第6章 数学探究 杨辉三角的性质与应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

数学探究　杨辉三角的性质与应用 时间:40分钟 1.(2024湖南邵阳期中)如图,在“杨辉三角”中,从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成数列1,2,3,3,6,4,10,5,…,则此数列前30项的和为(　　) A.680　　　　B.679　　　　C.816　　　　D.815 2.(多选题)(2025安徽鼎尖教育月考)如图,“杨辉三角”是我国古代的伟大发明,其中a(i,j)表示第i行的第j个数(j≤i),Si表示第i行所有数字之和,例如a(3,2)=2,S3=4.则下列说法正确的是(　　) A.a(20,19)=19 B.a(n,3)=(n≥3) C.若bn=S1+S2+…+Sn,则数列{bn}的前n项和为2n+1-n-2 D.若a(n,j)=1 079,则{(n,m)|n=11,m=3} 3.(多选题)(2025山东德州第一中学月考)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表,数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是(　　) A.+…+=120 B.第2 023行的第1 012个和第1 013个数最大 C.记“杨辉三角”第n行的第i个数为ai,则2i-1·ai=3n+1 D.在“杨辉三角”中,第n行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字 4.(多选题)(2025湖南衡阳第一中学月考)在探究(a+b)n的展开式的二项式系数性质时,借助图1发现了二项式系数的一些规律,我们称这个图为杨辉三角.小明在学完杨辉三角之后进行类比探究,将(1+x+x2)n的展开式按x的升幂排列,其各项系数如图2所示. 若图2中第n行的第m个数用表示,即(1+x+x2)n的展开式中xm的系数为,则(　　) A.=15 B. C.(1≤k≤2n-1,k∈N*) D.+…+=0 5.(多选题)(2024福建泉州第五中学期中)杨辉三角又称贾宪三角,因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名,它的排列规律如图所示,在第一行的中间写下数字1;在第二行写下两个1,和第一行的1形成三角形;随后的每一行,第一个位置和最后一个位置的数都是1,其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和.下列说法中正确的是(　　) A.第n行的第r(r≤n)个位置的数是 B.若从第3行起,每行第3个位置的数依次组成一个新的数列{an},则数列{an}是两项奇数和两项偶数交替呈现的数列 C.70在杨辉三角中共出现了3次 D.210在杨辉三角中共出现了6次 6.(2024四川眉山丹棱中学期中)在探究(a+b)n的展开式的二项式系数性质时,我们把系数列成一张表,借助它发现了一些规律.在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了这个表,我们称这个表为杨辉三角.杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章.杨辉三角如图所示: 如上图,杨辉三角第6行的7个数依次为,…,.现将杨辉三角中第n(n≥1,n∈N*)行的第r(1≤r≤n+1,r∈N*,n∈N*)个数乘(r-1),第0行的一个数为0,得到一个新的三角数阵如下图: 在这个新的三角数阵中,第10行的第3个数为　　　　;第n(n∈N*)行的所有数的和为　　　　.  7.(2025湖北鄂东南省级示范高中期中联考)某同学在学习了“杨辉三角”后发现杨辉三角与数列紧密相关,自主构造了如下数阵.数阵的第一行是n(n>2)个连续的自然数,从第二行起每一行的数字均等于它肩上的两个数字之和,最后一行仅有一个数字. 请仔细观察数阵,解决下列问题: (1)求数阵中数字为奇数的项数M; (2)设数阵第m行的第一个数字为am,请直接写出am+1与am的等量关系,并求am; (3)设数阵所有行第一个数字之和为Sn,试判断Sn与+…+的大小关系,并说明理由. 答案与分层梯度式解析 数学探究　杨辉三角的性质与应用 1.D 2.ACD 3.BD 4.BCD 5.BCD 1.D　易知1+2+3+3+6+4+10+5+…=+…,所以数列前30项的和为+…+)+…+(+…++…++…++…+=…==816-1=815. 