第02讲 探索两直线平行的条件（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

本讲义聚焦“探索两直线平行的条件”核心知识点，从“三线八角”（同位角、内错角、同旁内角）的概念识别出发，衔接平行线的画法技能，通过平行公理及推论构建逻辑基础，最终落实到同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的三个判定方法，形成完整的学习支架。 资料以“典例+变式”分层设计为特色，通过图形分析培养几何直观（数学眼光），规范推理过程书写强化推理意识（数学思维），结合实际作图与问题解决提升应用意识（数学语言）。课中助力教师精准教学，课后帮助学生巩固薄弱环节，有效查漏补缺。

第02讲 探索两直线平行的条件 考点1：同位角，内错角和同旁内角 考点2：平行线的画法 考点3：平行公理及推论 考点4：平行线的判定 重点： （1）识别三类角：同位角、内错角、同旁内角。 （2）熟悉三个判定：同位角相等 ⇒ 两直线平行;内错角相等 ⇒ 两直线平行; 同旁内角互补 ⇒ 两直线平行 (3)简单几何说理。 难点★： （1）在复杂图形中准确找角。 （2）区分三类角，不混淆。 （3）规范书写推理过程。 1.理解同位角、内错角、同旁内角的概念。 2.掌握平行线的三个判定。 3.会用判定进行简单推理与证明。 4.能由角的关系推出线平行 知识点1：同位角，内错角和同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如下图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 【题型1 同位角，内错角和同旁内角】 【典例1】如图，和是直线________，________被直线________所截得的________角；和是直线________，________被直线________所截得的________角；直线AC，BC被直线AB所截得的同旁内角是________． 【变式1】如图，与是直线______和直线_______被直线______所截而得到的______角．    【变式2】如图，下列叙述不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是邻补角 【变式3】如图，下列说法正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同旁内角 D．和是同位角 知识点2：平行线的画法 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【题型2 用直尺、三角板画平行线】 【典例2】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点和点均在格点上．用学具按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作线段的垂直平分线，垂足为点． (2)在图②中，过点作线段的垂线，垂足为点． (3)在图③中，过点作线段的平行线． 【变式1】如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 【变式2】如图，过点画直线平行于，过点画直线平行于． 【变式3】如图，直线与直线相较于点． (1)过点画，交于点； (2)过点画，垂足为，连接，比较线段与的长度，并说明理由． 知识点3：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 注意： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性 【题型3 平行线公理及推论】 【典例3】若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（   ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交 D．以上都有可能 【变式1】下列推理正确的是 （ ） A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，所以 D．因为，，所以 【变式2】如图，张萌的手中有一张正方形纸片（ ），点，分别在和上，且 ，此时张萌判断出 ，则张萌判断出该结论的理由是_______． 【变式3】如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 知识点4：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【题型4 平行线判定-同位角相等，两直线平行】 【典例4】完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为，，．试说明：． 解：， ________°， 即________°． ，且， ， ________， （________________）． 【变式1】如图，直线AB，CD分别与EF相交于点G，H．已知，．试说明：． 解：因为________  （________）， ________， 所以________． 又因为________， 所以__________． 所以（_____________________）． 【变式2】请完成平行线的判定定理2的证明： 已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：． 证明：与互补（已知）， ________（互补的定义）， ________（等式的性质）． ________（________）， ________（等式的性质）， （等量代换）， （________）． 【变式3】如图，平分，，．求证：． 【题型5 平行线判定-内错角相等，两直线平行】 【典例5】如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （     ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【变式1】如图，填空： (1)（已知）， ________________（    ）． (2)（已知）， ________________（    ）． (3)（已知） （   ）． 【变式2】已知，如图，，、分别平分与，且． 求证：，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：∵、分别平分与， ∴________，________（角平分线定义） ∵， ∴________________． ∵， ∴________．（等量代换） ∴________________（   ）． 【变式3】已知：如图，平分，，求证：． 