7.2 离散型随机变量及其分布列-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦离散型随机变量及其分布列核心知识点，系统梳理随机变量的概念（样本点与实数对应）、离散型随机变量的特征（有限或可列取值）、分布列的定义及性质（概率非负且和为1）、两点分布，衔接随机事件概率基础与后续数字特征学习，通过问题初探、实例探究、典例变式、分层作业构建完整学习支架。 该资料以问题链驱动数学抽象，从射击环数、罚球得分等实例引导学生抽象随机变量概念，培养用数学眼光观察现实世界的能力。通过摸球、产品检测等问题，让学生经历“确定取值—计算概率—列分布列”的建模过程，提升数学建模与数据分析素养。教用微提醒点拨关键，母题探究深化理解，分层作业适配差异，课中助力教师高效引导，课后便于学生自主复习查漏补缺。

7.2　离散型随机变量及其分布列 [学习目标]　1．借助教材实例，了解离散型随机变量及其分布列．(数学抽象) 2．了解离散型随机变量分布列的性质、两点分布的概念．(数学抽象) 3．会求简单的离散型随机变量的分布列．(数学建模、数据分析) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．随机变量的概念是什么？离散型随机变量的概念是什么？ 问题2．如何表示随机变量？随机变量与函数有什么关系？ 问题3．离散型随机变量的分布列的定义是什么？ 问题4．离散型随机变量的分布列的性质是什么？ 问题5．什么是两点分布？ (对应学生用书第46页) 探究1　随机变量的概念及分类 问题1　(1)某人在射击训练中，射击一次命中的环数，能否用数值表示相应结果呢？ (2)篮球运动员每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？ (3)掷一枚骰子，出现正面向上的点数共有几种不同的数字？能否用数值表示相应结果呢？ [提示]　(1)试验结果：命中0环，命中1环，命中2环，……，命中10环，用数值表示试验结果为0，1，2，…，10． (2)投进零个球——0分，投进一个球——1分，投进两个球——2分，投进三个球——3分． (3)共有6种，可以用1，2，3，4，5，6来表示相应结果． [新知生成] 1．随机变量 (1)随机变量的概念 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． (2)随机变量的特点 ①取值依赖于样本点． ②所有可能取值是明确的． (3)随机变量的表示 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z． 2．离散型随机变量 (1)离散型随机变量的概念 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量． (2)离散型随机变量的特征 ①可用数值表示． ②试验之前可以判断其出现的所有值． ③在试验之前不能确定取何值． ④试验结果能一一列出． 【教用·微提醒】　随机变量与函数的定义类似：随机试验样本空间Ω中的样本点ω相当于函数定义中的自变量，X(ω)是与ω对应的实数． 　随机变量的概念 [典例讲评]　1．(多选)下列变量是随机变量的是(　　) A．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数 B．一台机器在一段时间内出现故障的次数 C．某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数 D．方程x2－2x－3＝0的实根个数 ABC　[随机变量在一个随机试验中，其结果有多种可能，选项A，B，C都符合随机变量的定义；方程x2－2x－3＝0的实根个数是2，是确定的，不是随机变量，故D错误．] 　解题的关键是判断变量(试验结果)是否符合随机变量的定义． 　离散型随机变量的判断 [典例讲评]　2．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由． (1)某座大桥一天经过的车辆数X； (2)某超市5月每天的销售额； (3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ； (4)某水位监测站所测水位(单位：米)在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ． [解]　(1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量． (2)某超市5月每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量． (3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量． (4)水位(单位：米)在(0，29]这一范围内变化，不能按次序一一列举，不是离散型随机变量． [母题探究]　(变题设)本例题中的(4)改为：若用X＝0表示监测站所测水位没有超过警戒线，X＝1表示监测站所测水位超过警戒线，警戒水位是29 m，X是离散型随机变量吗？ [解]　X是离散型随机变量． 　判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法 (1)明确随机试验的所有可能结果． (2)将随机试验的试验结果数量化． (3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是离散型随机变量． 　用随机变量表示事件的结果 [典例讲评]　3．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数X． (1)写出随机变量X的取值，并说明取值表示的试验结果； (2)若规定取3个球，每取到一个白球加5分，取到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定Y的随机变量类型． [解]　(1)X的所有可能的取值为0，1，2，3． “X＝0”表示取出3个黑球； “X＝1”表示取出1个白球2个黑球； “X＝2”表示取出2个白球1个黑球； “X＝3”表示取出3个白球． (2)由题意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值为0，1，2，3， 所以Y对应的各值是6，11，16，21， 故Y的可能取值为6，11，16，21， 显然Y为离散型随机变量． 　(1)解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果． (2)注意解答过程中不要漏掉某些试验结果． [学以致用]　1．