8.3.2独立性检验课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二一人教A版—数学一选择性必修第三册一第八章 8.3.2独立性检验 会用独立性检验解决 简单的实际问题，提 升数据分析能力。 通过实例了解独立 性检验的基本思想 掌握独立性检 验的基本步骤 学 习 目 标 一、温故知新 1.分类变量 用以区别不同的现象或性质的一种特殊的随机变量，称为分类变量. 分类变量的取值可以用实数表示，例如，学生所在的班级可以用1,2,3 等表示，男性、女性可以用1,0表示，等等. 2.列联表 将形如下表这种形式的数据统计表称为2×2列联表.2×2列联表给出 了成对分类变量数据的交叉分类频数. 组别 甲(Y=0) 乙(Y=1) 合计 A(X=0) a b a+b B(X=1) C d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 一、温故知新 例1:为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽 取88名学生。通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩 优秀；乙校45名学生中有7名数学成绩优秀。试分析两校学生中数学成绩优 秀率之间是否存在差异。 解 ：用Ω表示两所学校的全体学生构成的集合.考虑以Ω为样本空间的古典概型.对于 学校 数学成绩 合 计 不优秀(Y=0) 优秀(Y=1) 甲校(X=0) 33 10 43 乙校(X=1) 38 7 45 合计 71 17 88 中每一名学生，定义分类变量X 和 Y如下： 0,该生数学成绩不优秀， Y= 1,该生数学成绩优秀. 将所给数据整理成下表(单位：人). 一、温故知新 (1) 甲 校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别： 和 乙校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别： 45~0.8444 和 45≈0.1556 学校 数学成绩 合计 不优秀(Y=0) 优秀(Y=1) 甲校(X=0) 33 10 43 乙校(X=1) 38 7 45 合计 71 17 88 (2)P(Y=1|X=0)>P(Y=1|X=1). (3)根据计算可用等高堆积条形图直观展示 所以认为两校学生的数学成绩优秀率存在差异， 甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高。 一、温故知新 例 1 :为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88 名学生。通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙 校45名学生中有7名数学成绩优秀。试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否 存在差异。 甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高，这个推断的结论是否错误? 频率估计概率，因样本数据的随机性特点，频率具有随机性，频率与概率直接存 在误差，故根据频率推断出结论有可能错误. 如何找到一种合理的推断方法，同时对出错的概率有一定的控制或估算. 一、温故知新 在现实生活中，人们经常需要回答一定范围内的两种分类变量是否存在 关联性或相互影响的问题。 假设Ho: 两种分类变量没有相关性或没有影响. 通常称H₀ 为零假设或原假设. P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1) 如何证明呢? H: 分类变量X和Y独立 P(X=1)P(Y=1)=P(X=1,Y=1) X Y 总计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 C d C+d 总计 a+C b+d n 二、知识生成 H₀:P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1) 由条件概率可知 P(Y=1,X=0)P(X=1)=P(Y=1,X=1)P(X=0 ① 因为X=0 与X=1 为对立事件，即P(X=0)= 1-P(X=1) ② 把②代入①:P(Y=1,X=0)P(X=1)= P(Y=1,X=1) [1-P(X=1) ] 乘法运算：P(Y=1,X=0)P(X=1)= P(Y=1,X=1) - P(Y=1,X=1) P(X=1) 移项：P(Y=1,X=0)P(X=1) +P(Y=1,X=1) P(X=1)= P(Y=1,X=1) 提公因式：[P(Y=1,X=0) + P(Y=1,X=1)] P(X=1)= P(Y=1,X=1) P(Y=1)P(X=1)AP(Y=1,X=1) X Y 总计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 C d C+d 总计 a+C b+d n=a+b+C+d P(X=1)P(Y=1)=P(X=1,Y=1) P(X=1)P(Y=1) 二、知识生成 假设Ho: 两种分类变量没有相关性或没有影响. 由频率估计概率，可以得到 如果零假设H₀ 成 立 ，C+)b+ 和 d 应该比较接近. 分类变量X和Y,2×2 列联表： 二、知识生成 零假设：Ho等价于 P(X=1)P(Y=1)=P(X=1,Y=1) 零假设H₀等价于{X=1} 和{Y=1} 独 立 → 比较小。 一般来说，若频数的期望值较大，则差的绝对值也会较大； 而若频数的期望值较小，则相应的差的绝对值也会较小. 为了合理地平衡这种影响，我们将差的绝对值取平方后分别除以相应的期望值 [d- (c+d)(b+dp² n (c+d)(b+d) n 若零假设H₀ 成 立，则这个值应该比较小. 二、知识生成 零假设H₀ 等价于{X=1} 和{Y=1} 独 立 → 比 较 小 。 由概率的相关知识可知，采用类比方法，同理可以得到下面的式子： {X=1} 与{Y=0} 独立. {X=0} 与{Y=0} 独立； {X=0} 与{Y=1} 独立； 同样将差的绝对值取平方后分别除以相应的期望值； 若零假设H₀ 成立，上面的取值都不应该很大.反之 ，可以推断H₀ 不成立. 显然，考虑四个差的绝对值很困难，能否找到一个合理的统计量来推断H₀ 是否成立? 三、知识生成 我们将四个差的绝对值取平方后分别除以相应的期望值再求和， 得到如下的统计量： 该表达式可化简为 .x² 读作“卡方” X Y 总计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 C d C+d 总计 a+C b+d n 再次理解x² 公式： 请结合列联表： 随机变量x²的大小作为判断零 假设H₀ 是否成立的依据. 怎样判断x²大小标准呢? > 如 果零假设H₀ 成立， 则x²应该很小. > 如 果零假设H₀ 不 成 立 ，则x²应该很大. 三、知识生成 三、知识生成 在假定H₀ 的条件下，对于有放回简单随机抽样，当样本容量充分大时，统 计学家得到了x² 的近似分布.忽略卡方的实际分布与该近似分布的误差后，对 于任何小概率值α, 可以找到相应的正实数，使得下面关系成立： xα)=α 我们称xa为α的临界值，这个临界值可以作为判断x²大小的标准. 只要把概率值α取得充分小，在假设H₀成立的 情况下，事件{x²≥xa} 是不大可能发生的. 根据这个规律，如果该事件发生，我们就可以 推断H₀不成立.不过这个推断有可能犯错误， 但犯错误的概率不会超过α. 三、知识生成 基于小概率值α的检验规则： 当x²≥xα时，我们就推断H₀ 不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的 概率不超过α; 当x²<xα时，我们没有充分证据推断H₀ 不成立，可以认为X 和Y独立. 这种利用x²的取值推断分类变量X 和Y是否独立的方法称为x²独立 性检验，读作“卡方独立性检验”,简称独立性检验. 例 如 ，对于一个小概率值α=0.05,有如下的具体检验规则： (1)当x²≥xo.05=3.8 41时，我们推断H₀ 不成立， 即认为X 与Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05; (2)当x²<x₀ .s=3.841 时，我们没有充分证据推断H₀ 不成立， 可以认为X 与Y 独立. 三、知识生成 下表给出了x² 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值： a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 学校 数学成绩 合计 不优秀(Y=0) 优秀(Y=1) 甲校(X=0) 33 10 43 乙校(X=1) 38 7 45 合计 71 17 88 v.T 0.05 0.0 1 0.005 0.001 xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 三 、例题讲解 例 2 : 依据小概率值α=0.1的x² 独立性检验，分析例1中的抽样数据，能 否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异? 解 ：零假设为H: 分类变量X与Y相 互独立，即两校学生的数学成绩优秀 率无差异.根据表中的数据，计算得 到 x²<2.706=xo₁ · 根据小概率值α=0.1的x² 独 立 性 检 验 ，没有充分证据推断H₀ 不 成 立， 因此可以认为H₀ 成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异. 三、例题讲解 思 考 ：例1和例2都是基于同一组数据的分析，但却得出了不同的结论， 你能说明其中的原因吗? 事实上，例1只是根据一个样本的两个频率的差异得出两校学生的数学 成绩优秀率存在差异的结论，并没有考虑由样本随机性可能导致的错误， 所 以那里的推断依据不太充分. 在例2中，我们用x² 独立性检验对零假设H₀ 进行了检验 .通过计算，发现x² ≈0.837小于α=0.1所对应的临界值2.706,因此认为没有充分证据推断H₀ 不成立，所 以接受H₀, 推断出校的数学成绩优秀率没有差异的结论.这个检验结果意味着，抽 样数据中两个频率的差异很有可能是由样本随机性导致的.因此，相对于比较两个 频率的推断，用x²独立性检验得到的结果更理性，更全面，理论依据也更充分。 三、例题讲解 例 3某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的 方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其 中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈 63名 .试根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗 法好. 解：零假设为H₀: 疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异. 将所给数据进行整理，得到两种疗法治疗数据的列联表. 根据列联表中的数据，经计算得 根据小概率值α=0.005的x²独立性检验，没有充分证据推断H₀ 不成立， 因此可以认为H₀ 成立，即认为两种疗法效果没有差异. 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 a 0.01 0.005 0.001 xa 6.635 7.879 10.828 三、例题讲解 思 考 1 :若对调两种疗法的位置或对调两种疗效的位置， 这样做会影响x² 取值的计算结果吗? 疗法 疗效 合计 治愈 未治愈 甲 52 15 67 乙 63 6 69 合计 115 21 136 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 乙 6 63 69 甲 15 52 67 合计 21 115 136 结 论 ：若对调两种疗法的位置或对调两种疗效的位置， 这样做不影响x²取值的计算结果 当小概率值α=0.005,改为“α=0.05或α=0.1”又如何? (1)当小概率值α=0.005时 ，x₀.005=7.879, 此 时x²≈4.881<7.879, 则没有充分证据推断H₀ 不 成 立，即认为两种疗法的效果没有差异. (2)当小概率值α=0.05时，x0.05=3.841,此 时x²≈4.881>3.841, 则推 断H, 不 成 立，即认为两种疗法的效果有差异， 该推断犯错误的概率不超过0.05. (3)当小概率值α=0.1时 ，x₀.05=2.706, 此 时x²≈4.881>2.706, 则推断H,不成立，即认为两种疗法的效果有差异， 该推断犯错误的概率不超过0.1. a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 思考2:对于例3中的数据， 经 计 算 得x²≈4.881. 三、例题讲解 (1)用样本估计总体思想估计该中学一年级学生的近视率； (2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近 视有关系? 解 ：(1)零假设为H₀ : 户外暴露时间与近视率相互独立. 由题可知该中学一年级 学生近视的人数为50,总数为100,利用样本估计总体思想可知50该中学一年 级学生的近视率为×100%=50%. 近视 足够的户外暴露时间 20 不足够的户外暴露时间 30 练习1:为了研究每周累计户外暴露时间是否足够(单位：小时)与近视发病率的关 系，对某中学一年级100名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据： a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 不近视 35 15 (2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近 视有关系? 解 ：(2)由卡方计算公式，可得 在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以推断H₀不成立， 即认为不足够的户外暴露时间与近视有关系 . 近视 足够的户外暴露时间 20 不足够的户外暴露时间 30 练习1:为了研究每周累计户外暴露时间是否足够(单位：小时)与近视发病率的关 系，对某中学一年级100名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据： a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 不近视 35 15 (2)能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为不足够的户外暴露时间与 近视有关系? 解 ：由卡方计算公式，可得 没有充分证据推断H₀ 不成立，因此可以认为H₀ 成立， 即不足够的户外暴露时间与近视没有关系. 练习 1 :为了研究每周累计户外暴露时间是否足够(单位：小时)与近视发病率的关 系，对某中学一年级100名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据： 近视 不近视 足够的户外暴露时间 20 35 不足够的户外暴露时间 30 15 a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ● 解：零假设Ho: 吸烟与患肺癌之间无关联，根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值α=0.001的卡方独立性检验，推断H₀ 不成立， 因此可以推断吸烟与患肺癌之间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 三、例题讲解 例3:为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法， 调查了9965人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如下表所示 .依据小概率 值α=0.001的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险. 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 7775 42 7817 吸烟者 2099 49 2148 合计 9874 91 9965 a 0.01 0.005 0.001 xa 6.635 7.879 10.828 四、总结提升 根据上述例题，应用独立性检验解决实际问题大致应包括哪几个环节? (1)提出零假设H₀:X 和Y相互独立，并给出在问题中的解释. (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算x² 的值，并与临界值x. 比较. (3)根据检验规则得出推断结论. (4)在X 和Y 不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率， 分析X 和Y 间的影响规律. 五、作业与小结 1.x² 统计量 2.小概率值α的检验规则： 当x²≥xα 时，我们就推断H₀ 不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错 误的概率不超过α; 当x²<xα时，我们没有充分证据推断H₀ 不成立，可以认为X 和Y独立. 3.独立性检验的一般步骤： (1)提出零假设H₀:X 和Y相互独立，并给出在问题中的解释. (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算x² 的值，并与临界值xα 比较. (3)根据检验规则得出推断结论. ( 4 ) 在X 和Y 不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率， 分析X 和Y 间的影响规律. 五、作业与小结 思 考：独立性检验的思想类似于我们常用的反证法，你能指出二 者之间的相同和不同之处吗? 作业：教 材P134练习第3、4题 谢谢观看 高二一人教A版—数学一选择性必修第三册一第八章 8.3.2独立性检验 知识回顾 1.小概率值α的临界值： 忽略x²的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值a, 可以找到相 应的正实数xα, 使 得Px²≥xa)=a 成立 . 我们称xa为α的临 界 值，这个临界值就 可 作 为判断x²大小的标准，概率值α越小，临界值x。越 大. 2.x²计算公式： 3.基于小概率值α的检验规则是： 当x²≥x 。时，我们就推断H₀ 不成立，即认为X 和 Y 不独立，该推断犯错误的概率 不超过α; 当x²<x。时，我们没有充分证据推断H₀ 不成立，可以认为X 和 Y 独立 . 反证法 独立性检验 在某种假设H₀ 下，如果推 出一个矛盾，则证明H₀不成立 若未能推出矛盾，不能对H₀ 下 任何结论，即反证法不成功 在零假设H₀ 下，如果出现一个与H₀相 矛盾的小概率事件，则推断H₀不成立，且 该推断犯错误的概率不大于这个小概率. 否则，不能推断H₀不成立，通常会接受H₀, 即认为两个分类变量相互独立. 反证法不会犯错误 独立性检验会犯随机性错误 思 考 ：独立性检验的思想类似于我们常用的反证法， 你能指出二者之间的相同和不同之处吗? 回简单随机样本的数据，得到如下列联表： 依据α=0.05的独立性检验，分析药物A 对预 防疾病B的有效性. 解：零假设为H₀:药 物A与预防疾病B无关 联，即药物A对预防疾病B没有效果，根据 列联表中数据，经计算得到 药 物 A 疾 病 B 合计 未患病 患病 未服用 29 15 44 服用 47 14 61 合计 76 29 105 根据小概率值α=0.05的x²独立性检验，没有充分证据推断H₀ 不成立， 即可以认为药物A 对预防疾病B没有效果. 课本134页 1.为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物试验，根据105个有放 a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 末考试成绩的样本观测数据整理如下： 依据α=0.05的独立性检验，能否认为数 学成绩与语文成绩有关联? 解 ：零假设为H₀: 数学成绩与语文成绩独 立即数学成绩与语文成绩没有关联，根据列 联表中数据，经计算得到 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 212 61 273 优秀 54 73 127 合计 266 134 400 课本134页 2.从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期 根据小概率值α=0.05的x²独立性检验，我们可以推断H,不成立，即认 为数学成绩与语文成绩有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05. a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 3.根据同一抽查数据推断两个分类变量之间是否有关联， 应用不同的小概率值，是否会得出不同的结论?为什么? 解 ：可能会得出不同的结论.理由如下： 对同一抽样数据，计算出来的x²的值是确定的，在独立性 检验中，基于不同的小概率值α的检验规则，对应不同的临界 值x, 其 与x²的大小关系可能不同，相当于检验的标准发生变 化，因此结论可能会不同. 4.为了检验两种不同的课堂教学模式对学生的成绩是否有影响，现从高二 年级的甲(实行“问题—探究式”模式)、乙(实行“自学—指导式”模式) 两个班中每班任意抽取20名学生进行测试，他们的成绩(总分150分)如下 甲班：88929598103108110112118118120121126132 134135140142146148 乙班：9697104107108108114117119121124124125 127132135135137138147 记成绩在120分以上(包括120分)为优秀，其他的成绩为一般，试根据小概 率值α=0.1的独立性检验，分析这两种课堂教学模式对学生的成绩是否有 影响 . X = 40(10×9-10×11)≈0.1003<2.706. 没有充分证据推断H,不成立，因此可以认为H₀ 成立， 即两种课堂教学模式对学生的成绩没有影响. 2 班级 成绩 合计 优秀 一般 甲班 10 10 20 乙班 11 9 20 合计 21 19 40 解：零假设为H₀: 课堂教学模式与学生的成绩相互独立. 根据题中所给数据得到如下2×2列联表： 谢谢观看 $$