6.2.1 排列 6.2.2 排列数（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

6.2　排列与组合 6.2.1　排列　6.2.2　排列数 基础过关练 题组一　对排列概念的理解 1.(2025广东东莞中学段考)下列问题不属于排列问题的是(　　) A.从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B.从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C.从10个不同的质数中取2个数求其商 D.从5,6,7三个数字中取2个组成一个两位数 2.(多选题)从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,下列问题属于排列问题的是(　　) A.相加可得多少个不同的和 B.相除可得多少个不同的商 C.作为椭圆方程=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆 D.作为双曲线方程=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线 题组二　排列数与排列数公式 3.(2025安徽合肥第八中学检测)n∈N*,n<20,则(21-n)…(100-n)=(　　) A. 4.(多选题)=(　　) A. 5.(1)已知0!+=133,则n=　　　　;  (2)计算:=　　　　.  6.(易错题)(2025江苏徐州第三中学月考)求解下列问题: (1)计算:; (2)求证:(n≥m≥2); (3)解关于x的不等式:3≤11. 题组三　无限制条件的排列问题 7.(2025河南部分学校阶段测试)A,B,C三人计划假期去旅游,有甲、乙、丙、丁四个景点供选择,若每人随机选一个景点,则三人选择的景点互不相同的种数为　　　　.  8.(2024重庆期末)3张卡片正、反面分别标有数字1和2,3和4,5和7,若将这3张卡片并列组成一个三位数,则可以得到　　　　个不同的三位数.  题组四　“在”与“不在”问题 9.(2025湖南师范大学附属中学月考)甲、乙等5人站成一排,要求甲在中间,乙不在两端,则不同的排列方式共有(　　) A.12种　　　　B.6种　　　　C.24种　　　　D.60种 10.(2025河北部分学校联考)某电影院在国庆节的白天、晚上分别可以放映5场和3场电影,若A,B两部电影只放映一次,且不能都在白天放映,则放映这两部电影不同的安排方式共有(　　) A.17种　　　　B.32种　　　　C.34种　　　　D.36种 11.(2025河北邯郸联考)已知甲、乙、丙等5人站成一列,并要求甲站在乙、丙前面,则不同的安排方法的种数为(　　) A.24　　　　B.26　　　　C.32　　　　D.40 12.(2025河北衡水第二中学调研)某种产品的加工需要经过5道工序,如果其中某道工序既不能放在最前,也不能放在最后,那么有　　　　种加工顺序.  13.(2025广东部分学校联考)甲、乙、丙等5人站成一排,要求甲、乙不站在丙的同一侧,则不同的站法共有　　　　种.  题组五　“相邻”与“不相邻”问题 14.(2025河南开封五校期中)某校运动会期间,甲、乙、丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念,若甲、乙、丙互不相邻,则不同的排法有(　　) A.2 880种　　　　B.1 440种 C.720种　　　　D.360种 15.(2025山东济宁邹城第二中学月考)某中学为了弘扬我国二十四节气文化,特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里,要求“立春”和“春分”两块展板相邻,且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻,则不同的放置方式种数为(　　) A.24　　　　B.48　　　　C.144　　　　D.240 16.(2025百师联盟联考)某次会议安排甲、乙等六人的座位在第一排的1~6号,其中甲的座位号为奇数,乙的座位号为偶数,且甲、乙不相邻,则这六人不同的座位安排方法种数为(　　) A.48　　　　B.96　　　　C.128　　　　D.186 17.(2025湖北武汉第十四中学月考)有四名男生,三名女生排队照相,七个人排成一排,则下列说法正确的是(　　) A.如果四名男生必须连排在一起,那么有720种不同排法 B.如果三名女生必须连排在一起,那么有576种不同排法 C.如果女生不能站在两端,那么有1 440种不同排法 D.如果三个女生中任何两个均不能排在一起,那么有720种不同排法 题组六　定序问题 18.(2025河南开封五校期中)某5位同学排成一排准备照相时,又来了2位同学要加入,如果保持原来5位同学的相对顺序不变,则不同的加入方法种数为(　　) A.21　　　　B.30　　　　C.42　　　　D.60 19.(2025河南部分学校月考)某同学将英文单词“better”中字母的顺序记错了,则该同学写错的情况有(　　) A.360种　　　　B.359种 C.180种　　　　D.179种 题组七　多排与环排问题 20.参加完某项活动的6名成员合影留念,前排和后排各3人,则不同排法的种数为(　　) A.360　　　　B.720 C.2 160　　　　D.4 320 21.(2025广东调研)甲、乙等6人围成一圈,且甲、乙两人相邻,则不同的排法共有(　　) A.6种　　　　B.12种 C.24种　　　　D.48种 22.(2025湖北T8联盟模拟)甲、乙、丙等八个人围成一圈,要求甲、乙、丙三人两两不相邻,则不同的排列方法有　　　　种.  23.(2025江苏泰州中学质量检测)现有甲、乙等5名大学生志愿者,通过培训后,拟安排在全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑(5.5公里)三个项目中进行志愿者活动,已知这5人的身高各不相同,若安排5人拍照,前排2人,后排3人,且后排3人中身高最高的站中间,则有　　　种不同的站法.  能力提升练 题组　排列的应用 1.(2025安徽桐城第八中学月考)甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同学进行数学文化知识比赛,决出第1名到第6名的名次.甲、乙去询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你和乙都不是第一名.”对乙说:“你和丙的名次是相邻的.”从对这两人的回答分析,这6人的名次排列的所有可能不同情况有(　　) A.144种　　　　B.156种　　　　C.168种　　　　D.192种 2.(2025福建龙岩第一中学质量检测)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成无重复数字的小于4 310的四位偶数的个数为(　　) A.108　　　　B.109　　　　C.110　　　　D.111 3.(2025广东茂名综合测试)在一个箱子中放5个白球,3个红球,摇匀后采用不放回方式随机摸球3次,每次一个,第3次摸到红球的概率是(　　) A. 4.(2025山东日照期末)从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任班长、团支书、学习委员,则甲、乙至多有1人被选中的不同选法有(　　) A.60种　　　　B.120种　　　　C.180种　　　　D.210种 5.(创新题)(新考法·借助欧拉函数考查排列的应用)(2025湖南九校联盟联考)欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互素(除了1不存在其他公约数)的正整数的个数,例如:φ(1)=1,φ(4)=2,现将φ(2),φ(4),φ(6),φ(8),φ(10)的函数值排成一列,则组成的不同五位数的个数为(　　) A.60　　　　B.30　　　　C.15　　　　D.120 6.(2025湖南衡阳期末)用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色,要求每个正四面体四个面颜色各不相同.我们规定:若两个已上色的四面体可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同,则认为它们用了同一种上色模式.那么不同的上色模式共有　　　　种.  7.(创新题·新情境)(2025湖北荆门龙泉中学期中)如图,左边是编号为1、2、3、4的A型钢板,右边是编号为甲、乙、丙的B型钢板,现将两堆钢板自上而下混合堆放在一起,则B型钢板均不相邻的放法共有　　　　种,乙号钢板上方的A型钢板的编号之和与其下方的A型钢板的编号之和相等的放法共有　　　　种.(用数字作答)  8.(2025河南驻马店联考)现有体积均相同但质量均不同的红球2个、白球4个、黑球2个,将这8个小球放入恰好能容纳8个小球的圆柱形卡槽内. (1)若同种颜色的球必须相邻,共有多少种不同的放法? (2)若4个白球互不相邻,且质量最大的白球不能放在卡槽的两端,共有多少种不同的放法? (3)若2个红球之间有且仅有白球和黑球各1个,共有多少种不同的放法? 答案与分层梯度式解析 6.2　排列与组合 6.2.1　排列　6.2.2　排列数 基础过关练 1.B 2.BD 3.A 4.ABD 9.A 10.D 11.D 14.B 15.C 16.B 17.C 18.C 19.D 20.B 21.D 1.B　对于A,从6人中选2人分别去游泳和跳绳,选出的2人有分工的不同,是排列问题; 对于B,从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队,与顺序无关,不是排列问题; 对于C,从10个不同的质数中取2个数求其商,2个数谁作被除数谁作除数结果不同,与顺序有关,是排列问题; 对于D,从5,6,7三个数字中取2个组成一个两位数,各数位上的数字有顺序性,是排列问题. 方法总结 判断一个具体问题是不是排列问题,就看取出元素后的安排是有序的还是无序的,而检验是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应由具体问题的性质和条件来决定),看其结果是否有变化,有变化就是排列问题,无变化就不是排列问题. 2.BD　因为加法满足交换律,所以A中问题不是排列问题;因为除法不满足交换律,所以B中问题是排列问题;若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b>0,所以C中问题不是排列问题;在方程=1中,不管a>b>0还是b>a>0,方程均表示焦点在x轴上的双曲线,且是不同的双曲线,所以D中问题是排列问题. 3.A　n∈N*且n<20,(21-n)…(100-n)表示80个连续正整数的乘积,其中最大因数为100-n,最小因数为21-n,由排列数公式的意义得(21-n)…(100-n)=. 4.ABD　. 5.答案　(1)12　(2)726 解析　(1)0!+=1+n(n-1)=133,即n2-n-132=(n-12)(n+11)=0,解得n=12或n=-11,又n≥2,所以n=12. (2)由解得n=3,所以=6×5×4×3×2×1+3×2×1=726. 6.解析　(1) ==1. (2)证明:=n· =n·(n≥m≥2). (3)由题得3(x+2)(x+1)+12x(x-1)≤11(x+1)x, 化简得2x2-7x+3≤0,即(2x-1)(x-3)≤0,解得≤x≤3. 因为x≥2,且x∈N*, 所以不等式的解集为{2,3}. 易错警示 　　排列数的计算问题,要注意中隐含的3个条件:①m,n∈N*;②m≤n;③的运算结果为正整数.在解与排列数有关的方程或不等式时,应先求出未知数的取值范围,再利用排列数公式化简,最后得出问题的解.注意常用变形(即n·n!=(n+1)!-n!),的应用. 7.答案　24 解析　若三人选择的景点互不相同,则不同的选择方案有=24种. 8.答案　48 解析　分两步: 第一步,确定排在百位、十位、个位上的卡片,即3个元素的一个全排列,即; 第二步,分别确定百位、十位、个位上的数字,各有2种选法,即23. 根据分步乘法计数原理,可以得到×23=48个不同的三位数. 9.A　5个人站成一排,甲在中间,位置固定,则乙有2种排法,剩下的3人任意排列,故不同的排列方式共有2=12种. 10.D　若均在晚上放映,则不同的安排方式有=3×2=6种, 若白天一场,晚上一场,则不同的安排方式有=30种, 故放映这两部电影不同的安排方式共有6+30=36种. 11.D　按甲的位置进行分类讨论: ①甲排第一,则乙、丙等四人有=24种排法; ②甲排第二,则乙、丙排后3位中的2位,有=12种排法; ③甲排第三,则乙、丙排最后2位,有=4种排法. 故不同的安排方法的种数为24+12+4=40. 12.答案　72 解析　解法一(位置分析法):先从另外4道工序中任选2道工序放在最前和最后,有=12种不同的排法,再将剩余的3道工序全排列,有=6种不同的排法,由分步乘法计数原理可得,共有12×6=72种加工顺序. 解法二(元素分析法):先排特殊位置的工序,从中间三个位置中选一个,有3种不同的排法,再将剩余的4道工序全排列,有=24种不同的排法,由分步乘法计数原理可得,共有3×24=72种加工顺序. 13.答案　40 解析　先排甲、乙、丙3人,共有=2种不同的站法,再排剩余2人,先将1人排到甲、乙、丙3人产生的空位中,最后将剩余的1人排到前面4人产生的空位中,共有4×5=20种不同的站法,根据分步乘法计数原理,不同的站法共有2×20=40种. 14.B　第一步,先排4名志愿者,共有种排法;第二步,把甲、乙、丙3名运动员插在4名志愿者产生的空位中,有种排法.根据分步乘法计数原理,共有=1 440种不同的排法. 15.C　将“立春”和“春分”两块展板看成一个整体,与“雨水”“谷雨”两块展板进行全排列,再将“清明”和“惊蛰”两块展板插空,所以不同的放置方式种数为=2×6×12=144. 方法总结 　　“相邻”问题捆绑,注意捆绑内部元素的排列;“不相邻”问题插空处理. 16.B　先安排甲、乙,若甲坐1号座位,则乙坐4号或6号座位;若甲坐3号座位,则乙坐6号座位;若甲坐5号座位,则乙坐2号座位,所以甲、乙共有4种安排方法. 在甲和乙的座位确定了的情况下,其余四人的座位安排方法有种,故这六人不同的座位安排方法种数为4=96. 方法技巧 解决排列应用题时,如果有多个条件,通常是先易(肯定语气)后难(否定、不确定语气),两个条件都不易,可根据前一个条件对后面条件的影响进行分类讨论. 17.C　对于A,如果四名男生必须连排在一起,则将这四名男生捆绑,看成一个整体,则共有=576种不同的排法,故A错误; 对于B,如果三名女生必须连排在一起,则将这三名女生捆绑,看成一个整体,则共有=6×120=720种不同的排法,故B错误; 对于C,如果女生不能站在两端,则两端安排男生,其他位置的安排没有限制,则共有=12×120=1 440种不同的排法,故C正确; 对于D,如果三个女生中任何两个均不能排在一起,将女生插入四名男生所形成的5个空中,则共有=24×60=1 440种不同的排法,故D错误. 18.C　7位同学排成一排准备照相,共有种排法,如果保持原来5位同学的相对顺序不变,则有=42种排法. 方法总结 　　对于定序问题通常有两种处理方法:1.倍缩法,即让所有的n个元素全排列(),其中有m个元素的顺序一定,则除以,即;2.从n个位置中选出(n-m)个位置,先安排顺序不定的剩余(n-m)个元素,其余的m个元素的顺序一定,直接安排进位置即可,即. 19.D　英文单词“better”中有1个“b”,2个“e”,2个“t”,1个“r”,这6个字母的排列顺序共有=180种,所以该同学写错的情况有180-1=179种. 20.B　解法一:不管前排还是后排,共有6个位置,这6名成员依次选择位置即可.故不同排法的种数为=6×5×4×3×2×1=720. 解法二:先安排后排3人,有种不同排法,再安排前排3人,有种不同排法,故共有=720种不同排法. 21.D　甲、乙两人相邻,可将两人看作一个整体,即5人围成一圈,有(5-1)!种排法, 又甲、乙两人可换位,有2种排法,故不同的排法共有(5-1)!×2=48种. 22.答案　1 440 解析　环排问题采用线排策略,增加一个位置,即九个位置排一排,甲在第一个位置和第九个位置,中间剩余七个位置可选,将除甲、乙、丙外的五人放入中间,有种放法,因为甲、乙、丙两两不相邻,所以乙、丙只能放中间四个位置中,有种放法,由分步乘法计数原理得,不同的排列方法有=1 440种. 23.答案　40 解析　先选2人站前排有=20种站法, 然后剩下3人中身高最高的站后排的中间,剩下2人站后排两边有=2种站法, 由分步乘法计数原理可知,共有20×2=40种不同的站法. 能力提升练 1.C 2.B 3.A 4.C 5.B 1.C　依题意,甲、乙都不是第一名,乙和丙的名次相邻,(题眼)当丙是第一名时,乙是第二名,其他四名同学共有=24种不同名次排列情况; 当丙不是第一名时,甲、乙都不是第一名,从剩余的3名同学中选1名作为第1名,乙和丙的名次相邻,看作一个整体,再与其他3名同学全排列,则共有=144种不同名次排列情况. 故这6人的名次排列的所有可能不同情况有24+144=168种. 2.B　当千位上的数字小于4时,有=96个; 当千位上的数字是4,百位上的数字小于3时,有=12个; 当千位上的数字是4,百位上的数字是3,十位上的数字小于1时,有1个. 由分类加法计数原理知,可以组成无重复数字的小于4 310的四位偶数的个数为96+12+1=109. 3.A　 思路点拨 第3次摸到红球,分三种情况讨论:前3次只有第3次摸到红球;前3次有两次摸到红球,其中第3次一定摸到红球;前3次摸到3次红球. 解析　记第3次摸到红球为事件A,则P(A)=. 4.C　若从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任班长、团支书、学习委员,则不同的选法种数为=210,其中甲、乙两人都被选中的不同的选法种数为=30,因此,甲、乙至多有1人被选中的不同选法有210-30=180种. 方法技巧 　　当题干中涉及“至多”“至少”等字眼时,通常使用间接法,即正难则反. 5.B　由题意可知,φ(2)=1,φ(4)=2,φ(6)=2,φ(8)=4,φ(10)=4, 所以将φ(2),φ(4),φ(6),φ(8),φ(10)的函数值排成一列,组成的不同五位数的个数为=30. 6.答案　2 解析　假设一个正四面体的四个顶点分别为A、B、C、D,则A作底面顶点时,通过旋转,除底面外三个面的朝向有三种,如图所示: 同理B,C,D作底面顶点时也分别有3种,一共有3×4=12种,即一个正四面体可以通过旋转得到12种朝向. 因为四种颜色共有=24种不同的情况,所以不同的上色模式共有=2种. 7.答案　1 440;336 解析　B型钢板均不相邻,先将A型钢板任意排列,再将B型钢板插入A型钢板形成的5个空位中的3个空位,则B型钢板均不相邻的放法种数为=24×60=1 440. 若乙号钢板上方的A型钢板的编号之和与其下方的A型钢板的编号之和相等,则乙号钢板上方的A型钢板为1号和4号或2号和3号,不同的放法种数为=8, 再放置甲、丙号钢板,分两种情况讨论: 若甲、丙号钢板相邻,则将甲、丙号钢板捆绑,插入其余5块钢板形成的6个空位中的1个空位,不同的放法种数为=12; 若甲、丙号钢板不相邻,则将甲、丙号钢板插入其余5块钢板形成的6个空位中的2个空位,不同的放法种数为=30. 综上所述,乙号钢板上方的A型钢板的编号之和与其下方的A型钢板的编号之和相等的放法种数为8×(12+30)=336. 8.解析　(1)2个红球全排列有种方法,4个白球全排列有种方法,2个黑球全排列有种方法,同种颜色的球捆绑在一起进行全排列有种方法, 所以不同的放法共有=2×24×2×6=576种. (2)先排红球和黑球,有种方法,再排质量最大的白球,因为质量最大的白球不在卡槽的两端,所以有种方法,最后排剩余的3个白球,有种方法, 所以不同的放法共有=24×3×24=1 728种. (3)先排2个红球,有种方法,再任选1个白球、1个黑球放入2个红球中间,有种方法, 最后将这4个小球捆绑在一起与剩余的4个小球进行全排列,有种方法, 所以不同的放法共有=2×4×2×2×120=3 840种. 19 学科网（北京）股份有限公司 $