(1)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　) A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到的球的个数 (2)抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为(　　) A．第一枚为5点，第二枚为1点 B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点 C．第一枚为6点，第二枚为1点 D．第一枚为4点，第二枚为1点 (3)下列叙述中，是离散型随机变量的为(　　) A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数 D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性 (1)C　(2)C　(3)C　[(1)根据离散型随机变量的定义可得选项C是离散型随机变量，其结果可以一一列出，其中随机变量X的取值为0，1，2． (2)由于X表示“第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差”， 因此“X>4”只有一种情况，也就是“X＝5”， ∴“X>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点． (3)选项A，掷硬币不是正面向上就是反面向上，次数之和为5，是常量；选项B，是随机变量，但不能一一列出，不是离散型随机变量；选项D，事件发生的可能性不是随机变量．] 探究2　离散型随机变量的分布列 问题2　一瓶中装有5个球，编号为1，2，3，4，5．从瓶中同时取3个，以X表示取出的3个球中的最大编号数．请思考： (1)随机变量X的可能取值是什么？ (2)试求X取不同值的概率分别是什么？ (3)你能用表格表示X与P的对应关系吗？ [提示]　(1)X的可能取值为3，4，5． (2)P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝． (3)能．X与P的对应关系表示如下． X 3 4 5 P [新知生成] 1．离散型随机变量的分布列 (1)概念：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． (2)表示：离散型随机变量的分布列可以用表格或图形表示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 2．离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1． 3．两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝ 如果P(A)＝p，则P＝1－p，那么X的分布列如表所示． X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0—1分布． 【教用·微提醒】　随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． 　离散型随机变量的分布列 [典例讲评]　【链接教材P60例3】 4．一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球、2个红球，从中摸出2个球．用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列． [解]　一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球、2个红球，从中摸出2个球，有＝10(种)情况． X的所有可能取值为0，1，2． P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝． 故X的分布列为 X 0 1 2 P 【教材原题·P60例3】 例3　一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列． [解]　设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0，1，2．根据古典概型的知识，可得X的分布列为 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝． 用表格表示X的分布列，如表7.2－6所示． 表7.2－6 X 0 1 2 P 　求离散型随机变量的分布列关键有三点 (1)随机变量的取值． (2)每一个取值所对应的概率． (3)用所有概率之和是否为1来检验． 　两点分布 [典例讲评]　【链接教材P59例1】 5．袋内有5个白球、6个红球，从中摸出两球，记X＝ 求X的分布列． [解]　显然X服从两点分布，P(X＝0)＝＝， 所以P(X＝1)＝1－＝，所以X的分布列是 X 0 1 P 【教材原题·P59例1】 一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义 X＝ 求X的分布列． [解]　根据X的定义，{X＝1}＝“抽到次品”，{X＝0}＝“抽到正品”，X的分布列为 P(X＝0)＝0.95，P(X＝1)＝0.05． 　(1)判断一个随机变量是否服从两点分布，只要看试验结果是否只有两个对应结果． (2)由对立事件的概率，得P(X＝0)＋P(X＝1)＝1． (3)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它． [学以致用]　2．为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下： 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 177 180 y 75 80 77 70 81 如果产品中的微量元素x，y满足x≥177且y≥79时，该产品为优等品． 现从上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数X的分布列． [解]　5件抽测品中有2件优等品，则X的可能取值为0，1，2． P(X＝0)＝＝0.3， P(X＝1)＝＝0.6， P(X＝2)＝＝0.1， 所以优等品数X的分布列为 X 0 1 2 P 0.3 0.6 0.1 探究3　分布列的性质及应用 [典例讲评]　【链接教材P59例2】 6．(源自湘教版教材)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，其中c为常数，求的值． [解]　由离散型随机变量分布列的性质可知 ＋＋＋＝1， 所以c＝1， 解得c＝． 因此，P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝． [母题探究] 1．(变题设)将本例题的条件变为“设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1，2，3，4，5)”．试求P． [解]　由题意，得X的分布列为 X 1 P a 2a 3a 4a 5a 由分布列的性质，得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1， 解得a＝． P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝． 或者P＝1－P＝1－＝． 2．(变结论)本例条件不变，求2X＋1的分布列． [解]　依题意，2X＋1的取值为3，5，7，9， 则2X＋1的分布列为 2X＋1 3 5 7 9 P 【教材原题·P59例2】 例2　某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表7.2－4所示． 表7.2－4 等级 不及格 及格 中等 良 优 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及P(X≥4)． [解]　由题意知，X是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5，且{X＝1}＝“不及格”，{X＝2}＝“及格”，{X＝3}＝“中等”，{X＝4}＝“良”，{X＝5}＝“优”．根据古典概型的知识，可得X的分布列，如表7.2－5所示． 表7.2－5 X 1 2 3 4 5 P P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋＝． 　离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确． (2)由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． [学以致用]　3．若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 9c2－c 3－8c 试求出离散型随机变量X的分布列． [解]　由已知可得9c2－c＋3－8c＝1， ∴9c2－9c＋2＝0， 解得c＝或c＝． 检验：当c＝时，9c2－c＝9×＝>0， 3－8c＝3－＝>0； 当c＝时，9c2－c＝9×＝>1， 3－8c＝3－＝－<0，不适合，舍去．故c＝． 故所求分布列为 X 0 1 P (对应学生用书第50页) 1．(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数X B．某欢乐谷一天接待游客数X C．某型号彩电的寿命X D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和X ABD　[∵B，D中X的取值有限，且可以一一列举出来，故B，D中的X均为离散型随机变量． ∵A中X的取值依次为1，2，3，…，虽然无限， 但可一一列举出来，故为离散型随机变量． 而C中X的取值不能一一列举出来， ∴C中的X不是离散型随机变量．故选ABD．] 2．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P m 则m的值为(　　) A．　　　 B．　　 C．　　　 D． C　[由离散型随机变量的分布列的性质知，＋m＋＋＝1，解得m＝．] 3．已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.6．设Y＝3X－2，那么P(Y＝－2)等于(　　) A．0.6 　 B．0.3 C．0.2 　 D．0.4 D　[随机变量X服从两点分布， 当Y＝－2时，由3X－2＝－2，解得X＝0， 所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－0.6＝0.4． 故选D．] 4．设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，若P(X<4)＝0.3，则n＝________． 10　[因为X等可能取1，2，3，…，n，所以X的每个值的概率均为．由题意知P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，所以n＝10．] 1．知识链： 2．方法链：离散型随机变量分布列性质的应用策略、转化化归思想． 3．警示牌：不能正确地列出随机变量的取值，导致分布列求解错误． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 离散型随机变量有哪些特征？ [提示]　(1)可用数值表示； (2)试验之前可以判断其出现的所有值； (3)在试验之前不能确定取何值； (4)试验结果能一一列出． 课时分层作业(十四)　离散型随机变量及其分布列 (对应学生用书第139页) 一、选择题 1．(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) A．某足球队在5次点球中进球的次数 B．投篮一次的结果 C．某同学在12：00至12：30到校的时间 D．从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数 ABD　[根据离散型随机变量的定义，即可以按照一定次序一一列出，可能取值为有限个或无限个，A，B，D中随机变量的取值均有有限个，能一一列举，均是离散型随机变量；C中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，不能一一列举出来，因此C不是离散型随机变量．] 2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示(　　) A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 D　[甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分， 所以{ξ＝3}有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．] 3．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则P(X＝2)＝(　　) X 1 2 3 P a 2a 3a A．　　　 B． C． 　 D． C　[依题意得a＋2a＋3a＝1，解得a＝， 所以P(X＝2)＝2×＝．] 4．(多选)已知随机变量X的分布列为P(X＝n)＝(n＝0，1，2)，其中a是常数，则(　　) A．P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1 B．a＝ C．P(0≤X＜2)＝ D．P(X＝1)＝ ABC　[因为X的分布列为P(X＝n)＝(n＝0，1，2)， 所以P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＋＝1， 解得a＝，则P(X＝1)＝，P(0≤X＜2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝．故选ABC．] 5．(多选)下列选项中的随机变量服从两点分布的是(　　) A．抛掷一枚骰子，所得点数X B．某射击手射击一次，击中目标的次数X C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设X＝ D．某医生做一次手术，手术成功的次数X BCD　[由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布，而抛掷一枚骰子，所得点数X的可能取值为1，2，3，4，5，6，所以A中的随机变量不服从两点分布．故选BCD．] 二、填空题 6．若X服从两点分布，P(X＝1)－P(X＝0)＝0.32，则P(X＝0)＝________． 0.34　[依题意可得P(X＝1)＋P(X＝0)＝1， 又因为P(X＝1)－P(X＝0)＝0.32， 所以P(X＝0)＝＝0.34．] 7．在一次考试中，某名同学需回答三个问题，考试规则如下：每个题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________． 300，100，－100，－300　[当答对3道题时，X＝300； 当答对2道题时，X＝100； 当答对1道题时，X＝－100； 当答对0道题时，X＝－300．] 8．已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 1－2q 则P＝________． 　[由分布列的性质得1－2q≥0，q≥0， 且＋1－2q＋q＝1，解得q＝， ∴P＝P(X＝0)＋P(X＝1) ＝＋＝．] 三、解答题 9．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个自然数中，任取3个不同的数．设X为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量X的分布列． [解]　根据题意，X的可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 10．设X是一个离散型随机变量，则下列不能作为X的分布列的一组概率取值的数据是(　　) A．0， B．0.1，0.2，0.3，0.4 C．p，1－p(0≤p≤1) D． D　[根据分布列的性质可知，所有的概率和等于1，且0≤p≤1． 对于A，因为0＋＋0＋0＋＝1，且满足0≤p≤1，所以A选项能成为X的概率分布列的一组数据；对于B，因为0.1＋0.2＋0.3＋0.4＝1，且满足0≤p≤1，所以B选项能成为X的概率分布列的一组数据；对于C，因为p＋1－p＝1，且满足0≤p≤1，所以C选项能成为X的概率分布列的一组数据；对于D，因为＋＋…＋＝1－＝，所以D选项不能成为X的概率分布列的一组数据．故选D．] 11．(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则(　　) X －1 0 1 P a b c A．a＝ 　 B．b＝ C．c＝ 　 D．P(|X|＝1)＝ BD　[∵a，b，c成等差数列， ∴2b＝a＋c． 由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1， ∴b＝． ∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝1－P(X＝0)＝1－＝．故选BD．] 12．(多选)已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 4 6 P 0.2 m n 0.1 则下列选项正确的是(　　) A．m＋n＝0.7　 B．若m＝0.3，则P(X＞3)＝0.5　 C．若m＝0.9，则n＝－0.2　 D．P(X＝1)＝2P(X＝6) ABD　[对于A，由分布列的性质，可得0.2＋m＋n＋0.1＝1，解得m＋n＝0.7，所以A正确； 对于B，若m＝0.3，可得n＝0.4，则P(X＞3)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝0.5，故B正确；对于C，由概率的定义知m≥0，n≥0，所以C不正确； 对于D，由P(X＝1)＝0.2，P(X＝6)＝0.1，则P(X＝1)＝2P(X＝6)，所以D正确．故选ABD．] 13．设随机变量X的分布列如下表，则P(|X－2|＝1)＝________． X 1 2 3 4 P m 　[根据＋＋m＋＝1，解得m＝． 由|X－2|＝1，得X＝1或X＝3． 故所求概率为P(|X－2|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝＋＝．] 14．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球． (1)求“两球颜色相同”的概率； (2)设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列． [解]　(1)从甲袋中取出黑球的概率为，取出白球的概率为， 从乙袋中取出黑球的概率为，取出白球的概率为， 故“两球颜色相同”的概率P＝×＋×＝． (2)由题意可得，ξ所有可能取值为0，1，2， P(ξ＝0)＝×＝， P(ξ＝1)＝×＋×＝， P(ξ＝2)＝×＝． 则ξ的分布列如表所示： ξ 0 1 2 P 15．如图是某市10月份1日至14日的空气污染指数折线图，空气污染指数为0～50，空气质量级别为一级；空气污染指数为51～100，空气质量级别为二级；空气污染指数为101～150，空气质量级别为三级．某人随机选择10月份的1日至13日中的某一天到达该市，并停留2天．设X是此人停留期间空气质量级别不超过二级的天数，则P(X>1)＝(　　) A．　　　 B．　　 C．　　　 D． C　[由题意知，X的取值为0，1，2， 空气质量级别不超过二级的为10月份的1日、2日、3日、7日、12日、13日、14日，P(X>1)＝P(X＝2)， 即要连续两天的空气质量级别不超过二级， 所以此人应在10月份的1日、2日、12日、13日中的某一天到达该市， 所以P(X>1)＝P(X＝2)＝．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $