设球的半径为，所以， 则，得， 设球的半径为，则， 又，得， 所以球的表面积为． 故选：A． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，正四面体的棱长为，球是内切球，球是与正四面体的三个面和球都相切的一个小球，求球的体积． 【答案】 【分析】记球与平面、切于点、，球与平面切于点，利用和即可得解. 【详解】如图所示，设球半径为，球的半径为，为中点， 球与平面、切于点、，球与平面切于点． 由题设得，，， 所以． 因为在中，， 所以，，得． 同理可证，，得． ． 5．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，球的半径大于球的半径，则球与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过已知正四棱锥顶点及底面正方形一组对边中点作截面，将问题转化为三角形及内部一系列圆相切问题求解作答. 【详解】 在正四棱锥中，令各棱长为2，O为正方形ABCD的中心，M，Q分别为边AB，CD的中点， 过点P，M，Q的平面截正四棱锥得等腰，截球O1，球O2，球O3，得对应球的截面大圆，如图： 显然，， 令N为圆与PM相切的切点，则，设球的半径为，即， 因为，则，显然，， 设球与球相切于点T，则， 设球的半径为，同理可得，即， 设球与球相切于点S，则， 设球的半径为，同理可得，即，， 所以， 故选：B 棱台、圆台、柱的内切球 先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 1．（2026·辽宁沈阳·一模）已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为__________. 【答案】 【分析】设出正四棱台上、下底面的棱长，则可借助正四棱台性质及体积公式表示出内切球体积及正四棱台体积，即可得解. 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，    设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点，， 不妨设正四棱台上、下底面的棱长为，， 则，，， 故在直角梯形中，过点C作，垂足为E，所以， 在中，，为棱台的高，也是球的直径， 所以半径为，所以球的体积为， 棱台体积为， 所以球与棱台的体积比为. 故答案为：. 2．（2025高三上·安徽六安·专题练习）已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为 ______. 【答案】/ 【分析】先利用体积公式求解内切球的半径，求得圆台的高度，设圆台上底面半径为，则下底面半径为，然后作出圆台的轴截面，根据切线关系及勾股定理求得，进而代入圆台的体积公式求解即可. 【详解】由于圆台的内切球体积为，设其内切球半径为，所以，则半径， 所以圆台的高度，设圆台上底面半径为，则下底面半径为， 圆台轴截面，为球心，为上下底面圆圆心，如下图： 根据切线长定理，圆台的母线长， 由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得：， 所以，可得， 则该圆台的体积为 故答案为： 3．（25-26高三上·河北·期中）已知圆台的轴截面等腰梯形的下底边长是上底边长的2倍，若该圆台的内切球表面积为，则此圆台的体积为__________. 【答案】 【分析】先由圆台内切球求出圆台的高，再利用轴截面为等腰梯形的性质结合勾股定理求出上下底面半径，然后利用圆台的体积公式求解可得. 【详解】由该圆台的内切球表面积为，设内切球半径为则， 所以等腰梯形的高为， 又圆台的轴截面等腰梯形的下底边长是上底边长的2倍，设上底为，腰长为，则下底为， 由等腰梯形的内切圆性质可得， 所以，可解， 所以圆台的体积为. 故答案为：. 4．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知球O内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之比为，则球O与该正四棱台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出正四棱台上、下底面的棱长，则可借助正四棱台性质及体积公式表示出内切球体积及正四棱台体积，即可得解. 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，    设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点，， 不妨设正四棱台上、下底面的棱长为，， 则，，， 故在直角梯形中，过点C作，垂足为E，所以， 在中，，为棱台的高，也是球的直径， 所以半径为，所以球的体积为， 棱台体积为， 故球与棱台的体积比为. 故选：C. 5．（2026·湖北荆门·模拟预测）“圆柱容球”是阿基米德最欣赏的几何体．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，球与圆柱的体积之比为，表面积之比为，则（    ）    A．， B． C．， D． 【答案】B 【分析】设球的半径为 ，分别求出球的体积与圆柱体积，以及球的表面积与圆柱的表面积，即可得解． 【详解】设球的半径为，则球的体积为，圆柱的体积为， 球的表面积为，圆柱的表面积为， 所以，，所以． 故选：B. 棱切球 同内切球问题，找到切点、球心的截面。根据勾股定理求半径 1．（24-25高一下·甘肃天水·期末）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的表面积是_____. 【答案】 【分析】将正四面体放置在正方体中，由此可得正方体的内切球即满足条件的球，根据正方体的性质求球的半径，结合球的表面积公式求结论.. 【详解】设题中正四面体为，将它放置于正方体内，使、位于上、下底面的异面的面对角线处， 如图所示．由正方体的性质可得，该正方体的内切球恰好与正四面体的六条棱都相切， 设该正方体的棱长为， 正四面体的棱长为， ，解得， 可得正方体的内接球直径，得， 故球的表面积为． 故答案为：.    2．（2025高三·全国·专题练习）如图，球与正三棱柱的棱相切，则球与正三棱柱的体积比为多少？ 【答案】 【分析】设正三棱柱底边长为，高为，球的半径为，，带入体积公式即可得到结果 【详解】设正三棱柱底边长为，高为，球的半径为， 由正棱锥及球的性质可知. 所以. 3．（2025高三·全国·专题练习）球、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球的表面上，求三个球的表面积之比． 【答案】 【分析】设正方体的棱长为，分别求出三个球的表面积做比值可得答案. 【详解】设正方体的棱长为， 因为球与正方体的各面,则球的半径为，其表面积为， 因为球与正方体的各条棱相切，则球的半径为， 其表面积为， 因为正方体的各顶点都在球的表面上，则球的半径为， 其表面积为， 所以三个球的表面积之比. 4．（24-25高二下·浙江杭州·月考）已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若存在球O与该三棱柱的各条棱都相切，求该直三棱柱的外接球的体积为__________. 【答案】 【分析】设棱柱的下底面和上底面的中心分别为，可得的中点即球的球心，取中点，则为棱与球的切点，为球的半径，而点到棱的距离等于，利用勾股定理即可求得棱切球的半径，利用对称性，可得点也是该棱柱的外接球的球心，借助于即可求出外接球的半径，进而求得体积. 【详解】由题意,三棱柱是正三棱柱，设点分别为棱柱的下底面和上底面的中心， 由对称性知，的中点即球的球心，取中点(为切点)，则（等于点到棱的距离）， 设球的半径为，由正三角形的性质，与底面垂直， 则必与底面上直线垂直，故,解得. 又由对称性知，该直三棱柱的外接球球心即点，连接,因, 则即该直三棱柱的外接球的半径， 故该球的体积为：. 故答案为：.    5．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知球的表面积为，若球与正四面体的六条棱均相切，则此四面体的体积为（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】将正四面体放到正方体中，正方体的内切球即与正四面体的六条棱均相切，再利用割补法求出体积. 【详解】由球的表面积为，得，球半径， 以正四面体的棱为正方体的面对角线，将该正四面体放到正方体中，则正方体的内切球即与正四面体的六条棱均相切， 正方体的棱长为，所以此四面体的体积为. 故选：B 1．（25-26高二上·广东肇庆·期中）已知四边形为平行四边形，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的外接球表面积为________． 【答案】 【分析】根据题意及余弦定理得，由三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，利用长方体的性质求外接球半径，即可得表面积. 【详解】在中，， 故，即， 则折成的三棱锥中，，，， 即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，如下图， 设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则，解得，      此长方体的外接球是三棱锥的外接球， 设外接球的直径，即， 所以. 故答案为： 2．（2026·四川遂宁·一模）在三棱锥中，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______. 【答案】/ 【分析】取的中点，连接，证得平面，得到，利用直角三角形的性质，得到，即为三棱锥的外接球的球心，设三棱锥的外接球的半径为，得到，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，分别连接， 因为平面，平面，所以， 又因为 是以为斜边的等腰直角三角形，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角中，可得，在直角中，可得， 所以，即为三棱锥的外接球的球心， 在直角中，，可得， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以三棱锥的外接球体积为. 故答案为：.    3．（2025·江西·模拟预测）已知正六棱柱的体积为，，则该正六棱柱外接球的表面积为______. 【答案】 【分析】设正六边形，的中心分别为，，连接，可得正六棱柱外接球的球心为的中点，再结合棱柱的体积公式求出，进而求得外接球的半径，再结合球的表面积公式计算即可. 【详解】设正六边形，的中心分别为，，连接， 则正六棱柱外接球的球心为的中点， 该正六棱柱的外接球的半径为， 因为正六棱柱的体积为，， 所以，解得，又， 所以，从而. 故答案为：. 4．（2026·河北沧州·一模）在三棱锥中，，且，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A．20 B．24 C．28 D．32 【答案】C 【分析】利用空间向量法确定外接球的球心与半径，进而求出表面积. 【详解】过点作，由，得， 又，，平面， 所以平面，过点作平面， 分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，则， ， 由得， 解得，则， 取的中点，则， 由题意知三棱锥外接球的球心位于过点且与平行的直线上， 设，则， 由，得，解得， 设三棱锥外接球的半径为，则， 所以该球的表面积为， 故选：C 5．（2024·河北·模拟预测）在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，作出球心，利用外接球半径，外接圆半径，可求得即可得到二面角的大小. 【详解】设外接圆圆心分别为，外接圆半径为，三棱锥外接球半径为， 过分别作平面，平面的垂线，交点即为三棱锥的外接球心， ，，即， 所以在中点处，， ，， ，且在垂直平分线上， 所以， 三棱锥的外接球表面积为， ，， 又平面，平面，所以， 则，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以共面， 所以就是二面角的平面角， 或. 