第03讲 6.2.3组合+6.2.4组合数（知识清单+8类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）

第03讲 6.2.3组合+6.2.4组合数 课程标准 学习目标 ①了解组合、组合数的意义。 ②掌握常见的组合处理方法。 ③会用组合的相关方法解决简单的组合问题。 ④熟练运用组合数的相关公式及性质解决与组合有关的问题。 ⑤在实际问题中能区分排列与组合的关系，准确选择恰当的方法解决排列组合的相关问题。 1.掌握组合、组合数的意义； 2.能解决简单的组合问题； 3.并能解决简单的排列组合综合问题； 知识点01：组合 （1）定义：一般地：从个不同的元素中取出()个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. （2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. （3）组合与排列的异同 相同点:组合与排列都是“从个不同的元素中取出()个元素”. 不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题. 知识点02：组合数与组合数公式 （1）组合数的定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示. （2）组合数公式 或：（，）. 规定： 【即学即练1】（23-24高二下·浙江·期中）若，则 ． 知识点03：组合数的性质 （1）性质1： （2）性质2： 【即学即练2】（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）若，则（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或3 【即学即练3】（24-25高二下·全国·课后作业）（    ） A．315 B．330 C．345 D．360 题型01 组合的概念 【典例1】（24-25高二上·甘肃武威·期中）下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【典例2】（24-25高三·上海·随堂练习）给出下列问题： ①有10个车站，共需要准备多少种车票？ ②有10个车站，共有多少种不同的票价？ ③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？ ④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？ ⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？ 以上问题中，属于组合问题的是 ．（填写问题序号） 【典例3】（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列问题是排列问题还是组合问题． (1)设集合，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？ (2)某高铁线上有5个车站，则这条高铁线上共需准备多少种二等座车票？有多少种不同的二等座火车票价？（往返票价一致） (3)从2，3，5，7，9中任取两个不同的数做乘法，其结果有多少种？若任取两个不同的数做除法，其结果有多少种？ 【变式1】（多选）（23-24高二下·江苏·课前预习）下列问题是组合问题的有（　　） A．设集合，则集合A的含有3个元素的子集有多少个 B．某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种票价 C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法 D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多分得1本，有几种分配方法 【变式2】（24-25高三·上海·随堂练习）下列问题中，属于组合问题的是 ．（填序号） ①从全班50人中选出5人组成班委会； ②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积； ④从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商． 【变式3】（24-25高三·上海·随堂练习）下列问题中，属于组合问题的是 ．（填序号） ①从1，3，5，9中任取两个数相加，所得不同的和； ②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数； ③从甲、乙、丙三名同学中选两人参加不同的两项活动． 题型02组合数的计算、化简与证明 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【典例2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，则 ． 【典例3】（24-25高二上·甘肃武威·期中）（1）计算： ； （2） 若 ，则x的值为_____； （3） 若 ，求正整数n． 【变式1】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知，则 . 【变式2】（24-25高三上·河北承德·开学考试）若，则 . 【变式3】（24-25高三上·重庆·阶段练习）若，则的值为 题型03 组合数方程与不等式 【典例1】（2024高二·江苏·专题练习）若，则的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·上海浦东新·阶段练习）若正整数n满足不等式，则 . 【典例3】（24-25高二·全国·课后作业）求关于的不等式的解集． 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知组合数，则关于的不等式的解集为 ． 【变式2】（24-25高三·上海·课堂例题）不等式的解集为 ． 【变式3】（24-25高二·全国·课后作业）解不等式； 题型04 组合数的性质及其应用 【典例1】（23-24高二下·山西长治·期中）已知，则（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【典例2】（23-24高二下·江苏南京·期中）（    ） A．84 B．83 C．70 D．69 【典例3】（24-25高三·上海·课堂例题）计算 ． 【变式1】（23-24高二下·湖北·期中）式子的值为（    ） A．27 B．127 C．5160 D．与的取值有关 【变式2】（23-24高二下·河南郑州·期中）若，则 . 【变式3】（24-25高二上·上海·假期作业）（1）计算：； （2）求证：＝++. 题型05有限制条件的排列组合问题 【典例1】（23-24高二下·北京通州·期中）已知一个三位数，如果满足个位上的数字和百位上的数字都小于十位上的数字，那么我们称该三位数为“凸三位数”，则没有重复数字的“凸三位数”的个数为（    ） A．240 B．204 C．176 D．168 【典例2】（多选）（24-25高三上·吉林白城·阶段练习）现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同安排方案的种数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 C．若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 D．若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 【典例3】（23-24高二下·山东青岛·期中）（1）用这10个数字，可以组成多少个三位数？（用数字作答） （2）用这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？（用数字作答） （3）用这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？（用数字作答） （4）用这10个数字，可以组成多少个三个数位上既有偶数也有奇数的没有重复数字的三位数？（用数字作答） 【变式1】（24-25高三上·江西新余·阶段练习）将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分组方式共有（     ）种. A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）现有10个完全相同，尺寸为的长方体箱子，将第一个箱子平放在地面上，其余的9个箱子的每一个箱子都平放在前面的箱子上，可以任意旋转箱子，那么使得这10个箱子堆放高度为41的堆放方式共有 种. 【变式3】（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）某学校在校庆晚会期间连续播放6个广告，其中4个不同的商业广告和2个不同的宣传广告，要求最后播放的必须是宣传广告，且2个宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有 种. 题型06 排列、组合的综合应用 【典例1】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有（    ）种 A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·甘肃武威·期中）年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【典例3】（多选）（24-25高二上·四川眉山·期中）现有个编号为的盒子和个编号为的小球，要求把个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（     ） A．没有空盒子的方法共有种 B．有空盒子的方法共有种 C．恰有个盒子不放球的方法共有种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种 【变式1】（24-25高二上·上海·阶段练习）有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ）种 A．30 B．50 C．60 D．80 【变式2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）2024年9月28日哈六中组织百年校庆活动，有甲、乙、丙3名志愿者负责A，B，C，D等4个任务.每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责A任务的分配方法共有（   ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【变式3】（24-25高二上·甘肃武威·期中）从1，3，5中任取2个数，从0，2，4中任取2个数，则组成没有重复数字的四位数的个数为 . 题型07 与几何图形有关的组合问题 【典例1】（23-24高二下·山东淄博·期中）中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕．假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（    ） A．8种 B．14种 C．20种 D．16种 【典例2】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图是某城区的街道平面网格，它由24个全等的小正方形构成，每个小正方形的边界都是能通行的街道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑（不能跨越通行）．小张家居住在街道网格的M处，她的工作单位在街道网格的N处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上班，若她要选择最短路径前往，则小张上班一共有 种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，途中要先到达街道P处吃早餐，吃完早餐再前往单位，则她一共有 种最短路径的走法． 【典例3】（23-24高二下·河北石家庄·期末）如图，一只蚂蚁位于点M处，去搬运位于N处的糖块，的最短路线有 条． 【变式1】（24-25高三上·重庆·开学考试）有一个4行4列的表格，在每一个格中分别填入数字0或1，使得4行中所填数字之和恰好是各一个，4列中所填数字之和恰好也是1，2，3，4各一个（如图为其中一种填法），则符合要求的不同填法共有 种. 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 【变式2】（23-24高二下·陕西西安·期末）在如图的方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法. 8 1 6 3 5 7 4 9 2 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）如图是一个某城市街道图，其中虚线部分为不可通过的荷塘．李四家住A处，学校在B处，问李四从家里上学的最短路径有多少条不同的路线？ 题型08 分组、分配问题 【典例1】（24-25高三上·浙江·阶段练习）将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（    ） A．20种 B．40种 C．80种 D．160种 【典例2】（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）某校学生会打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学安排到4个不同的社团负责组织活动，每个社团至少安排一名同学，则不同的安排方法种数是 . 【典例3】（24-25高三上·上海·期中）第41届全国中学生物理竞赛决赛于10月24 日至10月30日由华东师范大学第二附属中学承办.根据赛事安排，组委会欲安排 589 名选手和各省领队参观5个不同场馆，分别为李政道研究所、中国商飞、上海交通大学张江高等研究院、上海科技大学和上海博物馆东馆.现欲将6位志愿者老师分配到5个不同场馆做带队服务.若每个场馆至少1人，则不同的分配方案的种数为 . 【典例4】（2024高三·全国·专题练习）有六名同学按下列方法和要求分组，各有不同的分组方法多少种？ (1)分成三个组，各组人数分别为1、2、3； (2)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1、2、3； (3)分成三个组，各组人数分别为2、2、2； (4)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2、2、2； (5)分成四个组，各组人数分别为1、1、2、2； (6)分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1、1、2、2. 【变式1】（24-25高三上·河南新乡·期中）将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三上·江苏·阶段练习）某大学5名师范生到甲、乙、丙三所高中实习，每名同学只能到1所学校，每所学校至多接收2名同学.若同学A确定到甲学校，则不同的安排方法共有 种. 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）随着马拉松运动的普及，我国已成功举办多次全民马拉松赛事．现某城市举办全民马拉松比赛，第一处供给点需要三组工作人员，其中有3名医生和6名社会志愿者组成，每组人员由1名医生和2名志愿者组成．根据需要，志愿者甲与乙要分配在同一组，则这9名工作人员分组方法种数为 ． 【变式4】（24-25高二上·甘肃武威·期中）寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． (1)若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ (2)宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ (3)若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ (4)随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）有四个不同的小球，，，，放入3个不同的盒子之中，则每个盒子中至少有一个球的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北·阶段练习）《志愿军：存亡之战》和《浴火之路》是2024年国庆档的热门电影．某电影院在国庆节的白天、晚上分别可以放映5场和3场电影，若上述两部影片只放映一次，且不能都在白天放映，则安排放映这两部电影不同的方式共有（   ） A．17种 B．32种 C．34种 D．36种 3．（24-25高三上·云南·阶段练习）某市人民政府新招聘进名应届大学毕业生，分配给甲、乙、丙、丁四个部门，每人只去一个部门，每个部门必须有人，若甲部门必须安排人，则不同的方案数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么不同的选法种数为（    ） A．15 B．40 C．55 D．70 5．（24-25高三上·青海西宁·期中）将7张不同的邮票分给甲、乙、丙三位同学，每人至少2张，且邮票都要分完，则甲、乙分得的邮票数相等的分法共有（    ） A．210种 B．420种 C．240种 D．480种 6．（24-25高三上·广东·阶段练习）某景区新开通了 个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁 4 名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择 1 个项目进行体验，每个项目至少有 1 名志愿者进行体验，且甲不体验 项 目， 则不同的体验方法共有（    ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．30 种 7．（24-25高二上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，轴正半轴上有4个点，轴正半轴上有6个点，将轴上的4个点和轴上的6个点连成24条线段，这24条线段在第一象限内的交点最多有（ ）个 . A．90 B．85 C．80 D．75 8．（24-25高二上·甘肃武威·期中）某学习小组有男、女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为（    ） A．3，5 B．2，5 C．5，3 D．6，2 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·单元测试）某城市街道如图，某人要走最短路程从地前往地，则不同走法有（    ）    A．种 B．种 C．种 D．种 10．