6.2.3 组合 6.2.4 组合数（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

该高中数学课件聚焦第六章计数原理，系统涵盖组合、组合数概念及性质，通过知识辨析建立与排列的联系，以“必备知识清单—性质拓展—典例解析”为支架，帮助学生构建从基础概念到综合应用的知识脉络。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如知识辨析题引导学生观察问题本质区分排列组合，典例中“至少1名女运动员”的直接与间接法培养逻辑推理，分组分配问题的模型构建（隔板法）强化数学表达。学生能提升问题解决能力，教师可借助系统资源优化教学效率。

知识点　组合与组合数 6.2.3　组合　6.2.4　组合数 必备知识 清单破 知识点 1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合. 2.组合数 (1)组合数的概念:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不 同元素中取出m个元素的组合数,用符号 表示. (2)组合数公式: =  = = (n,m∈N*,且m≤n). 规定: =1. 第六章　计数原理 高中同步 知识拓展 　　组合数的性质: = ; = + . 第六章　计数原理 高中同步 知识辨析 1.“从甲、乙、丙3名同学中选出2名去两个乡镇参加社会调查,有多少种不同的选法”是组 合问题吗? 2.“现将4枚相同的纪念币送给10人中的4人留念,有多少种送法”是排列问题,还是组合问 题? 3.满足什么条件的组合是相同的组合?“abc”与“bca”是相同的组合吗? 4.若 = (m,n,p∈N*,且m,p≤n),则m=p吗? 第六章　计数原理 高中同步 一语破的 1.不是.选出的2名同学要被分到不同的两个乡镇,与顺序有关,故不是组合问题,是排列问题. 2.组合问题.将4枚相同的纪念币送给4人并无顺序,故该问题是组合问题. 3.如果两个组合中的元素完全相同,不管它们的顺序如何,就是相同的组合.“abc”与 “bca”所含元素相同,故它们是相同的组合. 4.不一定.若 = ,则m=p或m+p=n. 第六章　计数原理 高中同步 定点1　 组合数的运算与性质  关键能力 定点破 定点 1 1.组合数的运算 形式 主要适用范围 乘积式 =   含具体数字(特别是m是数字)的组合数求值 阶乘式 =  含字母的组合数的化简、证明 第六章　计数原理 高中同步 2.组合数性质的应用 (1) = :当m> 时,计算 转化为计算 会更简单. (2) = + :顺用可将一个组合数拆成两个,逆用可将两个组合数合并为一个,变形应用 可为某些项相互抵消提供方便,在解题时要注意灵活运用. 第六章　计数原理 高中同步 典例 　(1)计算 + + +…+ + + 的值为 (　    ) A. 　 B. 　 C. -1　 D. -1 (2)证明: =  . C 第六章　计数原理 高中同步 解析    (1) + + +…+ + +  = + + + +…+ + + -  = + + +…+ + + -1 =…= + -1= -1. (2)证明:  = · = = . 方法总结 　　与组合数有关的化简、求值或证明问题,涉及具体数字的可以直接用乘积式计算,涉及 字母的多选用阶乘式计算,计算时还应注意利用组合数的性质简化运算.另外要注意 中m,n 的范围,求解后要验证所得结果是否符合题意. 第六章　计数原理 高中同步 定点2　 有限制条件的组合问题  　　由于组合问题与顺序无关,只与取出的元素有关,因此对被取元素按要求分类,是解决问 题的基本方法,含有条件的组合问题常有以下两类题型: (1)“含有”或“不含有”某些元素:“含”,则先将这些元素取出,再由其他元素补足;“不 含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素:可用直接法对被取元素分类求解,当直接法分类复杂 时,逆向思维间接求解. 定点 2 第六章　计数原理 高中同步 典例　有男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.从中选派5人外出比赛,按下列要求 分别有多少种选法? (1)男运动员3名,女运动员2名; (2)至少有1名女运动员; (3)既有队长,又有女运动员. 第六章　计数原理 高中同步 解析    (1)共有  =120种选法. (2)解法一(直接法):“至少有1名女运动员”包含有1名、2名、3名或者4名女运动员,所以共 有  +  +  +  =246种选法. 解法二(间接法):从10人中任选5人有 种选法,其中全是男运动员的选法有 种, 所以“至少有1名女运动员”共有 - =246种选法. (3)“既有队长,又有女运动员”分选女队长和不选女队长(选男队长)两种情况,共有 +  ( - )=191种选法. 第六章　计数原理 高中同步 定点3　 分组与分配问题  　　分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间只要元素个数相同,就是不可区分的, 而后者即使两组元素个数相同,但因分配的对象不同,仍然是可区分的. (1)分组问题的求解策略 定点 3 常见形式 处理方法 非均匀不 编号分组 将n个不同元素分成m(m≤n)组,每组元素个 数均不相等,依次记为m1,m2,…,mm,不考虑各 组间的顺序,其分法种数N= · ·  ·…·  第六章　计数原理 高中同步 常见形式 处理方法 均匀不编 号分组 将n个不同元素分成不编号的m(m≤n)组,假 定其中r组元素个数相等,其分法种数为  (其中N为非均匀不编号分组中的分法种数). 若再有k组均匀分组,则应再除以  非均匀编 号分组 将n个不同元素分成m(m≤n)组,各组元素个 数均不相等,且考虑各组间的顺序,其分法种 数为N· (其中N为非均匀不编号分组中的 分法种数) 第六章　计数原理 高中同步 均匀编号 分组 将n个不同元素分成m(m≤n)组,其中r组元素 个数相等且考虑各组间的顺序,其分法种数 为 · (其中N为非均匀不编号分组中的分 法种数) 常见形式 处理方法 第六章　计数原理 高中同步 (2)相同元素分配问题的处理策略 将n个相同的物品分给m(m≤n)个不同的对象,可看作将n个相同的元素排成一行,这n个元素 之间就出现了(n-1)个空隙,我们将(m-1)个“隔板”插入到这(n-1)个空隙中,就把n个元素隔成 了有序的m份,这种借助虚拟“隔板”分配元素的方法称为隔板法.由此可知,将n个相同的物 品分给m个不同的对象,共有 种方法.“隔板”法的处理策略保证了每一个对象都能至少 分到一个物品,若是“可以没有分到物品”或者“至少分到2个物品”,则需要先“借”或者 先“分”,然后转化为每个对象至少能分到一个物品的问题. 第六章　计数原理 高中同步 典例1　把10个相同的小球全部放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的小球数 不小于盒子的编号数,则不同的放法共有　　　    种. 15 解析    在编号为2,3的两个盒子中分别放入1,2个小球,这样还剩10-3=7个小球, 则问题变为求把7个相同的小球全部放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,每个盒子至少放入1 个小球的不同放法的种数,由隔板法可知共有 =15种放法. 第六章　计数原理 高中同步 典例2 　按下列要求分6本不同的书,各有多少种不同的分法? (1)分给甲、乙、丙三人,每人两本; (2)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本; (3)分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本; (4)分给甲、乙、丙三人,每人至少一本. 第六章　计数原理 高中同步 解析    (1)依题意为平均分配问题,先将6本不同的书平均分成3组,有 种分法,再将3组 书分配给甲、乙、丙三人,有 种分法,因此共有 · =   =90种分法. (2)依题意为不平均分组问题,先从6本书中选1本为一份,有 种分法,再从其余的5本书中选2 本为一份,有 种分法,最后三本为一份有 种分法,因此共有   =60种分法. (3)依题意为不平均分配问题,由题(2)知有   =60种分组方法,因此共有    =360种 分法. (4)依题意可以分为三类:①“2,2,2型”,由(1)知有90种分法;②“1,2,3型”,由(3)知有360种分 法;③“1,1,4型”,有 · =90种分法.所以一共有90+360+90=540种分法. 第六章　计数原理 高中同步 定点4　 排列与组合的综合应用  定点 4 1.正确区分“排列”与“组合” 元素是否有序是区分排列与组合的重要标志,无序的问题用组合的知识解答,有序的问题用 排列的知识解答.要按元素(或位置)的性质进行分类,按事情发生的过程进行分步. 2.排列与组合的综合问题的解题思路: (1)先特殊后一般;(2)先组合后排列. 第六章　计数原理 高中同步 典例 　如图,一个正方形花圃被分成5份. (1)若给这5个部分种植花,要求相邻两部分种植不同颜色的花,现有红、黄、蓝、绿4种颜色 的花,有多少种不同的种植方法? (2)若在这5个部分中放入7个不同的盆栽,要求每个部分都有盆栽,有多少种不同的放法?   第六章　计数原理 高中同步 解析    (1)解法一:先对A部分种植,有4种不同的种植方法,再对B部分种植,有3种不同的种植 方法,然后对C部分种植,分两类: ①若C部分与B部分种植的花的颜色相同,则D部分有2种不同的种植方法,E部分有2种不同的 种植方法,共有4×3×1×2×2=48种不同的种植方法; ②若C部分与B部分种植的花的颜色不同,则C部分有2种不同的种植方法,D部分有1种种植方 法,E部分有2种不同的种植方法,共有4×3×2×1×2=48种不同的种植方法. 综上,共有48+48=96种不同的种植方法. 解法二:由图形知,A、E可同色,B、C可同色,C、E可同色(不可与另两组同时同色),因此可用 三色,也可用四色种植. 若选四色,则“A、E同色”或“B、C同色”或“C、E同色”,有3× =72种不同的种植方 法; 第六章　计数原理 高中同步 若选三色,则“A、E同色”且“B、C同色”,有 =24种不同的种植方法. 综上,共有72+24=96种不同的种植方法. (2)将7个盆栽分成5组,有两种分法: ①分成2、2、1、1、1,有 种分法; ②分成3、1、1、1、1,有 种分法. 将分好的5组全排列,对应5个部分, 则一共有 · =16 800种放法. 第六章　计数原理 高中同步 素养　通过解决排列与组合问题发展逻辑推理的素养 素养 学科素养 情境破 素养解读 　　排列、组合问题的背景丰富,无特定的模式和规律可循,解题时需认真审题,把握问题的 本质特征,化归为排列、组合的常规模型,从而找到解决对策,为提高解题效率,应注重培养逻 辑推理的素养. 第六章　计数原理 高中同步 典例呈现 例题 (多选)某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到A,B,C,D四个社区参与志愿活动,下列说 法正确的是 (　 　　　   ) A.每人都只安排到一个社区的不同方法种数为625 B.每人都只安排到一个社区,每个社区至少有一人,则不同的安排方法种数为480 C.如果D社区不安排,其余三个社区至少安排一人,则这5名老师全部被安排的不同方法种数 为150 D.每人都只安排到一个社区,每个社区至少有一人,其中甲、乙不去A社区,其余三名老师四 个社区均可安排,则不同的安排方法种数为126 CD 第六章　计数原理 高中同步 解题思路    对于A,要完成的一件事是“每名老师选一个社区”,因为每名老师有4种选法,所 以不同的安排方法种数为45=1 024,故A错误. 对于B,将5名老师分成2,1,1,1的四组,再将分好的四组安排到4个社区,所以不同的安排方法种 数为 · =240,故B错误. 对于C,将5名老师分成2,2,1或3,1,1的三组,再将分好的三组安排到A,B,C三个社区,所以不同 的安排方法种数为  +  · =150,故C正确. 对于D,当丙、丁、戊中的一人去A社区时,将其余的4人分成2,1,1的三组,再将其安排到B,C,D 三个社区,则不同的安排方法种数为 · · =108; 当丙、丁、戊中的两人去A社区时,将其余的3人安排到B,C,D三个社区,则不同的安排方法种 数为  =18. 综上,不同的安排方法种数为108+18=126,故D正确. 第六章　计数原理 高中同步 思维升华 对于排列、组合问题,要注意解题后进行反思,总结题目考查的是哪个知识点、与哪些知识 相关联、是以什么形式来出题的、题目中隐藏的信息有哪些、怎样将已有知识综合运用到 题目中等,多角度分析问题,从而提高逻辑推理能力. 第六章　计数原理 高中同步 $