5.3.2 等比数列的前n项和（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和，系统讲解公式（分q=1和q≠1两种情况）、函数特征及性质，通过联系等比数列通项公式导入，以问题链引导学生从实例到公式推导，构建知识支架。 其亮点在于知识辨析澄清易错点，典例解析融合方程思想与性质应用，培养数学思维中的推理能力和运算能力。错位相减法等方法教学提升数学语言表达，帮助学生系统掌握知识，教师可高效开展教学。

5.3.2　等比数列的前n项和 知识点 1 等比数列的前n项和 知识 清单破 1.等比数列的前n项和公式 一般地,设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn= =  . 第五章　数列 高中同步 2.等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当q=1时,Sn=na1,Sn是关于n的一次函数. (2)当公比q>0且q≠1时,等比数列的前n项和公式Sn= 可以变形为Sn=- ·qn+ ,设 A= ,则Sn=A(qn-1),即Sn是关于n的指数型函数. 第五章　数列 高中同步 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕”. 1.求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn= . (　    ) 1.✕　在求等比数列{an}的前n项和时,首先应看公比q是不是1,若q≠1,则可直接套用公式Sn=  ,否则应分类讨论求和. 2.若某数列的前n项和Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0且q≠1,n∈N+),则此数列一定是等比数列. (　    ) 2.√　 可将等比数列前n项和公式Sn= (q≠0且q≠1)变形为Sn= - qn(q≠0且q≠ 1),若令a= ,则可变形为Sn=a-aqn(a≠0,q≠0且q≠1,n∈N+). 3.已知等比数列{an}是递增数列,其前n项和为Sn,则{Sn}也是递增数列. (　    ) 3.✕　当a1<0,公比q∈(0,1)时,等比数列{an}是递增数列,此时an<0,所以{Sn}是递减数列. 提示 ✕ 提示 提示 √ ✕ 第五章　数列 高中同步 疑难 1 等比数列的前n项和公式及其应用 疑难 情境破 讲解分析 1.等比数列的前n项和公式要分公比q=1和q≠1两种情况,因此当公比未知时,要先对公比进 行分类讨论,再求和. 2.若已知a1,q(q≠1)和n,则用Sn= 求Sn较简便;若已知a1,q(q≠1)和an,则用Sn= 求Sn 较简便. 3.在等比数列{an}中,对于a1,an,n,q,Sn这五个量,已知其中三个量就可利用通项公式和前n项和 公式求出另外两个量. 第五章　数列 高中同步 典例　已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn. (1)若a1=8,an= ,Sn= ,求n; (2)若S3= ,S6= ,求an及Sn; (3)若a6-a4=24,a3·a5=64,求S8; (4)若S3S5- =-16,a2a4=32,求S4. 第五章　数列 高中同步 解析    (1)显然q≠1, 由Sn= = ,得q= . 又an=a1qn-1,∴ =8× ,∴n=6. (2)解法一:由S6≠2S3知q≠1, 则  ②÷①,得1+q3=9,∴q3=8,即q=2. 将q=2代入①得a1= , 第五章　数列 高中同步 ∴an=a1qn-1= ×2n-1=2n-2, Sn= =2n-1- . 解法二:由S3=a1+a2+a3,S6=S3+a4+a5+a6=S3+q3(a1+a2+a3)=S3+q3S3=(1+q3)S3,得1+q3= =9,∴q3=8,∴ q=2. 将q=2代入S3= = 得a1= , ∴an=a1qn-1= ×2n-1=2n-2, Sn= =2n-1- . (3)解法一:由题意得  第五章　数列 高中同步 化简得  ③÷④,得q2-1=3(负值舍去), ∴q2=4,∴q=2或q=-2. 当q=2时,代入③得a1=1, ∴S8= =255; 当q=-2时,代入③得a1=-1, ∴S8= =85. 综上可知,S8=255或85. 解法二:由等比数列的性质得a3·a5= =64,∴a4=±8. 第五章　数列 高中同步 当a4=8时,∵a6-a4=24,∴a6=32, ∴q2= =4,∴q=±2. 当a4=-8时,∵a6-a4=24,∴a6=16, ∴q2= =-2,无解. 故q=±2,a4=8. 当q=2时,a1= =1,S8= =255; 当q=-2时,a1= =-1,S8= =85. 综上可知,S8=255或85. (4)当q=1时,S3S5- =3a1×5a1-(4a1)2=- =-16,得 =16,此时,a2a4=32≠ ,矛盾; 第五章　数列 高中同步 当q≠1时,S3S5- = · - =- q3=-16, ∴ 解得  ∴S4= =15a1=±15 . 规律总结 对于等比数列中基本量的计算,列方程组求解是基本方法,通常用约分或两式相除的方法进 行消元,有时也会用到整体代换. 