【题型6 平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】 【典例6】如图，一条街道的两个拐角，，这时街道与平行吗？为什么？ 【变式1】如图，直线AF、DE，射线平分∠ABD交DE于点C． (1)若∠DBF=54°，求∠2的度数； (2)若．请说明：AB//CD． 【变式2】如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，GE平分，GF平分，，ABCD吗？为什么？ 答： ． 解：因为GE平分，GF平分（已知） 所以＝2 ． ＝2 ．(                   ) 所以+＝ (等式性质) 因为（已知） 所以+＝ ． 所以ABCD(                                  )． 【变式3】如图，若∠EFD=110°，∠FED=35°，ED平分∠BEF，那么AB与CD平行吗？请说明你的理由． 1．如图，的同位角是（    ） A． B． C． D． 2．我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 3．如图所示，与是同位角，若，则的大小是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 4．如图，直线，被直线所截，，下列条件中可以判定的是（    ） A． B． C． D． 5．将a，b，c三根直木条按如图所示的位置摆放，且，，现固定木条a和c，转动木条b，若使木条，则下列描述正确的是（   ）    A．木条b绕点B顺时针旋转 B．木条b绕点B顺时针旋转 C．木条b绕点B逆时针旋转 D．木条b绕点B逆时针旋转 6．如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 7．小可在纸上画了25条直线，，…，．若，，，，…．照此规律，则与的位置关系为___________． 8．如图，在直线上取两点，作射线和射线，且，固定两点，按图示方向和速度分别转动．当与第1次平行时，转动时间为___________ ． 9．如图，在的正方形网格中，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，交于点； (3)点到直线的距离是线段_____的长度． (4)比较线段大小：根据_____最短，得_____（填“>”、“<”或“=”） 10．如图，AB与CD相交于点O，OA平分，．判断CB与EO的位置关系，并说明理由． 11．如图，已知点在上，平分平分． (1)求证：； (2)若，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 探索两直线平行的条件 考点1：同位角，内错角和同旁内角 考点2：平行线的画法 考点3：平行公理及推论 考点4：平行线的判定 重点： （1）识别三类角：同位角、内错角、同旁内角。 （2）熟悉三个判定：同位角相等 ⇒ 两直线平行;内错角相等 ⇒ 两直线平行; 同旁内角互补 ⇒ 两直线平行 (3)简单几何说理。 难点★： （1）在复杂图形中准确找角。 （2）区分三类角，不混淆。 （3）规范书写推理过程。 1.理解同位角、内错角、同旁内角的概念。 2.掌握平行线的三个判定。 3.会用判定进行简单推理与证明。 4.能由角的关系推出线平行 知识点1：同位角，内错角和同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如下图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 【题型1 同位角，内错角和同旁内角】 【典例1】如图，和是直线________，________被直线________所截得的________角；和是直线________，________被直线________所截得的________角；直线AC，BC被直线AB所截得的同旁内角是________． 【答案】 AB CD BE 同位 AB CD AC 内错 和 【分析】此题主要考查了三线八角，解题的关键是掌握同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形． 根据同位角、内错角：同旁内角的定义分别进行分析即可． 【详解】解：如图，和是直线，被直线所截得的同位角；和是直线，被直线所截得的内错角；直线，被直线所截得的同旁内角是和． 故答案为：①；②；③；④同位；⑤；⑥；⑦；⑧内错；⑨和． 【变式1】如图，与是直线______和直线_______被直线______所截而得到的______角．    【答案】 内错 【分析】本题主要考查三线八角，熟练掌握三线八角是解题的关键．根据图形以及内错角的定义即可得到答案． 【详解】解：与是直线和直线被直线所截而得到的内错角． 故答案为：，，，内错． 【变式2】如图，下列叙述不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是邻补角 【答案】C 【分析】本题考查同位角，内错角，同旁内角，邻补角，关键是掌握同位角，内错角，同旁内角，邻补角的定义． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断． 【详解】解：A、和是内错角，说法正确，不符合题意； B、和是同位角，说法正确，不符合题意； C、和互为邻补角，不是同旁内角，说法错误，符合题意； D、和是邻补角，说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式3】如图，下列说法正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同旁内角 D．和是同位角 【答案】D 【分析】本题考查了内错角、对顶角、同旁内角、同位角的定义，根据内错角、对顶角、同旁内角、同位角的定义一一判断即可． 【详解】解：A．和不是内错角，所以该选项错误，不符合题意； B．和是内错角，原说法错误，所以该选项错误，不符合题意； C．和是同位角，原说法错误，所以该选项错误，不符合题意； D．和是同位角，说法正确，所以该选项正确，符合题意． 故选：D． 知识点2：平行线的画法 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【题型2 用直尺、三角板画平行线】 【典例2】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点和点均在格点上．用学具按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作线段的垂直平分线，垂足为点． (2)在图②中，过点作线段的垂线，垂足为点． (3)在图③中，过点作线段的平行线． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查画垂线和平行线： （1）找到线段的中点，利用网格特点，过中点作线段的垂线即可； （2）利用网格特点，画垂线即可； （3）利用网格特点，画平行线即可. 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）解：如图②，即为所求； （3）解：如图③，即为所求； 【变式1】如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查过直线外一点作已知直线的平行线．先将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿已知直线平移三角板，直到三角板的另一条直角边与O点重合，沿这条直角边过O点向已知直线作一条垂线，然后再将三角板这条直角边沿所作垂线向上平移，直到底下的直角边与O点重合，最后过O点沿三角板底下的直角边作一条直线，这就是已知直线的平行线． 【详解】解：如图所示，直线b即为所求． 【变式2】如图，过点画直线平行于，过点画直线平行于． 【答案】作图见详解 【分析】本题考查了利用直尺和三角板作平行线的方法，解题的关键是掌握用直尺和三角板作平行线的具体操作步骤，易错点是在使用工具作图时，角度把握不准确，导致所作直线不平行；利用直尺和三角板，将三角板的一边与已知直线重合，直尺靠紧三角板的另一边，沿直尺平移三角板到指定点，过该点沿三角板原边作直线，得到平行线． 【详解】 过点作直线平行于：把三角板的一边与重合，直尺靠紧三角板另一边，沿直尺平移三角板使它的边经过点，过点沿三角板的这条边画直线； 过点作直线平行于：将三角板一边与重合，用同样方法平移三角板至点，过点沿三角板边画直线． 【变式3】如图，直线与直线相较于点． (1)过点画，交于点； (2)过点画，垂足为，连接，比较线段与的长度，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，，理由为：垂线段最短 【分析】本题考查了作图画平行线、画垂线、垂线段最短、平行线的性质 （1）过点画，交于点即可； （2）过点画，垂足为F；根据垂线段最短即可判断与的大小． 【详解】（1）解：如图，，交于点E； （2）解：如图， 与的大小为：． 理由为：垂线段最短． 知识点3：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 注意： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性 【题型3 平行线公理及推论】 【典例3】若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（   ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行公理的推论，根据平行公理的推论直接判断直线c与直线a的位置关系即可． 【详解】解：∵互不重合的三条直线，，之间满足：， ∴直线与平行， 故选：A． 【变式1】下列推理正确的是 （ ） A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，所以 D．因为，，所以 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理的推论，属于基础题型，熟练掌握基本知识是关键．根据平行公理的推论逐项判断即得答案． 【详解】解：A、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意； B、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意； C、由，，能推出，所以本选项推理正确，符合题意； D、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2】如图，张萌的手中有一张正方形纸片（ ），点，分别在和上，且 ，此时张萌判断出 ，则张萌判断出该结论的理由是_______． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，熟练掌握平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据已知的平行关系，利用平行公理的推论来判断直线间的平行关系． 【详解】解：∵ ，， ∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【变式3】如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 知识点4：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【题型4 平行线判定-同位角相等，两直线平行】 【典例4】完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为，，．试说明：． 解：， ________°， 即________°． ，且， ， ________， （________________）． 【答案】90  90  4  同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定、余角的性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据垂直的定义得到，再根据等角的余角相等得到，最后根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：， ， 即． ，且， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 【变式1】如图，直线AB，CD分别与EF相交于点G，H．已知，．试说明：． 解：因为________  （________）， ________， 所以________． 又因为________， 所以__________． 所以（_____________________）． 【答案】 对顶角相等 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与对顶角的性质，掌握利用对顶角相等转化角度，得到相等的同位角，从而判定两直线平行是解题的关键． 先利用对顶角相等的性质，将转化为，再结合已知的度数，得到与相等，最后根据同位角相等，两直线平行的判定定理，证明． 【详解】解：（对顶角相等）， ， ， 又， （ 同位角相等，两直线平行）． 【变式2】请完成平行线的判定定理2的证明： 已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：． 证明：与互补（已知）， ________（互补的定义）， ________（等式的性质）． ________（________）， ________（等式的性质）， （等量代换）， （________）． 【答案】180；180；180；平角的定义；180；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据补角的定义，等量代换，同位角相等，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：与互补（已知）， （互补的定义）， （等式的性质）． （平角的定义）， （等式的性质）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 【变式3】如图，平分，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由角平分线得到，然后得到，即可证明出． 【详解】证明：平分，， ． ， ． ． 【题型5 平行线判定-内错角相等，两直线平行】 【典例5】如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【答案】90，垂直的定义，，，，， 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是平行线的性质与判定定理． 首先得到，然后由得到，即可得到． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（等式的性质） 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 【变式1】如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)（已知） （   ）． 【答案】(1)，，同位角相等，两直线平行 (2)，，内错角相等，两直线平行 (3)，同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是做题的关键． （1）根据平行线的判定方法即可得出答案； （2）根据平行线的判定方法即可得出答案； （3）根据平行线的判定方法即可得出答案． 【详解】（1）解：， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：，，同位角相等，两直线平行． （2）解：， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：，，内错角相等，两直线平行． （3）解：， （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：，同旁内角互补，两直线平行． 【变式2】已知，如图，，、分别平分与，且． 求证：，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：∵、分别平分与， ∴________，________（角平分线定义） ∵， ∴________________． ∵， ∴________．（等量代换） ∴________________（   ）． 【答案】；；；；；；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，则可得，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵、分别平分与， ∴，（角平分线定义）． ∵， ∴． ∵， ∴．（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；；；；内错角相等，两直线平行． 【变式3】已知：如图，平分，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．由为角平分线，利用角平分线的定义得到，由已知，利用等量代换得到，利用内错角相等两直线平行即可得证． 【详解】证明：平分， ， ， ， ． 【题型6 平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】 【典例6】如图，一条街道的两个拐角，，这时街道与平行吗？为什么？ 【答案】，见解析 【分析】根据同旁内角互补两直线平行；判断即可； 【详解】解：．理由如下： ，， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握同旁内角互补两直线平行是解题关键． 【变式1】如图，直线AF、DE，射线平分∠ABD交DE于点C． (1)若∠DBF=54°，求∠2的度数； (2)若．请说明：AB//CD． 【答案】(1)∠2=63° (2)见解析 【分析】（1）根据∠DBF=54°，∠ABD+∠DBF=180°，得到∠ABD=126°，根据平分得到∠2=×126°=63°； (2)根据平分，得到，根据，得到 ，推出． 【详解】（1）（1）∵∠DBF=54°，∠ABD+∠DBF=180° ∴∠ABD=126° ∵平分 ∴∠2=×126°=63°； （2）(2)∵平分 ∴ ∵ 且 ∴ ∴． 【点睛】本题考查了邻补角性质，角平分线性质，对顶角性质，平行线的判定定理，熟练掌握邻补角的和等于180°，角平分线把一个角分成两个相等的角，对顶角相等，同旁内角互补两直线平行，是解决此题的关键． 【变式2】如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，GE平分，GF平分，，ABCD吗？为什么？ 答： ． 解：因为GE平分，GF平分（已知） 所以＝2 ． ＝2 ．(                  ) 所以+＝ (等式性质) 因为（已知） 所以+＝ ． 所以ABCD(                                 )． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的定义和平行线的判定方法推理可得结论． 【详解】解：平行，理由如下： 因为GE平分∠AEF，GF平分∠EFC（已知）， 所以∠AEF=2∠1， ∠EFC=2∠2，（角平分线的定义） 所以∠AEF+∠EFC=2（∠1+∠2）（等式性质）， 因为∠1+∠2=90°（已知）， 所以∠AEF+∠EFC=180°， 所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． 【点睛】本题考查了平行线的判定，牢记平行线的三个判定定理是解决此类题目的关键． 【变式3】如图，若∠EFD=110°，∠FED=35°，ED平分∠BEF，那么AB与CD平行吗？请说明你的理由． 【答案】AB与CD平行．理由见解析. 【详解】试题分析：由ED为∠BEF的平分线，根据角平分线的定义可得，∠FED=∠BED=35°，进而得出∠BEF=70°，然后根据同旁内角互补两直线平行，即可AB与CD平行． 试题解析：AB与CD平行．理由如下： ∵ED平分∠BEF， ∴∠FED=∠BED=35°， ∴∠BEF=70°． ∵∠BEF+∠EFD=70°+110°=180°， ∴AB∥CD． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：熟记同位角相等⇔两直线平行，内错角相等⇔两直线平行，同旁内角互补⇔两直线平行． 1．如图，的同位角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同位角的定义，根据“两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角”进行分析即可． 【详解】解：的同位角是， 故选：A． 2．我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题关键． 根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：如图， 由作法知，，， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选B． 3．如图所示，与是同位角，若，则的大小是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查了三线八角，明确同位角、内错角、同旁内角只是两个角的一种位置关系，而没有一定的大小关系是解此类问题的关键． 两直线平行时同位角相等，不平行时无法确定同位角的大小关系，据此分析判断即可得． 【详解】解：同位角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，同位角才相等， ∴的大小不能确定， 故选D． 4．如图，直线，被直线所截，，下列条件中可以判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的判定，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 先标注，根据同位角相等，两直线平行判断即可． 【详解】如图所示， 根据题意可知，，和是一对同位角， 根据同位角相等两直线平行可得，当时，． 故选：A． 5．将a，b，c三根直木条按如图所示的位置摆放，且，，现固定木条a和c，转动木条b，若使木条，则下列描述正确的是（   ）    A．木条b绕点B顺时针旋转 B．木条b绕点B顺时针旋转 C．木条b绕点B逆时针旋转 D．木条b绕点B逆时针旋转 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：A．木条b绕点B顺时针旋转，    ∴， ∴木条a与b不平行，故A不符合题意； B．木条b绕点B顺时针旋转，    ∴， ∴木条a与b平行，故B符合题意； C．木条b绕点B逆时针旋转，    ∴， ∴， ∴木条a与b不平行，故C不符合题意； D．条b绕点B逆时针旋转，    ∴， ∴， ∴木条a与b不平行，故D不符合题意； 故选：B． 6．如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 【答案】，，，同旁内；，，，同位． 【分析】本题主要考查同旁内角，同位角的概念，利用同旁内角、同位角的概念进行判断填空即可． 【详解】根据题意，和是直线，被直线所截形成的同旁内角； 和是直线，被直线所截形成的同位角． 故答案为：，，，同旁内；，，，同位． 7．小可在纸上画了25条直线，，…，．若，，，，…．照此规律，则与的位置关系为___________． 【答案】平行或重合 【分析】此题考查了平行线与垂线的关系，注意找到规律：四个一循环，是解此题的关键. 首先根据题意判断与，，，的关系，即可得到规律：四个一循环，即可求解. 【详解】解：， ， ， ， ， ， 同理可得：，其中或与或可能重合， 与的位置关系为平行或重合. 故答案为：平行或重合. 8．如图，在直线上取两点，作射线和射线，且，固定两点，按图示方向和速度分别转动．当与第1次平行时，转动时间为___________ ． 【答案】12 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行线的性质，先理解速度和旋转方向，以及与第1次平行，运用同旁内角互补，两直线平行进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设转动时间为时，与第1次平行， 如图所示： 当，则与第1次平行， 依题意， ∴ 解得， 故答案为： 9．如图，在的正方形网格中，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，交于点； (3)点到直线的距离是线段_____的长度． (4)比较线段大小：根据_____最短，得_____（填“>”、“<”或“=”） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)垂线段， 【分析】本题主要考查了网格作图，垂线，点到直线的距离的定义，平行线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用平行线的定义以及数形结合的思想画出图形即可； （2）根据垂线的定义结合数形结合的思想画出图形即可； （3）根据点到直线的距离的定义，解决问题即可； （4）根据垂线段最短，解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：根据点到直线的距离的定义可得点到直线的距离是线段的长度． 故答案为：． （4）解：根据点到直线上的所有点的连线中，垂线段最短可得． 故答案为：垂线段，． 10．如图，AB与CD相交于点O，OA平分，．判断CB与EO的位置关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行是解题的关键． 由角平分线的定义得，结合对顶角的性质可证，从而可得． 【详解】解：． 理由：平分， ． ， ． 又， ， ． 11．如图，已知点在上，平分平分． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义及平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键， （1）根据角平分线的定义结合平角定义得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，再证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：平分平分， ， ， ， ， ； （2）证明：平分平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $