7.5 正态分布（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

该高中数学课件聚焦正态分布核心内容，涵盖连续型随机变量、正态曲线定义及特点、正态分布概念和3σ原则，通过知识点清单与性质辨析搭建学习支架，衔接统计与概率知识脉络。 其亮点在于结合知识辨析深化理解，通过质量指标估计、生产异常判断等实例，培养数学思维与建模能力，帮助学生用数学语言表达现实问题，助力教师高效落实核心素养，提升教学效果。

　　随机变量的取值充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为0,我们称这类随机变量 为连续型随机变量. 知识点 1 连续型随机变量 7.5　正态分布 必备知识 清单破 知识点2　 正态曲线 知识点 2 1.正态曲线的定义 一般地,称函数f(x)=  ,x∈R为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态 曲线.其中μ∈R,σ>0为参数. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 2.正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交. (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. (3)曲线在x=μ处达到峰值 . (4)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴. (5)对任意的σ>0,正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1. (6)在参数σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图甲所示. (7)当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定,当σ较小时,峰值高,正态曲线“瘦高”,表示随机变 量的分布比较集中;当σ较大时,峰值低,正态曲线“矮胖”,表示随机变量的分布比较分散,如 图乙所示. 第七章　随机变量及其分布 高中同步   知识点3　 正态分布 知识点 3 1.正态分布的定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布(也称为高斯分布),记 为X~N(μ,σ2).特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 2.正态分布的图形表示 若X~N(μ,σ2),则如图所示,X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积,而P(a≤X≤b)为 图中区域B的面积.   第七章　随机变量及其分布 高中同步 知识点4     3σ原则 知识点 4 1.正态变量在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7; P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5; P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 2.3σ原则 在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统 计学中称为3σ原则. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 知识辨析 1.正态分布是否由它的参数μ和σ唯一确定?参数μ,σ的意义分别是什么? 2.正态曲线是单峰的,其与x轴围成的区域的面积会随参数μ,σ的变化而变化吗? 3.对于给定的正态密度函数,其图象的对称轴及形状是确定的吗? 4.若X~N(μ,σ2),则随机变量X的取值落在长度为3σ的区间之外是小概率事件吗? 第七章　随机变量及其分布 高中同步 一语破的 1.是.参数μ,σ分别表示样本均值和标准差. 2.不会.正态曲线与x轴围成的区域的面积总为1,不会随参数μ,σ的变化而变化. 3.是.由正态密度函数的解析式可知,正态密度函数的图象的对称轴的位置由μ确定,图象的形 状由σ确定. 4.不一定.随机变量的取值落在[μ-3σ,μ+3σ]之外是小概率事件,但是随机变量的取值落在其他 长度为3σ的区间之外不一定是小概率事件. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 定点1　 正态分布的概率问题  在正态分布下求概率的关键在于充分利用正态曲线的对称性,把待求概率的区间转化为已知 概率的区间.当条件中无已知概率时,要将区间转化为三个特殊区间:[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ -3σ,μ+3σ].利用随机变量X在这三个特殊区间取值的概率进行计算. 一般地,若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则 (1)P(X≥a)=1-P(X<a); (2)对任意的实数a,有P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a); (3)P(a≤X≤b)=P(X≤b)-P(X<a). 关键能力 定点破 定点 1 第七章　随机变量及其分布 高中同步 典例 (1)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则P(0<X<2)= (　    ) A.0.6　　　    B.0.4　　　    C.0.3　　　    D.0.2 (2)在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,4),则X在(-1,1)内取值的概率为　　　　    .(若X ~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7) 0.341 35 C 第七章　随机变量及其分布 高中同步 解析    (1)∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2), ∴μ=2,即正态曲线的对称轴是直线x=2. ∵P(X<4)=0.8,∴P(X≥4)=P(X≤0)=0.2, ∴P(0<X<4)=0.6, ∴P(0<X<2)= P(0<X<4)=0.3. (2)由题意得μ=1,σ=2,∴P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)≈0.682 7. 又正态曲线关于直线x=1对称, ∴P(-1≤X<1)=P(1<X≤3)= P(-1≤X≤3)= ×0.682 7=0.341 35. ∴X在(-1,1)内取值的概率为0.341 35. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 定点2　 正态分布的实际应用  利用服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X在三个特殊区间上取值的概率,可以解决两类实际问 题: 一类是估计在某一范围内的数量,具体方法是先确定随机变量在该范围内取值的概率,再乘 样本容量即可. 另一类是利用3σ原则作决策.决策步骤如下:①确定一次试验中取值a是否落入范围[μ-3σ,μ+3 σ]内;②作出判断,若a∈[μ-3σ,μ+3σ],则接受统计假设,若a∉[μ-3σ,μ+3σ],则拒绝统计假设. 定点 2 第七章　随机变量及其分布 高中同步 典例1 某地区一次联考的数学成绩X(单位:分)近似地服从正态分布N(85,σ2),已知P(X≤122)= 0.96,现随机从这次考试的成绩中抽取一个容量为100的样本,则成绩低于48分的个体数大约 为 (　    ) A.6　　　    B.4　　　    C.94　　　    D.96 B 解析    由P(X≤122)=0.96,可得P(X>122)=0.04,因为正态曲线关于直线x=85对称,所以P(X<48) =P(X>122)=0.04, 所以成绩低于48分的个体数大约为100×0.04=4. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 典例2 从某企业生产的某种产品中随机抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量 结果得频率分布直方图如图.   (1)求这100件产品质量指标值的平均数 和方差s2(同一组的数据用该组区间的中点值作为 代表); 第七章　随机变量及其分布 高中同步 (2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为 样本平均数 ,σ2近似为样本方差s2. ①若某用户从该企业购买了10件这种产品,记X表示这10件产品中质量指标值位于[187.4,22 5.2]内的产品件数,求E(X); ②一天内抽取的产品中,若出现了质量指标值在[μ-3σ,μ+3σ]之外的产品,就认为这一天的生 产过程中可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.下面的表格记录了检验员在 一天内抽取的15个产品(编号分别为1~15)的质量指标值,据此判断是否需要对当天的生产过 程进行检查. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 产品编号 1 2 3 4 5 质量指标值 162.3 173.5 188 189.6 194 产品编号 6 7 8 9 10 质量指标值 194.9 199 204 206.3 207.2 产品编号 11 12 13 14 15 质量指标值 216 216.7 227 228.1 237.9 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ) ≈0.997 3, ≈12.6. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 解析    (1)由题意得, =170×0.025+180×0.09+190×0.22+200×0.32+210×0.24+220×0.08+230× 0.025=200, s2=(-30)2×0.025+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+02×0.32+102×0.24+202×0.08+302×0.025=159. (2)①由题意得,μ=200,σ= ≈12.6, 则μ-σ=200-12.6=187.4,μ+2σ=200+12.6×2=225.2, ∴一件产品的质量指标值位于[187.4,225.2]内的概率为 =0.818 6, 则X~B(10,0.818 6), ∴E(X)=10×0.818 6=8.186. ②由①知,μ-3σ=200-12.6×3=162.2,μ+3σ=200+12.6×3=237.8. ∵237.9∉[162.2,237.8], ∴需要对当天的生产过程进行检查. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 素养　通过随机变量的概率分布发展数学建模的素养 素养 学科素养 情境破 素养解读 数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解 决问题的素养.在本章中,通过几种随机试验的特征,构建概率模型,落实数学建模的素养,即通 过抽象n重伯努利试验的特征,建立二项分布模型;通过放回抽样与不放回抽样的对比,建立超 几何分布模型;通过频率分布直方图的直观性,建立正态分布理论模型. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 典例呈现 例题 某中医药研究所研制出一种新型抗过敏药物,服用后需要检验血液抗体是不是阳性,现 有n(n∈N*)份血液样本,每份样本取到的可能性均等,有以下两种检验方式:①逐份检验,需要 检验n次;②混合检验,将其中k(k∈N*,2≤k≤n)份血液样本分别取样混合在一起检验,若结果 为阴性,则这k份血液抗体全为阴性,因此这k份血液样本只需检验一次就够了,若结果为阳性, 为了确定这k份血液中究竟哪份为阳性,需要对这k份血液进行逐份检验,此时这k份血液的检 验次数总共为k+1.假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是 相互独立的,且每份样本是阳性的概率为p(0<p<1). (1)假设有5份血液样本,其中只有2份样本抗体为阳性,若采取逐份检验的方式,求恰好经过3 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率; (2)现取其中的k(k∈N*,2≤k≤n)份血液样本,采用逐份检验的方式,样本需要检验的总次数记 为ξ1,采用混合检验的方式,样本需要检验的总次数记为ξ2. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 ①若k=4,且E(ξ1)=E(ξ2),试运用概率与统计的知识,求p的值; ②若p=1- ,证明:E(ξ1)<E(ξ2). 第七章　随机变量及其分布 高中同步 解题思路    (1)设“恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件A,那么事件A包 含三种情况:第1次未检出阳性,第2、3次检出阳性;第1、3次检出阳性,第2次未检出阳性;3次 均未检出阳性, 则P(A)= × × + × × + × × = . (2)①由题意知E(ξ1)=4, ξ2的可能取值为1,5, P(ξ2=1)=(1-p)4, P(ξ2=5)=1-(1-p)4, 所以E(ξ2)=1×(1-p)4+5×[1-(1-p)4]=5-4(1-p)4, 由E(ξ1)=E(ξ2),得4=5-4(1-p)4, 第七章　随机变量及其分布 高中同步 即(1-p)4= ,所以p=1- . ②证明:由题意易知,E(ξ1)=k,E(ξ2)=1+k-k(1-p)k, 要证明E(ξ1)<E(ξ2), 即证明k<1+k-k(1-p)k, 即证明k(1-p)k<1, 即证明 >(1-p)k, 即证明( )k< , 即证明- <-ln k, 即证明ln k- <0. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 设f(x)=ln x- (x≥2),则f '(x)= - ≤0,所以函数f(x)在[2,+∞)上单调递减, 因为f(2)=ln 2-1<0, 所以f(x)=ln x- ≤f(2)<0,即ln k- <0, 所以E(ξ1)<E(ξ2). 第七章　随机变量及其分布 高中同步 思维升华 　　高中数学中概率计算的形式多样,过程较复杂,给学习带来了一定的困难和挑战.为此,我 们可以对常见的概率计算问题进行分类总结,并熟练掌握解决每类概率问题的通性通法,通 过概率模型来解决概率计算问题,可达到事半功倍的效果. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 $