8.3 列联表与独立性检验（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

8.3　列联表与独立性检验 基础过关练 题组一　分类变量与列联表 1.(2025广东深圳德琳学校期中)观察下面各等高堆积条形图,其中两个分类变量x,y相关关系最强的是(　　) 　　　　 　　　　 2.(教材习题改编)(2024四川达州诊断性测试)已知四川省从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革,高考采用“3+1+2”的模式,其中“1”为首选科目,即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿,对部分高一学生进行了抽样调查,制作出如下两个等高堆积条形图,根据条形图的信息,下列结论正确的是(　　) 　 A.样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数 B.样本中选择历史意愿的女生人数多于男生人数 C.样本中选择物理学科的人数较多 D.样本中男生人数少于女生人数 3.(2025上海模拟)下表是一个2×2列联表,则s=　　　　.  y1 y2 总计 x1 a 35 45 x2 7 b n 总计 m 73 s 题组二　独立性检验及其应用 4.(2025河南南阳六校期中)下列实际问题不适合用独立性检验解决的是(　　) A.不良的饮食习惯是否会导致肠胃疾病 B.某公司的营业额在过去5年逐年变化的情况 C.增加课外阅读能否提高语文成绩 D.男性和女性在职业选择偏好上是否有差异 5.(2024广东广州期中)对于独立性检验,下列说法正确的是(　　) A.χ2的值可以为负值 B.χ2独立性检验的统计假设是各事件之间相互独立 C.χ2独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟习惯有关”即指“有吸烟习惯的人必会患慢性气管炎” D.2×2列联表中的4个数据可为任何实数 6.(2025湖北襄阳优质高中联考)某学校在一次调查“篮球迷”的活动中,获得了如下数据,以下结论最准确的是(　　) 单位:人 男生 女生 篮球迷 90 20 非篮球迷 60 30 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.10 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 A.有99.5%的把握认为是不是篮球迷与性别有关 B.有99%的把握认为是不是篮球迷与性别有关 C.在犯错误的概率不超过0.1的前提下,可以认为是不是篮球迷与性别有关 D.在犯错误的概率不超过0.05的前提下,可以认为是不是篮球迷与性别有关 7.(2025河南洛阳强基联盟月考)两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表如表所示: y1 y2 合计 x1 a b a+b x2 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 下列四组数据中,分类变量X和Y之间的关系最强的是(　　) A.a=4,b=2,c=3,d=6　　　　 B.a=2,b=1,c=3,d=5 C.a=4,b=5,c=6,d=8　　　　 D.a=2,b=3,c=4,d=6 8.(2025山东青岛期初调研)下表反映了12月份的21天中,李华同学在每天的数学课上携带教材的情况,以及数学课上李华同桌的情况,只有梓晴、陈伟和刘瑞可以作为李华的同桌.从表格信息,我们可以推断(　　) 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 教材 无 有 有 无 有 有 无 有 有 无 无 同桌 梓晴 陈伟 刘瑞 梓晴 陈伟 刘瑞 梓晴 陈伟 梓晴 梓晴 陈伟 序号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 教材 有 有 有 无 无 有 有 无 无 有 同桌 刘瑞 梓晴 陈伟 刘瑞 梓晴 陈伟 刘瑞 梓晴 陈伟 刘瑞 A.有95%的把握认为李华与梓晴同桌时上数学课有更大的概率携带教材 B.有99%的把握认为李华与梓晴同桌时上数学课有更大的概率携带教材 C.有95%的把握认为李华与刘瑞、陈伟同桌时上数学课有相等的概率携带教材 D.若强制刘瑞或陈伟与李华同桌,可能一定程度上提升李华上数学课携带教材的概率 9.(2025河北邯郸调研)为考察国产14纳米光刻机和进口14纳米光刻机的光刻效果,随机抽取了500台14纳米光刻机,对两种光刻机的良品、次品进行对比,得到如下列联表: 单位:台 良品 次品 合计 国产14纳米光刻机 170 80 n 进口14纳米光刻机 150 100 250 合计 m 180 500 (1)求m,n的值; (2)以频率估计概率,估计国产14纳米光刻机的次品率; (3)根据小概率值α=0.01的独立性检验,能否推断国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量有差异. 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 能力提升练 题组　独立性检验的综合应用 1.(2025辽宁重点高中协作体月考)某市准备安排该市所有中学教师进行体检,同时调查去年该市教师体检情况,并随机抽取100名高中教师与100名初中教师,经过统计得到如下2×2列联表: 单位:人 去年体检人数 去年未体检人数 合计 高中教师 70 30 100 初中教师 e f 100 合计 m n 200 若根据列联表中的数据,经计算得到χ2=,则这200名教师中,去年未体检的人数为(　　) 附:χ2=,n=a+b+c+d A.20　　　　B.30　　　　C.40　　　　D.50 2.(多选题)(创新题)(新考法·借助正态分布考查独立性检验)已知某地区成年男士的身高X(单位:cm)服从正态分布N(175,22),体重Y(单位:kg)服从正态分布N(70,32).若从该地区随机选取成年男士100人,得到数据如下表,则(　　) 单位:人 身高 体重 合计 大于73 kg 小于或等于73 kg 大于177 cm a b a+b 小于或等于 177 cm c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7. χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.根据正态分布估计a+b=16 B.根据正态分布估计b+d=84 C.若a=12,根据正态分布估计b,c,d的值,基于上述数值,根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析该地区成年男士身高超过177 cm与体重超过73 kg相关联 D.若a=12,根据正态分布估计b,c,d的值,基于上述数值,根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析该地区成年男士身高超过177 cm与体重超过73 kg相互独立 3.(2025山东菏泽模拟)某研究性学习小组针对“使用某App的用户是否存在性别差异”,向40n(n∈N*)个人进行调查.用Ω表示所有调查对象构成的集合.以Ω为样本空间建立古典概型,并定义一对分类变量X和Y如下:对于Ω中的每一名学生,X=现得到下表: 单位:人 是该App的用户 (Y=1) 不是该App的用户 (Y=0) 男性(X=1) 8n 12n 女性(X=0) 12n 8n 若根据α=0.05的独立性检验认为P(Y=1|X=0)>P(Y=1|X=1)(其中x0.05=3.841),则n的最小值为　　　　.参考公式:χ2=,其中n=a+b+c+d  4.(2025江西十校协作体联考)某校利用数字化软件记录500名学生每日课后作业完成的时长,某次考试之后统计得到了如下平均作业时长n与学业成绩m的数据表: 平均作业时长n/小时 [1, 1.5) [1.5, 2) [2, 2.5) [2.5, 3) [3, 3.5) 学业成绩优秀:90≤m≤100 1 14 37 43 5 学业成绩不优秀:0≤m<90 136 137 102 18 7 (1)填写如下2×2列联表,试判断:是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小于3小时有关; 单位:人 2≤n<3 其他 总计 优秀 不优秀 总计 (2)常用L(B|A)=表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势,在统计中称为似然比.现从这500名学生中任选一人,A表示“选到的是男生”,B表示“选到的学生成绩优秀”,若P(A)=0.6,且P(B|)=0.25,用频率估计概率求L(B|A). 附:χ2=,P(χ2≥3.841)≈0.05. 5.(2025山西部分学校联考)为了解南、北方消费者对新能源汽车的认可度,随机对南、北方共500位消费者进行问卷调查,得到如下列联表: 单位:人 认可 不认可 合计 南方消费者 150 150 300 北方消费者 75 125 s 合计 225 t 500 (1)求s,t; (2)根据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为南、北方消费者对新能源汽车的认可度有差异? (3)记南、北方消费者中对新能源汽车认可的概率分别为p1,p2,给出p1,p2的估计值,并根据p1,p2求4位消费者(2位南方消费者和2位北方消费者)中认可新能源汽车的人数X的分布列与期望. 附:χ2=. α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 6.(2025广东清远五校联考)甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”,即通过对毕业生进行笔试、面试、模拟课堂考核这3项程序后直接签约一批优秀毕业生,已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核,当3项程序均通过后即可签约.去年,该校数学系130名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如表所示(不存在通过3项程序考核放弃签约的情况): 参加考核但 未能签约的人数 参加考核 并能签约的人数 男生 45 15 女生 60 10 今年,该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才招聘计划”,假定他参加各程序的结果互不影响,且他的辅导员作出较客观的估计:小明通过甲地的每项程序的概率均为,通过乙地的各项程序的概率依次为,m,其中0<m<1. (1)判断是否有90%的把握认为去年该校数学系130名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关; (2)若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件C,D,他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X,Y.