考点02 线面、面面平行与垂直全归纳（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

考点02 线面、面面平行与垂直全归纳 考点一：证明线线平行 平面几何常用方法： 1、利用平行公理及推论：平行于同一直线的两直线平行（平行线的传递性）。 2、利用角的关系：同位角相等，则两直线平行；内错角相等，则两直线平行；同旁内角互补，则两直线平行。 3、利用中位线性质：三角形的中位线平行于第三边；梯形的中位线平行于上下底。 4、利用平行四边形的性质：平行四边形的对边互相平行。 5、利用比例线段：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 立体几何中常用方法： 1、利用线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 2、利用面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 3、利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 4、利用空间向量：证明两条直线的方向向量共线（即存在非零实数λ使得一个方向向量等于另一个方向向量的λ倍）。也可转化为计算向量夹角或证明向量共面且无交点。 考点二：线面平行的性质与判定 一、 判定定理（如何证明线面平行） 核心判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。（符号语言：若 ） 其他判定方法： 1、利用面面平行的性质：如果两个平面互相平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。 2、利用向量法（空间解析几何）：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（即点积为零）。 3、利用定义（反证法思路）：证明直线与平面没有公共点，通常通过反证法推出矛盾。 4、利用空间几何性质： 若一条直线平行于两个相交平面，则它平行于这两个平面的交线（此时该直线平行于交线所在的平面，若直线不在该平面内）。 若一条直线垂直于平面的垂线，且不在该平面内，则该直线平行于该平面。 二、 性质定理（已知线面平行能推出什么） 核心性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任意平面与该平面的交线与该直线平行。（符号语言：） 其他性质： 1、线面平行得到线线平行：一条直线与一个平面平行，则该直线与平面内无数条直线平行（但并非与平面内所有直线都平行，只与过其平行投影的直线平行）。 2、传递性相关：若一条直线平行于一个平面，则该直线平行于与该平面平行的所有平面（或说该直线与这些平面无公共点，但未必在同一个平面内平行于它们内的所有直线）。 3、与距离的关系：若一条直线与一个平面平行，则直线上任意一点到平面的距离相等，这个距离称为直线到平面的距离。 4、面面平行的基础：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行（这是面面平行的判定定理之一，源自线面平行的性质）。 考点三： 面面平行的性质与判定 一、 判定定理（如何证明两个平面平行） 核心判定定理： ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 （若 a⊂α,b⊂α,a∩b=P，且 a∥β,b∥β，则 α∥β） ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行。 （条件略严格，需注意对应关系） 1、平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。（若 α∥γ,β∥γ，则 α∥β） 2、垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 3、向量法（空间解析几何）：证明两个平面的法向量平行 二、 性质定理（已知两个平面平行能推出什么） 核心性质定理： ①面面平行 ⇒ 线线平行：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线互相平行。（） ②面面平行 ⇒ 线面平行：两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。（） 1、平行平面间的距离处处相等：两个平行平面间任意一点到另一个平面的距离都相等，这个距离称为两平行平面间的距离。 2、平行平面截线段成比例：如果两条直线被三个平行平面所截，那么截得的对应线段成比例。 3、与角的关系：两个平行平面与同一个平面相交，所成的二面角相等。 考点四： 证明线线垂直的方法 平面几何常用方法： ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质； ⑦平行线垂直直线的传递性（）． 立体几何常用方法： ①利用线面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 ②利用三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。 三垂线逆定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线垂直，那么它也与这条斜线在平面内的射影垂直。 ③利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 ④利用异面直线垂直的定义：两条异面直线所成的角是90°，则这两条异面直线垂直。 ⑤利用空间向量：若两条直线的方向向量的数量积为零，则这两条直线垂直（适用于相交、平行、异面直线）。 考点五： 线面垂直的性质与判定 一、 判定定理（如何证明线面垂直） 核心判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 其他判定方法： 利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 利用平行线的传递性：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。 利用平面的法向量（向量法）：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；证明直线与平面内两个不共线的向量都垂直。 二、 性质定理（已知线面垂直能推出什么） 核心性质定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 其他性质： 线面垂直 ⇒ 线线垂直：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 与距离的关系 点到平面的距离：过点作平面的垂线，垂线段的长即点到平面的距离。 直线到平面的距离（当直线平行于平面时）：直线上任意一点到平面的距离。 平行平面间的距离：可转化为一个平面内一点到另一个平面的距离。 三垂线定理的基础：线面垂直是应用三垂线定理的前提条件（斜线在平面内的射影由垂足决定）。 确定唯一性：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。 考点六： 面面垂直的性质与判定 一、 判定定理（如何证明两个平面垂直） 核心判定定理： 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 其他判定方法： 利用二面角定义：如果两个平面相交所成的二面角是直二面角（平面角为90°），则这两个平面垂直。 利用线面垂直性质：如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。（实际上这是核心定理的推论，但需注意“任意一条”的条件较强） 利用平行关系：如果两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，那么另一个也与第三个平面垂直。 向量法（空间解析几何）：证明两个平面的法向量互相垂直（即它们法向量的点积为零）。 利用几何特征：在某些特殊几何体（如正方体、长方体）中，利用其面与面之间的垂直关系。 二、 性质定理（已知两个平面垂直能推出什么） 核心性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 其他性质： 面面垂直 ⇒ 线面垂直：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（同核心性质定理）。 传递性相关： 如果两个平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面（同上）。 与线线垂直的关系：如果两个平面垂直，那么在一个平面内任意一点向另一个平面作垂线，该垂线在第一个平面内。 与距离的关系：如果两个平面垂直，那么在一个平面内到交线的距离等于到另一个平面的距离的线段，其端点连线垂直于另一个平面。 唯一性： 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直。 过一条直线有无数个平面与已知平面垂直（只要平面包含该直线且垂直于已知平面）。 线面关系辨析 根据线线、线面的垂直、平行的性质与判定来确定。 了解线线平行、线面平行、面面平行三者之间的关系；了解线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的关系。 了解平行与垂直的传递性 1．（2026·陕西西安·一模）设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（     ） A．若，∥，∥，则 B．若⊂，⊂，∥，则∥ C．若，∥，∥，则∥ D．若，，∥，则 【答案】C 【分析】利用反例可判断A,B,D选项，根据线面平行的性质和判定定理可判断C选项. 【详解】如图，正方体中，记底面为平面，侧面为平面，为，为， 显然满足，∥，∥，但是此时，A不正确； 如图，满足⊂，⊂，∥，但是此时，B不正确； 因为，所以存在平面，使得，根据线面平行的性质定理可得， 所以，又因为，根据线面平行的判定定理可得， 而，所以，又因为，所以，C正确； 因为，，所以，因为，所以，D不正确. 故选：C. 2．（25-26高二上·云南文山·期末）设l，m为两条不同直线，为三个不同平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断即可求解. 【详解】对于A，与可能相交（如墙角的三个平面），故A错误； 对于B，应推出，故B错误； 对于C，若，则或，故C错误； 对于D，若，则或， 又因为，则，故D正确.    故选：D 3．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知平面，直线，下列命题为真的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】举反例判断A，C，D，利用面面平行与面面垂直的性质判断B即可. 【详解】对于A，若，则或与相交或，故A错误， 对于B，若，由面面平行与面面垂直的性质得，故B正确， 对于C，若，则或相交或异面，故C错误， 对于D，若，则或相交，故D错误. 故选：B 4．（25-26高二上·上海黄浦·期末）已知直线，平面平面，那么“”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】根据直线与平面的位置关系和充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】由题意，若平面平面， 当时或， 当时与的关系可能是在平面内、平行或者相交， 所以“”是“”的既非充分又非必要条件， 故选：D 5．（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据线面平行与垂直的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得或与相交，所以A不正确； 对于B，由，可得或，所以B不正确； 对于C，由，可得，因为，所以，所以C正确； 对于D，在如图所示的正方体中，设平面为平面，平面为平面， 则，再设为直线，为直线，则平面，此时，所以D不正确. 故选：C 构造中位线证线面平行 根据线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。可以通过构造中位线来在平面上找这条与已知直线平行的直线。这类题中，通常会有中点的出现。 遇到中点，看能不能构造中位线，证明线线平行 1．（25-26高二上·上海宝山·月考）如图，四边形是圆柱的轴截面，是下底面圆周上一点，点是线段中点 (1)证明：直线平面 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）连接，令，连接DE，要证直线平面，只要证，根据三角形的中位线容易证得； 【详解】（1）连接，令，连接DE，则E是、的中点， 在△中D是线段BC中点，E是的中点， ∴，又平面，平面， ∴直线平面； 2．（25-26高二上·北京怀柔·期中）如图所示，在棱长为的正方体中，分别是的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析；（ 【分析】连接，通过证明出，再根据线面平行的判定定理即可证出； 【详解】连接，易知既是的中点，也是的中点. 在三角形中，分别是的中点， . 又平面平面， 平面. 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面底面，为正三角形，分别是棱的中点，点在侧棱上，且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】根据三角形中位线性质可证得，根据平行线分线段成比例可得，由线面平行的判定定理可证得结论. 【详解】连接交于点，设，连接， 四边形为菱形，为中点， 分别为中点，，且为中点，， 又，， 平面，平面，平面. 4．（24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，E为的中点，侧棱长为6. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）连接，交于点，连接.根据三角形中位线定理证明，再利用线面平行的判定定理即可证明； 【详解】（1）（1）连接，交于点，连接，如图所示. 在正四棱台中，底面为正方形，所以为中点. 又为的中点，. 又平面，平面，平面. 构造平行四边形证明线面平行 根据线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。可以通过构造平行四边形与平面上交线，则这条交线与已知直线平行。这类题中，通常会从平行线着手。 从题目中的平行线出发，看能不能构造平行四边形。 1．（2026高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，是棱上一点（不包含端点），是的中点.若是的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，证明四边形是平行四边形得到，利用线面平行的判定定理即可证明. 【详解】 取的中点，连接， 因为是的中点，所以且， 直三棱柱中且， 又是的中点，所以且， 故且， 所以四边形是平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面. 2．（2026高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，证得，，得到四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. 【详解】取的中点，连接， 在中，且，因为，且， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. 3．（25-26高二上·上海·月考）如图，已知，都垂直于平面，且是的中点，求： (1)绕着直角边旋转一周，求旋转后几何体的表面积 (2)求证：平面 【答案】(1) (2)见详解. 【分析】（1）先根据直角三角形绕直角边旋转的性质，确定形成的几何体是圆锥，再确定圆锥的底面半径（直角边长度）、母线长（直角三角形的斜边长度），最后利用圆锥侧面积（）和底面积（）的公式，求和得到总表面积； （2）先构造辅助线：取线段中点（如的中点），连接相关线段（,），再通过中位线定理（或已知条件），证明待证直线（）与平面内的某条直线（）平行，最后结合“直线在平面外，直线与平面内直线平行”的条件，推导线面平行即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 所以是直角三角形（），绕旋转一周形成的是圆锥， 则圆锥的底面半径 ， 圆锥的母线长 ， 又因为圆锥的表面积=： ， ， 因此，旋转后几何体的表面积为：. （2）取 的中点 ，连接 ，， 因为 是 的中点，所以是的中位线， 故且， 已知平面，平面，所以，且， 因此，且，四边形是平行四边形，故， 又因为平面 ，平面， 根据线面平行的判定定理，可得平面. 4．（24-25高二·全国·假期作业）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点．求证：平面    【答案】证明见解析 【分析】取中点，连接，由题可得四边形为平行四边形，据此可完成证明. 【详解】在三棱柱中，取中点，连接， 由分别为和的中点，得且， 由O为BC中点，得且，则且， 即四边形为平行四边形，于是， 又平面，平面，所以平面.    构造平面交线证明线面平行 根据直线与平面平行的性质有，过直线的平面与平行平面的交线，直线与交线是平行的，从而找到与直线平行的直线。 过直线构造一个平面，找到两平面的交线，证明直线与交线平行。 1．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，是边长为4的等边三角形，且点分别为线段与的中点.将沿折叠后使点与点重合，得到四棱锥.设点为线段上一点，且. 证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】(1)连接交于点，连接.然后利用三角形相似的性质，得到，进而利用线面平行的判定定理证明； 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接. 由题可知，且. 则易有与相似，且相似比为，也即. 又，则，故. 且平面，平面，故平面. 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面是的中点，是的中点.点在线段上，且.求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】取线段的中点，线段靠近点的四等分点，再证明四边形为平行四边形，得出，进而应用线面平行判定定理证明即可； 【详解】取线段的中点，线段靠近点的四等分点， 连接，如图， 是的中点，，且，即， 又，且， ，且四边形为平行四边形， ， 平面平面， 平面. 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，棱长为2，是棱的中点，是的中点，，证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，在上取，证明四边形是平行四边形，由线面平行判断定理证明即可. 方法二：延长与交于点，证明 【详解】如图所示，取的中点，在上取，连接, 因为是的中点，是的中点，所以，且， 因为，，所以，且， 即得，，故四边形是平行四边形，则， 因为平面平面，所以平面. 4．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）如图，四面体中，点G是的重心，点E在上，.    求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】（1）连接并延长交于点F，连接，由比例关系得，即可证明； 【详解】（1）连接并延长交于点F，连接，    因为，所以， 平面，平面， 所以平面. 构造面面平行证明线面平行 要证线面平行时，我们的目标可以从两方面出发，若能从平面里找到与已知直线平行的直线，则可以通过线线平行证明线面平行，若这条直线不太好找，则可以通过已知直线构造一个与已知平面平行的平面。方法为从已知直线出发，构造两条与已知平面平行的直线，从而构造一个平行平面。 从面面平行从而得到线面平行，所以构造两条与已知平面平行的直线。 1．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，分别为棱，的中点，且，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取中点G，连接，通过平面，平面，得到平面平面，即可求证. 【详解】证明：如下图，取中点G，连接， 因为E，F分别为棱BC，PA的中点，G为AD中点，所以， 由在平面内，不在平面内，故平面， 由在平面内，不在平面内，故平面， 又且都在平面内，所以平面平面， 因为平面，所以平面. 2．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，.设分别为的中点，为的重心，证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】连接，延长交于，连接.只需证明平面及平面，进而证得平面，根据面面平行的性质，证得结果； 【详解】因为分别为的中点，则. 又在平面外，则平面. 连接，延长交于，连接.因为为的重心，则 为的中点，从而. 又在平面外，则平面. 因为是平面内的两条相交直线，则平面平面. 因为平面，所以平面. 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，等腰梯形中，，，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】若分别是上的点，且，得到，通过平面，平面，进而可求证. 【详解】若分别是上的点，且， 连接，又， 所以，即四点共面， 由平面，平面，则平面， 同理可证平面，又，且都在平面内， 所以平面平面，平面， 故平面. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，E，F，G，H分别是PB，PC，AE，BF的中点．证明：直线平面．    【答案】证明见解析 【分析】取BE的中点M，连接GM，HM，EF，可证明平面平面，从而可证直线平面. 【详解】如图，取BE的中点M，连接GM，HM，EF，      因为为的中点， 所以是的中位线，所以， 同理，是的中位线，是的中位线， 所以，，所以， 由，平面,平面，得平面， 同理，平面， 又，平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 5．（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，，点分别在边上，且，，将绕着旋转至，连接，，分别为线段，的中点，分别为线段的中点，求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】方法1：构造面面平行，利用面面平行的性质，证明线面平行； 方法2：构造线线平行，利用线面平行的判定定理证明； 方法3：构造线线平行，利用线面平行的判定定理证明. 【详解】证法1：如图: 记的中点为，连接． 因为分别为，的中点， 所以∥． 又因为分别为的中点， 所以∥，所以∥． 又因为平面，平面，所以∥平面， 同理可得∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 又因为平面，所以∥平面． 证法2：如图，连接并延长，交于点，连接， 因为分别为，的中点，所以∥. 所以为中点. 所以，所以为的中点. 又为中点，所以∥. 又平面，平面，所以∥平面. 证法3：如图： 记的中点为，分别记的中点为，连接， 因为为中点，所以∥，且. 因为为中点，所以∥，且. 因为为中点，所以∥且. 同理可得：∥且. 所以∥，，所以四边形为平行四边形， 所以∥，平面，平面, 所以∥平面. 证明面面平行 1、核心判定定理： ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 （若 a⊂α,b⊂α,a∩b=P，且 a∥β,b∥β，则 α∥β） ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行。（条件略严格，需注意对应关系） 2、平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。（若 α∥γ,β∥γ，则 α∥β） 3、垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 4、向量法（空间解析几何）：证明两个平面的法向量平行 判定时“相交直线”的条件必不可少。如果只是一个平面内的两条平行线都平行于另一个平面，不能推出面面平行（它们可能都平行于交线）。 性质定理中，“第三个平面” 与两个平行平面相交得到的交线平行，是证明空间中线线平行的常用工具。 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，，点E，F分别为，的中点.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】要证明两平面平行，所以需要证明一平面内两条相交直线与另一平面平行，即证明平面和平面. 【详解】在中，点分别为的中点， 所以，因为平面，而不在平面内， 所以平面. 因为，所以. 因为为等边三角形，所以， 所以. 又易知，所以. 又因为平面，而不在平面内， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析； 【分析】根据面面平行的判定定理，即可证明. 【详解】因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形， 所以，， 又平面，平面， 则平面， 同理平面，平面， 可得平面， 又，平面， 所以平面平面． 3．（24-25高一下·陕西汉中·期末）由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行即可，即证明. （2）要证明面面平行，需通过证明一平面内的两条相交直线与另一平面平行即可. 【详解】（1）取的中点，连接. 则. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内， 所以平面. （2）因为，平面，不在平面内， 所以平面. 由（1）知，平面. 因为平面， 所以平面平面. 4．（25-26高二上·四川达州·期中）如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G，H分别是BC，BE的中点. (1)证明：D，G，H，F四点共面. (2)证明：直线DG，AB，FH经过同一点. (3)证明：平面平面DAF. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用平行四边形证明，即可证明四点共面； （2）由梯形可知，再根据两平面的交线，证明过点即可； （3）根据平面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）连接CE，因为GH是的中位线，所以. 因为ABCD，ABEF是两个全等的矩形， 所以， 所以，则四边形CDEF为平行四边形，从而. 又因为，所以，故D，G，H，F四点共面. （2）由（1）的证明过程知DGHF为梯形，设， 因为平面平面ABEF，所以平面平面ABEF. 又因为，所以，即直线DG，AB，FH经过同一点. （3）因为ABCD是矩形，所以. 又不在平面DAF内，所以平面DAF. 同理可证平面DAF. 因为平面GBH， 所以平面平面DAF. 证明四点共面 1、四点组成两对相交直线，则它们共面（交于同一点或互相相交）。 2、若四点中能连出两条平行线，且四点都在由这两条平行线确定的平面内，则四点共面。 1．（2025高三·上海·专题练习）已知在正方体中，分别为、的中点，，．求证：四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】先证明平行，再根据两平行线可确定一平面证明共面. 【详解】证明：因为是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以在一个平面内，即四点共面． 2．（25-26高二上·上海·月考）在正方体中，、分别为与的中点 (1)作出平面与平面的交线，并写出作图步骤； (2)求证：四点共面 【答案】(1)作图及步骤见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）连接交于，结合平面的基本性质确定交线即可； （2）连接，首先证得，再由中位线性质有，最后由平行线的传递性即可证. 【详解】（1）连接交于，则为所求交线； （2）连接， 因为，知为平行四边形，则， 因为分别为与的中点，由中位线知，所以， 所以四点共面. 3．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，. 证明：四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】利用向量的方式，在平行六面体中，用基底的方式分解，根据长度关系，，最终证明，即可证明四点共面； 【详解】在中，， 在平行六面体中：且 又因为，，所以， 则有，即四点共面. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. 求证：，，，四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】通过证明即可证明，，，四点共面. 【详解】连接， 在长方体中， ∵∴四边形是平行四边形， ∴， 又因为，分别为棱，的中点，所以， 所以， 所以，，，四点共面. 5．（2025高三·全国·专题练习）如图，平面平面，四边形与四边形都是直角梯形，且且分别为的中点． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)四点是否共面？为什么？ 【答案】(1)证明见解析 (2)四点共面，理由见解析 【分析】（1）运用中位线性质，结合平行四边形判定即可解； （2）运用中位线性质，结合平行线传递性，证明共面,进而得到四点共面. 【详解】（1）由题意知，由已知，可得． 又． 四边形为平行四边形． （2）四点共面．理由如下： 是的中点，， 则四边形为平行四边形,所以 由（Ⅰ）知，所以，故共面． 又点在直线上 所以四点共面． 由平行关系确定存在性问题 将“存在动点使平行关系成立”转化为： 1、轨迹是直线或平面，找交点或交线 2、平行具有传递性，过定点作已知平行线/面 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，是侧棱上一点，且．    (1)试确定侧棱上一点的位置，使平面． (2)在侧棱上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点在侧棱上满足． (2)存在，． 【分析】（1）直线在平面内运动，将平面转化成平面内的限制条件，就可以限制点的位置． （2）构造平面平面，利用面面平行的判定定理可说明点的位置. 【详解】（1）如图，连结，交于点，连结．显然为的中点．    若平面， 因为平面，平面平面， 所以，所以为的中点． 因为，所以． 又当时，有，从而平面． 所以点在侧棱上满足． （2）如图，取的中点，连结．    由（1）知为的中点， 所以，而平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面． 所以侧棱的中点符合题意，此时． 2．（24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）取中点，连和，证明四边形为平行四边形，结合线面平行的判定，即可证得平面.； （2）取中点，连接，，利用面面平行的判定定理，证得平面平面，结合面面平行的性质，即可证得平面． 【详解】（1）证明：取中点，连和，可得且， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取中点，连接和， 因为和分别为和的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 又由（1）可得∥平面，且，平面， 所以平面平面， 因为是上的动点，且平面，所以平面， 所以，当为中点时，平面． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是的中点. 在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由. 【答案】存在，为中点，证明见解析 【分析】分析，当为中点时，由线面平行判定定理得平面，平面，再结合面面平行判定定理求证即可得结论. 【详解】存在，为中点时，平面平面， 连接，设，连接，易知， 因为为中点，为的中点，所以， 由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面， 同理可证得平面， 由于，平面， 所以平面平面. 4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，满足即可，理由见解析 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理推得，利用三棱柱的性质易得，即可由线线平行证得线面平行； （2）线段上存在点，满足，即可由线线平行推得线面平行再证明面面平行即可. 【详解】（1）因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. （2） 如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下： 因，则，则，因平面， 平面，故平面， 由（1），因平面， 平面，故平面， 又平面，故平面平面. 由平行关系确定动点轨迹 过已知直线上一点作平面的平行平面，该平面与动点所在的平面的交线即为动点轨迹 1．（25-26高二上·北京·期中）如图，长方体中，，，，点，分别是和的中点，是侧面内一动点（含边界），若平面，则动点的轨迹的长度为（    ）    A． B． C． D．9 【答案】C 【分析】取的中点，取的中点，连接，可证平面平面．然后可知点的运动轨迹为，即可求解． 【详解】如图所示：    取的中点，取的中点，连接， 所以，又因为点，分别是和的中点， 所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又点是棱的中点，点是棱的中点，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面． 又是侧面内一动点（含边界），且平面， 所以点的运动轨迹为，又在长方体中，，， 所以. 故选：C 2．（25-26高三上·山西太原·期中）如图，三棱柱中，为中点，为棱上一点，为侧面上一动点，且满足平面，则点的轨迹的长度为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】在上取点，使得，在上取点，则、，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面平面，则点P的轨迹为线段，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，则点P的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点的轨迹长度为. 故选：A 3．（25-26高二上·河北张家口·开学考试）如图，在长方体中，，，点分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用过点作平面的平行平面，从而可得点的轨迹为线段，即可计算长度，得出结果. 【详解】    在长方体中，取，的中点，，连接，，， 由点为的中点，得，，则四边形是平行四边形， 所以， 又，，则四边形是平行四边形， 于是， 取中点E，在上取点F，使得，连接，，， 而，则四边形为平行四边形，， 而平面，平面， 于是平面， 由为的中点，E为中点，得， 而平面，平面，则平面， 又，平面， 因此平面平面， 又由直线平面，点平面， 则点在平面与平面的交线上， 从而点的轨迹就是线段， 而， 所以点的轨迹长度为. 故选：D. 4．（2025·湖北·模拟预测）在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，满足平面，则线段长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点的中点的中点F，连接和，可证面面，故动点在面内的轨迹为，结合几何关系即可求出线段长度的最大值. 【详解】取的中点的中点的中点F，连接和，    由分别为的中点，知，同理可知：,，有， 又由,面且平面，所以平面， 同理可知，平面. 因为,平面平面，所以平面平面， 而平面，故动点在平面内的轨迹为， 由可知，， 所以，即，所以线段的最大值为. 故选：A. 证明线面垂直 1、如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 2、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。 4、在建系中使用，证明直线的方向向量与平面的法向量平行；证明直线与平面内两个不共线的向量都垂直。 1．（25-26高二上·四川内江·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点.    (1)求证：∥平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形是平行四边形即可证明结论； （2）证明，即可证明结论； 【详解】（1）取中点，连接， 为的中点，, ，， 四边形是平行四边形，即, 平面，平面， ∥平面.    （2）平面，平面，， ，则 ，， ，即， 又平面，平面， 平面. 2．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·期中）在三棱锥中，，，，E为中点，为中点，设平面与平面交于直线. (1)证明：； (2)若，，取中点，证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由中位线得到，进而证明平面，再由线面平行的性质定理即可求证； （2）由，通过平方得到，在中，由余弦定理得到，，在中，得到 ，进而得到 ，再由 ，通过平方得到.进而得到.即可求证. 【详解】（1）因为为，中点， 所以，且. 因为平面，平面， 所以平面. 因为平面， 平面平面， 所以 （2）因为，N是中点， 所以. 在中，， 故. 又，，， 可得：. 在中，， 解得，所以. 在中，， 所以， ，所以. 在中，. 因为，且， 所以， 得. 在中，， 所以. 因为，平面， 所以平面. 3．（2026高三·全国·专题练习）如图为正四棱台与正四棱锥拼接而成的几何体. 证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】记与的交点为O，与的交点为，由正四棱台和正四棱锥结构性质结合线面垂直的性质定理求证和，再根据线面垂直的判定定理即可得证. 【详解】证明：记与的交点为O，与的交点为， 则由正四棱台和正四棱锥结构性质可得平面，平面，且， 又，所以三点共线， 又因为平面，则，即， 又由正四棱台结构性质可知，所以， 因为，平面，平面， 故平面. 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面，且，，，，. 证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】延长，交于点，连接，证得，，再证得，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得平面. 【详解】延长，交于点，连接， 因为平面，且平面， 所以且，即，， 因为为等边三角形，所以， 又因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 又因为，且平面， 所以平面，即平面. 证明面面垂直 1、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 2、如果两个平面相交所成的二面角是直二面角（平面角为90°），则这两个平面垂直。 3、如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。（实际上这是核心定理的推论，但需注意“任意一条”的条件较强） 4、如果两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，那么另一个也与第三个平面垂直。 利用几何特征：在某些特殊几何体（如正方体、长方体）中，利用其面与面之间的垂直关系。 1．（25-26高三上·河北·期中）如图，在三棱锥中，的中点分别为，点在上，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）根据已知得，再由线面平行的判定证明结论； （2）根据已知求得相关线段长，利用中位线、平行线的性质证明，通过计算得到，再应用线面垂直、面面垂直的判定证明结论； 【详解】（1）由的中点分别为，则， 而平面，平面，故平面； （2）由，则， 又，显然为的中点，则，， 由的中点分别为，则，所以， 由的中点为，则，且， 所以，，又， 所以，则，故， 由，， 所以，在和中，而， 所以，故， 又且平面，则平面， 由平面，则平面平面； 2．（25-26高二上·黑龙江黑河·开学考试）如图，在菱形中，，是线段的中点，将沿折起到的位置． (1)若，证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）本题可先根据菱形的性质和已知条件得出，，进而证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明平面平面； 【详解】（1）在菱形中，因为，是线段的中点，则，. 根据余弦定理可得，. 由折叠可知， ，又，则，所以是直角三角形，. 已知，，所以. 因为，，，平面，所以平面.又平面，所以平面平面. 3．（25-26高二上·河北石家庄·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面为线段的中点，. (1)证明：无论取何值，均有平面平面； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）利用线面垂直可证明线线垂直，再通过线线垂直证明线面垂直，从而可证明平面，即可证明面面垂直； 【详解】（1）因为为线段的中点，所以， 又因为底面，底面， 所以，又因为平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 即无论取何值，均有平面平面； 4．（25-26高二上·辽宁·月考）如图，三棱柱的各条棱长均为4，且平面，为的中点，，分别在线段和线段上，且，. (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）设线段的中点，连接，，，易证为平行四边形，再证平面，结论得证; 【详解】（1）证明：取线段的中点，线段的中点，连接，，， 由题意可得. 因为为的中点，所以， 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，则. 因为为的中点，所以， 因为平面，所以，则， 因为，所以平面，则平面， 因为平面，所以平面平面. 由垂直关系确定存在性问题 一、垂直的唯一性： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直（当直线不垂直于已知平面时） 二、 线面垂直类问题 动点在面上使线面垂直：在平面上找两条相交直线与已知直线垂直 动点在线上使线面垂直：使直线垂直于平面内两条相交直线 三、 面面垂直类问题 动点在面上使面面垂直：在目标平面上找一条直线垂直于另一平面，该直线需经过动点（常转化为线面垂直问题） 动点在线上使面面垂直：在直线上取点，使该点与另一平面能确定垂线，通常有无数解（需其他条件约束） 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合，可得，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点，可证明平面平面，即此时平面平面，再计算的值即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为是线段的中点，所以， 结合得，所以四点共面． 又因为，所以， 由平面得． 又因为平面，平面，， 所以平面． （2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 从而平面平面，即平面平面． 在中，，设，则，，， 所以． 设， 因为三点共线，所以，解得． 所以，故． 2．（24-25高一下·四川德阳·期末）在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．    (1)求证：平面； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)当为中点时，平面平面，证明见解析. 【分析】（1）连接，证明，，根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）取中点为，连接，，，先根据面面平行的判定定理，证明平面平面，再由平面平面，即可证明平面平面. 【详解】（1）因为，又为的中点， 所以为等边三角形，四边形为菱形，所以， 因为为的中点，所以，所以，即 连接，所以， 若使构成的四棱锥体积最大，则平面， 因为平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面；    （2）当为中点时，平面平面. 取中点为，连接，，，因为为边的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 所以平面平面， 由（1）得平面，又平面，所以平面平面， 所以平面平面.    3．（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，底面，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)在侧面内找一点，使得平面，并求点到的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点．点到的距离均为． 【分析】（1）取的中点，连结，证明四边形是平行四边形，再由线面平行的判定定理可得到结论. （2）连结，过点作交于点,确定点的位置，然后在可求出点到的距离. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为为的中点， 所以，且． 由且得， 由且得， 所以且， 故四边形是平行四边形，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）如图，连结，过点作交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 所以． 因为，所以． 又由且为的中点得，又平面， 所以平面，故． 由且为平面内两条相交直线，故平面． 在矩形中，，，， 所以， 所以，故为的中点， 在中，，为的中点， 所以为的角平分线， 所以点到的距离均为1， 所以点到的距离均为． 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正四棱锥中，为底面正方形的中心，，为线段的中点，问：在棱上是否存在一点，使侧面？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】存在，为上靠近点的四等分点 【分析】取的中点，连结并延长交于点，根据条件得到，取的中点，有，利用线面垂直的判定和面面垂直的判断，可得平面平面，再利用面面垂直的性质，得平面，再取的中点，利用，即可求解. 【详解】取的中点，连结并延长交于点，设，． 因为是正四棱锥，为底面正方形的中心，则平面， 又，得，得到， 又，所以， 又，故为等边三角形， 取的中点，连结，则． 又因为，，，平面， 所以平面，又平面，故平面平面， 而平面，平面平面，，所以平面． 取的中点，因为，且，故四边形为平行四边形， 所以，从而平面，所以存在一点，使侧面，且为上靠近点的四等分点． 5．（25-26高二上·北京·期中）如图，直三棱柱中，点为棱的中点， ．    (1)求证：平面； (2)判断是否存在经过的平面满足，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)不存在，理由见详解. 【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线的性质可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）假设存在经过的平面满足，推导出，与矛盾，进而可得出结论. 【详解】（1）证明：连接交于点，连接，    在三棱柱中，四边形为平行四边形， 因为，则为的中点， 又因为为的中点，故， 因为平面，平面，因此平面. （2）解：假设存在经过的平面满足，因为平面，则， 因为平面，平面，， ，、平面，平面， 平面，， 事实上，，，故为等腰直角三角形，且，矛盾. 因此，不存在经过的平面满足. 判断平行或垂直 根据线线、线面、面面的平行或垂直的判定来判定，综合应用题。 1．（25-26高三上·福建龙岩·月考）在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，则下列结论中错误的是（ ） A．与为异面直线 B． C． D．平面 【答案】C 【分析】根据异面直线的概念判断A的真假，先根据线面垂直证明线线垂直，得，再根据，可判断B的真假；构造异面直线所成的角，根据角的大小判断C的真假；根据线面平行的判定定理判断D的真假. 【详解】如图： 对A：因为平面，平面，且，所以直线与异面，又，直线与直线不相交，所以与为异面直线.故A正确； 对B：因为，，平面，且， 所以平面，又平面，所以. 又，所以.故B正确； 对C：因为，所以为异面直线与所成的角. 在中，，所以，所以与不垂直，故C错误； 对D：因为，平面，平面，所以平面.故D正确. 故选：C 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面，则（    ） A．当时，平面平面 B．当时，平面平面 C．对任意的，直线与平面都不垂直 D．存在，使直线与直线垂直 【答案】A 【分析】通过作辅助线，证明平面，从而证明平面BPC⊥平面PCD，可判断A正确；利用反证的方法说明B;根据线面垂直的判定说明C;利用向量的数量积的计算说明D. 【详解】对于A,延长，交于点，连接，则，   是的中点，， ， 又侧面底面，， 平面，可得，平面, 故平面， 平面，平面平面,故A正确； 设平面APD和平面PCD的交线为l，平面APD, 故 平面APD，则 ，则 , 若平面APD⊥平面PCD，则平面PCD，则平面PCD， 即有,与题意矛盾，故B错误； 对于C，当时，由于侧面底面，交线为AB, 故直线PA与底面ABCD垂直，故C错误； 对于D，，侧面底面，故侧面, 设 的夹角为 ，假设存在，使直线PD与直线AC垂直， 则 ， 即，，与矛盾，故D错误， 故选：A 3．（多选）（2026·河北·模拟预测）如图，在正方体中，点 P，Q 分别为线段， 上异于端点的动点，则下列结论中，可能成立的有（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】ABC 【分析】根据图形，选项A和C，假设图形中点为线段AC中点，点为线段中点，结合正方体图形性质可以判断；选项B，取线段靠近点的四等分点为，点为线段中点，可证明进而证明平面；选项D，根据经过点且垂直于平面的直线在平面可以判断. 【详解】选项A和C，如图所示， 令点分别为线段和中点，在中，根据中位线性质知， 因为，不在平面，所以平面，故A正确， 因为平面，，所以平面，故C正确；    选项B，如图所示， 取线段靠近点的四等分点，点为线段中点，线段交线段于， 易知,则在中由中位线性质知，且不在平面， 所以平面，故正确；    选项D，如图所示，平面平面， 点在平面，所以过点且垂直平面的直线在平面， 因为点不在平面，所以不存在平面，故错误，    故选：ABC. 4．（多选）（25-26高三上·湖北黄冈·期末）直三棱柱中，，点分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C．平面 D． 【答案】AC 【分析】根据线面垂直性质可证明A正确，假设B选项成立，利用线面垂直性质得出矛盾可得B错误，利用线面平行判定定理证明可得C正确，假设成立，结合已有分析得出矛盾，即可得D错误. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    对于A，又因为点分别为的中点，所以，且； 又，，所以，； 所以四边形是平行四边形，因此， 又因为，所以， 在直三棱柱中，平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，因此平面； 又平面，因此，即A正确； 对于B，假设平面成立，则， 由选项A中分析可知，，因此可得， 显然不成立，因此假设不成立，所以与平面不垂直，即B错误； 对于C，由选项A分析可知，平面，平面， 所以平面，即C正确； 对于D，取的中点为，连接， 显然此时，若成立，可知， 这与矛盾，因此不成立，即D错误. 故选：AC 5．（多选）（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）如图，三棱柱中，为正三角形，侧棱垂直于底面，为中点，则下列说法正确的是（   ） A．与不垂直 B．平面 C．平面 D． 【答案】ABC 【分析】假设，则有，与矛盾判断A；根据，，结合线面垂直判定定理判断B；根据，结合线面平行判定定理判断C；假设，则有，显然矛盾判断D. 【详解】对于A，为正三角形，为中点，所以， 假设，又，平面， 所以平面，又平面，所以 因为三棱柱中，侧棱垂直于底面，即平面， 又平面，所以， 因为在中，不能同时成立，故矛盾，假设不成立， 所以与不垂直，A选项正确； 对于B选项，因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面，B选项正确； 对于C，由,平面,平面,所以平面，C选项正确； 对于D，在直三棱柱中，，若，则，显然不成立， 故假设错误，即与不平行，D选项错误. 故选：ABC 1．（多选）（25-26高三上·全国·月考）已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】AC 【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，根据线面垂直的性质定理知A正确； 对于B，，无法推出，B错误； 对于C，因为，过作平面，则， 因为，所以，，所以，故C正确；    对于D，由面面平行的判定定理可知，一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，则两个平面平行. 题中条件未指明直线相交，当时，结论不一定成立，故D错误． 故选：AC 2．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为与上的点，且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】将放入一个平面，法一、法二：将放入一个与平面相交的平面，通过证明“线线平行”来证得“线面平行”；法三：将放入一个与平面平行的平面，通过证明“面面平行”来证得“线面平行”． 【详解】法一：如图，过点作交于点，过点作交于点，连结，显然． 因为是正方体，所以，， 又因为，，且，所以， 所以四边形是平行四边形，从而. 因为平面，平面，所以平面． 法二：如图，连结并延长，与直线相交于点，连结． 因为是正方体，所以，． 又因为，所以，从而． 因为平面，平面，所以平面． 法三：如图，过点作交于点，连结，显然， 因为平面，平面，所以平面． 因为是正方体，所以，， 又因为，所以，故， 所以，从而， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点分别为的中点，点满足．求证：四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】取中点，过作于，连接，，依次证明，，即可证明，，，四点共面，最后由即可得证； 【详解】取中点，过作于，连接，， 则，，， 所以四边形是平行四边形，， 由得，， 又，，，所以，，，四点共面， 又，所以，，，四点共面. 4．（25-26高三上·山东日照·期中）在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，动点是侧面内一点，若平面，则点的轨迹长度为 . 【答案】 【分析】分别取棱的中点，连接 ，证明平面平面，则点必在线段上，即可得出答案. 【详解】如下图所示，分别取棱的中点，连接 ， ∵分别为所在棱的中点，则 ∴，又不在平面， 平面， ∴平面． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又不在平面，平面， ∴平面， 又，平面， ∴平面平面． ∵是侧面内一点，且平面， ∴点必在线段上． 所以点的轨迹长度为， 故答案为：. 5．（24-25高一下·广东·期中）如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点. (1)正四棱锥的表面积； (2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； (3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，，理由见解析 【分析】（1）利用正棱锥的性质及面积公式可求答案； （2）利用线面平行的性质得到线线平行，利用中位线可证结论； （3）利用面面平行的判定和性质得到平面，结合平行线段性质可得结论. 【详解】（1）因为，所以底面积为2，由正四棱锥的性质可得侧面为全等的等腰三角形， 因为，所以侧面积为， 所以正四棱锥的表面积为. （2）连接,交于，则为中点，连接； 因为直线平面，且平面平面， 所以， 因为为中点，所以P为棱SD的中点. （3）在侧棱SC上存在一点E，使得平面，满足. 理由如下:取SD的中点Q，连接BQ， 因为，所以，又为的中点， 在△中, ,又平面，平面，所以平面， 过Q作，交于，连接， 又平面，平面， 所以平面，又，平面， 所以平面平面，又平面, 所以平面，由，得, 由，Q为SD的中点，得， 所以，即侧棱SC上存在一点E，当满足时, 平面PAC. 6．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N、K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面.    (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)在棱CD上是否存在点H，使得平面平面PBC？若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在.请说明理由. 【答案】(1),证明见解析 (2)证明见解析 (3)H为中点时，证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可. （2）证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可. （3）利用线线平行可证平面， 平面，进而由面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）.证明如下： 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面.    （3）当为中点时，平面平面 证明如下： 取的中点为，连接， 在中，，平面，平面， 则平面，同理可证，平面， 又平面，， 所以平面平面.    7．（多选）（25-26高二上·湖南长沙·月考）在平行六面体 中，侧棱垂直于底面，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则平面 D．若，则平面 【答案】AC 【分析】根据线面垂直的判定定理与性质定理依次对选项进行判断即可. 【详解】对于选项A，平面，且，所以平面，又因为平面，则， 又，底面为菱形，则， 平面，则平面， 因为平面，所以，A正确； 对于选项B，，底面为矩形，无法得到平面，B错误； 对于选项C，设与交于点，由，为中点，得， 因为平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面，C正确； 对于选项D，因为，所以四边形为正方形，所以，而与不一定垂直，D错误． 故选：AC. 2．（2026高二上·云南·学业考试）如图，在四棱锥中，底面，，.    (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直，可以得到线线垂直，再根据线垂直于两条相交直线，即可证明线面垂直； 【详解】（1）因为底面，平面，所以可得， 而，且，平面,平面 所以平面. 8．（25-26高三上·广东·期中）如图，直二面角中，，动平面分别交平面和平面于直线､直线，则下列命题正确的是（    ） A．平面内不存在与平面平行的直线 B．平面内存在无数条直线与平面垂直 C．当平面，平面，平面两两垂直时，它们的交线也两两垂直 D．直线，直线中至少有一条与直线垂直 【答案】BCD 【分析】利用线面平行的判定判断A；利用面面垂直的性质、线面垂直的性质，结合反证法推理判断D；利用线面垂直的判定推理判断B；利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理判断C. 【详解】对于A，在上取不与点重合的点，过点在平面内作直线， 则平面，而平面，因此平面，A错误； 对于D，假设直线，直线都不垂直于直线，则在平面内过点作 于，在平面内过作，由，得， 由直二面角，得平面平面，而平面平面， 则平面，，而平面， 于是平面，，因此与假设矛盾，假设错误， 则直线，直线中至少有一条与直线垂直，D正确； 对于B，由选项D知，不妨令，可得平面，又平面， 则平面平面，显然在平面内存在直线垂直于， 又平面平面，则这条直线垂直于平面， 因此平行于这条直线的所有直线都垂直于平面，B正确； 对于C，由选项D知平面平面，若平面平面， 在平面内取点，过点作，则可得平面， ，同理，而平面，则平面， 于是，又平面平面，同理得， 因此当平面，平面，平面两两垂直时，它们的交线也两两垂直，C正确. 故选：BCD 9．（25-26高二上·上海·期中）正四棱锥的底面边长为2，高为2，是边的中点，动点在表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为 ． 【答案】/ 【分析】设S在底面的投影为O，取的中点，设，先证明平面，可得动点P在的三条边上（不包含点），进而求解即可. 【详解】设S在底面的投影为O，由正四棱锥的特征知O为的交点， 取的中点，设，由中位线的性质可知， 在正方形中，为的中点， 所以，则底面， 而底面，所以， 又平面， 所以平面，而，则动点P在的三条边上（不包含点）， 根据正四棱锥的底面边长为2，高为2， 则，，，， 所以，， 所以P的轨迹的周长为. 故答案为：. 10．（24-25高二上·上海·月考）在长方体中，，，E为棱上一动点， (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 【答案】(1)1； (2)存在，且. 【分析】（1）连接，交于，在面内过作，交于，根据线面平行的判定找到的位置，进而求线段长； （2）问题化为证面，进而求的位置，即可得线段长. 【详解】（1）连接，交于，在面内过作，交于， 由面，面，则面， 故与重合时，满足题设要求， 根据长方体的性质，易知是的中点，故，即所求是中点， 所以； （2）存在，且，理由如下， 要使恒成立，只需垂直于所在平面即可， 当面，而面，故， 此时，即， 所以，则，可得. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点02线面、面面平行与垂直全归纳 题型一：线面关系辨析 题型二：构造中位线证线面平行 题型三：构造平行四边形证明线面平行 题型四：构造平面交线证明线面平行 考点一：证明线线平行 题型五：构造面面平行证明线面平行 考点二：线面平行的性质与判定 题型六：证明面面平行 考点三：面面平行的性质与判定 线面、面面平行与垂直全归纳 题型七：证明四点共面 考点四：证明线线垂直的方法 题型八：由平行关系确定存在性问题 考点五：线面垂直的性质与判定 题型九：由平行关系确定动点轨迹 考点六：面面垂直的性质与判定 题型十：证明线面垂直 题型十一：证明面面垂直 题型十二：由垂直关系确定存在性问题 题型十三：判断平行或垂直 9 考点查缺 精准补渴 考点一：证明线线平行 平面几何常用方法： 1、利用平行公理及推论：平行于同一直线的两直线平行（平行线的传递性）。 2、利用角的关系：同位角相等，则两直线平行：内错角相等，则两直线平行；同旁内角互 补，则两直线平行。 3、利用中位线性质：三角形的中位线平行于第三边；梯形的中位线平行于上下底。 4、利用平行四边形的性质：平行四边形的对边互相平行。 5、利用比例线段：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平 行于三角形的第三边。 1/27 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 立体几何中常用方法： 1、利用线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平 面的交线与该直线平行。 2、利用面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 平行。 3、利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 4、利用空间向量：证明两条直线的方向向量共线（即存在非零实数入使得一个方向向量等 于另一个方向向量的入倍)。也可转化为计算向量夹角或证明向量共面且无交点。 考点二：线面平行的性质与判定 一、判定定理（如何证明线面平行) 核心判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。（符号语言：若 ata,bca,且a//b,则a//a) 其他判定方法： 1、利用面面平行的性质：如果两个平面互相平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。 2、利用向量法（空间解析几何）：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（即点积为零）。 3、利用定义（反证法思路）：证明直线与平面没有公共点，通常通过反证法推出矛盾。 4、利用空间几何性质： 若一条直线平行于两个相交平面，则它平行于这两个平面的交线（此时该直线平行于交线所在的平面，若 直线不在该平面内)。 若一条直线垂直于平面的垂线，且不在该平面内，则该直线平行于该平面。 二、性质定理（己知线面平行能推出什么） 核心性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任意平面与该平面的交线与该直线平行。 (符号语言：若a/,acB,xnB=b,则a//b) 其他性质： 1、线面平行得到线线平行：一条直线与一个平面平行，则该直线与平面内无数条直线平行（但并非与平面 内所有直线都平行，只与过其平行投影的直线平行)。 2、传递性相关：若一条直线平行于一个平面，则该直线平行于与该平面平行的所有平面（或说该直线与这 些平面无公共点，但未必在同一个平面内平行于它们内的所有直线)。 3、与距离的关系：若一条直线与一个平面平行，则直线上任意一点到平面的距离相等，这个距离称为直线 到平面的距离。 4、面面平行的基础：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行（这是面 面平行的判定定理之一，源自线面平行的性质)。 考点三：面面平行的性质与判定 2/27 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一、判定定理（如何证明两个平面平行》 核心判定定理： ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 (若acc,bcaanb=P,且a∥B,b∥B,则a∥B) ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平 面平行。 (条件略严格，需注意对应关系) 1、平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。（若a∥Y,B∥Y,则a∥B) 2、垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 3、向量法（空间解析几何）：证明两个平面的法向量平行 二、性质定理（已知两个平面平行能推出什么） 核心性质定理： ①面面平行一线线平行：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线互相平行。 (若ax‖B,yna=a,ynB=b,则alb) ②面面平行→线面平行：两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。 (若alB,aca,则a‖B) 1、平行平面间的距离处处相等：两个平行平面间任意一点到另一个平面的距离都相等，这个距离称为两平 行平面间的距离。 2、平行平面截线段成比例：如果两条直线被三个平行平面所截，那么截得的对应线段成比例。 3、与角的关系：两个平行平面与同一个平面相交，所成的二面角相等。 考点四：证明线线垂直的方法 平面几何常用方法： ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理： ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角： ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质(a1%,bc&→a⊥b) ⑦平行线垂直直线的传递性(a上c,a//b→b1c), 立体几何常用方法： ①利用线面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 ②利用三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。 3/27 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三垂线逆定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线垂直，那么它也与这条斜线在平面内的射影垂直。 ③利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 ④利用异面直线垂直的定义：两条异面直线所成的角是90°，则这两条异面直线垂直。 ⑤利用空间向量：若两条直线的方向向量的数量积为零，则这两条直线垂直（适用于相交、平行、异面直线）。 考点五：线面垂直的性质与判定 一、判定定理（如何证明线面垂直） 核心判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 其他判定方法： 利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 利用平行线的传递性：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。 利用平面的法向量（向量法）：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；证明直线与平面内两个不共线的 向量都垂直。 二、性质定理（已知线面垂直能推出什么） 核心性质定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 其他性质： 线面垂直→线线垂直：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 与距离的关系 点到平面的距离：过点作平面的垂线，垂线段的长即点到平面的距离。 直线到平面的距离（当直线平行于平面时）：直线上任意一点到平面的距离。 平行平面间的距离：可转化为一个平面内一点到另一个平面的距离。 三垂线定理的基础：线面垂直是应用三垂线定理的前提条件（斜线在平面内的射影由垂足决定）。 确定唯一性：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。过一点有且只有一个平面与己知直线垂直。 考点六：面面垂直的性质与判定 一、判定定理（如何证明两个平面垂直) 核心判定定理： 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 其他判定方法： 利用二面角定义：如果两个平面相交所成的二面角是直二面角（平面角为90°），则这两个平面垂直。 利用线面垂直性质：如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。（实际上这 是核心定理的推论，但需注意“任意一条”的条件较强) 利用平行关系：如果两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，那么另一个也与第三个平面垂直。 向量法（空间解析几何）：证明两个平面的法向量互相垂直（即它们法向量的点积为零）。 4/27 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 利用几何特征：在某些特殊几何体（如正方体、长方体）中，利用其面与面之间的垂直关系。 二、 性质定理（已知两个平面垂直能推出什么） 核心性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 其他性质： 面面垂直→线面垂直：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（同 核心性质定理)。 传递性相关： 如果两个平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面（同上）。 与线线垂直的关系：如果两个平面垂直，那么在一个平面内任意一点向另一个平面作垂线，该垂线在第一 个平面内 与距离的关系：如果两个平面垂直，那么在一个平面内到交线的距离等于到另一个平面的距离的线段，其 端点连线垂直于另一个平面。 唯一性： 过平面外一点有且只有一个平面与己知平面垂直。 过一条直线有无数个平面与已知平面垂直（只要平面包含该直线且垂直于已知平面）。 题型突破 遥法接济 1 线面关系辨析 点方法 根据线线、线面的垂直、平行的性质与判定来确定。 易绪 了解线线平行、线面平行、面面平行三者之间的关系；了解线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的 关系。 了解平行与垂直的传递性 1.(2026陕西西安.一模)设0，B是两个平面，a,b是两条直线，则下列命题为真命题的是（) A.若a⊥B,ala,blB,则a⊥b B.若aca,bcB,ab,则aIB C.若a∩B=a,bla,blB,则allb D.若a⊥a,b⊥B,ab,则a⊥B 2.(25-26高二上·云南文山期末)设1，m为两条不同直线，，B,y为三个不同平面，则下列命题正确的是 5/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 () A.若a⊥B,B⊥Y,则aly B.若1⊥a,11B,则a⊥B C.若⊥B,1⊥o,则11WB D.若l⊥，m⊥B,1⊥m,则⊥B 3.(25-26高二上云南昆明期末)已知平面，B,y,直线l,m,下列命题为真的是() A.若11m,mca,则1⊥a B.若a⊥y,B1a,则B⊥Y C.若l/a,m/a,则lIlm D.若a⊥y,B⊥y,则aB 4.(25-26高二上·上海黄浦·期末)已知直线1，平面a1平面B,那么“1⊥α”是“1‖B”的()， A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条 件 5.(25-26高二上贵州遵义·月考)已知m,n是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，则下列结论正确 的是() A.若m/1a,n/1B,m/1n,则a/1B B.若m/n,nco,则m/1a C.若m⊥a,ncB,a/1B,则m⊥n D.若m⊥，n/1β，a⊥B,则m⊥n 2构造中位线证线面平行 点方法 根据线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。 可以通过构造中位线来在平面上找这条与已知直线平行的直线。这类题中，通常会有中点的出现。 辩易猪 遇到中点，看能不能构造中位线，证明线线平行 1.(25-26高二上·上海宝山月考)如图，四边形A,ABB,是圆柱的轴截面，C是下底面圆周上一点，点D是 线段BC中点 6/27 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B -=B (I)证明：直线AC/平面AB,D 2.(25-26高二上·北京怀柔期中)如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A,B,C,D,中，P,Q分别是 AD,BD的中点，求证：PQ∥平面DCCD. D B B 3.(2025高三·全国·专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，侧面PAD⊥底面ABCD ,△PAD为正三角形，E,F分别是棱AD,DC的中点，点G在侧棱PD上，且PG:GD=3:1.求证：PB∥平 面EFG. p G A 4.(2425高一下·湖南长沙期末)如图，正四棱台ABCD-A,B,C,D中，上底面边长为4√2，下底面边长为 8√2，E为CC,的中点，侧棱长为6 D (1)证明：AC//平面BDE; 3构造平行四边形证明线面平行 7/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点方法 根据线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。 可以通过构造平行四边形与平面上交线，则这条交线与已知直线平行。这类题中，通常会从平行线着手。 辩易绪 从题目中的平行线出发，看能不能构造平行四边形。 1.(2026高三全国专题练习)如图，在直三棱柱ABC-A,BC中，AB1BC,AB=BC=A4=2,M是棱 CC,上一点（不包含端点），N是AB,的中点若M是CC的中点，求证：MWI/平面AB,C C M 2.(2026高三·全国专题练习)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面 ABCD,M是AD的中点，N是PC的中点.求证：MN∥平面PAB. D A 0 3.(25-26高二上·上海月考)如图，已知ABC,EA、CD都垂直于平面ABC,且EA=AB=2,DC=1,F 是BE的中点，求： 8/27 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)△EAB绕着直角边BA旋转一周，求旋转后几何体的表面积 (2)求证：FD//平面ABC 4.(24-25高二·全国假期作业)如图，三棱柱ABC-AB,C,所有棱长都为2，∠B,BC=60°，O为BC中点， D为A,C与AC,交点.求证：CD/平面AOB A D B 4 构造平面交线证明线面平行 点方法 根据直线与平面平行的性质有，过直线的平面与平行平面的交线，直线与交线是平行的，从而找 到与直线平行的直线。 舞易猪 过直线构造一个平面，找到两平面的交线，证明直线与交线平行。 1.(2025·云南昆明模拟预测)如图，△0CD是边长为4的等边三角形，且点A,B分别为线段0D与0C的 中点将△OAB沿AB折叠后使点O与点P重合，得到四棱锥P-ABCD.设点E为线段PC上一点，且 CE=2EP 9/27 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 证明：APII平面BED; 2.(2025高三全国.专题练习)如图，在四面体S-ABC中，SC⊥平面ABC,D是SC的中点，E是AD的中 点.点F在线段BS上，且BS=4BF.求证：EFII平面ABC; D 3.(2025高三·全国专题练习)如图，在正方体ABCD-AB,CD,中，棱长为2，M是棱CC的中点，P是 DM的中点，C,Q=3QB,证明：PQ∥平面ABCD D B A D C B 4.(24-25高一下·辽宁丹东·期末)如图，四面体ABCD中，点G是ABC的重心，点E在AD上， AE=2ED E C 求证：GE∥平面BCD; 5构造面面平行证明线面平行 10/27