7.3 离散型随机变量的数字特征（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

该高中数学课件围绕离散型随机变量的均值、方差及标准差展开，通过知识辨析导入，衔接分布列知识，构建“定义-性质-应用”学习支架，帮助学生系统掌握核心概念。 其亮点在于结合羽毛球比赛得分、招聘月薪比较等生活实例，以数学眼光抽象问题，用数学思维推导性质，通过典例强化应用。学生能提升建模与分析能力，教师可借助清晰脉络和实例提高教学效果。

知识点 1 离散型随机变量的均值 7.3　离散型随机变量的数字特征 必备知识 清单破 1.定义 一般地,若离散型随机变量X的分布列如表所示, X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 　　则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn= xipi为随机变量X的均值或数学期望(简称期望),它反映了 随机变量取值的平均水平. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 2.性质 　　若X是一个离散型随机变量,则有E(aX+b)=aE(X)+b(a,b为常数). 知识点2　 离散型随机变量的方差 知识点 2 1.定义 若离散型随机变量X的分布列如表所示, X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 第七章　随机变量及其分布 高中同步 　　则称D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn= (xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,并 称 为随机变量X的标准差,记为σ(X). 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取 值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取 值越分散. 2.性质 (1)设a,b为常数,则D(aX+b)=a2D(X). (2)D(X)=E(X2)-(E(X))2,简记为“方差等于平方的均值减去均值的平方”. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 知识辨析 1.若随机变量X的取值为x1,x2,…,xn,则X的均值一定是 吗? 2.离散型随机变量的方差越大,随机变量的取值越稳定吗? 3.离散型随机变量X乘上一个常数a(a≠0),其均值会如何改变?方差呢? 第七章　随机变量及其分布 高中同步 一语破的 1.不一定.随机变量X取每一个值x1,x2,…,xn时的概率不一定相同. 2.不是.离散型随机变量的方差越小,随机变量的取值越稳定. 3.均值变为原来的a倍,方差变为原来的a2倍,即E(aX)=aE(X),D(aX)=a2D(X). 第七章　随机变量及其分布 高中同步 定点1　离散型随机变量的均值、方差(标准差)  关键能力 定点破 定点 1 1.求离散型随机变量X的均值、方差(标准差)的一般步骤 (1)理解X的意义,并写出X的可能取值; (2)求出X取每个值时的概率; (3)利用定义求E(X),D(X)( ). 在随机变量X2的均值比较好计算的情况下,运用关系式D(X)=E(X2)-(E(X))2求方差. 2.已知随机变量X的均值、方差或其均值、方差易求,求Y=aX+b(a≠0)的均值、方差时,可用 均值、方差的性质求解. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 典例 某周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛,李梦与他们三人各进行一场比 赛,共进行三场比赛,每场比赛都没有平局,且三场比赛相互独立.下表是李梦之前分别与父 亲、母亲、弟弟比赛的情况: 父亲 母亲 弟弟 比赛次数 50 60 40 李梦获胜次数 10 30 32 以上表中的频率作为概率,解答下列问题: (1)若李梦胜一场得1分,负一场得0分,设李梦的得分为X分,求X的分布列、期望和方差; (2)若李梦赢一场比赛能得到5元的奖励金,求李梦所得奖励金的期望和方差. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 解析    (1)由题表得,李梦与父亲比赛获胜的频率为 ,与母亲比赛获胜的频率为 ,与弟弟比 赛获胜的频率为 . X的可能取值为0,1,2,3. P(X=0)= × × = , P(X=1)= × × + × × + × × = , P(X=2)= × × + × × + × × = , P(X=3)= × × = . 故X的分布列为 第七章　随机变量及其分布 高中同步 X 0 1 2 3 P         E(X)=0× +1× +2× +3× = , 所以D(X)= × + × + × + × = . (2)易知李梦所得奖励金为5X元,则E(5X)=5E(X)= ,D(5X)=52D(X)= . 第七章　随机变量及其分布 高中同步 定点2　 离散型随机变量的数字特征的实际应用  在实际生活中存在着许多决策问题,我们决策或优化的目的通常是使损失最小或利益最大. 离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,而方差反映了随机变量的取值相对 于均值的离散程度(或波动大小).因此,在利用均值和方差的意义去分析、解决实际问题时, 两者都要考虑. (1)若我们希望实际的平均水平较理想,则先求随机变量X1,X2的均值,当E(X1)=E(X2)时,不应认 为它们一样好,还需要用D(X1),D(X2)来比较这两个随机变量取值与其均值的偏离程度,偏离 程度越小的越好. (2)若我们希望随机变量的取值比较稳定,则应先考虑方差,再考虑均值. 定点 2 第七章　随机变量及其分布 高中同步 典例 已知甲、乙两家公司都需要招聘员工,这两家公司的聘用信息如表所示. 甲公司 职位 A B C D 月薪/千元 5 6 7 8 获得相应职位的概率 0.4 0.3 0.2 0.1 第七章　随机变量及其分布 高中同步 乙公司 职位 A B C D 月薪/千元 4 6 8 10 获得相应职位的概率 0.4 0.3 0.2 0.1 (1)若一人去应聘甲公司的C职位,另一人去应聘乙公司的C职位,记这两人被录用的人数和为 η,求η的分布列; (2)若小芳和小明分别被甲、乙两家公司录用,求小芳的月薪高于小明的月薪的概率; (3)根据甲、乙两家公司的聘用信息,如果你是求职者,你会选择哪一家公司?请说明理由. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 解析    (1)η的可能取值为0,1,2. P(η=0)=(1-0.2)×(1-0.2)=0.64, P(η=1)=2×0.2×(1-0.2)=0.32, P(η=2)=0.2×0.2=0.04. 故η的分布列为 η 0 1 2 P 0.64 0.32 0.04 第七章　随机变量及其分布 高中同步 (2)若小芳的月薪高于小明的月薪,则 ①小芳被甲公司的A职位录取,小明被乙公司的A职位录取; ②小芳被甲公司的B职位录取,小明被乙公司的A职位录取; ③小芳被甲公司的C职位录取,小明被乙公司的A职位或B职位录取; ④小芳被甲公司的D职位录取,小明被乙公司的A职位或B职位录取. 所以小芳的月薪高于小明的月薪的概率为0.4×0.4+0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3)+0.1×(0.4+0.3)=0.49. (3)设甲、乙两家公司的月薪分别为X千元,Y千元, 则E(X)=5×0.4+6×0.3+7×0.2+8×0.1=6, D(X)=(5-6)2×0.4+(6-6)2×0.3+(7-6)2×0.2+(8-6)2×0.1=1, E(Y)=4×0.4+6×0.3+8×0.2+10×0.1=6, 第七章　随机变量及其分布 高中同步 D(Y)=(4-6)2×0.4+(6-6)2×0.3+(8-6)2×0.2+(10-6)2×0.1=4. 所以E(X)=E(Y),D(X)<D(Y). 选甲公司.理由:两家公司月薪的均值相同,但甲公司月薪的波动较小,稳定性好. 选乙公司.理由:两家公司月薪的均值相同,但乙公司的高薪较高,具有较大的挑战性,鉴于对自 己能力有一定自信,所以选乙公司. 第七章　随机变量及其分布 高中同步 $