第6章 单元整合练 排列与组合的综合应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

单元整合练　排列与组合的综合应用 时间:45分钟 1.(2025陕西西安第二中学月考)如图,用4种不同颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数为(　　) A.72　　　　B.96　　　　C.108　　　　D.120 2.(2025福建漳州期末)据典籍《周礼·春官》记载,“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶,成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上,排成一个五音阶音序,要求“宫”不为末音阶,“羽”不为首音阶,“商”“角”不相邻,则可以排成不同音序的种数是(　　) A.50　　　　B.64 C.66　　　　D.78 3.(2024湖南师范大学附属中学月考)有甲、乙等五人到三家企业去应聘,若每人至多被一家企业录用,每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用,则不同的录用情况种数是(　　) A.60　　　　B.114 C.278　　　　D.336 4.(多选题)(2025浙江杭州第四中学月考)将4个编号分别为1,2,3,4的小球放入4个编号分别为1,2,3,4的盒子中,下列说法正确的是(　　) A.共有24种放法 B.若每个盒子都有小球,则有24种放法 C.若恰好有一个空盒,则有144种放法 D.若每个盒内放一个小球,且恰好有一个小球的编号与盒子的编号相同,则有24种放法 5.(2025河南郑州外国语学校调研)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2023年杭州亚运会志愿者服务活动,有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,以下说法正确的是(　　) A.每人都安排一项工作的不同方法数为54 B.每人都安排一项工作,每项工作至少有一人参加,则不同的方法数为 C.如果司机工作不安排,其余三项工作至少安排一人,则这5名同学全部被安排的不同方法数为( D.每人都安排一项工作,每项工作至少有一人参加,甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同的方法数为 6.(2025安徽安庆第一中学期末)某种产品有4只次品和6只正品,每只产品均不相同且可区分,今每次取出一只来测试,直到这4只次品全测出为止,若最后一只次品恰好在第五次测试时被发现,则不同情况种数是　　　　.(用数字作答)  7.(2025河北邯郸部分学校模拟)一名小朋友在玩游戏,游戏规则如下:该小朋友在原地,他每次活动可以向前或向后走一步或走两步,且每一步步幅大小相同.若这名小朋友经过5次活动后,停在了原点向前两步的地方,则小朋友不同的活动方式共有　　　　种.  8.(2025湖南部分名校联考)将2个“0”、2个“1”和2个“2”这6个数,按从左到右的顺序排成一排,则能构成　　　　个自然数,在所有构成的自然数中,第一位数为1的所有自然数之和为　　　　.  答案与分层梯度式解析 单元整合练　排列与组合的综合应用 1.B 2.A 3.D 4.BC 5.D 1.B　若1,3不同色,则1,2,3,4必不同色,有3=72种涂色方法;若1,3同色,有=24种涂色方法.根据分类加法计数原理,不同的涂色种数为72+24=96. 2.A　①若“宫”为首音阶,则“商”“角”可取24,25,35音阶,排成的音序有=12种; ②若“宫”为第2音阶,则“商”“角”可取13,14,15,35音阶,排成的音序有=14种; ③若“宫”为第3音阶,则“商”“角”可取14,15,24,25音阶,排成的音序有=12种; ④若“宫”为第4音阶,则“商”“角”可取13,15,25,35音阶,排成的音序有=12种. 由分类加法计数原理可知,可以排成不同音序的种数是12+14+12+12=50. 3.D　分三类: 第一类,只录用3人,有=60种情况; 第二类,只录用4人,有=162种情况; 第三类,录用5人,有两种分配方式:2,2,1或3,1,1,共)=114种情况. 根据分类加法计数原理,共有60+162+114=336种不同的录用情况. 4.BC　对于A,每个小球有4种放法,所以共有44=256种放法,故A错误. 对于B,若每个盒子都有小球,则有=24种放法,故B正确. 对于C,先从4个小球中任选2个放入其中1个盒子中,有=24种放法,再在剩下的3个盒子中任选2个放入剩下的2个小球,有=6种放法,所以共有24×6=144种放法,故C正确. 对于D,先从4个小球中任选1个,放入编号相同的盒子中,有=4种放法,再将剩下的3个小球放入编号不同的盒子中,有2种放法,所以共有4×2=8种放法,故D错误. 5.D　对于A,安排5人参加四项工作,若每人都安排一项工作,每人有4种安排方法,则有45种安排方法,故A中说法错误; 对于B,先将5人分为4组,再将分好的4组全排列,有种安排方法,故B中说法错误; 对于C,分2步进行分析:第一步,将5人分为3组,有种分组方法,第二步,将分好的3组安排到翻译、导游、礼仪三项工作中,有种情况,则有·种安排方法,故C中说法错误; 对于D,分两种情况讨论:①从丙、丁、戊中选出1人开车,②从丙、丁、戊中选出2人开车,则有()种安排方法,故D中说法正确. 方法总结 　　求解排列问题的七种主要方法: 1.直接法:把符合条件的排列直接列式计算; 2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置; 3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列; 4.插空法:对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列形成的空中; 5.定序问题除法处理:对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列; 6.间接法:正难则反、等价转化的方法; 7.隔板法:相同元素. 知识拓展 　　组合中的错排问题:将n封信(编号为1~n,n∈N*)装到n个不同的信箱(编号为1~n,n∈N*)中,每封信和信箱的编号都不匹配的装法数N=n!. 6.答案　576 解析　对四只次品编号为1,2,3,4. 第五次抽到其中任一只次品有种情况. 前四次有三次是次品,一次是正品共有种可能. 前4次测试中的顺序有种可能. 由分步乘法计数原理得,不同情况种数是=576. 7.答案　105 解析　根据题意,分4种情况讨论: ①小朋友向后走一次2步,向前走4次,每次1步,有=5种活动方式; ②小朋友向后走2次,每次2步,向前走3次,每次2步,有=10种活动方式; ③小朋友向后走2次,一次2步,一次1步,向前走3次,2次2步,1次1步,有=60种活动方式; ④小朋友向后走2次,每次1步,向前走3次,1次2步,2次1步,有=30种活动方式. 则小朋友共有5+10+60+30=105种不同的活动方式. 8.答案　60;3 333 330 解析　因为要构成自然数,所以第一位数只能是1和2,故共有=60个自然数. 第一位数为1共有60÷2=30个自然数, 第二位数排0,1,2,分别有=12种排法; 根据对称性,第2位至第6位,每位均可排0,1,2,且均分别有12,6,12种排法,(关键点) 所以第一位数为1的所有自然数之和为1×30×105+(0×12+1×6+2×12)×(104+103+102+101+100)=3 333 330. 8 学科网（北京）股份有限公司 $