7.2 离散型随机变量及其分布列（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

7.2　离散型随机变量及其分布列 基础过关练 题组一　随机变量的概念及离散型随机变量的取值 1.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为X,则X=k表示的试验结果为(　　) A.第(k-1)次检测到正品,第k次检测到次品 B.第k次检测到正品,第(k+1)次检测到次品 C.前(k-1)次检测到正品,第k次检测到次品 D.前k次检测到正品,第(k+1)次检测到次品 2.(多选题)(2025山西临汾部分学校联考)下列变量是离散型随机变量的是(　　) A.某水位监测站所测水位在(0,18]这一范围内变化,该水位监测站所测水位H B.抛掷一枚硬币直到出现正面为止,需要的抛掷次数 C.在某次数学期中考试中,一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 D.方程x2-2x-3=0的实根个数 3.(2025江西宜春丰城第九中学开学考试)一串钥匙有6把,只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数X的最大可能取值为(　　) A.6　　　　B.5　　　　C.4　　　　D.2 4.(2025陕西蓝田城关中学联考)从标有1~10的10支竹签中任取2支,设所得2支竹签上的数字之和为X,那么随机变量X可能取得的值为　　　　.  5.(2025湖北武汉问津联合体月考)某商场进行有奖促销活动,满500元可以参与一次掷飞镖游戏.每次游戏可掷7只飞镖,采取积分制,掷中靶盘,得1分,不中得0分,连续掷中2次额外加1分,连续掷中3次额外加2分,以此类推,连续掷中7次额外加6分.小明购物满500元,参加了一次游戏,则小明在此次游戏中得分X的可能取值有　　　　种.  题组二　离散型随机变量的分布列 6.(教材习题改编)甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8,0.7,他们各自投篮一次,设两人命中总次数为X,则X的分布列为(　　) A. X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B. X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.70 C. X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D. X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 7.(2025安徽蒙城第八中学月考)袋中有大小相同、质地均匀的3个白球,5个黑球,从中任取2个球,设取到白球的个数为X. (1)求P(X=1)的值; (2)求随机变量X的分布列. 8.(易错题)(2025河南项城期末)小明设计了一款虚拟电子射击游戏,游戏规则如下:参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目标,在任意一个弹槽内装填一颗子弹,然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击,规定:若该弹槽有子弹则一定能击中目标,若该弹槽为空槽则子弹射击不出去,从而无法击中目标.一次射击结束后,若未能击中目标,则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹,并随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口重复射击,直至击中目标为止.已知转动到任意槽位的概率均相等,且在所有弹槽内填满子弹就一定能击中目标,记参与者击中目标共需要射击X次. (1)求P(X=1)和P(X=2)的值; (2)求X的所有可能取值; (3)求X的分布列. 题组三　离散型随机变量分布列的性质 9.(2025安徽A10联盟期中)已知随机变量X的分布列为P(X=i)=ai2(i=1,2,3),则P(X=2)=(　　) A. 10.(2025河南驻马店期末)若离散型随机变量ξ的可能取值为1,2,3,…,n,且ξ取每一个值的概率相同,P(2<ξ<5)=0.2,则n=(　　) A.4　　　　B.6　　　　C.9　　　　D.10 11.(2025黑龙江哈尔滨第九中学段考)设离散型随机变量X的分布列如下表,若随机变量Y=|X-2|,则P(Y=2)=(　　) X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A.0.2　　　　B.0.3　　　　C.0.4　　　　D.0.5 12.(2025河北石家庄期末)设X是一个离散型随机变量,其分布列如表所示,则P(|X|=1)=(　　) X -1 0 1 P 1-2q 3q2-q+ A. 题组四　两点分布 13.(多选题)下列选项中的随机变量服从两点分布的是(　　) A.抛掷一个质地均匀的骰子,所得点数X B.某射击手射击一次,击中目标的次数X C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球,设X= D.某医生做一次手术,手术成功的次数X 14.(2025山东名校联盟期中)已知随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=0.4,Y=3X-2,则P(Y=1)=(　　) A.0.2　　　　B.0.3 C.0.4　　　　D.0.6 15.(2025山东百师联盟联考)已知随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=2a2,P(X=1)=a,则a=　　　　.能力提升练  题组一　离散型随机变量分布列的性质及其应用 1.(2025湖北部分市州联考)若随机变量ξ的分布列如下表,表中数列{an}为等差数列,则P(ξ=5)的取值是(　　) ξ 3 4 5 6 7 P a1 a2 a3 a4 a5 A. 2.(2025山东潍坊第一中学质量检测)若随机变量X的分布列如下表,则当P(X<a)=0.7时,实数a的取值范围是(　　) X -2 -1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 A.(-∞,2]　　　　B.[1,2]　　　　C.(1,2]　　　　D.(1,2) 3.(创新题)(2025安徽亳州期末)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),pi=1,定义X的信息熵H(X)=-pilog2pi,若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),则(　　) A.H(X)≥H(Y)　　　　B.H(X)≤H(Y) C.H(X)<H(Y)　　　　D.H(X)>H(Y) 4.(2025湖北武汉期末)已知随机变量X,Y均服从0—1分布,若P(X=1)=P(Y=1)=,且P(XY=0)=1,则P(X=Y)=　　　　.  题组二　求离散型随机变量的分布列 5.(2025河南焦作期末)设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1,则随机变量ξ的分布列为　　　　　　　　　.  6.(2025福建福州期末)现有A,B两个不透明的袋子,A袋中装有2个红球、2个白球,B袋中装有1个红球、2个白球.玩家甲和玩家乙分别参与摸球游戏,每人各参与一次且互不影响,得分高者获胜.游戏规则是:玩家先从袋子A中随机摸出2个球. 情况1:摸出的2个球颜色相同,则将这2个球放入袋子B中,然后从袋子B中随机摸出2个球,若摸出2个球同色,则玩家获得8分;若摸出2个球不同色,则玩家获得4分. 情况2:摸出的2个球颜色不同,则将这2个球放回袋子A中,然后从袋子A中再随机摸出2个球,若摸出2个球同色,则玩家获得6分;若摸出2个球不同色,则玩家获得4分. (1)求玩家甲在游戏中得8分的概率; (2)求玩家乙在游戏中获胜的概率; (3)设玩家甲和玩家乙在游戏中得分的总和为X,求X的分布列. 答案与分层梯度式解析 7.2　离散型随机变量及其分布列 基础过关练 1.D 2.BC 3.B 6.D 9.A 10.D 11.D 12.A 13.BCD 14.D 1.D　由题意得X=k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k,因此前k次检测到的都是正品,第(k+1)次检测到次品. 2.BC　对于A,因为水位在(0,18]这一范围内变化,不能一一列举出来,所以不是离散型随机变量,故A错误; 对于B,需要抛掷次数可以一一列举出来,所以是离散型随机变量,故B正确; 对于C,做对选择题第11题的人数可以一一列举出来,所以是离散型随机变量,故C正确; 对于D,方程x2-2x-3=0的实根有2个,是确定的值,不是随机变量,故D错误. 3.B　由于是逐次试验,因此当前5把都打不开时,剩余的1把一定能打开,所以试验次数X的最大可能取值为5. 4.答案　3,4,5,…,19 解析　根据题意,从标有1~10的10支竹签中任取2支,当取出的2支标有1和2时,X的值最小,此时X=3,当取出的2支标有9和10时,X的值最大,此时X=19,故随机变量X可能取得的值为3,4,5,…,19. 5.答案　13 解析　把中记为A,不中记为B,有如下情况: AAAAAAA,此时X=7+6=13, AAAAAAB,此时X=6+5=11, AAAAABA,此时X=6+4=10, AAAAABB,此时X=5+4=9, AAAABAB,此时X=5+3=8, AAAABBB,此时X=4+3=7, AAABABB,此时X=4+2=6, AAABBBB,此时X=3+2=5, AABABBB,此时X=3+1=4, ABABABB,此时X=3+0=3, ABBABBB,此时X=2+0=2, ABBBBBB,此时X=1+0=1, BBBBBBB,此时X=0+0=0, 其他情况未产生其他得分,故略,故X的可能取值有13种. 6.D　由题意可得,X的可能取值为0,1,2, P(X=0)=(1-0.8)×(1-0.7)=0.06, P(X=1)=(1-0.8)×0.7+0.8×(1-0.7)=0.38, P(X=2)=0.8×0.7=0.56, 故X的分布列为 X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 7.解析　(1)“X=1”表示“取出的2个球中,恰有1个白球”, 所以P(X=1)=. (2)根据题意,X的可能取值为0,1,2. P(X=0)=, 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 技巧点拨 求离散型随机变量的概率分布的关键是搞清离散型随机变量X取每一个值时对应的随机事件,然后利用古典概型、排列组合等知识求出X取每个值时的概率即可. 8.解析　(1)由题意可得,P(X=1)=. (2)由题意可得X的所有可能取值为1,2,3,4,5. (3)P(X=3)=, P(X=4)=, P(X=5)=, 故X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 9.A　因为P(X=i)=ai2(i=1,2,3),所以P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=a+4a+9a=1,解得a=,所以P(X=2)=4a=. 10.D　因为P(2<ξ<5)=P(ξ=3)+P(ξ=4)==0.2,所以n=10. 11.D　由分布列的性质可得0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3, 因为Y=|X-2|,所以P(Y=2)=P(X=0)+P(X=4)=0.2+m=0.2+0.3=0.5. 12.A　由分布列的性质知 解得q=, ∴P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=1-P(X=0)=. 易错警示 　　本题不仅要注意分布列中各概率之和为1,还要注意每一个可能值对应随机事件的概率均在区间[0,1]内. 13.BCD　 14.D　令Y=3X-2=1,得X=1, 因为X服从两点分布,且P(X=0)=0.4, 所以P(Y=1)=P(X=1)=1-P(X=0)=0.6. 15.答案　 解析　由题意可知P(X=0)+P(X=1)=2a2+a=1,解得a=或a=-1,又a>0,所以a=. 能力提升练 1.D 2.C 3.D 1.D　由分布列的性质可知a1+a2+a3+a4+a5=1,又数列{an}为等差数列,所以5a3=1,即a3=,则P(ξ=5)=. 2.C　由已知得P(X<-1)=0.1,P(X<0)=0.3,P(X<1)=0.4,P(X<2)=0.7, 因为P(X<a)=0.7,所以实数a的取值范围是(1,2]. 3.D　依题意知,P(Y=1)=p1+p2m,P(Y=2)=p2+p2m-1,P(Y=3)=p3+p2m-2,……,P(Y=m)=pm+pm+1, ∴H(Y)=-[(p1+p2m)log2(p1+p2m)+(p2+p2m-1)·log2(p2+p2m-1)+…+(pm+pm+1)log2(pm+pm+1)], 又H(X)=-(p1log2p1+p2log2p2+…+pmlog2pm+…+p2mlog2p2m), ∴H(Y)-H(X)=p1log2+…+p2mlog2, 又<1,……,<1, ∴H(Y)-H(X)<0,∴H(X)>H(Y). 4.答案　 解析　因为随机变量X,Y均服从0—1分布,且P(X=1)=P(Y=1)=, 所以P(X=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=①, P(Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=1)=②. 因为P(XY=0)=1,即P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=0,Y=0)=1, 所以P(X=1,Y=1)=1-P(XY=0)=0③, 将③代入①,可得P(X=1,Y=0)=, 将③代入②,可得P(X=0,Y=1)=, 所以P(X=0,Y=0)=1-P(X=1,Y=0)-P(X=0,Y=1)=1-, 所以P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1)=. 5.答案　 ξ 0 1 P 解析　ξ的可能取值为0,1,. 若两条棱相交,则交点必在正方体的顶点处,过任意一个顶点的棱有3条,所以P(ξ=0)=. 若两条棱平行,则它们之间的距离为1或, 而距离为的棱共有6对,故P(ξ=. 于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=. 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 P 技巧点拨 如果求随机变量取某个值时的概率比较烦琐,那么可先求出随机变量取其他值时的概率,再利用分布列的性质求解. 6.解析　(1)玩家甲在游戏中得8分,包括以下两种情况:①甲从袋子A中随机摸出2个红球,再将这2个球放入袋子B中后从袋子B中随机摸出2个球同色;②甲从袋子A中随机摸出2个白球,再将这2个球放入袋子B中后从袋子B中随机摸出2个白球. 所以玩家甲在游戏中得8分的概率为. (2)由(1)知玩家在游戏中得8分的概率为, 玩家在游戏中得6分的概率为, 玩家在游戏中得4分的概率为. 玩家乙在游戏中获胜的情况有以下三种: 甲得4分,乙得6分,其概率为; 甲得4分,乙得8分,其概率为; 甲得6分,乙得8分,其概率为. 所以玩家乙在游戏中获胜的概率为. (3)由题意可得,X的可能取值为8,10,12,14,16, P(X=8)=, 所以X的分布列为 X 8 10 12 14 16 P 16 学科网（北京）股份有限公司 $