专题02 探索两直线平行的条件（六大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

专题02 探索两直线平行的条件 （六大题型） 【题型1 同旁内角、内错角和同位角】................................................................................1 【题型2 用直尺、三角板画平行】.......................................................................................3 【题型3 平行线公理及推论】..............................................................................................5 【题型4 平行线判定-同位角相等，两直线平行】..............................................................5 【题型5 平行线判定-内错角相等，两直线平行】..............................................................9 【题型6 平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】..........................................................13 【题型1 同旁内角、内错角和同位角】 1．如图，直线被直线，所截，下列是内错角的是（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 2．如图，与的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同旁内角 C．内错角 D．同位角 3．如图，直线、分别被和所截，下列结论错误的是（   ） A．与是一对内错角 B．与是一对同位角 C．与是一对内错角 D．与是一对同旁内角 4．如图，下列结论正确的是（   ） A．与是邻补角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 5．如图． （1）与是内错角的是_____________； （2）与是同旁内角的是_______________； （3）与是同位角的是________________． 6．根据图形填空： （1）若直线，被直线所截，则和____是同位角； （2）若直线，被直线所截，则和____是内错角； （3）和是直线，被直线____所截构成的____角； 【题型2 用直尺、三角板画平行】 7．如图，直线与直线交于点C，点P为直线外一点，根据下列语句画图，并作答：    (1)过点P画交于点Q； (2)过点P画，垂足为R； (3)点M为直线上一点，连接，连接． 8．如图，点P是的边上的一点 (1)过点P画的平行线． (2)过点P画的垂线，交于H． (3)线段的长度是点H到___________的距离． 9．用直尺和三角尺画图． (1)过点画直线的垂线，垂足为； (2)过点画直线的平行线，记为； (3)线段的长度是点到直线_____的距离． 10．如图， (1)画于点E； (2)过点P画交于点F． 11．如图所示，在的方格纸中，请你在图（1）中过点P作线段的垂线，垂足为C；在图（2）中过点P作线段的平行线．    12．如图，按要求画图． (1)经过点作交于点． (2)经过点作，垂足为． 【题型3 平行线公理及推论】 13．如图，若，， 则与的位置关系是______ 14．如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是___________从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 15．已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【题型4 平行线判定-同位角相等，两直线平行】 16．如图，补全下面的说理过程： （1）因为，所以________（________）． （2）因为，所以________（________）． 17．看图填空，并在括号内说明理由： ∵，，（已知） ∴， ∴____________，( ) 18．如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是___________ 19．如图，已知，再添加什么条件可使？请就你添加的条件说明的理由． 20．如图，直线，被直线所截，H为与的交点，，垂足为点H．若，，直线与平行吗？ 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， （垂直的定义）， 又（已知）， ∴－∠______＝______（等式的性质）． ∴∠______＝______（______）． 又（已知）， （______）． （______）． 21．如图所示，平分，平分，且，试说明与的位置关系． 22．补全下面的证明过程，并在括号内说明理由． 已知：如图，． 求证：． 证明：______°， 即______°． 又，且， ∴______=______（______） （______）． 23．如图，已知直线与直线，分别相交于点，，于点，若，，直线与平行吗?请说明理由．    24．如图，AE与CD交于点O，∠A=50°，OC=OE，∠C=25°．求证：ABCD． 25．如图，已知，点在延长线上，是的角平分线，证明． 证明：（______） （______） （等式性质） 是的角平分线（已知） ______（______） ______（等量代换） （______） 【题型5 平行线判定-内错角相等，两直线平行】 26．补全下列推理过程：已知：如图，CE平分，求证：． 证明：平分（___________） ___________（___________） （已知） （___________） （___________） ___________ （已知） ___________ （___________） 27．根据下面的推理过程，在括号内写明理由． 如图，点A、B、C在同一条直线上，已知平分，，，求证：． 证明： （已知）， （______） 平分，（已知）， （______） （已知） （______） （______） 28．如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 29．如图，，，试说明． 30．如图，点A，B，C在同一条直线上，平分，，． (1)是否平分？为什么？ (2)与是否平行？为什么？ 31．已知：如图，点，，在同一条直线上，平分，，．求证：． 32．按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在三角形中，于点，是上一点，且． 请说明：． 解：（已知）， ________________（_____________________）． _______________ （____________________）， ___________________________________（______________________） （___________________）． 33．如图，已知，和互余，和互余．试说明：． 【题型6 平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】 34．如图，在四边形中，已知，，与平行吗？与平行吗？ 35．如图，，与互余． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，试说明：． 36．如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 1．如图，已知：，求证：．淇淇的证明过程为：“，，，∴．”他的证明中判断平行的依据为（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 2．如图，直线，被直线所截，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列图形一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 4．“如果，那么，”这一推理的依据是（    ） A．垂直定义 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．等量代换 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 5．如图所示，，那么图形中的平行线有___________． 6．如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则__________时，． 7．如图，一条街道的两个拐角和相等，则街道与平行．理由是__________________． 8．如图，D，E分别在和上，平分，，，求证：． 9．如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 10．如图． (1)由，可以得到哪两条直线平行？ (2)由，可以得到哪两条直线平行？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 探索两直线平行的条件 （六大题型） 【题型1 同旁内角、内错角和同位角】................................................................................1 【题型2 用直尺、三角板画平行】.......................................................................................4 【题型3 平行线公理及推论】..............................................................................................9 【题型4 平行线判定-同位角相等，两直线平行】..............................................................10 【题型5 平行线判定-内错角相等，两直线平行】..............................................................17 【题型6 平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】..........................................................23 【题型1 同旁内角、内错角和同位角】 1．如图，直线被直线，所截，下列是内错角的是（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 【详解】解：A、和是同位角，故此选项不符合题意； B、和不是内错角，故此选项不符合题意； C、和是内错角，故此选项符合题意； D、和是同旁内角，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，与的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同旁内角 C．内错角 D．同位角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的辨析，根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：与的位置关系是同位角． 故选：D 3．如图，直线、分别被和所截，下列结论错误的是（   ） A．与是一对内错角 B．与是一对同位角 C．与是一对内错角 D．与是一对同旁内角 【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角，内错角和同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；据此分别进行分析可得答案． 【详解】解：A、与是一对内错，原结论正确，不符合题意； B、与是一对同位角，原结论正确，不符合题意； C、与不是一对内错角，原结论错误，符合题意； D、与是一对同旁内角，原结论正确，不符合题意； 故选：C． 4．如图，下列结论正确的是（   ） A．与是邻补角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 【答案】B 【分析】本题考查了邻补角，同位角，同旁内角，内错角，熟练掌握定义是解题的关键．根据三线八角图认识几何概念，解答即可． 【详解】解：A. 与不是邻补角，本选项错误，不符合题意；     B. 与是同位角，本选项正确，符合题意； C. 与不是同旁内角，本选项错误，不符合题意；         D. 与不是内错角，本选项错误，不符合题意；     故选：B． 5．如图． （1）与是内错角的是_____________； （2）与是同旁内角的是_______________； （3）与是同位角的是________________． 【答案】 和 【分析】本题考查了相交线，三线八角的识别，理解图示，掌握三线八角的概念是解题的关键． 内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间；同位角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的同一侧，且在两条被截直线同一侧；同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的同一侧，且夹在两条被截直线之间；根据上述概念，数形结合分析即可求解． 【详解】解：（1）与是内错角的是； （2）与是同旁内角的是 （3）与是同位角的是和； 故答案为：①；②；③ 和． 6．根据图形填空： （1）若直线，被直线所截，则和____是同位角； （2）若直线，被直线所截，则和____是内错角； （3）和是直线，被直线____所截构成的____角； 【答案】 内错 【分析】本题考查了同位角和内错角的定义，解题的关键是掌握同位角和内错角的定义． （1）根据同位角的定义求解即可； （2）根据内错角的定义求解即可； （3）根据内错角的定义求解即可． 【详解】解：（1）直线，被直线所截，则和是同位角； （2）直线，被直线所截，则和是内错角； （3）和是直线，被直线所截构成的内错角； 故答案为：，，，内错． 【题型2 用直尺、三角板画平行】 7．如图，直线与直线交于点C，点P为直线外一点，根据下列语句画图，并作答：    (1)过点P画交于点Q； (2)过点P画，垂足为R； (3)点M为直线上一点，连接，连接． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查作图——复杂作图．解题的关键是熟练掌握平行线的定义、垂线段的定义． （1）根据平行线的定义作图即可； （2）根据垂线段的定义作图即可； （3）连接、即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求；    （2）解：如图所示，垂线段即为所求； （3）解：如图所示，线段、即为所求． 8．如图，点P是的边上的一点 (1)过点P画的平行线． (2)过点P画的垂线，交于H． (3)线段的长度是点H到___________的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)直线 【分析】本题考查了画平行线，画垂线，点到直线的距离，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据推尺子的方法，作图即可； （2）根据垂直定义作图即可； （3）根据点到直线的距离是垂线段的长度可求． 【详解】（1）解：直线即为所求： （2）解：直线即为所求： （3）解：根据点到直线的距离是垂线段的长度， ∴线段的长度是点H到直线的距离， 故答案为：直线． 9．用直尺和三角尺画图． (1)过点画直线的垂线，垂足为； (2)过点画直线的平行线，记为； (3)线段的长度是点到直线_____的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了垂线作图，平行线的作图，点到直线的距离的定义，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，根据基本作图，逐步操作． （1）根据几何语言画出相应垂线即可； （2）根据几何语言画出相应平行线即可； （3）根据点到直线的距离定义即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线、点C即为所作： （2）解：如图，直线即为所作： （3）解：如图，线段的长度是点到直线的距离， 故答案为：． 10．如图， (1)画于点E； (2)过点P画交于点F． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图． （1）用直尺或三角板画过直线外一点作已知直线的垂线，即可求解； （2）用直尺或三角板画过直线外一点作已知直线的平行线，即可求解． 【详解】（1）解：于点E，如图即为所求； （2）解：过点P画交于点F，如图即为所求． 11．如图所示，在的方格纸中，请你在图（1）中过点P作线段的垂线，垂足为C；在图（2）中过点P作线段的平行线．    【答案】见解析 【分析】此题考查了作平行线和垂线，根据网格的特点和平行线和垂线的定义求解即可． 【详解】如图所示， 12．如图，按要求画图． (1)经过点作交于点． (2)经过点作，垂足为． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查画平行线和垂线，熟练掌握画平行线和垂线的方法是解题． （1）利用直尺和三角板画平行线即可； （2）利用直角三角板画图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，即为所求作． 【题型3 平行线公理及推论】 13．如图，若，， 则与的位置关系是______ 【答案】平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，根据平行于同一直线的两直线平行即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：平行． 14．如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是___________从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 【答案】② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：∵当时，时，． 点在同一直线上，其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：②． 15．已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查平行公理，熟练掌握平行公理是解题的关键； 根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，即可求解； 【详解】解：根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 那么根据图可得：至少有三条直线和直线相交； 故选：C 【题型4 平行线判定-同位角相等，两直线平行】 16．如图，补全下面的说理过程： （1）因为，所以________（________）． （2）因为，所以________（________）． 【答案】 同位角相等，两直线平行 同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． （1）（2）根据“同位角相等，两直线平行”求解即可． 【详解】解：（1）因为，所以（同位角相等，两直线平行）． （2）因为，所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：①，②，③同位角相等，两直线平行，④，⑤，⑥同位角相等，两直线平行． 17．看图填空，并在括号内说明理由： ∵，，（已知） ∴， ∴____________，( ) 【答案】 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定方法，由同位角相等，两直线平行，即可求解． 【详解】解：∵，，（已知） ∴， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：，，同位角相等，两直线平行． 18．如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是___________ 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是理解“推平行线”过程中同位角的关系与两直线平行的联系． 观察图形，明确与为同位角；分析“推平行线”时与的关系（保持相等）；依据同位角相等，两直线平行的判定定理，得出该方法的依据． 【详解】解：“推平行线”法中，通过直尺和三角板的移动，使与保持相等，而与是同位角．根据平行线的判定定理，当同位角相等时，两条直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 19．如图，已知，再添加什么条件可使？请就你添加的条件说明的理由． 【答案】（补充的条件不唯一），见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】解：添加的条件是（补充的条件不唯一），这样有． 理由：，， ，即， （同位角相等，两直线平行）． 20．如图，直线，被直线所截，H为与的交点，，垂足为点H．若，，直线与平行吗？ 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， （垂直的定义）， 又（已知）， ∴－∠______＝______（等式的性质）． ∴∠______＝______（______）． 又（已知）， （______）． （______）． 【答案】2；55；3；55；对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据等式的性质得到，根据对顶角相等得到，进而得到，再根据平行线的判定方法进行解答即可． 【详解】解：（已知）， （垂直的定义）． 又（已知）， （等式的性质）， （对顶角相等）， 又（已知）， （等量代换） （同位角相等，两直线平行） 故答案为：2；55；3；55；对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行． 21．如图所示，平分，平分，且，试说明与的位置关系． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质，平行线的判定；由平分，平分，根据角平分线的性质可得，，由，可得，根据同位角相等，两直线平行即可证得结论． 【详解】解： 平分，平分， ，， ， ， ． 22．补全下面的证明过程，并在括号内说明理由． 已知：如图，． 求证：． 证明：______°， 即______°． 又，且， ∴______=______（______） （______）． 【答案】 90 90 等角的余角相等 同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂直定义，等量代换， 先根据垂直定义得出，进而得出，再根据等角的余角相等得出，然后根据“同位角相等两直线平行”得出答案. 【详解】证明：∵， ∴， 即. 又∵，且， ∴（等角的余角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）. 故答案为：90；90；；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行. 23．如图，已知直线与直线，分别相交于点，，于点，若，，直线与平行吗?请说明理由．    【答案】平行，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，垂直的定义，对顶角相等等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．根据垂直和对顶角相等求出的度数，然后利用同位角相等，两直线平行，即可得出结论． 【详解】解：平行，理由如下：    ∵， ∴， ， ∴， ∴． 24．如图，AE与CD交于点O，∠A=50°，OC=OE，∠C=25°．求证：ABCD． 【答案】证明见解析 【分析】欲证明ABCD，只要证明∠A=∠DOE即可． 【详解】证明：∵OC=OE，∠C=25°， ∴∠E=∠C=25°， ∴∠DOE=∠C+∠E=50°， ∵∠A=50°， ∴∠A=∠DOE， ∴ABCD． 【点睛】本题考查平行线的判定，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键． 25．如图，已知，点在延长线上，是的角平分线，证明． 证明：（______） （______） （等式性质） 是的角平分线（已知） ______（______） ______（等量代换） （______） 【答案】已知，外角性质，，角平分线定义，，同位角相等，两直线平行． 【分析】先根据三角形的外角性质得出，再根据角平分线的定义得出，然后根据平行线的判定即可得． 【详解】证明：（已知） （外角性质） （等式性质） 是的角平分线（已知） （角平分线定义） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） 故答案为：已知，外角性质，，角平分线定义，，同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、平行线的判定等知识点，熟记平行线的判定方法是解题关键． 【题型5 平行线判定-内错角相等，两直线平行】 26．补全下列推理过程：已知：如图，CE平分，求证：． 证明：平分（___________） ___________（___________） （已知） （___________） （___________） ___________ （已知） ___________ （___________） 【答案】已知；；角平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先根据角平分线的定义得，进而得到，根据平行线的判定定理得，再根据平行线的性质得，进而得到，据此可得． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴， ∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；；角平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行． 27．根据下面的推理过程，在括号内写明理由． 如图，点A、B、C在同一条直线上，已知平分，，，求证：． 证明： （已知）， （______） 平分，（已知）， （______） （已知） （______） （______） 【答案】垂直的定义；角平分线的定义；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行 ． 【分析】本题考查了平行线的判定方法，余角的性质等；结合垂直的定义、角平分线的定义及余角的性质得，由平行线的判定方法，即可得证． 【详解】证明： （已知）， （垂直的定义）, 平分，（已知）， （角平分线的定义）, （已知）, （等角的余角相等）, （内错角相等，两直线平行）, 故答案为：垂直的定义；角平分线的定义；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行 ． 28．如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）设，则，根据，求出，得到，由即可解答． 【详解】（1）证明：，分别平分和， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， 解得， ， ． 29．如图，，，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定定理与等量代换，熟练掌握平行线的判定定理是解决本题的关键． 首先根据已知条件通过等量代换得到一组内错角相等，再依据平行线的判定定理，即“内错角相等，两直线平行”得出两直线平行． 【详解】解：因为，， 所以， 进而． 30．如图，点A，B，C在同一条直线上，平分，，． (1)是否平分？为什么？ (2)与是否平行？为什么？ 【答案】(1)平分，理由见解析 (2)平行，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、等角度的余角相等以及平行线的判定，解答关键是通过角平分线和角度互余关系找到角的等量关系． （1）利用角平分线定义得到，由得到根据题意得到，则问题可解； （2）在（1）的基础上，由和角平分线得到，由同角的余角相等得到，则问题可解． 【详解】（1）平分； 理由：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）与平行； 理由：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 31．已知：如图，点，，在同一条直线上，平分，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，余角的性质，角平分线的定义等．根据角平分线的定义以及，可得，再由，可得，即可求证． 【详解】证明：∵平分， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 32．按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在三角形中，于点，是上一点，且． 请说明：． 解：（已知）， ________________（_____________________）． _______________ （____________________）， ___________________________________（______________________） （___________________）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂线的定义，由垂线的定义得到，则可证明，据此根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】解：（已知）， （垂直的定义）， （已知）， （同角的余角相等）， （内错角相等，两直线平行） 33．如图，已知，和互余，和互余．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了同角的余角相等，平行线的判定，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据和互余，和互余得到，又因为，所以，即可得证． 【详解】解： 和互余， ， 和互余， ， ， ， ， ． 【题型6 平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】 34．如图，在四边形中，已知，，与平行吗？与平行吗？ 【答案】，无法判定与是否平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行判断即可. 【详解】解：（已知），（已知）， （等式的性质）． （同旁内角互补，两直线平行）． 本题中，根据已知条件，无法判定与是否平行． 35．如图，，与互余． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，试说明：． 【答案】(1)   见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义及两角互余的定义得到，即可判定； （2）结合（1）得到，再由得到，即可判定． 【详解】（1）．理由如下： ， ． 与互余， ， ， ． （2）解：由（1）知，． ， ， ． 36．如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 【答案】；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：∵平分，（已知） ，（理由：角平分线的定义） ∵平分， （理由：角平分线的定义_） ，（等量代换） ，（已知） ， ．（理由：同旁内角互补两直线平行） 故答案为：；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行． 1．如图，已知：，求证：．淇淇的证明过程为：“，，，∴．”他的证明中判断平行的依据为（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】C 【详解】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可． 解：和是直线和被第三条线所截形成的同位角，且淇淇是利用了得到平行的， ∴他的证明中判断平行的依据是“同位角相等，两直线平行”． 故选：C． 2．如图，直线，被直线所截，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握“同位角相等、内错角相等或者同旁内角互补，则两直线平行”是解题的关键． 根据平行线的判定定理逐项判定即可． 【详解】解：A、、是同位角，根据同位角相等，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； B、、是内错角，根据内错角相等，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； C、、是同位角，两个同位角的和为，无法判断两直线的关系，故本选项符合题意； D、、是同旁内角，同旁内角互补，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．若，则下列图形一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、不能推出，不符合题意； B、不能推出，不符合题意； C、∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； D、不能推出，不符合题意； 故选：C． 4．“如果，那么，”这一推理的依据是（    ） A．垂直定义 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．等量代换 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据“同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴（同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， 故选：D． 5．如图所示，，那么图形中的平行线有___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟练掌握内错角相等，两直线平行这一判定方法是解题的关键． 根据已知角相等的条件，利用内错角相等，两直线平行的判定定理，分别判断两组直线的平行关系． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：． 6．如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则__________时，． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 当时，．先通过邻补角的定义得到，然后根据垂直的定义，结合平角的定义得到，即可根据同位角相等，两直线平行，得到，从而得到所加条件是正确的． 【详解】解：当时，． 理由如下：， ， ， 又， ， ， ． 故当时，． 故答案为：． 7．如图，一条街道的两个拐角和相等，则街道与平行．理由是__________________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】根据和是内错角可直接得出结论． 【详解】解：， 和是内错角， ． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，解决本题的关键掌握内错角相等，两直线平行． 8．如图，D，E分别在和上，平分，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由角平分线的定义得出，再由同位角相等，两直线平行，即可得证． 【详解】解： 平分， ． ， ． ， ． ∴． 9．如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 【答案】直线与平行，理由见详解 【分析】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，平角的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 由垂直的定义得到，由平角的定义求出，由对顶角的性质得到，因此，推出． 【详解】解：直线与平行，理由如下： ∵于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．如图． (1)由，可以得到哪两条直线平行？ (2)由，可以得到哪两条直线平行？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握其判定方法是关键． （1）根据内错角相等，两直线平行即可求解； （2）根据同旁内角互补，两直线平行即可求解． 【详解】（1）解：∵， （内错角相等，两直线平行）． （2）解：， （同旁内角互补，两直线平行）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $