6.2.2 第1课时 函数的导数与极值（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教B版）

6.2.2　导数与函数的极值、最值 第1课时　函数的导数与极值 基础过关练 题组一　函数极值的概念及求解 1.(多选题)(2024陕西西安西北工业大学附属中学期末)下列关于函数极值的说法正确的是(　　) A.导数值为0的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值可能大于它的极大值 C.函数在定义域内必有一个极小值和一个极大值 D.若f(x)在区间(a,b)上有极值,则f(x)在区间(a,b)上不单调 2.(2024天津第一中学月考)已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f'(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.1　　　B.2　　　 C.3　　　D.4 3.(2025山东济宁曲阜期中)函数f(x)=--1的极值点为(　　) A.0　　　 B.1　　　 C.0或1　　　D.-1 4.已知函数f(x)=ex,则(　　) A. f(x)有极大值,无极小值 B. f(x)无极大值,有极小值 C. f(x)既有极大值,也有极小值 D. f(x)既无极大值,也无极小值 5.(2025江苏扬州高邮中学期中)已知函数f(x)=(x2-ax-a)ex的图象在点(0, f(0))处的切线垂直于直线2x+y+1=0. (1)求实数a的值; (2)求f(x)的极值. 题组二　含参函数的极值问题 6.(2025湖北六校期中)若函数f(x)=x3-2x2+ax+3无极值,则实数a的取值范围是(　　) A.　　　B. C.　　　D. 7.(2025重庆万州三中月考)已知函数f(x)的导函数f'(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是函数f(x)的极值点,则实数a的值为(　　) A.-1　　　B.0　　　C.1　　　D.2 8.(2025江苏南京一中月考)若函数f(x)=-x2+x+1在区间内有极值点,则实数a的取值范围是(　　) A.　　 　B.　　　 C.　　　D. 9.(2025贵州贵阳第一中学质量监测)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值4,则a-b=(　　) A.12或3　　　B.-12或-3 C.12或-3　　　D.-12或3 10.(2025江苏泰州期末)已知函数f(x)=ex(x3+a)既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是(　　) A.(-4,0)　　　B.[-4,0]　　　 C.(0,4)　　　D.[0,4] 11.(2024天津蓟州第一中学月考)若函数f(x)=x3-3x2在区间(a-2,a+1)内存在极大值,则a的取值范围是　　　　.  12.已知f(x)=a2ln x-x2+ax(a≠0). (1)当a=-1时,求f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围. 题组三　函数极值的综合应用 13.(2024山西吕梁阶段性测试)已知等比数列{an}的各项均为正数,a5,a6是函数f(x)=x3-x2+ex+1的极值点,则ln a1+ln a2+…+ ln a10=(　　) A.5　　　B.6　　　C.10　　　D.15 14.(2025天津第二南开学校月考)若函数f(x)=x2ex-a恰有三个零点,则实数a的取值范围是(　　) A.　　　B. C.(0,4e2)　　　D.(0,+∞) 15.(2024四川宜宾兴文二中月考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1处都取得极值. (1)求a,b的值; (2)若方程f(x)=2c有三个实数根,求实数c的取值范围. 能力提升练 题组一　函数极值的求解 1.(多选题)(2025山东济宁期中)已知函数f(x)与其导函数f'(x)的部分图象如图所示,若函数g(x)=,则下列结论正确的是(　　) A.f(3)>ef(2) B.g(x)在区间(-3,1)上单调递增 C.当x=1时,函数g(x)有极小值 D.当x=-3时,函数g(x)有极小值 2.(2024重庆南开中学月考)定义域为R的函数f(x),g(x)的导数分别为f'(x),g'(x),且f'(x)=g(x), f(x)+g'(x)=0,则(　　) A.当x0是f(x)的零点时,x0是g(x)的极大值点 B.当x0是f(x)的零点时,x0是g(x)的极小值点 C.f(x),g(x)可能有相同的零点 D.f(x),g(x)可能有相同的极值点 题组二　含参函数的极值问题 3.若函数f(x)=x2+(a-1)x-aln x没有极值,则　(　　) A.a=-1　　　B.a≥0 C.a<-1　　　D.-1<a<0 4.(2025山东聊城一中调研)若f(x)=sin x-ax在(0,π)上的极大值大于1,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,0)　　　B.(-1,0)　　　 C.　　　D.(0,1) 5.(多选题)(2024北京海淀模拟)已知函数f(x)=x(ln x-ax)(a∈R)有两个极值点x1,x2(x1<x2),则(　　) A.0<a<　　 　B.1<x2< C.x2-x1>-1　　　D.f(x1)<0,f(x2)>- 6.(2025湖北六校期中)已知函数f(x)=m(x-1)ex-x2+x在上有两个极值点,则实数m的取值范围是　　　　　.  7.(2025河北张家口联考)已知函数f(x)=aex-sin x,a>0. (1)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程; (2)若f(x)在区间内有唯一的极值点,求a的取值范围. 题组三　函数极值的综合应用 8.已知函数f(x)=(x2-3)·ex,关于x的方程[f(x)]2-mf(x)+1=0恰有四个不同的实数根,则正数m的取值范围为(　　) A.(0,2)　　　B.(2,+∞)　　　 C.　　　D. 9.(2024广东肇庆四会中学、广信中学月考)若函数f(x)=ex-ax2在区间(0,+∞)上无零点,但有2个极值点,则实数a的取值范围是(　　) A.<a<e　　　B.<a< C.0<a<e　　　D.<a<e 10.(2025山东省实验中学月考)已知函数f(x)=-x3+2x2-x,若过点P(1,t)可作曲线y=f(x)的三条切线,则t的取值范围为(　　) A.　　　B. C.　　　D. 11.(2025辽宁点石联考)已知数列{an}满足an+1=(n∈N+),且a2+a3=3x0,其中x0为函数y=ex-2-x2(x>1)的极值点,则a1+a2-a3=　　　　.  12.已知函数f(x)=ex-x2-2x+a. (1)证明:f(x)有两个极值点,且分别在区间(-1,0)和(,)内; (2)若f(x)有3个零点,求整数a的值. 参考数据:≈4.11,≈5.65,≈1.73,≈1.41. 13.(2025江苏无锡澄宜六校联考)=ad-bc,已知函数f(x)=,g(x)=. (1)若函数f(x)的极大值为0,求实数a的值; (2)证明:×××…×<e(n>1,n∈N+); (3)若函数h(x)=f(x)+g(x)存在两个极值点x1,x2,证明:<a. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.BD　 2.B　在(a,b)上,设f'(x)的图象与x轴的交点从左到右依次为A,B,C(O),D, 由函数取得极大(小)值点x0的充要条件:在x0左侧附近的导数大(小)于0,右侧附近的导数小(大)于0,并结合图象可知,函数f(x)在点A,D处取得极大值,在点B处取得极小值,在点C(O)处无极值. 故函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为2. 3.B　易得f'(x)=x3-x2=x2(x-1). 令f'(x)=0,得x=0或x=1. 当x∈(-∞,0)∪(0,1)时, f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f'(x)>0,所以x=0不是f(x)的极值点,x=1为f(x)的极小值点. 4.C　由题意得f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),且f'(x)=ex, 令f'(x)>0,可得x∈(-∞,0)∪,所以f(x)在(-∞,0),上单调递增; 令f'(x)<0,可得x∈(0,1)∪,所以f(x)在(0,1),上单调递减, 所以f(x)在x=0处取得极大值,在x=处取得极小值,故f(x)既有极大值,也有极小值. 5.解析　(1)因为函数f(x)的图象在点(0, f(0))处的切线垂直于直线2x+y+1=0, 所以函数f(x)的图象在(0, f(0))处的切线的斜率为,即f'(0)=. 易得f'(x)=(2x-a)ex+(x2-ax-a)ex=(x2+2x-ax-2a)ex,所以f'(0)= -2a=,解得a=-. (2)由(1)得f(x)=ex, 则f'(x)=(x+2)ex. 令f'(x)=(x+2)ex=0,得x=-2或x=-. 当x∈(-∞,-2)时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增; 当x∈时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 所以当x=-2时, f(x)取得极大值,为f(-2)=;当x=-时,函数f(x)取得极小值,为f =. 6.D　易得f'(x)=3x2-4x+a. ∵函数f(x)无极值,∴f'(x)≥0在R上恒成立,即3x2-4x+a≥0恒成立,∴Δ=(-4)2-12a≤0, 解得a≥,故实数a的取值范围是. 7.D　因为1不是函数f(x)的极值点,所以1是f'(x)的不变号零点, 设h(x)=x2-3x+a,则h(1)=0,即1-3+a=0,得a=2, 当a=2时, f'(x)=(x-1)(x2-3x+2)=(x-1)2(x-2), 当x<1时, f'(x)<0,当1<x<2时, f'(x)<0, 因此1不是f(x)的极值点,即a=2满足题意. 8.C　易得f'(x)=x2-ax+1, 因为f(x)在区间内有极值点,所以f'(x)在区间内有变号零点, 令f'(x)=x2-ax+1=0,易知x≠0,得a=x+, 令g(x)=x+,x∈, 易知g(x)在上单调递减,在(1,3)上单调递增, 又g(1)=2,g=,g(3)=, 所以g(x)∈,当a=2时, f'(x)=(x-1)2≥0,不符合题意,所以2<a<, 故实数a的取值范围是. 9.C　易得f'(x)=3x2+2ax+b. 因为f(x)在x=1处取得极值4, 所以 当时, f'(x)=3x2-4x+1,此时1是f'(x)的变号零点,所以1为f(x)的极值点,符合题意. 当时, f'(x)=3x2+6x-9,此时1是f'(x)的变号零点,所以1为f(x)的极值点,符合题意. 综上,a-b=-3或a-b=12. 易错警示　在利用极值求参数时,若参数有两个解,需要代入原函数进行检验,一是要检验导数为0的点的两侧单调性是否相反,二是要检验极值是极大值还是极小值,与题设是否一致. 10.A　由题得f'(x)=ex(x3+3x2+a),令g(x)=x3+3x2+a,则g'(x)=3x2+6x=3x(x+2), 当x<-2或x>0时,g'(x)>0,则g(x)在(-∞,-2)和(0,+∞)上单调递增,当-2<x<0时,g'(x)<0,则g(x)在(-2,0)上单调递减, 易得g(-2)=-8+12+a=4+a,g(0)=a,当x→-∞时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→+∞, 要使函数f(x)既有极大值又有极小值,则f'(x)至少有两个变号零点,所以g(x)至少有两个变号零点,所以解得-4<a<0. 11.答案　(-1,2) 解析　由题意得f'(x)=3x2-6x, 令f'(x)>0,得 x<0或x>2; 令f'(x)<0,得0<x<2,所以x=0是f(x)的极大值点,x=2是f(x)的极小值点. 因为函数f(x)=x3-3x2在区间(a-2,a+1)内存在极大值, 所以0∈(a-2,a+1),所以解得-1<a<2, 所以a的取值范围是(-1,2). 12.解析　(1)f(x)的定义域为(0,+∞), 当a=-1时, f(x)=ln x-x, 则f'(x)=,令f'(x)=0,得x=1, 当x∈(0,1)时, f'(x)>0; 当x∈(1,+∞)时, f'(x)<0, 所以f(x)的单调递减区间为(1,+∞),单调递增区间为(0,1). (2)f'(x)=-(a2+a)x+a =-,x>0. 当a>0时,(a+1)x+a>0,令f'(x)>0,得0<x<1;令f'(x)<0,得x>1,所以f(x)在x=1处取得极大值. 当a≤-1时,(a+1)x+a<0,令f'(x)>0,得0<x<1;令f'(x)<0,得x>1,所以f(x)在x=1处取得极大值. 当a=-时, f'(x)=≥0,则 f(x)无极值. 当-1<a<-时,令f'(x)>0,得0<x<1或x>-;令f'(x)<0,得1<x<-,所以 f(x)在x=1处取得极大值. 当-<a<0时,令f'(x)>0,得0<x<-或x>1;令f'(x)<0,得-<x<1,所以 f(x)在x=1处取得极小值. 综上,实数a的取值范围为∪(0,+∞). 13.A　由已知得f'(x)=x2-5x+e, 因为a5,a6是函数f(x)的极值点,所以a5,a6是方程f'(x)=0的两个正实数根,所以a5a6=e, 又{an}是等比数列,所以a1a10=a2a9=…=a5a6=e, 则ln a1+ln a2+…+ln a10=ln(a1a2…a10)=ln e5=5. 14.B　令g(x)=x2ex,则g'(x)=2xex+x2ex=xex(x+2). 令g'(x)=0,得x=0或x=-2, ∴g(x)在(-2,0)上单调递减,在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增, ∴g(x)极大值=g(-2)=,g(x)极小值=g(0)=0. f(x)=x2ex-a恰有三个零点,即y=g(x)的图象与直线y=a有三个交点,结合图象(略),可知0<a<. 15.解析　(1)f'(x)=3x2+2ax+b, 由题意得 此时f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1), 当x<-或x>1时, f'(x)>0,当-<x<1时, f'(x)<0,故x=-,x=1是函数f(x)的极值点,符合题意,所以a=-,b=-2. (2)由(1)知f(x)=x3-x2-2x+c,且f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减, 当x=-时, f(x)取得极大值,为f=+c,当x=1时, f(x)取得极小值,为f(1)=-+c,且当x→-∞时, f(x)→-∞,当x→+∞时, f(x)→+∞. 因为方程f(x)=2c有三个实数根,所以-+c<2c<+c,解得-<c<, 所以实数c的取值范围是. 能力提升练 1.AC　由题意得g'(x)=, f(x), f'(x)的图象如图所示: 当1<x<6时, f'(x)>f(x),即f'(x)-f(x)>0,则g'(x)>0,所以g(x)在(1,6)上单调递增,所以g(3)>g(2),即 >,所以f(3)>ef(2),故A正确; 当-3<x<1时, f'(x)<f(x),即f'(x)-f(x)<0,则g'(x)<0,所以g(x)在(-3,1)上单调递减,故B错误; 当x=1时, f'(x)=f(x),则g'(x)=0,又g(x)在(-3,1)上单调递减,在(1,6)上单调递增,所以当x=1时,g(x)有极小值,故C正确; 当x=-3时, f'(x)=f(x),则g'(x)=0,当x<-3时, f'(x)>f(x),所以f'(x)-f(x)>0,所以g'(x)>0,所以g(x)在(-∞,-3)上单调递增,又g(x)在(-3,1)上单调递减,所以当x=-3时,函数g(x)有极大值,故D错误. 2.C　对于A,B选项,因为f(x)+g'(x)=0,所以g'(x)=-f(x),若f(x0)=0,则g'(x0)=0,但x0不一定是g(x)的极值点,故A,B错误. 对于C选项,易知f(x)=0和f'(x)=0可以同时成立,即f(x)=0,g(x)=f'(x)=0同时成立,如f(x)=x2,所以两者可能有相同的零点,故C正确. 对于D选项,①若g(x)在x1处取得极大值,则g'(x1)=0,且在x1左右两侧无限小的区间内g'(x)先正后负, 若g(x1)>0,则在x1左右两侧无限小的区间内g(x)>0,即x∈(x1-|δ|,x1+|δ|),δ→0时,必有g(x)>0,即f'(x)>0, 所以f(x)在(x1-|δ|,x1+|δ|)上单调递增,不符合题意; 若g(x1)<0,则在x1左右两侧无限小的区间内g(x)<0,即x∈(x1-|δ|,x1+|δ|),δ→0时,必有g(x)<0,即f'(x)<0, 所以f(x)在(x1-|δ|,x1+|δ|)上单调递减,不符合题意; 若g(x1)=0,则在x1左右两侧无限小的区间内g(x)<0,即x∈(x1-|δ|,x1+|δ|),δ→0时,必有g(x)≤0,即f'(x)≤0,且f'(x)不恒为零, 所以f(x)在(x1-|δ|,x1+|δ|)上单调递减,不符合题意. ②同理,若g(x)在x2处取得极小值,也可以得出不符合题意,故D错误. 3.A　易得f'(x)=(x-1),x>0, 当a≥0时,+1>0.令f'(x)<0,得0<x<1;令f'(x)>0,得x>1,所以f(x)在x=1处取极小值,不满足题意. 当a<0时,方程+1=0必有一个正数解x=-a. 若a=-1,则f'(x)=≥0,且不恒为零, f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值,满足题意. 若a≠-1,则 f'(x)=0必有2个不同的正数解, f(x)存在2个极值,不满足题意. 综上,a=-1. 4.B　易得f'(x)=cos x-a,0<x<π. 当a≥1时, f'(x)<0,故f(x)在(0,π)上单调递减,无极值点. 当a≤-1时, f'(x)<0,故f(x)在(0,π)上单调递增,无极值点. 当-1<a<1时,因为f'(0)=1-a>0, f'(π)=-1-a<0, f'(x)在(0,π)上单调递减,所以存在x0∈(0,π),使得f'(x0)=0, 在(0,x0)上, f'(x)>0, f(x)单调递增;在(x0,π)上, f'(x)<0, f(x)单调递减,所以x0是f(x)在(0,π)上的极大值点,符合题意. 令f'(x0)=cos x0-a=0,得a=cos x0. 由题意知f(x0)>1,所以f(x0)=sin x0-ax0=sin x0-x0cos x0>1. 设g(x)=sin x-xcos x,0<x<π,则g'(x)=xsin x>0,所以g(x)在(0,π)上单调递增, 又g=1,所以x0∈,所以a=cos x0∈(-1,0). 5.ACD　f'(x)=ln x+1-2ax(x>0), 因为函数f(x)有两个极值点x1,x2, 所以f'(x)有两个变号零点, 设g(x)=ln x+1-2ax(x>0), 则g'(x)=-2a=, 若a≤0,则g'(x)>0,所以函数f'(x)单调递增,则函数f'(x)最多只有一个变号零点,不符合题意,舍去. 若a>0,则0<x<时,g'(x)>0,x>时,g'(x)<0, 所以函数f'(x)在上单调递增,在上单调递减,易知x→0+时,f'(x)→-∞,x→+∞时,f'(x)→-∞, 若f'(x)有两个变号零点,则f'>0, 解得0<a<,故a的取值范围为0<a<,故A正确. 由A可知x1<<x2,故B错误. 当0<a<时,f'(1)=1-2a>0, 则x1<1<<x2,即x2>,-x1>-1, 则x2-x1>-1,故C正确. 由A可知函数f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增, 因为x1<1<x2,且0<a<,所以f(x1)<f(1)=-a<0, f(x2)>f(1)=-a>-,故D正确. 6.答案　 解析　易得f'(x)=mxex-2x+1. 因为函数f(x)在上有两个极值点,所以函数f'(x)在上有两个变号零点. 令f'(x)=0,得m=,x∈. 令g(x)=,x∈,则直线y=m与函数y=g(x),x∈的图象有两个不同的交点. 易得g'(x)==. 令g'(x)>0,得<x<1,令g'(x)<0,得1<x<3, 所以函数g(x)在上单调递增,在(1,3)上单调递减. 又g=0,g(1)=,g(3)=,所以函数y=g(x)的图象如图所示. 由图可知,当<m<时,直线y=m与函数y=g(x),x∈的图象有两个不同的交点, 故实数m的取值范围是. 7.解析　(1)当a=3时, f(x)=3ex-sin x, 则f'(x)=3ex-cos x,∴f'(0)=3-1=2, 又f(0)=3,∴曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y-3=2x,即2x-y+3=0. (2)易得f'(x)=aex-cos x,a>0. ①若a≥1,当x∈时,aex>1,cos x∈(0,1), ∴f'(x)>0,故y=f(x)在区间上单调递增,没有极值点,不合题意,舍去. ②若0<a<1,设φ(x)=aex-cos x,x∈, 则φ'(x)=aex+sin x>0, ∴φ(x)在区间上单调递增,即f'(x)在区间上单调递增, 又f'(0)=a-1<0, f'=a>0, ∴f'(x)在区间上有唯一零点,设为x1, 当x∈(0,x1)时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增, ∴函数y=f(x)在区间内有唯一的极值点x1,符合题意. 综上所述,a的取值范围是(0,1). 8.D　易知f'(x)=(x2+2x-3)ex=(x+3)(x-1)ex, 令f'(x)=0,得x=-3或x=1. 当x<-3时, f'(x)>0,函数f(x)在(-∞,-3)上单调递增,且f(x)>0; 当-3<x<1时, f'(x)<0,函数f(x)在(-3,1)上单调递减; 当x>1时, f'(x)>0,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增, 所以函数f(x)的极大值为f(-3)=,极小值为f(1)=-2e,作出函数f(x)的大致图象,如图. 令f(x)=t,则方程t2-mt+1=0有两个不同的实数根,且一个根在内,另一个根在内,或者两个根都在(-2e,0)内. 因为两根之和m为正数, 所以两个根不可能都在(-2e,0)上. 令g(x)=x2-mx+1, 因为g(0)=1>0,所以只需g<0, 即-+1<0,得m>+, 即正数m的取值范围为. 9.B　由题意得f(x)=ex-ax2=0在区间(0,+∞)上无解,即a=在区间(0,+∞)上无解, 设g(x)=(x>0),则g'(x)==(x-2),所以当x∈(0,2)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增, 所以g(x)≥g(2)=,显然当x→+∞时,g(x)→+∞,当x→0+时,g(x)→+∞,所以a<. 又函数f(x)=ex-ax2在区间(0,+∞)上有2个极值点,所以f'(x)=ex-2ax=0在区间(0,+∞)上有2个不同的解, 即2a=在区间(0,+∞)上有2个不同的解, 设h(x)=(x>0),则h'(x)==(x-1), 所以当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增, 所以h(x)≥h(1)=e,显然当x→+∞时,h(x)→+∞,当x→0+时,h(x)→+∞,所以2a>e,则a>. 综上,实数a的取值范围是. 10.C　设切点为(m,-m3+2m2-m),易得f'(x)=-3x2+4x-1,则切线的斜率为-3m2+4m-1, 故曲线y=f(x)在点(m,-m3+2m2-m)处的切线方程为y+m3-2m2+m=(-3m2+4m-1)(x-m), 将点P的坐标代入切线方程得t+m3-2m2+m=(-3m2+4m-1)(1-m),整理得t=2m3-5m2+4m-1, 令g(x)=2x3-5x2+4x-1, 则g'(x)=6x2-10x+4=2(x-1)(3x-2), 令g'(x)=0,得x=或x=1, 当x∈∪(1,+∞)时,g'(x)>0, 当x∈时,g'(x)<0, 则g(x)在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减, 所以g(x)的极大值为g=,极小值为g(1)=0,画出y=g(x)的大致图象,如图所示: 由题意可知,若直线y=t与函数g(x)的图象有三个交点,则0<t<,故实数t的取值范围是. 11.答案　-ln 2 解析　易得y'=ex-2-2x,∵x0为函数y=ex-2-x2(x>1)的极值点,∴-2x0=0,x0>1,则2x0=(*), ∵an+1=(n∈N+),a2+a3=3x0,∴a2+=3x0=2x0+x0, 将(*)代入得,+a2=+x0,易知y=ex-2+x在(1,+∞)上单调递增,∴a2=x0,则a3=3x0-a2=2x0, 又a2=,所以a1=ln x0+2, ∴a1+a2-a3=ln x0+2-x0, 对=2x0两边取自然对数可得x0-2=ln x0+ln 2, ∴a1+a2-a3=ln x0-ln x0-ln 2=-ln 2. 12.解析　(1)证明:易得f'(x)=ex-2x-2. 令g(x)=f'(x)=ex-2x-2,则g'(x)=ex-2. 令g'(x)<0,得x<ln 2,令g'(x)>0,得x>ln 2, ∴g(x)在(-∞,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增, ∴g(x)在(-1,0)上单调递减,在(,)上单调递增,又g(-1)=>0,g(0)=-1<0,g()=-2-2≈-0.71<0,g()=-2-2≈0.19>0, ∴g(x)在(-1,0)内有且仅有一个零点,在(,)内有且仅有一个零点. 综上,g(x)有两个零点,且分别在区间(-1,0)和(,)内. 设g(x)的两个零点分别为x1,x2,且x1∈(-1,0),x2∈(,), 当x1<x<x2时,g(x)<0,即f'(x)<0,当x<x1或x>x2时,g(x)>0,即f'(x)>0, ∴f(x)在(x1,x2)上单调递减,在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增,∴f(x)有两个极值点,且分别在区间(-1,0)和(,)内. (2)由(1)及题意得 且 ∴ ∵x1∈(-1,0),x2∈(,),∴ 又a为整数,∴a=-1或a=0. 13.解析　(1)由题意知f(x)=aln x-x+1,∴f'(x)=-1(x>0). ①当a≤0时, f'(x)<0, f(x)在(0,+∞)上单调递减,不存在极值,不符合题意. ②当a>0时,由f'(x)=0,得x=a, 当x∈(0,a)时, f'(x)>0;当x∈(a,+∞)时, f'(x)<0, ∴函数y=f(x)的单调递增区间为(0,a),单调递减区间为(a,+∞). ∴x=a为f(x)的极大值点,则f(a)=aln a-a+1=0,令φ(a)=aln a-a+1,则φ'(a)=ln a,a>0, 当a∈(0,1)时,φ'(a)<0,φ(a)单调递减, 当a∈(1,+∞)时,φ'(a)>0,φ(a)单调递增, 又φ(1)=0,∴a=1. (2)证明:由(1)知,当a=1时,函数f(x)=ln x-x+1在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∴f(x)=ln x-x+1≤f(1)=0,即ln x≤x-1, ∴当n>1,n∈N+时,ln<-1=<=-, ∴ln+ln+…+ln<++…+=1-<1, ∴ln<1, ∴×××…×<e. (3)证明:∵h(x)=f(x)+g(x)=aln x-x+(x>0), ∴h'(x)=-1-=, 函数h(x)存在两个极值点x1,x2等价于方程h'(x)==0有两个不相等的正实数根x1,x2,即-x2+ax-1=0有两个不相等的正实数根x1,x2, ∴x1x2=1,且∴a>2, 易得= = =-2, 则要证<a, 即证<1, 不妨令0<x1<1<x2, ∵x1x2=1,∴x1=, 要证<1,即证2ln x2-x2+<0. 令φ(x)=2ln x-x+(x>1), 则φ'(x)=-1-==, 易得φ'(x)<0在(1,+∞)上恒成立, ∴函数φ(x)在(1,+∞)上单调递减,故φ(x)<φ(1)=0, ∴<a成立. 26 学科网（北京）股份有限公司 $