第6章 计数原理 测评卷（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

第六章　计数原理

全卷满分150分　考试用时120分钟

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.若的展开式的二项式系数之和为32,则展开式中含x4项的系数为(　　)

A.-80　　　　B.80　　　　C.-40　　　　D.40

2.北斗七星是夜空中的七颗亮星,我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载,它们形成的图形像我国古代舀酒的斗,故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象,也是古人藉以判断季节的依据之一.如图,用点A,B,C,D,E,F,G表示某季节的北斗七星,其中B,D,E,F看作共线,其他任意三点均不共线,若过这七个点中任意三个点作三角形,则所作的不同三角形的个数为(　　)

A.35　　　　B.34　　　　C.31　　　　D.30

3.的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为(　　)

A.-40　　　　B.-20　　　　C.20　　　　D.40

4.我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”,它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色,有5种不同的颜色提供选择,相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案,该方案恰好只用到三种颜色的概率是(　　)

A.

5.“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示,由杨辉三角的“左腰”上的各数出发,引一组平行线,从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13,…,则下列说法不正确的是(　　)

A.在第9条斜线上,各数之和为55

B.在第n(n≥5)条斜线上,各数自左往右先增大后减小

C.第n条斜线上共有个数

D.在第11条斜线上,最大的数是

6.为了提高人们的环保意识,让所有人都能为保护环境出一份力,学校安排A,B,C,D 4名学生去甲、乙、丙三个社区宣讲,每个学生去且只去一个社区,每个社区至少有1名学生,其中学生A不能去甲社区,则不同安排方式的总数是(　　)

A.20　　　　B.24　　　　C.32　　　　D.36

7.已知(3x+1)2 025=a0+a1x+a2x2+…+a2 025x2 025,则a2+…+a2 025被4除的余数为(　　)

A.3　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.0

8.若一个四位数的各位数字的和为10,则称该数为“完美四位数”,如数字“2 017”,则用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2 017的“完美四位数”有(　　)

A.71个　　　　B.66个

C.59个　　　　D.53个

二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)

9.若m,n为正整数且n>m>1,则下列结论正确的是(　　)

A.m　　　　

B.+…+

C.若=12×11×…×6,则m=6　　　　

D.

10.已知(1-x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024,则下列结论正确的是(　　)

A.a2=-a1

B.a1+a2+…+a2 024=0

C.a0-a1+a2-a3+…-a2 023+a2 024=22 024

D.a1+2a2+…+2 024a2 024=0

11.现有数字0,1,1,1,2,3,4,5,下列说法正确的是(　　)

A.可以组成600个没有重复数字的六位数

B.可以组成288个没有重复数字的六位偶数

C.可以组成3 240个六位数

D.可以组成2 160个相邻两个数字不相同的八位数

三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)

12.(x2+2x-y)5的展开式中,x5y2的系数为　　　　. 

13.把除颜色外完全相同的5个红球和4个白球排成一行,则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为　　　　.(用数字作答) 

14.计算机是20世纪最伟大的发明之一,计算机在进行计算和信息处理时,使用的是二进制.若将一个十进制数n(n∈N*)表示为n=a0×2k+a1×2k-1+a2×2k-2+…+ak×20,其中a0=1,ai∈{0,1}(i=1,2,3,…,k),则其二进制为(a0a1a2…ak)2(k∈N),例如:自然数1在二进制中就表示为(1)2,2表示为(10)2,3表示为(11)2,4表示为(100)2,7表示为(111)2.记f(n)为a0,a1,a2,…,ak中0的个数,如f(2)=1,f(4)=2,f(7)=0,则f(127)=　　　　;从1到127这些自然数的二进制表示中, f(n)=2的自然数有　　　　个. 

四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(13分)甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务.

(1)6名同学站成一排,若甲、乙、丙自左向右从高到矮排列,则不同的排列方案有多少种?

(2)6名同学站成一排,甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种?

(3)6名同学分成三组(每组至少有一人),进行三项不同的社区服务,则不同的分配方案有多少种?

 

 

 

 

 

16.(15分)在(a∈R,n∈N*)的展开式中,前三项的二项式系数之和为79.

(1)求n的值;

(2)若展开式中的常数项为,试求展开式中系数最大的项.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.(15分)已知12名运动员中有5人只擅长篮球,4人只擅长足球,另外3人篮球与足球都擅长.

(1)若从这12名运动员中选派2人,求这2人都擅长足球的选派方法种数;

(2)若让这12名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照,求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数;

(3)从这12名运动员中选派4人参加某项活动,要求这4人中有2人擅长篮球,有2人擅长足球,求满足条件的选派方法种数.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.(17分)在平面直角坐标系中,确定若干个点,点的横、纵坐标均取自集合A={-2,0,1,2},这样的点共有n个.

(1)求以这n个点中的2个点为端点的线段的条数;

(2)求这n个点能确定的直线的条数;

(3)若从这n个点中选出3个点分别为三角形的3个顶点,求这样的三角形的个数.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.(17分)设q是非零实数,对任意n∈N*,定义“q-数”:(n)q=1+q+…+qn-1,利用“q-数”可定义“q-阶乘”:(n)!q=(1)q(2)q…(n)q,且(0)!q=1;“q-组合数”:对任意k∈N,n∈N*,k≤n,.

(1)计算:;

(2)证明:对于任意k,n∈N*,k+1≤n,;

(3)证明:对于任意k,m∈N,n∈N*,k+1≤n,.