第五章　数列 高中同步 疑难 2 等比数列前n项和的性质 讲解分析 　　已知等比数列{an}的公比为q(q是常数且不为0),前n项和为Sn,则利用等比数列的通项公 式及其前n项和公式可推得Sn有如下性质: (1)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm,m,n∈N+. (2)当q≠-1或q=-1,且k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列;当q=-1,且k为偶数时,Sk,S2k,S3k,… 均为0,不能构成等比数列. (3)设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n,则 =q;若项数为2n+1,则 = q. (4)当q=1时, = ;当q≠±1时, = . 第五章　数列 高中同步 典例    (1)已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则 这个数列的项数为 (　    ) A.2　　　　B.4　　　　C.8　　　　D.16 (2)等比数列{an}中,已知a1+a2+a3+a4=20,a5+a6+a7+a8=10,则数列{an}的前16项和S16= (　    ) A.20　　　B. 　　　C. 　　　D.-  C B 第五章　数列 高中同步 解析    (1)设这个等比数列为{an},{an}中共有2k(k∈N+)项,公比为q,前n项和为Sn,则奇数项之 和S奇=a1+a3+…+a2k-1=85, 偶数项之和S偶=a2+a4+…+a2k=q(a1+a3+…+a2k-1)=qS奇=170,∴q= = =2, 故S2k= =22k-1=170+85=255,则22k=256,解得k=4,因此这个等比数列的项数为8. (2)由题意得S4=20,S8-S4=10,则 = , 根据等比数列前n项和的性质可知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12构成公比为 的等比数列, ∴S12-S8=5,S16-S12= , 易求得S8=30,∴S12=35,∴S16= . 第五章　数列 高中同步 疑难 3 与等比数列有关的数列求和 讲解分析 1.错位相减法 　　教材中推导等比数列前n项和公式的方法称为错位相减法,这是我们在解决等比数列前n 项和有关问题时的常用方法. 　　错位相减法的适用范围及注意事项: (1)适用范围: 设{an}是等差数列,{bn}是等比数列,则常用错位相减法求数列{anbn}的前n项和Sn. (2)注意事项: ①利用错位相减法时,在写出Sn与qSn(q是等比数列{bn}的公比)的表达式后,应注意使两式错 位对齐,以便于作差,正确写出(1-q)Sn的表达式. ②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1. 第五章　数列 高中同步 2.分组求和法 　　分组求和法适用于解决通项公式可以写成cn=an+bn形式的数列求和问题,其基本的解题 步骤如下: (1)准确拆分,根据通项公式的特征,将其分解为可以直接求和的一些数列的和. (2)分组求和,分别求出各个数列的和. (3)得出结论,对拆分后每个数列的和进行组合,解决原数列的求和问题. 第五章　数列 高中同步 典例1　已知数列{an}是等差数列,a1+a3=10,a2+a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若a1,a3,am成等比数列,求实数m的值; (3)若数列{bn-an}是首项为1,公比为2的等比数列,求数列{bn}的前n项和Sn. 解析    (1)设等差数列{an}的公差为d. 因为 所以 解得a1=2,d=3,所以an=2+3(n-1)=3n-1. (2)由(1)知,an=3n-1,所以a1=2,a3=8. 因为a1,a3,am成等比数列,所以 =a1·am,即82=2am,解得am=32,所以3m-1=32,解得m=11. (3)由题意得,bn-an=2n-1,所以bn=2n-1+3n-1,所以Sn=(20+2)+(21+5)+(22+8)+…+(2n-1+3n-1)=(20+21+22 +…+2n-1)+(2+5+8+…+3n-1)= + =2n+ . 第五章　数列 高中同步 典例2　已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn+3an=6n+4(n∈N+). (1)求证:数列{an-3}是等比数列; (2)求数列{nan}的前n项和Tn. 解析    (1)证明:当n=1时,2S1+3a1=6+4,∴a1=2, 当n≥2时,有  两式相减得2an+3an-3an-1=6, ∴5an-3an-1=6,故an-3= (an-1-3), 又a1-3=-1≠0,故 = , ∴数列{an-3}是以-1为首项, 为公比的等比数列. (2)由(1)可得an-3=-1× ,∴an=3- ,∴nan=3n-n· , 第五章　数列 高中同步 令Wn=1× +2× +3× +…+n· ,① 两边同乘 ,得 Wn= +2× +3× +…+(n-1)· +n· ,② 由①-②得 Wn=1+ + +…+ -n· = -n· = - · ,∴Wn= -  · , 则Tn=3(1+2+3+…+n)-Wn= -Wn= + · - . 第五章　数列 高中同步 $