2.ACD　对于A,a(20,19)==19,故A正确; 对于B,因为a(n,3)=≠,故B错误; 对于C,易知Sn=2n-1,所以bn=20+21+22+…+2n-1==2n-1, 所以数列{bn}的前n项和为(21-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)=21+22+23+…+2n-n=-n=2n+1-2-n,故C正确; 对于D,当n=11,m=3时,a(11,j)=(20+21+22+…+29)+()=210-1+56=1 079,故D正确. 3.BD　对于A,因为,所以+…++…++…+-1=…=-1=119,故A错误; 对于B,第2 023行有2 024个数,中间两个数最大,即第1 012个和第1 013个数,故B正确; 对于C,易知ai=,所以2i-1·+…+2n=(1+2)n=3n≠3n+1,故C错误; 对于D,第n行所有数字的平方和为()2+…+()2,第2n行的中间一项的数字为,构造等式(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n, 等式左边xn的系数为+…+)2+…+()2,等式右边xn的系数为,所以()2+…+(,故D正确. 4.BCD　由题图2可知,每一行的每一个数等于其上一行头顶和左、右肩上共三个数的和(没有的用0代替),所以(2≤m≤2n-1,m∈N*). 对于A,=4+10+16=30,故A错误. 对于B,,以此类推,,故B正确. 对于C,(1≤k≤2n-1,k∈N*),故C正确. 对于D,(1+x+x2)2 024=x+…+x2 024+…+x4 048, (1-x)2 024=x+…-x2 023+x2 024=x+…+x2 024, 所以(1+x+x2)2 024(1-x)2 024=(x+…+x2 024+…+x4 048)(x+…+x2 024), 所以(1+x+x2)2 024(1-x)2 024的展开式中x2 024的系数为+…+, 易得(1+x+x2)2 024(1-x)2 024=(1-x3)2 024,其展开式的通项为Tr+1=x3r(r∈Z,0≤r≤2 024), 因为2 024=3×674+2,所以(1-x3)2 024的展开式中x2 024的系数为0, 所以+…+=0,故D正确. 5.BCD　对于A,第n行的第r(r≤n)个位置的数是,故A错误. 对于B,由题意得an+1=an+n+1,a1=1,所以数列{an}的奇数项(除第一项外)与前一项的奇偶性相反,偶数项与前一项的奇偶性相同,因为a1=1为奇数,所以a2为奇数,a3为偶数,a4为偶数,a5为奇数,a5是奇数项且为奇数,这与a1情况一致,从而奇偶性产生循环,故B正确. 对于C,不妨设m≤,令=70. 当m=1时,n=70,所以=70; 当m=2时,=70,无正整数解; 当m=3时,,当n=8时,=56<70,当n=9时,=84>70,而y=x(x-1)(x-2)在(2,+∞)上单调递增,故=70无解; 当m=4时,,当n=8时,=70,因为是第9行最中间的数,所以杨辉三角中以该数所在位置为顶点的下方三角形区域中的数都大于70,当5≤m≤时,≠70,所以70共出现了3次,故C正确. 对于D,同理,得=210,所以以所在位置为顶点的下方三角形区域中的数都大于210,故210在杨辉三角中共出现了6次,故D正确. 6.答案　90;n·2n-1 解析　杨辉三角中第n行的第r个数为,则新的三角数阵中第n行的第r个数为·(r-1),故第10行的第3个数为·(3-1)=90. 易得新的三角数阵中第n行的和为0×+…+n, 设(1+x)n=·x0+·x1+·x2+…+·xn,n∈N*, 两边求导得n(1+x)n-1=·x+3·x2+…+n·xn-1, 令x=1,得n·2n-1=+…+n, 所以新的三角数阵中第n行的所有数的和为n·2n-1. 7.解析　(1)观察数阵知,第一行的数奇偶性相间,第二行的数都为奇数,从第三行起所有数都为偶数, 当n为偶数时,M=, 当n为奇数时,M=, 所以M= (2)由题意知,am+1=am+(am+2m-1),即am+1=2am+2m-1,所以, 所以数列是以为首项,为公差的等差数列, 所以,所以am=(m+1)·2m-2. (3)Sn>+…+. 理由如下: 因为Sn=2×2-1+3×20+4×21+…+n·2n-3+(n+1)·2n-2, 所以2Sn=2×20+3×21+4×22+…+n·2n-2+(n+1)·2n-1, 两式相减得,-Sn=1+20+21+…+2n-3+2n-2-(n+1)·2n-1=1+-(n+1)·2n-1=-n·2n-1, 所以Sn=n·2n-1. +…++…++…+=…=, 令f(n)=(n≥3),则f(3)=, 因为>1(n≥3), 所以f(n)在n≥3上单调递增,所以f(n)≥f(3)=>1, 所以Sn>+…+. 11 学科网（北京）股份有限公司 $