故选：A. 6．（25-26高三上·辽宁锦州·月考）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】确定PC的中点O是鳖臑外接球的球心，结合外接球表面积得外接球半径，进而求得，再证明，进而结合勾股定理及基本不等式求得，再根据棱锥的体积公式即可求解. 【详解】在鳖臑中，四个面都为直角三角形，可知PC的中点O到四个顶点的距离都相等， 所以点O是鳖臑外接球的球心，三棱锥的外接球的表面积为， 则外接球半径，所以，又，所以， 而，则， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以三棱锥的体积为， 则三棱锥的体积的最大值为. 故选：D 7．（25-26高二上·广东东莞·月考）在四棱锥中，底面为菱形，，侧棱平面，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，设球心，根据建立方程求出，进而求解即可. 【详解】如图，记，过点O作， 在菱形中，， 又，所以均为等边三角形， 以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 而球心在平面内的射影为的外心，也为重心，而， 设球心， 则，即，解得，则， 又， 所以外接球的半径，则外接球的表面积为. 故选：D． 8．（2025高三·全国·专题练习）在边长为4的等边三角形中，是的中点，将沿中线折起，得到三棱锥，若二面角的大小为120°，则三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定二面角的平面角，再求三棱锥外接球的半径，最后利用球的体积公式计算的结果． 【详解】如图，设的中点分别为，连接， 则，，因为等边三角形中，是的中点，将沿中线折起， 所以，进而，所以为二面角的平面角，故． 因为，都是直角三角形，记三棱锥外接球的球心为，连接， 因为为的中点，则， 又，，所以平面，所以， 又，，所以平面，所以， 同理得， 由，可知，且，所以平分， 因为，，所以，在中，，， 所以，即三棱锥外接球半径为． 所以所求体积为． 故选：C. 9．（24-25高一下·福建漳州·期末）已知三棱锥，满足，，则三棱锥的外接球的表面积等于______． 【答案】 【分析】设三棱锥外接球的半径为，先判断出为直角三角形，再判断出点在平面上的射影是的中点，在中，求出，在中，再根据勾股定理列出方程，求出，即可求出外接球的表面积. 【详解】 因为，且， 所以为直角三角形. 又因为，所以点在平面上的射影 是外接圆的圆心，即的中点. 设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则有平面. 所以在中， 在中，， 所以由勾股定理可知，即，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 10．（25-26高二上·湖南常德·期末）一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，可得当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小，设球的半径为，再根据勾股定理求出球的半径可得答案. 【详解】由题意知，当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小， 圆锥的底面半径为，体积为， 高， 设球的半径为，由图可得，解得， 故球的表面积的最小值为 故答案为： 11．（24-25高二上·河南周口·开学考试）设正四棱锥的底面中心为O，以O为球心的球面与正四棱锥的所有棱均相切，若正四棱锥的体积为，则球O的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，的中心为，连接，，，计算即可得出为等腰直角三角形，所以再应用正四棱锥的体积即得,最后应用球O的体积公式计算. 【详解】如图， 取的中点， 的中心为，连接，, 设球的半径为，则， 球与正四棱锥的各棱均相切，则底面正方形棱长为， 过作，则，， ，为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 所以 正四棱锥的体积为， 所以， 球的半径为，则球O的体积为 故选:B 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03立体几何中的 外接球、内切球、棱切球模型 考点一：正方体长方体的外接球 1、正方体与长方体的外接球 （1）若正方体边长为，则它的外接球半径为 （2）若长方体的三边长分别为，则它的外接球半径为 2、补全为正方体与长方体的外接球 (1)若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可考虑补全为长方体或正方体，称之为墙角模型（如上图1、2、3）。这时三棱锥的外接球同补全的长方体或正方体的外接球，求球的半径公式如上。 (2)图2为九章算术中的鳖臑，即四个面都为直角三角形的四面体。 (3)若三棱锥的三对对棱两两相等，也可以补全为长方体或正方体（如图4），外接球的半径也同长方体或正方体的外接球半径。 考点二：圆锥的外接球 1、圆锥的外接球 若圆锥的高为，底部半径为，母线长为，则圆锥的外接球半径 2、可补全为圆锥的外接球 （1）若在平面上的射影是的外接圆圆心（即），则可以把三棱锥补为圆锥，根据圆锥的外接球模型来求外接球半径。 （2）正棱锥都可以补成圆锥，可以按圆锥的外接球模型来求。 考点三： 直棱柱、圆柱的外接球 1、柱体的外接球 （1）圆柱的高为，底面半径为，则圆柱的外接球半径 （2）若是直棱柱，则可以先找直棱柱上下底的外接圆，求外接圆半径，然后补成圆柱，按圆柱的外接球半径公式来算即可。 2、可补全成柱体的外接球 （1）一条侧棱垂直于底面 ⇒ 以底面的外接圆为底，侧棱为高作圆柱，然后找该圆柱的外接球。如上图中图1，图2 （2）若图形为非规则图形，但上下底平行，上下底的外接圆半径相等且两个圆心的连线垂直于上下底，这时也可以构造一个圆柱（如图3），这时圆柱的外接球即为所求的外接球。 