8.3 列联表与独立性检验（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

该高中数学课件聚焦“列联表与独立性检验”，涵盖分类变量、2×2列联表、χ²统计量及检验步骤，通过健步走调查等实际案例导入，衔接统计图表与概率分布知识，以课后辨析题搭建学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于结合生活实例，通过数据分析（数学眼光）、逻辑推理（数学思维）和规范表达（数学语言）培养核心素养，如健步达人与年龄关系检验、陶瓷喜爱程度分析等例题，助力学生提升实际问题解决能力，也为教师提供系统教学资源与高效教学方法。

知识点 1 分类变量与列联表 8.3　列联表与独立性检验 必备知识 清单破 1.分类变量 　　为了表述方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随 机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示. 2.2×2列联表 　　假设两个分类变量X和Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列联表为 第七章　随机变量及其分布 高中同步 X Y 合计 y1 y2 x1 a b a+b x2 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 常用等高堆积条形图展示列联表中数据的频率特征,其更能直观地反映两个分类变量间是否 互相影响. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 知识点2　 独立性检验 知识点 2 1.χ2(卡方)统计量 　　假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表,如表所示. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 　　则 χ2= . 第七章　随机变量及其分布 高中同步 2.常用的小概率值和相应的临界值 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 3.独立性检验 (1)定义:利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验,读作“卡方独 立性检验”,简称独立性检验. (2)检验规则:当 χ2≥xα时,我们推断零假设(原假设)H0不成立,即认为X和Y有关(不独立),该推 断犯错误的概率不超过α;当χ2<xα时,我们没有充分证据推断零假设(原假设)H0不成立,可以认 为X和Y独立. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 知识辨析 1.分类变量中的变量与函数中的变量是同一概念吗? 2.在2×2列联表中,若|ad-bc|越小,则说明两个分类变量之间的关系如何? 3.对于两个分类变量,独立性检验的样本不同,其结论是否一定相同? 4.应用独立性检验的基本思想对两个变量间的关系作出的推断一定正确吗? 5.若χ2>6.635,则在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为吸烟与患肺病有关,其含义是在100 个吸烟的人中必有99人患肺病吗? 6.独立性检验与反证法的思想相似,那么独立性检验是反证法吗? 第七章　随机变量及其分布 高中同步 一语破的 1.不是.变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量,有时可以 把分类变量的不同取值用数字表示,但这时的数字除了分类以外没有其他含义,而函数中的 变量分为自变量与因变量,都是数集,有它们各自的意义. 2.在样本容量n一定的情况下,若|ad-bc|越小,则说明两个分类变量之间的关系越弱. 3.不一定.样本是随机的,由此得出的结论也具有随机性. 4.不一定.对两个变量间的关系作出的推断是在犯错误的概率不超过某个范围的前提下成立 的. 5.不是.说明“吸烟”与“患肺病”有关系的概率不低于99%,而不是患肺病的概率. 6.不是.反证法中的“矛盾”是指一种不符合逻辑的事件的发生;而独立性检验中的“矛盾” 是指一种不符合逻辑的小概率事件的发生,即在结论不成立的假设下,推出有利于结论成立 的小概率事件发生. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 定点　独立性检验的应用  应用独立性检验解决实际问题的步骤 (1)提出零假设H0:分类变量X和Y相互独立,并给出在问题中的解释; (2)根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值,并与临界值xα比较; (3)根据检验规则得出推断结论; (4)在X和Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率,分析X和Y间的影响规律. 上述几个环节的内容可以根据不同情况进行调整.例如,在有些时候,分类变量的抽样数据列 联表是问题中给定的. 关键能力 定点破 定点 第七章　随机变量及其分布 高中同步 典例 某市总工会为了解该市市民每日健步走的情况,从本市市民中随机抽取了2 000名(其中 不超过40岁的市民恰好有1 000名),利用手机计步软件统计了他们某天健步走的步数(单位: 千),并将样本数据按[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),[15,17),[17,19),[19,21]分为九组,将 抽取的不超过40岁的市民的样本数据绘制成频率分布直方图,将40岁以上的市民的样本数据 绘制成频数分布表,并利用该样本的频率估计总体的概率.   第七章　随机变量及其分布 高中同步 步数分组 (单位:千) [3,5) [5,7) [7,9) [9,11) [11,13) 频数 10 20 20 30 400 步数分组 (单位:千) [13,15) [15,17) [17,19) [19,21] 频数 200 200 100 20 第七章　随机变量及其分布 高中同步 (1)现规定,每日健步走的步数不低于13 000的为“健步达人”,填写下面的2×2列联表,并依据 α=0.001的独立性检验,分析是不是“健步达人”是否与年龄有关; 单位:名 “健步达人” 非“健步达人” 合计 40岁以上 的市民 不超过40 岁的市民 合计 第七章　随机变量及其分布 高中同步 (2)(i)利用样本平均数和中位数估计该市不超过40岁的市民每日健步走的步数(单位:千)的平 均数和中位数(同一组的数据用该组区间的中点值作代表); (ii)由频率分布直方图可以认为,不超过40岁的市民每日健步走的步数Z(单位:千)近似地服从 正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ的值约为3.64.现从该市不超过40岁的市民中随 机抽取5人,记其中每日健步走的步数Z(单位:千)位于[4.88,15.8]内的人数为X,求X的数学期 望. 参考公式:χ2= ,其中n=a+b+c+d. 参考数据: α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 解析    (1)2×2列联表为 单位:名 “健步达人” 非“健步达人” 合计 40岁以上 的市民 520 480 1 000 不超过40 岁的市民 400 600 1 000 合计 920 1 080 2 000 第七章　随机变量及其分布 高中同步 零假设为H0:是不是“健步达人”与年龄无关. 计算可得χ2= ≈28.986>10.828=x0.001, 依据α=0.001的独立性检验,有充分证据推断H0不成立,即认为是不是“健步达人”与年龄有 关,此推断犯错误的概率不大于0.001. (2)(i)样本平均数为4×0.04+6×0.06+8×0.10+10×0.10+12×0.30+14×0.20+16×0.10+18×0.08+20 ×0.02=12.16. 由前4组的频率之和为0.04+0.06+0.10+0.10=0.30,前5组的频率之和为0.30+0.30=0.60,知样本 中位数落在第5组, 设样本中位数为t,则(t-11)×0.15=0.50-0.30,解得t= . 故估计该市不超过40岁的市民每日健步走的步数(单位:千)的平均数为12.16,中位数为 . 第七章　随机变量及其分布 高中同步 (ii)由题意及(i)可知μ=12.16,σ≈3.64,故[μ-2σ,μ+σ]=[4.88,15.8], 而P(μ-2σ≤Z≤μ+σ)= P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)+ P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈ ×0.954 5+ ×0.682 7=0.818 6, 所以X~B(5,0.818 6), 所以E(X)=5×0.818 6=4.093. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 解后反思 　　在计算χ2时,要准确把握a,b,c,d的顺序,避免搞错顺序导致计算错误.此外,独立性检验得 出的结论是带有概率性质的,只能说结论成立的概率有多大,而不能完全肯定一个结论,在分 析问题时,不能对某个问题下确定性结论,否则就可能对统计计算的结果做出错误的解释. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 素养　通过统计知识发展数据分析的素养 素养 学科素养 情境破 素养解读 　　在统计的综合应用问题中,一般利用散点图、直方图等统计图表得到相应的统计信息, 通过建立相应的统计模型将实际问题数学化,再利用回归分析或独立性检验的知识求解,最 后还原成实际问题的解,进而为改善与决策提供依据. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 典例呈现 例题 某陶瓷公司为传承和发扬陶瓷,计划加大研发力度,为确定下一年度投资计划,需了解年 研发资金x(单位:亿元)与年销售额y(单位:亿元)的关系.该公司对历史数据进行对比分析,建立 了两个函数模型:①y=α+βx2,②y=eλx+t,其中α,β,λ,t均为常数,e为自然对数的底数. 现该公司收集了近12年的年研发资金xi和年销售额yi的数据,i=1,2,…,12,并对这些数据作了初 步处理,得到了散点图及一些统计量的值.令ui= (i=1,2,…,12),vi=ln yi(i=1,2,…,12),经计算得 如下数据: 第七章　随机变量及其分布 高中同步      (xi- )2  (yi- )2     20 66 770 200 460 4.20  (ui- )2  (ui- )(yi- )  (vi- )2  (xi- )(vi- ) 3 125 000 21 500 0.308 14 第七章　随机变量及其分布 高中同步   (1)设{ui}和{yi}的样本相关系数为r1,{xi}和{vi}的样本相关系数为r2,请从样本相关系数的角 度,选择一个拟合程度更好的模型; 第七章　随机变量及其分布 高中同步 (2)根据(1)的选择及表中数据,建立y关于x的回归方程(计算过程中保留到0.001,最后结果精 确到0.01); (3)为进一步了解人们对新款式瓷器喜爱程度(分为“比较喜欢”和“不太喜欢”)是否跟年 龄(分为“小于30岁”和“不小于30岁”)有关,公司从某地区随机抽取600人进行调查,调查 数据如下表: 单位:人 比较喜欢 不太喜欢 合计 小于30岁 200 100 300 不小于30岁 150 150 300 合计 350 250 600 第七章　随机变量及其分布 高中同步 根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析该地区人们对新款式瓷器喜爱程度是否与年龄有 关. 附:①样本相关系数r= ,经验回归直线 = x+ 中斜率和截距的最小二乘 估计公式分别为 = , = -  ; ②χ2= ,n=a+b+c+d; α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ③参考数据:308=4×77. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 解题思路    (1)r1= = = = =0.86, r2= = = = ≈0.91, 则|r1|<|r2|, 因此从样本相关系数的角度,模型y=eλx+t的拟合程度更好. (2)由y=eλx+t,得ln y=t+λx,即v=t+λx. 由于 = = ≈0.018,  = -  =4.20-0.018×20=3.84, 第七章　随机变量及其分布 高中同步 因此v关于x的经验回归方程为 =0.02x+3.84, 即ln  =0.02x+3.84, 所以 =e0.02x+3.84. (3)零假设为H0:该地区人们对新款式瓷器喜爱程度与年龄无关, 计算得χ2= ≈17.143>10.828=x0.001, 根据小概率值α=0.001的独立性检验,可推断H0不成立,故该地区人们对新款式瓷器喜爱程度 与年龄有关. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 思维升华 　　在统计问题的求解中,我们要提高文字阅读、识图表的能力,以便能够快速地整合试题 条件,理解题意,提高解题的效率.为此,我们要掌握不同图表在呈现数据方面的作用和特点,感 知不同统计图表的适用情境,进而将统计问题转化为运算问题. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 $