6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

该高中数学课件聚焦分类加法与分步乘法计数原理，系统呈现定义、推广及比较，通过知识辨析问题（如原理选择、方法是否相同等）导入，构建从概念理解到应用的学习支架，衔接原理本质与实际问题解决。 其亮点在于结合典例（如画作选择、直线方程、涂色问题）培养数学思维（推理能力）与数学语言（模型意识），采用问题驱动与分类分步结合的教学方法，用表格明晰原理异同。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可高效开展概念教学与解题指导。

完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的 方法,那么完成这件事共有N=m+n 种不同的方法. 推广:完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不 同的方法,……,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不 同的方法. 知识点 1 分类加法计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 必备知识 清单破 第六章　计数原理 高中同步 知识点2　 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这 件事共有N=m×n种不同的方法. 推广:完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,……, 做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法. 知识点 2 第六章　计数原理 高中同步 知识点3　 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较 知识点 3 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 都是求完成一件事的不同方法种数 不同点 分类完成,类类相加 分步完成,步步相乘 每一类中的方法都能独立完 成这件事 每一步中的方法都不能独立 完成这件事 注意点 类类互斥,不重不漏 步步连续,过程完整 第六章　计数原理 高中同步 知识辨析 1.要完成一件事,如何选择用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理? 2.在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同吗? 3.在分步乘法计数原理中,第2步的方法数是否受第1步不同方法的影响? 4.在一次运动会上有四项比赛,冠军仅在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情况共有43 种还是34种? 第六章　计数原理 高中同步 一语破的 1.看每一种方法能否独立完成这件事,如果每一种方法都能独立完成这件事,那么应该用分类 加法计数原理;如果每一种方法只能完成这件事的一部分,那么应该用分步乘法计数原理. 2.不可以.在分类加法计数原理中,分类的要求为互斥,即两类不同方案中的方法是不同的,若 相同,则它只能在同一类方案中且只能算是一种方法. 3.否.无论第1步采用哪种方法,与之对应的第2步都有相同的方法数. 4.34种.要完成的一件事是“给比赛项目找冠军获得者”,因为每个项目中的冠军都有3种可 能的情况,所以根据分步乘法计数原理知共有34种不同的夺冠情况. 第六章　计数原理 高中同步 定点1     两个计数原理的选择与应用  关键能力 定点破 定点 1 1.合理选择两个计数原理求解 利用两个计数原理解决计数问题时,首先要理解题意,弄清“完成哪件事”,怎样做才算完成 这件事,然后决定是分类还是分步.“类”用“+”连接,“步”用“×”连接,“类”独立, “步”连续,“类”标志一件事的完成,“步”则缺一不可. 第六章　计数原理 高中同步 2.类中有步,步中有类   从A→D共有m1×(m2+m3+m4)×m5种方法.   从A→B共有(m1×m2×m3+m4×m5)种方法. 第六章　计数原理 高中同步 3.两个计数原理的应用原则及方法 (1)当涉及元素数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或图表法. (2)当涉及元素数目很大时,一般有如下两种方法: ①直接法:直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理求解. ②间接法:先去掉限制条件,计算方法总数,然后减去所有不符合条件的方法数即可. 第六章　计数原理 高中同步 典例1　现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画. (1)从中任选一幅画布置房间,有多少种不同的选法? (2)从国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有多少种不同的选法? (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有多少种不同的选法? 第六章　计数原理 高中同步 解析    (1)分为三类:从国画中选,有5种不同的选法;从油画中选,有2种不同的选法;从水彩画 中选,有7种不同的选法.根据分类加法计数原理,共有5+2+7=14种不同的选法. (2)分为三步:第一步,从国画中选,有5种不同的选法;第二步,从油画中选,有2种不同的选法;第 三步,从水彩画中选,有7种不同的选法.根据分步乘法计数原理,共有5×2×7=70种不同的选法. (3)分为三类:第一类是一幅选自国画,有5种不同的选法,另一幅选自油画,有2种不同的选法, 由分步乘法计数原理知,有5×2=10种不同的选法; 第二类是一幅选自国画,有5种不同的选法,另一幅选自水彩画,有7种不同的选法,由分步乘法 计数原理知,有5×7=35种不同的选法; 第三类是一幅选自油画,有2种不同的选法,另一幅选自水彩画,有7种不同的选法,由分步乘法 计数原理知,有2×7=14种不同的选法. 根据分类加法计数原理,共有10+35+14=59种不同的选法. 第六章　计数原理 高中同步 典例2　若从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字作为方程Ax+By=0中A,B的值,求该方 程所表示的不同直线的条数. 解析    解法一(直接法):当A或B中有一个取0时,可以表示2条直线; 当A,B都不取0时,A有4种取法,B有3种取法,因此可以表示4×3=12条直线. 根据分类加法计数原理,该方程所表示的不同直线有2+12=14条. 解法二(间接法):根据分步乘法计数原理,A,B的值共有5×4=20种情况. 当A=0,B=1,2,3,5时,表示同一条直线:y=0;当B=0,A=1,2,3,5时,表示同一条直线:x=0,即有6种情 况是重复计数的. 故该方程所表示的不同直线的条数为20-6=14. 第六章　计数原理 高中同步 定点2　 涂色问题  涂色问题是两个计数原理应用的典型问题,一般是指用几种不同颜色给已知图形的不同区域 (或点)涂色,求共有几种涂法的问题.涂色时需要关注的图形特征有区域的个数、区域的相邻 情况、图形形状等.这些特征都有可能使分类的标准、分步的过程不同. 涂色问题大致有两种解决方案: (1)选择正确的涂色顺序,按步骤逐一涂色,应用分步乘法计数原理进行计算; (2)先根据涂色时所用颜色种数进行分类处理,再在每一类的涂色方法数的计算中应用分步 乘法计数原理,最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法数求和,即得到最终的涂色 方法数. 定点 2 第六章　计数原理 高中同步 典例　用红、黄、绿、黑四种颜色给如图所示的五个区域涂色,若要求相邻的两个区域的颜 色都不相同,则有多少种不同的涂色方法?   第六章　计数原理 高中同步 思路点拨     思路一(按区域涂色):   思路二(按颜色种数涂色):   第六章　计数原理 高中同步 解析    解法一:①当B与D同色时,不同的涂色方法有4×3×2×1×2=48种; ②当B与D不同色时,不同的涂色方法有4×3×2×1×1=24种. 故共有48+24=72种不同的涂色方法. 解法二:第一类,用四种颜色,此时A,E同色或B,D同色,则有2×4×3×2×1×1=48种不同的涂色方 法; 第二类,用三种颜色,此时A,E同色,且B,D同色,有4×3×2×1×1=24种不同的涂色方法.由分类加 法计数原理知,共有48+24=72种不同的涂色方法. 第六章　计数原理 高中同步 $