6.3.1 二项式定理（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

6.3　二项式定理 6.3.1　二项式定理 基础过关练 题组一　二项式定理的正用和逆用 1.(2025北京陈经纶中学月考)若(x+1)n的展开式共有11项,则n=(　　) A.9　　　　B.10　　　　C.11　　　　D.8 2.(教材习题改编)若(1+(a,b为有理数),则a+b等于(　　) A.33　　　　B.29　　　　C.23　　　　D.19 3.(2025河北沧州联考)若∀x∈R,(ax+b)5=(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1恒成立,其中a,b∈R,则a+b=(　　) A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2 4.(2024河北保定期末)已知3n-2+…+=1 024,则n=　　　　.   5.(2025贵州贵阳第六中学联盟校联考)化简+…+2n-1=　　　　.  题组二　展开式中的特定项及特定项的系数 6.(易错题)(2025广东部分学校联考)的展开式中第5项的系数为(　　) A.60　　　　B.64　　　　C.72　　　　D.84 7.(2025安徽合肥第八中学月考)的展开式中第7项是常数项,则n的值是(　　) A.8　　　　B.9　　　　C.10　　　　D.11 8.(2025广东深圳外国语学校月考)在的展开式中,常数项为84,则x6的系数为(　　) A.-9　　　　B.-36　　　　C.9　　　　D.36 9.(易错题)在的展开式中,系数是有理数的项共有(　　) A.6项　　　　B.5项　　　　C.4项　　　　D.3项 10.(2025湖南长沙第一中学检测)已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72,则该展开式中的常数项为(　　) A. 11.(2025山东潍坊诊断性调研)(2x2+y)10的展开式中x6y7的系数是　　　　.  12.(2025湖南长沙四大名校月考)已知(x+b)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,若a3=40,则b=　　　　.  13.(2025湖北十一校联考)若x5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+a4(x+1)4+a5(x+1)5,则a2=　　　　.  14.(2025河南洛阳孟津第一高级中学期中)已知在的展开式中,第9项为常数项,求: (1)n的值; (2)展开式中x5的系数; (3)含x的整数次幂的项的个数. 能力提升练 题组一　展开式中的特定项及特定项的系数 1.(2025福建泉州质量检测)已知(2x+2)6+a(x+1)3的展开式中x3的系数为0,则a=(　　) A.-1 280　　　　B.-640　　　　C.640　　　　D.1 280 2.(2025安徽皖中名校联盟大联考)已知(1+x)4的展开式中含x3的项的系数为4,则a=(　　) A.-2　　　　B.1　　　　C.3　　　　D.2 3.(2025广东汕头一模)在(x-2 021)(x+2 022)(x-2 023)(x+2 024)(x-2 025)的展开式中,含x4的项的系数是(　　) A.-2 025　　　　B.-2 023　　　　C.-2 021　　　　D.2 025 4.(2025湖南师范大学附属中学月考)在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7+…+(1+x)12的展开式中,x3的系数是(　　) A.690　　　　B.-690　　　　C.710　　　　D.-710 5.(2025山东济宁实验中学调研)已知(x+3)(x+2)8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a8(x+1)8+a9(x+1)9,则a8=(　　) A.8　　　　B.10　　　　C.28　　　　D.29 6.(2025山西吕梁部分学校联考)(x+y+2z)5的展开式中,xy2z2的系数为(　　) A.40　　　　B.60　　　　C.80　　　　D.120 7.(多选题)(2025福建福州金山中学检测)已知(x>0且x≠1,n∈N*,n≥2)的展开式中第(n-1)项为15,则下列结论正确的是(　　) A.n=6　　　　B.m=2 C. 8.(2025河南郑州第一中学期中)已知且n满足=3. (1)求n的值; (2)求展开式的中间一项; (3)设+…+an,求a2+a3. 题组二　二项式定理的应用 9.(创新题)(2025山东青岛第五十八中学月考)某放射性物质的质量每年比前一年衰减5%,其初始质量为m0,10年后的质量为m',则下列各数中与最接近的是(　　) A.70%　　　　B.65%　　　　C.60%　　　　D.55% 10.(2024湖北武汉期末)设n∈N*,则5+52+53+…+5n除以7的余数为　(　　) A.0或5　　　　B.1或3 C.4或6　　　　D.0或3 11.(2025湖北华大新高考联盟联考)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统,约定满十进一就是十进制,满八进一就是八进制,即“满几进一”就是几进制,不同进制的数可以相互转换,如十进制下,159=2×82+3×8+7,用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的719,则这个八进制数的最后一位为　　　　.  12.(创新题)(2025上海闵行中学月考)我们称n(n为正整数)元有序实数组(x1,x2,…,xn)为n维向量,|x1|+|x2|+…+|xn|为该向量的范数.已知n维向量a=(x1,x2,…,xn),其中xi∈{-1,0,1}(i=1,2,…,n),记范数为奇数的a的个数为An,则A9=　　　　.  答案与分层梯度式解析 6.3　二项式定理 6.3.1　二项式定理 基础过关练 1.B 2.B 3.D 6.A 7.B 8.C 9.C 10.A 1.B　因为(x+1)n的展开式共有11项,所以n+1=11,得n=10. 2.B　(1+, 则a=17,b=12,故a+b=17+12=29. 3.D　∵(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1=[(x+2)-1]5=(x+1)5, ∴(ax+b)5=(x+1)5,∴a=b=1,∴a+b=2. 4.答案　5 解析　3n-2+…+3n-2×12+…+30×1n=(3+1)n=4n=1 024=210,即22n=210,解得n=5. 5.答案　 解析　设S=+…+2n-1. 根据组合数的性质,得S=+…+2n-1. 由二项式定理可知(1+2)n=×23+…+×2n, 即3n=+…+2n, 所以3n-+…+2n, 所以3n-1=2(+…+2n-1), 即3n-1=2S,则S=. 6.A　的展开式中第5项为T5=(2x)2·=60x-2,故所求的系数为60. 易错提醒 　　(a+b)n的展开式中第(r+1)项为Tr+1=an-rbr,在本题中,第5项即r=4. 7.B　的展开式中第7项为T6+1=(2x)n-6·xn-9, 因为第7项为常数项,所以n-9=0,解得n=9. 8.C　的展开式的通项为Tr+1=x9-3r,r=0,1,2,…,9, 令9-3r=0,得r=3,则展开式中的常数项为(-1)3a3=-84a3=84,则a=-1, 令9-3r=6,得r=1,则x6的系数为-1×(-1)=9. 9.C　的展开式的通项为·((0≤r≤20,r∈N). 令k=,只有当r=2,8,14,20时,k为整数.故系数是有理数的项共有4项. 易错警示 解决二项展开式中的特定项问题时,要注意问题的形式,分清是项、项的系数,还是二项式系数,“项”是指这一项的全部,“项的系数”是指这一项的系数,“二项式系数”是指,如本题的问题是“系数是有理数的项”,而不是“有理项”,只是系数是有理数的项,有理项是该项字母的指数为整数的项. 10.A　依题意,=72,即n(n-1)=72,而n为正整数,所以n=9, 则的展开式的通项为Tk+1=x9-3k,k=0,1,2,…,9, 令9-3k=0,解得k=3, 所以该展开式中的常数项为. 11.答案　960 解析　(2x2+y)10的展开式的通项为Tr+1=(2x2)10-ryr,r=0,1,…,10, 令r=7,则T8=(2x2)3y7=960x6y7,所以x6y7的系数是960. 12.答案　±2 解析　(x+b)5的展开式的通项为Tr+1=x5-rbr,r=0,1,2,…,5,所以x3的系数为b2,所以b2=a3=40,解得b=±2. 13.答案　-10 解析　由题意得,x5=[(x+1)-1]5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+a4(x+1)4+a5(x+1)5, 所以a2=(-1)3=-10. 关键点睛 　　当式子中的一端表示为二项式的展开式的形式时,可以将另一端转化为二项式的形式,例如在本题中,右侧为a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+a4(x+1)4+a5(x+1)5,类似展开式的形式,所以关键点是把x5表示成[(x+1)-1]5,利用二项式定理求解. 14.解析　(1)的展开式的通项为Tk+1=,k=0,1,…,n, 因为第9项为常数项,所以当k=8时,2n-k=0,即2n-20=0,解得n=10. (2)的展开式的通项为Tk+1=(-1)k·,k=0,1,…,10, 令20-k=5,得k=6,所以展开式中x5的系数为(-1)6·. (3)要使20-k为整数,只需k为偶数,又0≤k≤10,k∈N,所以k=0,2,4,6,8,10, 所以含x的整数次幂的项的个数为6. 能力提升练 1.A 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.AB 9.C 10.A 1.A　(2x+2)6的展开式中含x3的项为(2x)3·23=26x3,其系数为26=1 280, a(x+1)3的展开式中含x3的项为ax3,其系数为a, 所以(2x+2)6+a(x+1)3的展开式中x3的系数为a+1 280=0,所以a=-1 280. 2.D　(1+x)4的展开式中x2的系数为=6,x4的系数为=1, 所以(1+x)4的展开式中含x3的项的系数为1×6+(-a)×1=4,解得a=2. 3.B　根据多项式的乘法,5个因式中,4个取一次项x,1个取常数项,相乘可得含x4的项,常数项共5种取法,合并同类项得含x4的项的系数为-2 021+2 022-2 023+2 024-2 025=-2 023. 4.C　(1+x)n的展开式的通项为Tr+1=xr,r=0,1,2,…,n, 所以含x3的项的系数为+…++…+=715-5=710. 5.B　(x+3)(x+2)8=[(x+1)+2][(x+1)+1]8, 其中[(x+1)+1]8的展开式的通项为Tr+1=(x+1)8-r,r=0,1,2,…,8, 当r=0时,T1=(x+1)8=(x+1)8,此时只需乘第一个因式[(x+1)+2]中的2,可得2(x+1)8; 当r=1时,T2=(x+1)7=8(x+1)7, 所以(x+3)(x+2)8的展开式中含(x+1)8的项为2(x+1)8+8(x+1)7(x+1)=10(x+1)8,所以a8=10. 6.D　解法一:(x+y+2z)5的展开式的通项为x5-r(y+2z)r(0≤r≤5,r∈N), (y+2z)r的展开式的通项为yr-kzk(0≤k≤r≤5,k,r∈N), 所以(x+y+2z)5的展开式的通项为Tr+1,k+1=2kx5-ryr-kzk(0≤k≤r≤5,k,r∈N), 由可得 故展开式中xy2z2的系数为22=120. 解法二:(x+y+2z)5可看成5个(x+y+2z)相乘,所以要得到含xy2z2的项,只需从5个因式中选1个因式取x,剩下的4个因式中2个取y,2个取2z, 所以展开式中xy2z2的系数为×22=120. 7.AB　由二项式定理可得Tn-1=x2m-n+2=15,则解得故A,B正确;=15,故C错误;=30,所以,故D错误. 8.解析　(1)因为=3,所以-2n=3,解得n=6或n=-1, 由组合数的性质得n≥2,则n=6. (2)由(1)可知,其展开式共有13项,则展开式的中间一项是第7项, 的展开式的通项为Tk+1=·,k=0,1,…,12, 当k=6时,T7==924. (3), +…+a6, 的展开式的通项为Tr+1=(-2)6-r·,r=0,1,…,6, 则T3=, T4=, 所以a2=240,a3=-160,故a2+a3=80. 9.C　由题意可知m'=m0(1-5%)10,则×0.053+…+×0.0510≈1-0.5+45×0.052=61.25%,结合选项知选C. 10.A　1+5+…+5n7n-2-…+7×(-1)n-1·-1,此展开式中,除了最后两项外,其余的各项均能被7整除,故它除以7的余数即为(-1)n-1除以7的余数,即为0或5. 11.答案　7 解析　719=(8-1)19=819-×815-…+×8-1, 而×8-1=151=2×82+2×8+7,故这个八进制数的最后一位为7. 12.答案　9 842 解析　当n为奇数时,若范数为奇数,则xi=0的个数为偶数,即0的个数为0,2,4,…,n-1, 由分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得An=·2n+·2n-2+…+·2, 因为·2n+·2n-1+…+·2+=(2+1)n=3n,① ·2n-·2n-1+…+·2-=(2-1)n=1,② 所以①+②得2(·2n+·2n-2+…+·2)=3n+1, 故An=,所以A9==9 842. 15 学科网（北京）股份有限公司 $