8.3.2 独立性检验（教学课件）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

1 第8章《 成对数据的统计分析》 人教A版2019选择性必修第三册 8.3.2 独立性检验 1.了解随机变量χ2的意义，通过对典型案例分析， 2.了解独立性检验的基本思想和方法. 学习目标 前面我们通过2×2列联表整理成对分类变量的样本观测数据，并根据随机事件频率的稳定性推断两个分类变量之间是否有关联． 对于随机样本而言，因为频率具有随机性，频率与概率之间存在误差，所以我们的推断可能犯错误，而且在样本容量较小时，犯错误的可能性会较大．因此，需要找到一种更为合理的推断方法，同时也希望能对出现错误推断的概率有一定的控制或估算． 环节一：创设情境，引入课题 根据我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如表8.3-3所示． X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 对于随机样本，表8.3-3中的频数a，b，c，d都是随机变量，而表8.3-2中的响应数据是这些随机变量的一次观测结果． 思考：如何基于②中的四个等式及列联表8.3-3中的数据，构造适当的统计量，对成对的分类变量X和Y是否相互独立作出推断？ 环节二：观察分析，感知概念 显然，分别考虑③中的四个差的绝对值很困难．我们需要找到一个既合理又能够计算分布的统计量，来推断是否成立．一般来说，若频数的期望值较大，则③中相应的差的绝对值也会较大；而若频数的期望值较小，则③中相应的差的绝对值也会较小．为了合理地平衡这种影响，我们将四个差的绝对值取平方后分别除以相应的期望值再求和，得到如下的统计量： 环节三：抽象概括，形成概念 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 表8.3-4 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 表8.3-4 环节四：辨析理解，深化概念 学校 数学成绩 合计 不优秀(Y=0) 优秀(Y=1) 甲校(X=0) 33 10 43 乙校(X=1) 38 7 45 合计 71 17 88 思考：例1和例2都是基于同一组数据的分析，但却得出了不同的结论，你能说明其中的原因吗？ 事实上，如前所述，例1只是根据一个样本的两个频率间存在差异得出两校学生数学成绩优秀率有差异的结论，并没有考虑由样本随机性可能导致的错误，所以那里的推断依据不太充分． 解：零假设为 H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异． 将所给数据进行整理，得到两种疗法治疗数据的列联表，如表8.3-5所示． 表8.3-5 单位：人 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 观察 表8.3-6 单位：人 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 7775 42 7817 吸烟者 2099 49 2148 合计 9874 91 9965 环节五：课堂练习，巩固运用 解：零假设为 H0：吸烟与患肺癌之间无关联． 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 7775 42 7817 吸烟者 2099 49 2148 合计 9874 91 9965 总结上面的例子，应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节： （1）提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释． （3）根据检验规则得出推断结论． （4）在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 注意，上述几个环节的内容可以根据不同情况进行调整例如，在有些时候，分类变量的抽样数据列联表是问题中给定的． 思考：独立性检验的思想类似于我们常用的反证法，你能指出二者之间的相同和不同之处吗？ 简单地说，反证法是在某种假设H0之下，推出一个矛盾结论，从而证明H0不成立；而独立性检验是在零假设H0之下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断不成立，且该推断犯错误的概率不大于这个小概率．另外，在全部逻辑推理正确的情况下，反证法不会犯错误，但独立性检验会犯随机性错误． 1. 小概率值α的临界值: 忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2 ≥xα)=α