（24-25高二上·江苏·假期作业）已知且，则下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高三上·青海·期中）茶卡盐湖､青海湖､西宁野生动物园､日月山､卓尔山是青海省的个著名景点，甲､乙两人分别从这个景点中任选个游玩，则恰好有个景点均被人选中的选取方法共有 种. 12．（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）若甲、乙两人从门课程中各选修门，则甲、乙所选修的课程中至少有门相同的选法种数为 . 四、解答题 13．（24-25高二下·全国·课后作业）小明准备从苹果、香橙、水蜜桃和圣女果等六种水果中买三种． (1)若不买苹果，共有多少种买法？ (2)若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有多少种买法？ (3)若香橙和圣女果中至少买一种，且香橙和苹果不同时买，共有多少种买法？ 14．（24-25高二上·全国·课后作业）4位同学参加辩论赛，比赛规则如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得分；选乙题答对得90分，答错得分．若4位同学的总分为0分，则这4位同学有多少种不同的得分情况？ 15．（24-25高三·上海·课堂例题）求由1、2、3、4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数. B能力提升 16．（24-25高三上·河北·阶段练习）某大学为了鼓励学生积极参与社会实践，组织了一次志愿者活动，共有名学生报名参加（且）.活动中有种不同类型的服务项目可供选择，分别是社区服务、环保宣传和关爱弱势群体，每种项目都需要若干名学生参与. (1)若，且要求每个项目至少有名学生参与，求共有多少种不同的分配方案？ (2)若对于任意的名学生，每个项目至少有名学生参与的分配方案有种，求关于的表达式（用组合数表示），并证明当时，是的单调递增函数. 17．（24-25高三上·上海闵行·期中）一个盒子里装有大小和质地完全相同的4个红球、6个白球； (1)从中任取2个球，求2个球中至少有1个红球的概率； (2)从中任取4个球，求白球个数不比红球多的概率； (3)从中任取5个球，其中红球个，白球个（，），若取一个红球记2分，取一个白球记1分，求使总分不少于7分的概率． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 6.2.3组合+6.2.4组合数 课程标准 学习目标 ①了解组合、组合数的意义。 ②掌握常见的组合处理方法。 ③会用组合的相关方法解决简单的组合问题。 ④熟练运用组合数的相关公式及性质解决与组合有关的问题。 ⑤在实际问题中能区分排列与组合的关系，准确选择恰当的方法解决排列组合的相关问题。 1.掌握组合、组合数的意义； 2.能解决简单的组合问题； 3.并能解决简单的排列组合综合问题； 知识点01：组合 （1）定义：一般地：从个不同的元素中取出()个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. （2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. （3）组合与排列的异同 相同点:组合与排列都是“从个不同的元素中取出()个元素”. 不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题. 知识点02：组合数与组合数公式 （1）组合数的定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示. （2）组合数公式 或：（，）. 规定： 【即学即练1】（23-24高二下·浙江·期中）若，则 ． 【答案】7 【知识点】组合数的计算 【分析】利用组合数公式计算即可. 【详解】得到，解得或.故. 故答案为：7 知识点03：组合数的性质 （1）性质1： （2）性质2： 【即学即练2】（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）若，则（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或3 【答案】D 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】根据组合数公式的性质求解即可. 【详解】因为，所以或，解得或. 故选：D. 【即学即练3】（24-25高二下·全国·课后作业）（    ） A．315 B．330 C．345 D．360 【答案】A 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质即可求解. 【详解】． 故选：A 题型01 组合的概念 【典例1】（24-25高二上·甘肃武威·期中）下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【答案】C 【知识点】排列的意义理解、组合意义理解 【分析】根据排列和组合的概念可确定选项. 【详解】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. 故选：C. 【典例2】（24-25高三·上海·随堂练习）给出下列问题： ①有10个车站，共需要准备多少种车票？ ②有10个车站，共有多少种不同的票价？ ③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？ ④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？ ⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？ 以上问题中，属于组合问题的是 ．（填写问题序号） 【答案】②④ 【知识点】排列的意义理解、组合意义理解 【分析】根据排列组合的定义逐个分析判断即可 【详解】对于①，相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题； 对于②，相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题； 对于③，相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题； 对于④，相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题； 对于⑤，相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题； 所以以上问题中，属于组合问题的是②④． 故答案为：②④ 【典例3】（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列问题是排列问题还是组合问题． (1)设集合，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？ (2)某高铁线上有5个车站，则这条高铁线上共需准备多少种二等座车票？有多少种不同的二等座火车票价？（往返票价一致） (3)从2，3，5，7，9中任取两个不同的数做乘法，其结果有多少种？若任取两个不同的数做除法，其结果有多少种？ 【答案】(1)组合问题 (2)车牌属于排列问题，票价属于组合问题 (3)做乘法属于组合问题，做除法属于排列问题 【知识点】排列的意义理解、组合意义理解 【分析】（1）从集合中元素的性质得到答案； （2）分析有无顺序问题，从而作出判断； （3）乘法满足交换律，除法不满足交换律，从而作出判断. 【详解】（1）子集中元素具有无序性，故属于组合问题； （2）二等座车票上出发地和目的地有顺序，故属于排列问题， 二等座火车票价（往返票价一致），无顺序问题，为组合问题 （3）因为互质，所以两两之间的积与商都不一致， 而乘法满足交换律，故做乘法属于组合问题， 除法不满足交换律，故做除法属于排列问题. 【变式1】（多选）（23-24高二下·江苏·课前预习）下列问题是组合问题的有（　　） A．设集合，则集合A的含有3个元素的子集有多少个 B．某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种票价 C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法 D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多分得1本，有几种分配方法 【答案】ABD 【知识点】组合意义理解 【分析】利用排列与组合的定义判断各选项中的问题. 【详解】A选项，取出的元素与顺序无关，故是组合问题. B选项，甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题. C选项，从5种不同的工作中选出3种，并按一定顺序分给3个人去干，故是排列问题. D选项，因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需要考虑它们的顺序，故是组合问题. 故选：ABD 【变式2】（24-25高三·上海·随堂练习）下列问题中，属于组合问题的是 ．（填序号） ①从全班50人中选出5人组成班委会； ②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积； ④从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商． 【答案】①③ 【知识点】排列的意义理解、组合意义理解 【分析】根据排列、组合的定义逐个分析判断. 【详解】对于①，从50人中选出5人组成班委会，不考虑顺序是组合问题． 对于②，从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员为排列问题． 对于③，从1，2，3，…，9中任取两个数求积是组合问题． 对于④，从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商，因为乘法满足交换律，而减法和除法不满足，故为排列问题． 所以组合问题有①③． 故答案为：①③． 【变式3】（24-25高三·上海·随堂练习）下列问题中，属于组合问题的是 ．（填序号） ①从1，3，5，9中任取两个数相加，所得不同的和； ②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数； ③从甲、乙、丙三名同学中选两人参加不同的两项活动． 【答案】①② 【知识点】排列的意义理解、组合意义理解 【分析】根据排列、组合的定义逐个分析判断. 【详解】对于①，两个数的和与顺序无关，故是组合问题； 对于②，两点为端点的线段与顺序无关，故是组合问题； 对于③，选出的同学参加不同的活动，与顺序有关，故是排列问题． 故答案为：①②． 题型02组合数的计算、化简与证明 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【知识点】组合数的计算 【分析】根据题意，利用组合数的公式，列出方程求得，结合组合数的计算公式，即可求解. 【详解】由，所以，可得，解得， 所以． 故选：C. 【典例2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】21或10 【知识点】组合数的计算、组合数方程和不等式 【分析】借助组合数的性质可得或，分类计算出后再计算即可得. 【详解】因为，所以， 则或， 当时，即，解得，此时； 当时，即，解得或（舍去）， 此时． 故答案为：21或10. 【典例3】（24-25高二上·甘肃武威·期中）（1）计算： ； （2） 若 ，则x的值为_____； （3） 若 ，求正整数n． 【答案】（1） ；（2）；（3） ． 【知识点】排列数的计算、组合数的计算、组合数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】（1）利用排列数、组合数公式计算即得. （2）利用组合数的性质，排列数、组合数公式化简方程求解. （3）利用组合数的性质化简求解. 【详解】（1）. （2）依题意，，则，， 整理得：，而，所以. （3） ， 因此，即，所以. 【变式1】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知，则 . 【答案】6 【知识点】组合数的计算 【分析】根据组合数计算即可. 【详解】，解得或， 因为，所以. 故答案为：. 【变式2】（24-25高三上·河北承德·开学考试）若，则 . 【答案】 【知识点】组合数的计算 【分析】根据题意，结合组合数的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】由组合数的计算公式，可得，解得. 故答案为：. 【变式3】（24-25高三上·重庆·阶段练习）若，则的值为 【答案】69 【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算 【分析】根据组合数的性质及参数范围得出参数m，再计算组合数即可. 【详解】因为，所以或，解得或, 因为，所以,可得, 所以. 故答案为：69. 题型03 组合数方程与不等式 【典例1】（2024高二·江苏·专题练习）若，则的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】组合数方程和不等式 【分析】根据组合数的运算公式及性质化简不等式求其解集即可. 【详解】∵， ∴ 即解得. ∵， ∴. ∴的取值集合为. 故选：A. 【典例2】（24-25高二下·上海浦东新·阶段练习）若正整数n满足不等式，则 . 【答案】5 【知识点】排列数方程和不等式、组合数方程和不等式 【分析】根据排列数与组合数公式计算即可. 【详解】由，得，且， 化简整理得，解得， 又因为，所以. 故答案为：. 【典例3】（24-25高二·全国·课后作业）求关于的不等式的解集． 【答案】 【知识点】组合数方程和不等式 【分析】根据组合数的运算公式计算即可得出答案. 【详解】不等式， 即不等式， 即，解得， 又因且， 所以关于的不等式的解集为. 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知组合数，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】组合数的计算、组合数方程和不等式 【分析】利用组合数的计算展开不等式求解即可； 【详解】不等式， 即不等式， 解得，又因且为正整数， 所以原不等式的解集为． 故答案为：. 【变式2】（24-25高三·上海·课堂例题）不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】组合数方程和不等式 【分析】利用组合数公式，结合一元二次不等式求解即得. 【详解】不等式化为：，整理得，解得，而， 所以，原不等式的解集为. 故答案为： 【变式3】（24-25高二·全国·课后作业）解不等式； 【答案】 【知识点】组合数方程和不等式 【分析】根据给定条件利用组合的意义及组合数计算公式化简不等式，再解不等式即可. 【详解】在不等式中，0≤m-1≤8，且0≤m≤8，m∈，即有1≤m≤8，m∈， 原不等式化为：， 即，解得，则m=7或8， 所以不等式的解集为. 题型04 组合数的性质及其应用 【典例1】（23-24高二下·山西长治·期中）已知，则（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以，所以，解得. 故选：B 【典例2】（23-24高二下·江苏南京·期中）（    ） A．84 B．83 C．70 D．69 【答案】D 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】利用组合数的性质及计算公式求解即得. 【详解】依题意， . 故选：D 【典例3】（24-25高三·上海·课堂例题）计算 ． 【答案】 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】利用组合数的性质逐步递推求解即可. 【详解】因为， 所以 . 故答案为：. 【变式1】（23-24高二下·湖北·期中）式子的值为（    ） A．27 B．127 C．5160 D．与的取值有关 【答案】A 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质和运算公式进行求解即可. 【详解】由题中组合数的形式可知：， 所以. 故选：A 【变式2】（23-24高二下·河南郑州·期中）若，则 . 【答案】4或16/16或4 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质和化简即可求值. 【详解】因为，所以， 又，所以，所以或. 故答案为：4或16 【变式3】（24-25高二上·上海·假期作业）（1）计算：； （2）求证：＝++. 【答案】（1）210；（2）证明见解析 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】（1）利用组合数公式计算可得答案； （2）利用组合数公式计算可得答案. 【详解】（1）原式； （2）右边左边. 题型05有限制条件的排列组合问题 【典例1】（23-24高二下·北京通州·期中）已知一个三位数，如果满足个位上的数字和百位上的数字都小于十位上的数字，那么我们称该三位数为“凸三位数”，则没有重复数字的“凸三位数”的个数为（    ） A．240 B．204 C．176 D．168 【答案】B 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、组合数的计算 【分析】分类讨论，当个位上数为0时和个位上的数不是0时两种情况即可求解． 【详解】根据题意，当个位上的数字是0时，有个“凸三位数”； 当个位上的数不是0时，有个“凸三位数”； 所以共有个“凸三位数”， 故选：B． 【典例2】（多选）（24-25高三上·吉林白城·阶段练习）现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同安排方案的种数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 C．若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 D．若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 【答案】BD 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题 【分析】根据分步计数原理可判断A；先分组，然后再分配可判断BCD. 【详解】对A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为，故A错误； 对B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作， 则不同安排方案的种数为，故B正确； 对C，先将5人分为3组，有种分组方法， 将分好的三组安排翻译､导游､礼仪三项工作，有种情况， 则不同安排方案的种数是，故C错误； 对D，第一类，先从乙，丙，丁，戊中选出1人从事司机工作，再将剩下的4人分成三组， 安排翻译､导游､礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为； 第二类，先从乙，丙，丁，戊中选出2人从事司机工作， 再将剩下的3人安排翻译、导游、礼仪三项工作， 则不同安排方案的种数为.所以不同安排方案的种数是，故D正确. 故选：BD. 【典例3】（23-24高二下·山东青岛·期中）（1）用这10个数字，可以组成多少个三位数？（用数字作答） （2）用这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？（用数字作答） （3）用这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？（用数字作答） （4）用这10个数字，可以组成多少个三个数位上既有偶数也有奇数的没有重复数字的三位数？（用数字作答） 【答案】（1）900；（2）648；（3）328；（4）540 【知识点】数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、组合数的计算 【分析】（1）先排个位，再排百位和十位，根据分步乘法计算原理计算即可； （2）先排个位，再从剩下9个数字中任选2个数字作为百位和十位，根据分步乘法计算原理计算即可； （3）分当个位是时和个位不是时两种情况讨论，再根据分步乘法和分类加法计算原理计算即可； （4）分类讨论，有0时和没有0时，再根据分步乘法和分类加法计算原理计算即可． 【详解】（1）先排个位，再排百位和十位，故有个； （2）先排个位，再排百位和十位，故有个； （3）当个位是0时，有个；当个位不是0时，有个； 故共有个； （4）若选0时，除0外，可以有1个奇数1个偶数或2个奇数，有种情况， 又0可以在个位或者十位，有种情况，并且除0外的两个数位置可以互换， 故有个； 同理，若不选0时，则有个， 所以共有个． 【变式1】（24-25高三上·江西新余·阶段练习）将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分组方式共有（     ）种. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】将6人身高从高到低依次标号为：1、2、3、4、5、6，法一，利用间接法可求得总的方法数，法二，采用直接法求解，分甲、乙同组与不同组两种情况求解. 【详解】将6人身高从高到低依次标号为：1、2、3、4、5、6 法一：用间接法求解：此事件的反面是“甲是本组的最矮的或乙是本组最高的至少成立其一”，①甲、乙不在同一组：只有124、356一种排法； ②甲、乙在同一组：以上命题不可能同时成立， 注意到剩下四人任取一人与甲乙同组均符合题意，所以由种选法，共有种选法. 而平均分组共有种方式，所以共有种选法. 法二：用直接法求解： ①甲、乙在同一组：容易发现这是不可能的； ②甲、乙不在同一组：那么1、2中至少有一位与乙一组，5、6中至少有一位与甲一组， 取该事件的反面，即：1、2均不与乙一组且5、6均不与甲一组，4人均分两组共有种分法，符合事件反面的只有356、124一种，所以共有=5种分法. 故选：B. 【变式2】（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）现有10个完全相同，尺寸为的长方体箱子，将第一个箱子平放在地面上，其余的9个箱子的每一个箱子都平放在前面的箱子上，可以任意旋转箱子，那么使得这10个箱子堆放高度为41的堆放方式共有 种. 【答案】5130 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】设分别有个高度为的箱子，结合题意可得，，进而得到，，，再结合排列组合知识求解即可. 【详解】因为10个箱子都有3种不同的高度， 设分别有个高度为的箱子， 则，则， 由于，则， 所以，，， 则使得这10个箱子堆放高度为41的堆放方式共有种. 故答案为：5130. 【变式3】（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）某学校在校庆晚会期间连续播放6个广告，其中4个不同的商业广告和2个不同的宣传广告，要求最后播放的必须是宣传广告，且2个宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有 种. 【答案】192 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先考虑最后位置必为宣传广告，再考虑4个商业广告的顺序，最后另一宣传广告插入4个商业广告之间，即可求解. 【详解】先考虑最后位置必为宣传广告，有种， 再考虑4个商业广告的顺序，有种， 另一宣传广告插入4个商业广告之间，有种， 故共有种. 故答案为：192. 题型06 排列、组合的综合应用 【典例1】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有（    ）种 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】排列组合综合 【分析】根据给定条件，利用排除法列式计算得解. 【详解】从这人中任选人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员有种方法，其中甲乙两人都入选的方法为种. 所以甲乙两人不都入选的不同选法共有种. 故选：C 【典例2】（24-25高二上·甘肃武威·期中）年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【知识点】排列组合综合、分组分配问题 【分析】分别考虑甲负责个任务和甲负责个任务的情况，结合甲不负责，可得答案. 【详解】因任务有个，人只有三个，结合题意可知有人负责两个任务. 若甲负责两个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 若甲负责个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 综上，满足题意的分配方法共有种. 故选：C. 【典例3】（多选）（24-25高二上·四川眉山·期中）现有个编号为的盒子和个编号为的小球，要求把个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（     ） A．没有空盒子的方法共有种 B．有空盒子的方法共有种 C．恰有个盒子不放球的方法共有种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种 【答案】AC 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】对于A，没有空盒即4个球4个盒子全排列即得；对于B，可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，即可求解； 对于C，恰有一个空盒，即另外三个盒子都有球，而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球，求解即得； 对于D，只需从四盒四球中选定标号相同的球和盒，另外的球与盒不能对应，求解即得． 【详解】对于选项A，把4个小球全部放进盒子中，没有空盒子，相当于4个小球在4个盒子上进行全排列，故共有种方法，所以选项A正确， 对于选项B，有空盒子，因为有4个球，每个球各有4种放法，故共有种方法，所以选项B错误； 对于选项C，恰有1个盒子不放球，说明另外三个盒子都有球，而球共4个，则必有一个盒子放了2个球， 先将四盒中选一个作为空盒，再将4球中选出2球绑在一起， 再对三个盒子全排共有种方法，故C正确； 对于选项D，恰有一个小球放入自己编号的盒中，则从四盒四球中选定标号相同的球和盒有种， 另外三球三盒不能对应共2种，则共有种方法，故D错误. 故选：AC. 【变式1】（24-25高二上·上海·阶段练习）有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ）种 A．30 B．50 C．60 D．80 【答案】C 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】从5人中选1人两天都参加，再从余下4人中选2人分派到周六、周日参加，并列式计算即得. 【详解】从5人中选1人两天都参加，有种方法，再从余下4人中选2人分派到周六、周日参加，有种方法， 所以不同安排方式共有（种）. 故选：C 【变式2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）2024年9月28日哈六中组织百年校庆活动，有甲、乙、丙3名志愿者负责A，B，C，D等4个任务.每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责A任务的分配方法共有（   ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】C 【知识点】排列组合综合、分组分配问题 【分析】分别考虑甲负责1个任务和甲负责2个任务的情况，结合甲不负责A，可得答案. 【详解】因任务有4个，人只有三个，结合题意可知有1人负责两个任务. 若甲负责两个任务，因甲不负责A任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 若甲负责1个任务，因甲不负责A任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 综上，满足题意的分配方法共有种. 故选：C 【变式3】（24-25高二上·甘肃武威·期中）从1，3，5中任取2个数，从0，2，4中任取2个数，则组成没有重复数字的四位数的个数为 . 【答案】 【知识点】排列组合综合、数字排列问题 【分析】先分类讨论从0，2，4中任取2个数时，其中含数字0时，和不含数字0时，结合排列组合即可得解． 【详解】从1，3，5中任取两个数，从0，2，4中任取2个数，组成没有重复数字的四位数，分两种情况： ①当从0，2，4中任取2个数，其中含数字0时，则组成没有重复数字的四位数的个数为; ②当从0，2，4中任取2个数，其中不含数字0时，则组成没有重复数字的四位数的个数为. 综合①②得：组成没有重复数字的四位数的个数为. 故答案为：． 题型07 与几何图形有关的组合问题 【典例1】（23-24高二下·山东淄博·期中）中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕．假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（    ） A．8种 B．14种 C．20种 D．16种 【答案】B 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】先得出没有位置限制的种数，再减去甲、乙两人同在 "天和核心舱" 内的种数. 【详解】依题意，没有甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验限制的情况， 有种安排方案， 其中甲、乙两人同在 "天和核心舱" 内的安排方案有种， 所以甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验的安排方案有种. 故选：B 【典例2】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图是某城区的街道平面网格，它由24个全等的小正方形构成，每个小正方形的边界都是能通行的街道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑（不能跨越通行）．小张家居住在街道网格的M处，她的工作单位在街道网格的N处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上班，若她要选择最短路径前往，则小张上班一共有 种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，途中要先到达街道P处吃早餐，吃完早餐再前往单位，则她一共有 种最短路径的走法． 【答案】 【知识点】实际问题中的组合计数问题、其他组合计数模型 【分析】小张从处出发选择最短路径前往处，需要向右走条街道和向上走条街道，共走条街道．因此只需从条街道里面选择条街道向右走和条街道向上走即可；同理先求出从处出发选择最短路径前往处的种数，再求从处出发选择最短路径前往处的种数，根据分布乘法计数原理求解即可. 【详解】小张从处出发选择最短路径前往处，需要向右走条街道和向上走条街道，共走条街道． 所以从处出发选择最短路径到达处一共有种走法； 同理，从处到达处有种走法，从处到达处有种走法， 所以根据分步乘法计数原理，小张每天早上上班途经街道处的最短路径走法有种． 故答案为：210，90 【典例3】（23-24高二下·河北石家庄·期末）如图，一只蚂蚁位于点M处，去搬运位于N处的糖块，的最短路线有 条． 【答案】150 【知识点】组合数的计算、实际问题中的计数问题 【分析】由分步乘法和分类加法计数原理及组合数的计算即可求解． 【详解】由题可知，的最短路线必经过两点， 则的最短路线有种，的最短路线有种； 的最短路线有种，的最短路线有种； 因为的最短路线有和， 所以的最短路线有种， 故答案为：150． 【变式1】（24-25高三上·重庆·开学考试）有一个4行4列的表格，在每一个格中分别填入数字0或1，使得4行中所填数字之和恰好是各一个，4列中所填数字之和恰好也是1，2，3，4各一个（如图为其中一种填法），则符合要求的不同填法共有 种. 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 【答案】576 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】需要填入6个数字0和10个数字1，按顺序先填6个数字0，先找到一行并填入3个数字0，再选出一列需填入3个数字0把0填入，再填入最后一个数字0，最后填入所有的1，结合分步计数原理和组合数公式求解. 【详解】显然在符合要求的填法中，应该填入6个数字0和10个数字1， 按照下面的顺序填入这6个数字0. ①先找到一行并填入3个数字0，选出这样1行共有4种选法， 而从该行的4格中选出3个填入数字0，也有种填法. 因此这一步共有种不同的填法. ②选出一列填入3个数字0，以图为例，可知这一列必为已填入了一个数字0的列， 否则就没有一列的数字之和为4，从而选出这一列共有3种选法. 而该列中已经填入了一个数字0，所以填入另外两个数字0有种填法. 这一步共有种不同的填法. ③当完成前面两步后，最后一个数字0所在行与列都有两个0，只有4个位置可以选择. 最后剩下所有的格都填1，有1种填法. 因此，符合要求的不同填法共有种. 故答案为：576. 【点睛】思路点睛：解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 【变式2】（23-24高二下·陕西西安·期末）在如图的方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法. 8 1 6 3 5 7 4 9 2 【答案】36 【知识点】代数中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据排列组合，即可结合分步乘法计数原理求解. 【详解】方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中， 则共有种. 故答案为：36. 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）如图是一个某城市街道图，其中虚线部分为不可通过的荷塘．李四家住A处，学校在B处，问李四从家里上学的最短路径有多少条不同的路线？ 【答案】 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】根据题意，把A看作原点，由所有经过的路径都不行，结合组合数的计算公式，即可求解. 【详解】把A看作原点，根据题意，可得所有经过的路径都不行， 用总路径去掉不符合题意的路径数，则李四从家里上学的最短路径（条）． 题型08 分组、分配问题 【典例1】（24-25高三上·浙江·阶段练习）将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（    ） A．20种 B．40种 C．80种 D．160种 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、组合数的计算、排列数的计算、分组分配问题 【分析】先分步计算两侧的排法，再结合分步计数原理计算即可. 【详解】一侧的种植方法有种排法， 另一侧的种植方法有种排法 再由分步计数原理得不同的种植方法共有种排法， 故选:C. 【典例2】（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）某校学生会打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学安排到4个不同的社团负责组织活动，每个社团至少安排一名同学，则不同的安排方法种数是 . 【答案】240 【知识点】分组分配问题 【分析】根据组合求得5人分为4组的方法数，再根据排列求得4个不同的小组安排到4个不同的社团的方法数，可得答案. 【详解】先将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学分为4组，共有种， 再安排到4个不同的社团负责组织活动，共有种不同的安排方法. 故答案为：240. 【典例3】（24-25高三上·上海·期中）第41届全国中学生物理竞赛决赛于10月24 日至10月30日由华东师范大学第二附属中学承办.根据赛事安排，组委会欲安排 589 名选手和各省领队参观5个不同场馆，分别为李政道研究所、中国商飞、上海交通大学张江高等研究院、上海科技大学和上海博物馆东馆.现欲将6位志愿者老师分配到5个不同场馆做带队服务.若每个场馆至少1人，则不同的分配方案的种数为 . 【答案】 【知识点】实际问题中的组合计数问题、全排列问题、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】将6位志愿者老师分成5组，再分配到5个不同场馆即可列式计算得解. 【详解】依题意，将6位志愿者老师分成5组有种方法，再将分成的5组分配到5个不同场馆有种方法， 所以不同的分配方案的种数为. 故答案为：1800 【典例4】（2024高三·全国·专题练习）有六名同学按下列方法和要求分组，各有不同的分组方法多少种？ (1)分成三个组，各组人数分别为1、2、3； (2)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1、2、3； (3)分成三个组，各组人数分别为2、2、2； (4)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2、2、2； (5)分成四个组，各组人数分别为1、1、2、2； (6)分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1、1、2、2. 【答案】(1)60 (2)360 (3)15 (4)90 (5)45 (6)1080 【知识点】分组分配问题 【分析】根据分组分配问题的原则，先合理的分组，再分配即可，注意平均分组的问题． 【详解】（1）分成三个组，各组人数分别为1，2，3，即＝60（种）. （2）分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1，2，3；即（种）. （3）分成三个组，各组人数分别为2，2，2；即（种）. （4）分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2，2，2；即（种）. （5）分成四个组，各组人数分别为1，1，2，2；有（种）. （6）分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1，1，2，2．有（种）. 【变式1】（24-25高三上·河南新乡·期中）将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分组分配问题 【分析】根据不平均分组问题，结合排列组合即可求解. 【详解】依题意可得分组的本数分配只有种，即，，， 则不同的分组方法数为. 故选：C 【变式2】（24-25高三上·江苏·阶段练习）某大学5名师范生到甲、乙、丙三所高中实习，每名同学只能到1所学校，每所学校至多接收2名同学.若同学A确定到甲学校，则不同的安排方法共有 种. 【答案】30 【知识点】分组分配问题、元素（位置）有限制的排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】分只有同学A到甲学校、除同学A外还有一名同学去甲学校两种情况即可. 【详解】若只有同学A到甲学校，则有种可能， 若除同学A外还有一名同学去甲学校，则有种可能， 故共有种可能. 故答案为：30. 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）随着马拉松运动的普及，我国已成功举办多次全民马拉松赛事．现某城市举办全民马拉松比赛，第一处供给点需要三组工作人员，其中有3名医生和6名社会志愿者组成，每组人员由1名医生和2名志愿者组成．根据需要，志愿者甲与乙要分配在同一组，则这9名工作人员分组方法种数为 ． 【答案】18 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题、排列数的计算、组合数的计算 【分析】先分配志愿者，再分配医生，应用分步乘法原理结合组合数排列数计算即可. 【详解】志愿者分组情况有（种），搭配3名医生有（种）． 故答案为：. 【变式4】（24-25高二上·甘肃武威·期中）寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． (1)若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ (2)宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ (3)若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ (4)随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】(1)150 (2)48 (3)120 (4) 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题、相邻问题的排列问题、其他排列模型 【分析】（1）将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班； （2）先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列； （3）先将6人全排列，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，进而可得所求排法； （4）先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形. 【详解】（1）将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班， 所以分配方案有种． （2）先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列， 则不同的排法种． （3）先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲、乙、丙三人按高低从左到右排列时，不同的排法有种． （4）先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形， 所以不同的排法种数有． A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）有四个不同的小球，，，，放入3个不同的盒子之中，则每个盒子中至少有一个球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分组分配问题、计算古典概型问题的概率、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】先将4个人不同的小球分为3组，再将3组放在3个不同的盒子中，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，先将4个不同的小球放入3个不同的盒子共有种放法， 每个盒子中至少有1个小球的放法，先将4个不同的小球分为3组， 其中一组2个，一组1个，一组1个，共有种不同的分法， 再将3组放在3个不同的盒子中，共有种，由分步计数原理， 可得共有种不同的放法，故概率为. 故选：B. 2．（24-25高三上·河北·阶段练习）《志愿军：存亡之战》和《浴火之路》是2024年国庆档的热门电影．某电影院在国庆节的白天、晚上分别可以放映5场和3场电影，若上述两部影片只放映一次，且不能都在白天放映，则安排放映这两部电影不同的方式共有（   ） A．17种 B．32种 C．34种 D．36种 【答案】D 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】分两种情况考虑，均在晚上播放，或者白天一场，晚上一场，求得结果. 【详解】若均在晚上播放，则不同的安排方式有种， 若白天一场，晚上一场，则有种， 故放映这两部电影不同的安排方式共有种， 故选：D 3．（24-25高三上·云南·阶段练习）某市人民政府新招聘进名应届大学毕业生，分配给甲、乙、丙、丁四个部门，每人只去一个部门，每个部门必须有人，若甲部门必须安排人，则不同的方案数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分组分配问题 【分析】先安排甲部门，再将剩余人分配到三个部门，结合分步乘法计算原理可得解. 【详解】名应届大学毕业生，分配给甲、乙、丙、丁四个部门， 甲部门必须安排 人有种， 剩余个人分配到乙、丙、丁三个部门有种， 故由分步乘法计数原理得， 故选：A. 4．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么不同的选法种数为（    ） A．15 B．40 C．55 D．70 【答案】C 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】根据给定条件，利用排除法，结合组合计数问题列式计算即得. 【详解】从8名学生中任选4名有种，没有甲乙的选法有种， 所以甲乙至少1人参加的不同的选法种数为. 故选：C 5．（24-25高三上·青海西宁·期中）将7张不同的邮票分给甲、乙、丙三位同学，每人至少2张，且邮票都要分完，则甲、乙分得的邮票数相等的分法共有（    ） A．210种 B．420种 C．240种 D．480种 【答案】A 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】由题意确定甲乙两人分得的邮票数，然后由组合知识求解． 【详解】依题意可得，甲、乙分得的邮票数相等且丙至少2张，意味着甲、乙两人都分得2张邮票， 所以甲、乙分得的邮票数相等的分法共有种. 故选：A． 6．（24-25高三上·广东·阶段练习）某景区新开通了 个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁 4 名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择 1 个项目进行体验，每个项目至少有 1 名志愿者进行体验，且甲不体验 项 目， 则不同的体验方法共有（    ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．30 种 【答案】C 【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】分情况讨论，结合排列组合知识计算即可. 【详解】若乙、丙、丁 3 人体验的项目各不相同，则有 种体验方法， 若乙、丙、丁 3 人有 2 人体验的项目相同，则有 种体验方法， 故不同的体验方法共有 24 种. 故选：C. 7．（24-25高二上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，轴正半轴上有4个点，轴正半轴上有6个点，将轴上的4个点和轴上的6个点连成24条线段，这24条线段在第一象限内的交点最多有（ ）个 . A．90 B．85 C．80 D．75 【答案】A 【知识点】几何组合计数问题 【分析】任取轴和轴上的两点，可以组成一个四边形，这个四边形的两条对角线有一个交点，这个交点在第一象限内，所以交点的个数就是四边形的个数，再由组合数计算即可； 【详解】任取轴和轴上的两点，可以组成一个四边形，这个四边形的两条对角线有一个交点，这个交点在第一象限内， 所以交点的个数就是四边形的个数，即个， 故选：A. 8．（24-25高二上·甘肃武威·期中）某学习小组有男、女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为（    ） A．3，5 B．2，5 C．5，3 D．6，2 【答案】A 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列数的计算、组合数的计算 【分析】先设男生女生人数，再根据已知列式，结合排列数及组合数的计算即可解. 【详解】设男生人数为，则女生人数为， 由题意可知，即，即， 解得，所以男、女生人数为. 故选:A. 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·单元测试）某城市街道如图，某人要走最短路程从地前往地，则不同走法有（    ）    A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】AB 【知识点】实际问题中的组合计数问题、组合数的计算 【分析】根据题意可知从A地到B地的最短路程必须走5步，且不能重复，只要确定出向东的三步或向南的两步走法即可得出结果. 【详解】因为从A地到B地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验探究一下走法可得出： ①要走的路程最短必须走5步，且不能重复； ②向东的走法定出后，向南的走法随之确定， 所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可， 故不同走法的种数有种． 故选：AB 10．（24-25高二上·江苏·假期作业）已知且，则下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算、排列数的计算 【分析】根据题意，结合排列数与组合数的公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由排列数的计算公式，可得，所以A错误； 对于B中，由排列数的计算公式，可得，所以B正确； 对于C中，根据组合数的计算公式，可得，所以C正确； 对于D中，根据组合数的性质，可得成立，所以D错误． 故选：BC． 三、填空题 11．（24-25高三上·青海·期中）茶卡盐湖､青海湖､西宁野生动物园､日月山､卓尔山是青海省的个著名景点，甲､乙两人分别从这个景点中任选个游玩，则恰好有个景点均被人选中的选取方法共有 种. 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】先确定人都选的景点，再各自选择景点，根据分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】先从个景点中选出被人选中的个景点，有种选法； 再从剩余的景点中，甲和乙选择两个不同的景点，有种选法； 恰好有个景点均被人选中的选取方法有种. 故答案为：. 12．（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）若甲、乙两人从门课程中各选修门，则甲、乙所选修的课程中至少有门相同的选法种数为 . 【答案】 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】分有门相同、门相同、门相同三种情况讨论，利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得. 【详解】若甲、乙所选的课程有门相同，则有种情况； 若甲、乙所选的课程有门相同，则有种情况； 若甲、乙所选的课程有门相同，则有种情况； 综上可得甲、乙所选修的课程中至少有门相同的选法种数为. 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高二下·全国·课后作业）小明准备从苹果、香橙、水蜜桃和圣女果等六种水果中买三种． (1)若不买苹果，共有多少种买法？ (2)若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有多少种买法？ (3)若香橙和圣女果中至少买一种，且香橙和苹果不同时买，共有多少种买法？ 【答案】(1)10 (2)16 (3)12 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）利用组合数的概念进行计算； （2）采用分类加法和分步乘法计数原理进行计算； （3）采用分类加法计数原理进行计算. 【详解】（1）若不买苹果，共有种买法． （2）若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有种买法． （3）当香橙和圣女果中只买香橙时，有种买法； 当香橙和圣女果中只买圣女果时，有种买法； 当香橙和圣女果都买时，有种买法. 故买法总数为种． 14．（24-25高二上·全国·课后作业）4位同学参加辩论赛，比赛规则如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得分；选乙题答对得90分，答错得分．若4位同学的总分为0分，则这4位同学有多少种不同的得分情况？ 【答案】36 【知识点】其他排列模型、实际问题中的组合计数问题 【分析】由题可知分两种情况讨论：4位同学中有2人选甲，2人选乙和4位同学都选甲或者都选乙．根据两个计数原理计算即可. 【详解】本题分两种情况讨论． ①4位同学中有2人选甲，2人选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是选甲的2人一人答对，另一人答错，选乙的2人一人答对，另一人答错．有（种）不同的情况． ②4位同学都选甲或者都选乙，若这4位同学的总分为0分，则必须是2人答对，另2人答错，有（种）不同的情况． 综上可知，一共有（种）不同的情况． 15．（24-25高三·上海·课堂例题）求由1、2、3、4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数. 【答案】12 【知识点】分类加法计数原理、数字排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据给定条件，按相同三个数字是1和不是1分类，结合组合计数问题列式计算即得. 【详解】依题意，相同的三个数字是1时，有个四位数；相同的三个数字不是1时，有3个四位数， 所以首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数是. B能力提升 16．（24-25高三上·河北·阶段练习）某大学为了鼓励学生积极参与社会实践，组织了一次志愿者活动，共有名学生报名参加（且）.活动中有种不同类型的服务项目可供选择，分别是社区服务、环保宣传和关爱弱势群体，每种项目都需要若干名学生参与. (1)若，且要求每个项目至少有名学生参与，求共有多少种不同的分配方案？ (2)若对于任意的名学生，每个项目至少有名学生参与的分配方案有种，求关于的表达式（用组合数表示），并证明当时，是的单调递增函数. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】分组分配问题 【分析】（1）将个人分为三组每组至少一人，先计算出分组的总数，然后可计算出分配方案数； （2）先计算出将名学生随机分配到三个项目的方法数，然后减去有一个项目没人去、有两个项目没人去的方法数，由此可得结果；再通过作商法比较与的大小关系即可证明出单调性. 【详解】（1）将个人分为三组每组至少一人，每组的人数可以是， 每组人数是时，分组方法有种，每组人数是时，分组方法有种， 每组人数是时，分组方法有种，每组人数是时，分组人数有种， 所以将个人分为三组的方法数共有种， 所以不同的分配方案有种. （2）将名学生随机分配到三个项目，不考虑每个项目的人数，则有分配方法种， 将名学生随机分配到三个项目，有一个项目没人去，则有分配方法种， （注：先选两个项目有种选法，将个人分配到两个项目有种分法，减去个人在同一项目的情况） 将名学生随机分配到三个项目，有两个项目没人去，则有分配方法种， 由上可知，； 证明：设且， 所以， 由的实际意义可知，且时显然成立， 所以，所以，所以， 所以时，是的单调递增函数. 17．（24-25高三上·上海闵行·期中）一个盒子里装有大小和质地完全相同的4个红球、6个白球； (1)从中任取2个球，求2个球中至少有1个红球的概率； (2)从中任取4个球，求白球个数不比红球多的概率； (3)从中任取5个球，其中红球个，白球个（，），若取一个红球记2分，取一个白球记1分，求使总分不少于7分的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率、实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）分为一个红球和两个红球，由组合数的计算古典概率即可； （2）分为零个白球，一个白球，两个白球，由组合数的计算古典概率即可； （3）由已知列不等式组可得，再分红球个数为2,3,4由组合数计算古典概率即可； 【详解】（1）从中任取2个球，2个球中至少有1个红球的概率为. （2）从中任取4个球，白球个数不比红球多的概率为， （3）由题意可得，解得， 可能情况为： 红球2个，白球3个，此时概率为， 红球3个，白球2个，此时概率为， 红球4个，白球2个，此时概率为， 所以总分不少于7分的概率为. / 学科网（北京）股份有限公司 $$