7.1.2 全概率公式（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

7.1.2　全概率公式 基础过关练 题组一　全概率公式 1.(2025山东日照期末)某公司A,B两个研发小组同时设计生产出了相同规格、相同数量的芯片,经初步鉴定:A组生产的芯片合格率为84%,B组生产的芯片合格率为88%.现公司决定再将这些产品送专家鉴定后量产,专家从这些芯片中随机取一个,则该芯片合格的概率为(　　) A.84%　　　　B.88%　　　　C.86%　　　　D.73.92% 2.(2025湖南长沙第一中学期中)已知某羽毛球小组共有40名运动员,其中一级运动员8人,二级运动员12人,三级运动员20人.现举行一场羽毛球选拔赛,若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9,0.6,0.3,则从这40名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为　(　　) A.0.42　　　　B.0.46　　　　C.0.51　　　　D.0.62 3.(2025陕西西安高新第一中学月考)若从数字1,2,3,4中任取一个数,记为x,再从1,…,x中任取一个数,记为y,则y=3的概率为(　　) A. 4.(2025安徽部分学校期末)甲口袋中有3个红球,2个白球和5个黑球,乙口袋中有3个红球,3个白球和4个黑球,先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋,用事件A1,A2和A3分别表示从甲口袋取出的球是红球、白球和黑球;再从乙口袋中随机取出一球,用事件B表示从乙口袋取出的球是红球,则下列结论中正确的是(　　) A.P(B|A2)=　　　　B.事件A1和B相互独立 C.P(B)= 5.(2025河南驻马店高级中学开学考试)某病毒会造成“持续的人传人”,即存在A传B,B又传C,C又传D的传染现象,那么A,B,C就被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9,0.8,0.6.已知健康的小明参加了一次多人宴会,参加宴会的人中有5名第一代传播者,3名第二代传播者,2名第三代传播者,若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触,则被感染的概率为　　　　.  6.(2025广东深圳大学附属中学检测)把红球和白球(除颜色外没有其他差异)放进甲、乙、丙三个空盒子中,每个盒子5个球,其中的红球个数分别为2,3,4.现随机选取一个盒子,每个盒子被选取的概率均为,再从选取的盒子中随机摸出一个球. (1)求摸出的球是红球的概率; (2)若摸出的球是红球,记该红球为“R”. (i)求“R”是从乙盒摸出的概率; (ii)将“R”放回原盒,再从该盒中随机摸出一个球,求此球为红球的概率. 题组二　贝叶斯公式* 7.(2025河北衡水第二中学调研)秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期,为了解该疾病的发病情况,疾控部门对该地区居民进行普查化验,化验结果阳性率为1.96%,但统计分析结果显示患病率为1%,医学研究表明化验结果是有可能存在误差的,没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为0.01,则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为(　　) A.0.99　　　　B.0.98　　　　C.0.97　　　　D.0.96 8.(2025湖南长郡二十校联考)某平台为维护消费者权益,开设维权通道,消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉.平台将对投诉情况进行核实,为消费者提供咨询帮助.据统计,在进行维权的消费者中,选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和,且对应维权成功的概率分别为和,选择其他方式维权且成功的概率为,则在维权成功的条件下,选择邮件投诉的概率为(　　) A. 9.(2025河北邯郸部分学校月考)某城市交通部门对市民上班的出行方式进行了一项调查,调查结果显示,有60%的市民乘坐公共交通工具(如公交、地铁),有30%的市民开私家车,有10%的市民选择骑行(如自行车、电动车)或步行.进一步的数据显示,在乘坐公共交通工具出行的市民中,有20%的人迟到,在开私家车出行的市民中,有30%的人迟到,在骑行或步行出行的市民中,有10%的人迟到.以频率估计概率,从该市随机选择一名市民,若他迟到了,则这名市民是乘坐公共交通工具出行的概率为(　　) A. 10.(2024河南安阳模拟)李老师购买了一箱苹果,将其分为两份,第1份占总数的40%,坏果率为5%,第2份占总数的60%,坏果率为4%.若李老师分苹果之前随机拿了一个发现是坏果后放回,则该苹果被分到第1份中的概率为　　　　.  11.(教材伸延拓展)某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏,主持人从编号分别为1,2,3,4四个外观相同的空箱子中随机选择一个,放入奖品,再将四个箱子关闭,即主持人知道奖品在哪个箱子里.当抽奖人选择某个箱子后,在箱子打开之前,主持人会随机打开一个没有奖品的箱子,并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.已知甲先选择了1号箱子,此时主持人打开2号箱子的概率为　　　　,在主持人打开2号箱子的情况下,奖品在4号箱子的概率为　　　　.  12.(2025福建三明期中)某足球队为评估球员的场上作用,对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置,根据过往多场比赛,其出场率与出场时球队的胜率如下表所示. 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.3 0.5 0.2 球队胜率 0.8 0.6 0.7 (1)当甲出场比赛时,求球队输球的概率; (2)当甲出场比赛时,在球队获胜的条件下,求球员甲出任边锋的概率; (3)当甲出场比赛时,如果该足球队获胜,那么球员甲最有可能出任场上的哪个位置?请说明理由. 答案与分层梯度式解析 7.1.2　全概率公式 基础过关练 1.C 2.C 3.A 4.C 7.C 8.B 9.C 1.C　设事件M=“抽到的芯片是A组生产的”,事件N=“抽到合格的芯片”, 则P(M)=P()=0.88, 则P(N)=P(M)P(N|M)+P(×(0.84+0.88)=0.86. 2.C　设事件A1为“选出的运动员是一级运动员”,A2为“选出的运动员是二级运动员”,A3为“选出的运动员是三级运动员”,B为“选出的运动员能晋级”, 则P(A1)=,P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=0.3, 所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=×0.3=0.51,即任选一名运动员能够晋级的概率为0.51. 3.A　设事件Ai=“x=i(i=1,2,3,4)”,B=“y=3”, 则P(Ai)=, ∴P(B)=×0+0+=. 4.C　由题意得P(A1)=,所以A错误; P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=,因此C正确; 因为P(B)≠P(B|A1),所以P(A1B)≠P(A1)P(B),所以事件A1和B不相互独立,因此B错误; P(A1|B)=,因此D错误. 5.答案　0.81 解析　设事件E=“小明与第一代传播者接触”,事件F=“小明与第二代传播者接触”,事件G=“小明与第三代传播者接触”,事件H=“小明被感染”, 则P(E)=0.5,P(F)=0.3,P(G)=0.2,P(H|E)=0.9,P(H|F)=0.8,P(H|G)=0.6, 所以P(H)=P(E)P(H|E)+P(F)P(H|F)+P(G)P(H|G)=0.5×0.9+0.3×0.8+0.2×0.6=0.81. 6.解析　(1)设事件Ai表示“选取的是第i个盒子”,i=1,2,3,事件B表示“摸出的球是红球”, 则P(A1)=P(A2)=P(A3)=, 所以P(B)=. (2)(i)P(A2|B)=. (ii)设事件C表示“再摸出的球是红球”. 当从甲盒摸球(即A1发生)时,P(C|A1)=; 当从乙盒摸球(即A2发生)时,P(C|A2)=; 当从丙盒摸球(即A3发生)时,P(C|A3)=. 由(i)知P(A2|B)=,同理可得P(A1|B)=, 所以P(C)=. 7.C　设事件A为“患有该疾病”,B为“化验结果呈阳性”, 则P(A)=1%,P(B)=1.96%,P(B|)=1%, 由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(),即, 解得P(B|A)==0.97. 8.B　设选择邮件投诉为事件A,维权成功为事件B, 则P(B)=, 故P(A|B)=. 9.C　设事件A1为“乘坐公共交通工具”,事件A2为“开私家车”,事件A3为“骑行或步行”,B为“这名市民迟到”, 则P(A1)=, 所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=, 故P(A1|B)=. 10.答案　 解析　设事件B为“拿的苹果是坏果”,Ai(i=1,2)为“拿的苹果来自第i份”, 则P(A1)=0.4,P(B|A1)=0.05,P(A2)=0.6,P(B|A2)=0.04, 所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.4×0.05+0.6×0.04=0.044, 因此P(A1|B)=. 11.答案　 解析　用事件Ai表示i号箱子有奖品,Bi表示主持人打开i号箱子,i=1,2,3,4, 则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=, 所以P(B2)=, 所以P(A4|B2)=. 12.解析　用事件A1表示“甲出任边锋”,A2表示“甲出任前卫”,A3表示“甲出任中场”,B表示“当甲出场比赛时,球队赢球”, 则P(A1)=0.3,P(A2)=0.5,P(A3)=0.2,P(B|A1)=0.8,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=0.7. (1)P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=0.3×0.8+0.5×0.6+0.2×0.7=0.68, 所以甲出场比赛时,球队输球的概率为1-P(B)=1-0.68=0.32. (2)由(1)知P(B)=0.68, 又P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=0.3×0.8=0.24, 所以P(A1|B)=, 故当甲出场比赛时,在球队获胜的条件下,球员甲出任边锋的概率为. (3)易得P(A2|B)=, P(A3|B)=. 因为P(A2|B)>P(A1|B)>P(A3|B), 所以当甲出场比赛时,如果该足球队获胜,那么球员甲最有可能出任前卫. 10 学科网（北京）股份有限公司 $