当E(X)>E(Y)时,证明:P(C)>P(D). 参考公式与临界值表:χ2=,n=a+b+c+d. α 0.10 0.05 0.025 0.010 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.(2025陕西高考适应性检测)无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要技术,但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑.为了解某大学的学生对无人驾驶的态度,随机调查了该校120名大学生(男女各60人),调查结果如表所示: 单位:人 性别 对无人驾驶的态度 支持 中立 反对 男 36 18 6 女 24 21 15 用样本的频率估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率,且学生的态度相互独立.为衡量学生对无人驾驶的支持程度,每名支持者得5分,每名中立者得3分,每名反对者得1分. (1)为判断性别对无人驾驶的支持态度是否存在关联,对上面数据重新整理形成下表,请补齐数据,并作出检验判断:能否有95%的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联? 单位:人 支持 不支持 男 女 附:χ2=,n=a+b+c+d. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 (2)从抽样调查的60名男大学生中,按分层随机抽样的方法选出10名学生进行深度追踪访谈,求选出的3名男大学生对无人驾驶的支持态度各异的概率; (3)从该校任选n名学生,其中得分为5分的学生人数为X,若P≥0.9,利用下面所给的两个结论,求正整数n的最小值. 结论一:若随机变量ξ~B(n,p),则随机变量η=近似服从正态分布N(0,1); 结论二:若随机变量ξ~N(0,1),则P(ξ≤1.28)≈0.9,P(ξ≤1.65)≈0.95. 答案与分层梯度式解析 8.3　列联表与独立性检验 基础过关练 1.B 2.C 4.B 5.B 6.D 7.A 8.D 1.B　等高堆积条形图中有两个高度相同的矩形,每个矩形都有两个颜色,观察下方颜色区域的高度,如果高度差越大,则这两个分类变量关系越强,观察四个选项可知,B选项中带颜色区域的高度差最大,两个分类变量x,y相关关系最强. 2.C　由题图2知,选择物理学科的男生人数较多(超过50%),选择历史学科的女生人数较少(低于50%),所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数,故A错误;由题图2知,样本中选择历史意愿的女生人数少于男生人数,故B错误;由题图1知,样本中选择物理学科的人数多于选择历史学科的人数,故C正确;由题图2知,样本中男生人数多于女生人数,故D错误. 3.答案　90 解析　由题中表格得a=45-35=10,m=10+7=17,s=17+73=90. 4.B　独立性检验是通过统计学方法来检验两个分类变量之间是否存在关联性,A、C、D满足独立性检验的基本思想,B中不存在两个分类变量. 5.B　2×2列联表中的数据均为正整数,再结合χ2公式可知χ2不可能为负值,因此A错误; 由独立性检验的检验步骤可知B正确; χ2独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟习惯有关”,是指吸烟的人患慢性气管炎的概率较大,即有一定的把握说它们相关,允许有一定的出错率,因此C错误; 2×2列联表中的4个数据是对于某组特定数据的统计数据,故四个数据间有一定的关系,不能为任意实数,因此D错误. 6.D　依题意可得2×2列联表如下: 单位:人 男生 女生 合计 篮球迷 90 20 110 非篮球迷 60 30 90 合计 150 50 200 χ2=≈6.06<6.635, 所以没有99%的把握认为是不是篮球迷与性别有关,进而没有99.5%的把握认为是不是篮球迷与性别有关,A,B错误; χ2≈6.06>3.841>2.706,最准确的是在犯错误的概率不超过0.05的前提下,可以认为是不是篮球迷与性别有关,D正确. 7.A　对于A, χ2=≈1.607; 对于B, χ2=≈0.749; 对于C, χ2=≈0.006; 对于D, χ2==0. 因为1.607>0.749>0.006>0, 所以A中分类变量X和Y之间的关系最强. 8.D　与梓晴同桌8天,2天带教材,6天没带; 与陈伟同桌7天,5天带教材,2天没带; 与刘瑞同桌6天,5天带教材,1天没带. 单位:天 带教材 没带教材 合计 梓晴 2 6 8 其他同桌 10 3 13 合计 12 9 21 ≈5.452>3.841, 所以有95%的把握认为李华是否带教材与谁是同桌有关,且与梓晴同桌时带教材的概率最小. ≈5.452<6.635, 所以没有99%的把握认为李华是否带教材与谁是同桌有关,故A,B错误; 单位:天 带教材 没带教材 合计 刘瑞 5 1 6 陈伟 5 2 7 合计 10 3 13 ≈0.258<3.841,所以没有95%的把握认为李华是否带教材与刘瑞、陈伟谁是同桌有关,C错误; 从带教材的数据,可知强制刘瑞或陈伟与李华同桌,可能一定程度上提升李华上数学课携带教材的概率,D正确. 9.解析　(1)由题意得m=170+150=320,n=170+80=250. (2)样品中,国产14纳米光刻机次品的频率为, 所以估计国产14纳米光刻机的次品率为. (3)零假设为H0:国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量无差异, χ2=≈3.472<6.635, 根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0成立, 即国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量无差异. 能力提升练 1.D　由题得χ2=(*), m=70+e,n=30+f,100=e+f,200=m+n, 可得m=200-n,f=n-30,e=130-n,代入(*)式可得38n2-4 600n+135 000=0,解得n=50或n=(舍去). 2.ABC　因为该地区成年男士的身高X(单位:cm)服从正态分布N(175,22), 所以P(X>177)=0.5-P(175-2≤X≤175+2)≈0.5-×0.682 7=0.158 65, 所以从该地区随机选取成年男士100人,身高大于177 cm的人数约为16人, 所以a+b=16,故A正确; 因为体重Y(单位:kg)服从正态分布N(70,32), 所以P(Y>73)=0.5-P(70-3≤Y≤70+3)≈0.158 65, 所以从该地区随机选取成年男士100人,体重大于73 kg的人数约为16人, 所以体重小于或等于73 kg的人数约为84人,故b+d=84,故B正确; 若a=12,则b=4,c=4,d=80, 零假设为H0:该地区成年男士身高超过177 cm与体重超过73 kg相互独立, 计算可得χ2=≈49.333 9>10.828=x0.001, 根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立, 所以该地区成年男士身高超过177 cm与体重超过73 kg相关联,故C正确;D错误. 3.答案　3 解析　由题意得用该App的用户存在性别差异, 所以χ2=n>3.841=x0.05, 即n>3.841×=2.400 625,所以n的最小值为3. 4.解析　(1)补全2×2列联表如下: 单位:人 2≤n<3 其他 总计 优秀 80 20 100 不优秀 120 280 400 总计 200 300 500 计算得χ2=≈83.3>3.841, 所以有95%的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小于3小时有关. (2)已知P(A)=0.6,则P(=0.2, 由已知得P(B|)=0.25, 则P()=0.4×0.25=0.1, 因为P(B)=P(AB)+P(B)=0.2,所以P(AB)=0.1, 又因为P(A)=P(AB)+P(A)=0.6,所以P(A)=0.5, 所以L(B|A)==0.2. 5.解析　(1)由列联表得s=200,t=275. (2)零假设为H0:南、北方消费者对新能源汽车的认可度无差异. 计算得χ2=≈7.576>6.635=x0.01. 根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即认为南、北方消费者对新能源汽车的认可度有差异. (3)南、北方消费者中对新能源汽车认可的频率分别为,因此p1,p2的估计值分别为. X的可能取值为0,1,2,3,4, P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=, P(X=4)=. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 故E(X)=0×. 6.解析　(1)由题表数据得n=45+15+60+10=130,χ2=≈2.388<2.706=x0.1, 所以没有90%的把握认为去年该校数学系130名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关. (2)证明:因为小明通过甲地的每项程序的概率均为,且小明参加各程序的结果互不影响,所以X~B,则E(X)=3×. 易知Y的可能取值为0,1,2,3. P(Y=0)=, P(Y=1)=, P(Y=2)=, P(Y=3)=, 故Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P E(Y)=0×+m. 因为E(X)>E(Y), 所以+m,即0<m<, 所以P(C)-P(D)=P(X=3)-P(Y=3)=>0,所以P(C)>P(D). 7.解析　(1)如表: 单位:人 支持 不支持 男 36 24 女 24 36 则χ2==4.8>3.841, 所以有95%的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联. (2)按分层随机抽样的方法从60名男大学生中选出10名,其中支持、中立、反对的人数分别为6,3,1, 故所求概率为. (3)由题可知从该校随机选一名学生得5分的概率为,则X~B, 设Y=,根据结论一,知Y~N(0,1), 再根据结论二,知P(-1.65≤Y≤1.65)≈2×0.95-1=0.9. 由条件知P≥0.9, 所以≥1.65,解得n≥10.89,所以正整数n的最小值为11. 22 学科网（北京）股份有限公司 $