考点四：圆台、棱台的外接球 1、台体的外接球 (1)圆台的上底半径 ,下底半径，高为，（如图1，图2），两次使用勾股定理，可求得它的外接球的半径 (2)棱台的外接球（如图3），先找上下底面的外接圆半径，然后按照圆台的外接球半径公式。 考点五：二面角模型的外接球 1、两面垂直的三棱锥的外接球 在三棱锥中，如有，求三棱锥的外接球的半径。设和 的外接圆为。首先，若两平面垂直是因为有一条侧棱垂直于底面，则可以参考前面的补全为棱柱，求棱柱的外接球半径，若没有侧棱垂直于另一面，我们来分情况来讨论一下（下列情况均在的前提条件下讨论的）。 (1)若平面在外接球的轴截面上，不在外接球的轴截面，如图1，此时平面的外接圆圆心即是外接球的球心。在题目条件上的体现为 。（此时我们不讨论P点在与的连线上，因为这就是前面补全为圆锥模型的情况，也不讨论PA，PB垂直于的情况。） (2)若平面在外接球的轴截面上，也在外接球的轴截面，如图2，的中点即是外接球的球心。在题目条件上的体现为 (3)若平面，都不在外接球的轴截面，如图3。找出两个外接圆圆心，它们与球心，的中点构成一个矩形，可求出长，再根据勾股定理，即可求出球的半径 2、二面角模型 二面角模型同上题型两面垂直的模型思想是一致的。在三棱锥中，如有，求三棱锥的外接球的半径。设和 的外接圆为。 不同于两面垂直的三棱锥，这里的四边形不是一个矩形，这时候球OD的长度没有那么容易计算，但是目标依然是计算出，然后再算出即为球的半径。 注意：若三棱锥中，则无论二面角为多少，三个心重合，这时则外接球的球心在斜边的中点上，这个斜边即为外接球的直径。 考点六：正四面体的外接球与内切球 在棱长为的正四面体中，下面几个数据是常考的内容 1、正四面体的高为 2、正四面体外接球半径为 3、正四面体内切球半径为 4、正四面体体积 考点七：内切球 1、锥体的内切球 无论是什么的内切球问题，都是先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 2、台体的内切球 先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 长方体、正方体的外接球 正方体、长方体的外接球的球心在其中心处，球的半径为体对角线的一半 1、若正方体边长为，则它的外接球半径为 2、若长方体的三边长分别为，则它的外接球半径为 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B． C． D．1 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）长方体的体对角线长为，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北·模拟预测）已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 补全为方体模型 1、墙角模型：有三条棱互相垂直的三棱锥，可以补全为方体，称之为墙角模型 2、三对对棱两两相等，也可以补全为方体。 1．（25-26高三上·广东深圳·月考）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知鳖臑中，平面，，，，，分别为线段，，的中点，则平面截鳖臑外接球所得截面的面积为______. 2．（25-26高三上·广东深圳·期末）在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分别为三边中点，将△BEF，△AEG，△GCF分别沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，记为S，则三棱锥S–EFG的外接球面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 圆锥的外接球 若圆锥的高为，底部半径为，母线长为，则圆锥的外接球半径 1．（25-26高三上·河南商丘·期末）某圆锥的侧面积与底面积之比为2，则该圆锥外接球的表面积与圆锥的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江西宜春·月考）已知体积为的圆锥的轴截面为正三角形，则该圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·甘肃天水·期末）已知某圆锥的母线长是底面半径的4倍，且该圆锥外接球的表面积为，则该圆锥外接球的半径为___________，该圆锥的底面半径为___________. 4．（2025·安徽·一模）已知顶点为的圆锥的外接球为球为底面圆的一条直径，是母线的中点，为底面圆的中心，为线段的中点，若是边长为2的正三角形，则球的表面积为____________，与该圆锥底面所成角的正切值为____________. 侧棱相等模型 当三棱锥棱锥的三条棱相等时，则在平面上的射影是的外接圆圆心，此时可以把三棱锥补成圆锥，按圆锥的求外接球的方法来求球的半径 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（   ） A．0 B． C． D． 2．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·月考）在三棱锥中，为等边三角形，，，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·湖北武汉·月考）在三棱锥中，，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为______. 4．（2025·广东江门·模拟预测）在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________． 5．（2026·广东肇庆·二模）在三棱锥中，，平面与平面夹角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 柱体的外接球 1、 圆柱的高为，底面半径为，则圆柱的外接球半径 2、 若是直棱柱，则可以先找直棱柱上下底的外接圆，求外接圆半径，然后补成圆柱，按圆柱的外接球半径公式来算即可。 1．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知圆柱与圆锥的底面半径相等，高相等，且圆锥的轴截面为正三角形，记圆柱外接球的表面积为，圆锥外接球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆·月考）在正三棱柱中，，则该三棱柱的外接球表面积为____________. 3．（25-26高三上·河南周口·月考）已知某圆柱的轴截面的周长为12，设该圆柱外接球体积的最小值为，该圆柱体积的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知圆柱的上、下底面圆周都在一个球的球面上，若圆柱的表面积是球的表面积的一半，则圆柱的底面半径与球的半径的比值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·云南大理·期末）在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 补成柱体模型 1、侧棱垂直于底面，则可以补全成柱体，然后找柱体的外接球 2、不规则图形但是上下底平行，且上下底的外接圆圆心连线垂直于上下底。 1．（25-26高二上·广东深圳·期末）在三棱锥中，，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知四面体满足均为等腰三角形，若，则该四面体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江·月考）在三棱锥中，是边长为3的正三角形，且，，二面角的大小为，则此三棱锥外接球的表面积为________. 4．（24-25高二下·湖南·期中）棱长为3的正方体中，为棱靠近的三等分点，为棱靠近的三等分点，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·贵州遵义·月考）在三棱锥中，平面ABC，，，，则三棱锥的外接球的体积为______. 圆台、棱台的外接球 1、 圆台的上底半径 ,下底半径，高为，，两次使用勾股定理，可求得它的外接球的半径 2、棱台的外接球，先找上下底面的外接圆半径，然后按照圆台的外接球半径公式。 1．（25-26高三上·江苏徐州·期中）一个正三棱台的上､下底面边长分别为1和2，则它的外接球体积的最小值为__________. 2．（2026·陕西·模拟预测）已知圆台的母线长为3，上下底面半径比为1:2，当圆台体积最大时，此圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北·一模）已知正四棱柱的体积为128，，，相交于点，分别为上的点，，则四棱台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·四川雅安·一模）在正四棱台中，，，，则该正四棱台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 两面垂直的三棱锥模型 1、找两个垂面的外接圆的圆心。 2、构造出两个外接圆圆心与球心所在的平面，然后利用勾股定理求求的半径 1．（2026·河南南阳·模拟预测）在三棱锥中，，其余棱长均为2，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·湖北武汉·月考）在三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______． 3．（25-26高二上·四川南充·月考）如图1，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，将沿翻折，使得点到点的位置，如图2所示．若平面平面，三棱锥的外接球的表面积为______． 4．（24-25高一下·河南洛阳·期末）在三棱锥中，平面平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为________. 二面角模型 二面角模型同上题型两面垂直的模型思想是一致的，但是计算上更难一些。 1．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球表面积最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（江苏泰州市2025-2026学年高三下学期期初数学试卷）在三棱锥中，若，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南南阳·月考）在三棱锥中，二面角为，为边长为2的等边三角形，为等腰直角三角形（），则该三棱锥外接球的表面积为______. 4．（25-26高三上·山东德州·期中）在四边形中，，对角线，将沿翻折成，使二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为___________． 5．（25-26高三上·重庆·期中）在三棱锥中，，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 两直角三角形共斜边模型 若三棱锥中，则无论二面角为多少，三个心重合，这时则外接球的球心在斜边的中点上，这个斜边即为外接球的直径。 1．（2025高一·全国·专题练习）将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为，连接，得到四面体，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为______. 2．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在矩形中，，，沿对角线将折起，折至，则四面体的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·云南昭通·期末）在矩形ABCD中，，，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角，则四面体ABCD的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东·期末）如图所示，四边形为正方形，将绕翻折得到三棱锥，且，若三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（   ）    A． B． C． D． 5．（24-25高一下·广西河池·月考）在矩形中，，，以对角线为折痕将进行翻折，折后为，连接得到三棱锥，在翻折过程中，三棱锥外接球的表面积为________． 棱锥、圆锥的内切球 无论是什么的内切球问题，都是先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 1．（25-26高三上·新疆·月考）已知圆锥的底面半径为12，高为9，则该圆锥的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖南·月考）若一个圆锥的底面半径和母线长分别为3和5，则圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南商丘·期中）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，正四面体的棱长为，球是内切球，球是与正四面体的三个面和球都相切的一个小球，求球的体积． 5．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，球的半径大于球的半径，则球与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 棱台、圆台、柱的内切球 先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 1．（2026·辽宁沈阳·一模）已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为__________. 2．（2025高三上·安徽六安·专题练习）已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为 ______. 3．（25-26高三上·河北·期中）已知圆台的轴截面等腰梯形的下底边长是上底边长的2倍，若该圆台的内切球表面积为，则此圆台的体积为__________. 4．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知球O内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之比为，则球O与该正四棱台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北荆门·模拟预测）“圆柱容球”是阿基米德最欣赏的几何体．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，球与圆柱的体积之比为，表面积之比为，则（    ）    A．， B． C．， D． 棱切球 同内切球问题，找到切点、球心的截面。根据勾股定理求半径 1．（24-25高一下·甘肃天水·期末）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的表面积是_____. 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，球与正三棱柱的棱相切，则球与正三棱柱的体积比为多少？ 3．（2025高三·全国·专题练习）球、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球的表面上，求三个球的表面积之比． 4．（24-25高二下·浙江杭州·月考）已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若存在球O与该三棱柱的各条棱都相切，求该直三棱柱的外接球的体积为__________. 5．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知球的表面积为，若球与正四面体的六条棱均相切，则此四面体的体积为（    ） A． B． C． D．8 1．（25-26高二上·广东肇庆·期中）已知四边形为平行四边形，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的外接球表面积为________． 2．（2026·四川遂宁·一模）在三棱锥中，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______. 3．（2025·江西·模拟预测）已知正六棱柱的体积为，，则该正六棱柱外接球的表面积为______. 4．（2026·河北沧州·一模）在三棱锥中，，且，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A．20 B．24 C．28 D．32 5．（2024·河北·模拟预测）在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 6．（25-26高三上·辽宁锦州·月考）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 7．（25-26高二上·广东东莞·月考）在四棱锥中，底面为菱形，，侧棱平面，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2025高三·全国·专题练习）在边长为4的等边三角形中，是的中点，将沿中线折起，得到三棱锥，若二面角的大小为120°，则三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·福建漳州·期末）已知三棱锥，满足，，则三棱锥的外接球的表面积等于______． 10．（25-26高二上·湖南常德·期末）一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为______． 11．（24-25高二上·河南周口·开学考试）设正四棱锥的底面中心为O，以O为球心的球面与正四棱锥的所有棱均相切，若正四棱锥的体积为，则球O的体积为（   ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $