7.4.2 超几何分布（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

该高中数学课件聚焦超几何分布，系统梳理概念、均值公式及与二项分布的辨析，通过“辨模型、算概率、写分布列”三步法构建应用框架，结合产品抽样等实例，衔接排列组合基础与离散型随机变量分布，搭建从理论到实践的学习支架。 其特色在于以实际问题情境培养数学眼光，通过超几何与二项分布的对比发展数学思维，借助规范分布列书写强化数学语言。如食品厂抽样典例中，区分样本有限与总体极大时的分布差异，帮助学生提升建模能力，教师可依托清晰流程与易错提示优化教学。

知识点　超几何分布 7.4.2　超几何分布 必备知识 清单破 知识点 1.超几何分布的概念 一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示 抽取的n件产品中的次品数,则X 的分布列为P(X=k)= ,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈ N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么 称随机变量X服从超几何分布. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 2.超几何分布的均值 若X服从参数为N,n,M的超几何分布,即X~H(N,n,M),则E(X)= . 知识拓展 若X~H(N,n,M),则D(X)= . 第七章　随机变量及其分布 高中同步 知识辨析 1.一个袋子里装有4个白球,5个黑球和6个黄球,从中任取4个球,取出的黑球个数X服从超几何 分布吗? 2.超几何分布和二项分布的关系是怎样的? 第七章　随机变量及其分布 高中同步 一语破的 1.服从.判定随机变量服从超几何分布的标志:总体由差异明显的两部分组成;不放回抽样;随 机变量是样本中某一类个体的数量.以上缺一不可. 2.超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散型概率分布,但超几何分布需要 知道总体容量,是“不放回”抽取,二项分布不需要知道总体容量,是“有放回”抽取(独立重 复).当总体容量N非常大时,超几何分布近似于二项分布,并且随着N的增加,这种近似的精确 度也增加. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 定点1　 超几何分布的应用  利用超几何分布模型解决实际问题的一般步骤 (1)辨模型:结合实际情境分析是不是不放回抽样,且所求概率分布问题是由差异明显的两部 分组成,如“男生、女生”“正品、次品”等,或可转化为具有明显差异的两部分,只有具有 该特征的概率模型才可能为超几何分布模型. (2)算概率:可以直接借助公式P(X=k)= 求解,也可以利用排列组合及概率知识求解,借 助公式求解时应明确参数M,N,n,k的含义. (3)写分布列:把求得的概率通过表格表示出来. 关键能力 定点破 定点 1 第七章　随机变量及其分布 高中同步 典例 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,对该流水线上的产品进行简单随 机抽样,获得数据如下表: 分组区间 (单位:克) (490, 495] (495, 500] (500, 505] (505, 510] (510, 515] 产品件数 3 4 7 5 1 以频率估计概率,包装质量在(495,510]内的产品为一等品,其余为二等品. (1)估计从该流水线上任取一件产品为一等品的概率; (2)从抽取的样本产品中任取2件,设X为其中一等品的产品件数,求X的分布列; (3)从该流水线上任取2件产品,设Y为其中一等品的产品件数,求Y的分布列,并比较期望E(X) 与期望E(Y)的大小. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 解析    (1)样本中的产品件数为3+4+7+5+1=20,包装质量在(495,510]内的产品件数为4+7+5= 16,故估计从该流水线上任取一件产品为一等品的概率P= = . (2)依题意,得X的可能取值为0,1,2, P(X=0)= = ,P(X=1)= = , P(X=2)= = . 故X的分布列为 X 0 1 2 P       第七章　随机变量及其分布 高中同步 (3)由(2)可得E(X)=0× +1× +2× = .依题意得Y~B ,则P(Y=0)= = ,P(Y=1)=  × × = ,P(Y=2)= = . 故Y的分布列为 Y 0 1 2 P       E(Y)=2× = . 所以E(X)=E(Y). 第七章　随机变量及其分布 高中同步 易错警示 (2)中样本产品有20件,数目不大,则X服从超几何分布;(3)中流水线产品数目很多,且不是确定 的数,则Y服从二项分布. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 定点2　 其他相关的概率分布列  在n重伯努利试验中,当每次试验只有成功与不成功两个结果时(记成功的概率为p),若随机变 量ξ的取值为n次试验成功的次数,则ξ服从二项分布;若随机变量ξ为首次试验成功时试验的 次数,则ξ服从几何分布,且P(ξ=k)=(1-p)k-1p(k=1,2,…,0<p<1),E(ξ)= ,D(ξ)= .在实际解题时, 注意分析它与二项分布、超几何分布的区别,并合理利用一些结论. 定点 2 第七章　随机变量及其分布 高中同步 典例 最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功,且试验成功的概率为p(0<p<1).现对 该产品进行独立重复试验,若试验成功,则试验结束;若试验不成功,则继续试验,且最多试验10 次.记X为试验结束时所进行的试验次数. (1)写出X的分布列; (2)证明:0<E(X)< . 第七章　随机变量及其分布 高中同步 解析    (1)由已知得X的可能取值为1,2,3,…,10. 当1≤X≤9时,P(X=i)=(1-p)i-1p,i=1,2,…,9, 当X=10时,P(X=10)=(1-p)9. 所以P(X=i)=  (2)证明:E(X)= i(1-p)i-1p+10(1-p)9=p i(1-p)i-1+10(1-p)9. 令S= i(1-p)i-1,则E(X)=pS+10(1-p)9, S=1+2(1-p)+3(1-p)2+…+8(1-p)7+9(1-p)8, (1-p)S=(1-p)+2(1-p)2+…+7(1-p)7+8(1-p)8+9(1-p)9, 两式相减得pS=1+(1-p)+(1-p)2+…+(1-p)7+(1-p)8-9(1-p)9= -9(1-p)9, 第七章　随机变量及其分布 高中同步 ∴E(X)= +(1-p)9= [1-(1-p)10]. ∵0<p<1,∴0<1-(1-p)10<1,∴0<E(X)< . 易错警示 本题中规定试验不超过10次.解题时要注意1≤X≤9与X=10时的概率计算方式不同,X=10时 第10次试验成功与否均可,解题时防止将X=10时的概率计算为P(X=10)=(1-p)9p. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 $