第9章 统计 综合拔高练（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（苏教版）

综合拔高练 高考真题练 考点1　变量间的相关关系与回归分析 1.(全国Ⅰ理,5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图: 由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　) A.y=a+bx　　　B.y=a+bx2 C.y=a+bex　　　D.y=a+bln x 2.(2024天津,3)下列图中,样本相关系数最大的是(　　) 　　　 　　　 3.(2024上海,13)已知气候温度和海水表层温度相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是　(　　) A.气候温度高,海水表层温度就高 B.气候温度高,海水表层温度就低 C.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势 D.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈下降趋势 4.(2025上海,17)2024年东京奥运会,中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌.以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位:秒),数据按照升序排列:206.78,207.46,207.95,209.34,209.35,210.68,213.73,214.84,216.93,216.93. (1)求这组数据的极差与中位数; (2)从这10个数据中任选3个,求恰有2个数据在211以上的概率; (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为,年份x的平均数为2 006,预测2028年冠军队的成绩(精确到0.01秒). 考点2　独立性检验及其应用 5.(2025全国一,15)为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人,得到如下列联表: 　　　　　　超声波检查结果 组别　　　　　　　　 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p,求p的估计值; (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附:χ2=, P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 . 6.(2024全国甲理,17)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下: 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表: 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异? (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率,如果,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?(≈12.247) 附:χ2=, P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 . 7.(2023全国甲理,19)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g). (1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望; (2)试验结果如下: 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8 26.5　27.5　30.1　32.6　34.3　34.8　35.6 35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8　9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5 18.0　18.8　19.2　19.8　20.2　21.6　22.8 23.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5 (i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表: <m ≥m 对照组 试验组 (ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异? 附:χ2=, P(χ2≥x0) 0.100 0.050 0.010 x0 2.706 3.841 6.635 . 8.(2022全国新高考Ⅰ,20)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据: 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异? (2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R. (i)证明:R=·; (ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值. 附:χ2=, P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 . 高考模拟练 应用实践 1.(2024福建福州月考)某IT公司基于5G领先技术的支持,经济收入在短期内逐月攀升,该IT公司在某年1月至6月的经济收入y(单位:百万元)关于月份x的数据如下表所示. 月份x 1 2 3 4 5 6 经济收入y/百万元 6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0 (1)判断y=ax+b与y=cedx(a,b,c,d均为常数,且c>0)哪一个更适宜作为经济收入y关于月份x的回归方程类型; (2)根据(1)中的结果及表中的数据,求出y关于x的回归方程,并预测该公司7月份的经济收入;(结果保留小数点后两位) (3)从前6个月的经济收入中随机抽取2个,记经济收入超过20百万元的个数为X,求X的概率分布和数学期望. 参考数据: (xi -)2 (xi- ) (xi- ) e1.52 e2.66 3.50 21.15 2.85 17.50 125.35 6.73 4.57 14.30 其中u=ln y. 参考公式:在中,. 2.(2025江苏苏州常熟中学月考)某学校校庆时连续5天进入学校参观的校友人数(单位:千人)如下: 日期 10月 1日 10月 2日 10月 3日 10月 4日 10月 5日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数 y/千人 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)由上表中数据可以看出,可以用线性回归模型拟合y与x的关系,请用样本相关系数r加以说明(保留小数点后两位),并求出y关于x的经验回归方程;(若|r|>0.75,则认为y与x的线性相关程度很强) (2)校庆期间,学校开放1号门、2号门和3号门供校友出入,校友从1号门、2号门和3号门进入学校的概率分别为,且出学校时选择与进入学校时通过相同的门的概率为,选择与进入学校时通过不同的两个门的概率均为.假设校友从1号门、2号门、3号门出入学校互不影响,现有甲、乙、丙、丁4名校友于10月1日回母校参观,设X为4人中从2号门出学校的人数,求X的概率分布、数学期望及方差. 附:在中,;样本相关系数r=≈12.59. 3.(2025重庆第一中学校开学考试)甲、乙两俱乐部计划按照体育比赛中的赛制举办友谊赛.在体育比赛中有两种常见赛制:一种是(2n-1)局n胜制,例如一场比赛有5局,率先胜3局一方获胜,本场比赛结束;另一种是(2n+1)局(n+1)胜制,例如一场比赛有7局,率先胜4局一方获胜,本场比赛结束. (1)若采用5局3胜制,甲俱乐部每场比赛获胜的概率为0.8;若采用7局4胜制,甲俱乐部每场比赛获胜的概率为0.9.已知甲、乙俱乐部采用这两种赛制各进行了m(m∈N*)场比赛,试自行绘制2×2列联表,并判断是否有99%的把握认为赛制对甲俱乐部获胜的场数有影响; (2)设甲俱乐部每局比赛获胜的概率均为p,且每局比赛都能决出胜负,没有平局. ①若两俱乐部采用5局3胜制比赛,记事件A为“甲俱乐部只要取得3局比赛的胜利比赛就结束且甲俱乐部获胜”,事件B为“两俱乐部赛满5局,甲俱乐部至少取得3局比赛的胜利且甲俱乐部获胜”,证明:P(A)=P(B); ②若甲、乙两俱乐部创造一种全新的赛制,约定比赛规则:共进行2n局比赛,获胜的局数大于n的俱乐部获胜.若甲俱乐部每局比赛获胜的概率p=,试判断进行几局比赛时,甲俱乐部赢得比赛的概率最大,并说明理由. 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.010 x0 2.706 3.841 5.024 6.635 迁移创新 4.(2024重庆西南大学附属中学月考)某校20名学生的数学成绩xi(i=1,2,…,20)和知识竞赛成绩yi(i=1,2,…,20)如下表: 学生编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩xi 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77 知识竞赛 成绩yi 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270 学生编号i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学成绩xi 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35 知识竞赛 成绩yi 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5 计算可得)2=6 464,)2=149 450,)=21 650. (1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数(精确到0.01); (2)设N∈N*,变量x和变量y的一组样本数据为{(xi,yi)|i=1,2,…,N},其中xi(i=1,2,…,N)两两互不相同,yi(i=1,2,…,N)两两互不相同.记xi在{xn|n=1,2,…,N}中的排名是第Ri位,yi在{yn|n=1,2,…,N}中的排名是第Si位,i=1,2,…,N.定义变量x和变量y的斯皮尔曼相关系数(记为ρ)为变量x的排名和变量y的排名的样本相关系数.记di=Ri-Si,i=1,2,…,N,证明:ρ=1-. 参考公式:r=. 参考数据:≈31 081. 答案与分层梯度式解析 高考真题练 1.D 2.A 3.C 1.D　观察散点图可知,散点用光滑曲线连接起来后比较接近对数型函数的图象. 2.A　观察题中4幅图可知,A选项的图中散点分布比较集中,且大致落在一条从左下角到右上角的直线附近,两变量呈明显的正相关关系,样本相关系数相比于其他3幅图更接近1. 3.C　成对数据相关分析中,若样本相关系数为正,则两变量之间正相关,即气候温度上升,海水表层温度上升,故C正确,D错误;样本相关系数体现的是两变量的变化趋势,不是相关数值,故A,B错误. 4.解析　(1)由题意,数据的最大值为216.93,最小值为206.78,则极差为216.93-206.78=10.15; 数据中间两数为209.35与210.68, 则中位数为=210.015. 故这组数据的极差为10.15,中位数为210.015. (2)数据共10个,211以上的数据有4个, 设事件A=“恰有2个数据在211以上”, 则P(A)=, 故恰有2个数据在211以上的概率为. (3)成绩的平均数为×(206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93)=211.399, 由回归直线过点(2 006,211.399), 得=211.399+0.311×2 006=835.265, 故回归方程为=-0.311x+835.265. 当x=2 028时,=-0.311×2 028+835.265=204.557≈204.56. 故预测2 028年冠军队的成绩为204.56秒. 5.解析　（1）由题意知超声波检查结果不正常的人数为200,其中患该疾病的人数为180,所以超声波检查结果不正常者患该疾病的概率的估计值p==0.9. (2)零假设为H0:超声波检查结果与患该疾病无关. χ2==765.625>10.828, 根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即超声波检查结果与患该疾病有关. 6.解析　(1) 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 χ2= ==4.687 5, ∵3.841<4.687 5<6.635, ∴有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异. (2)由题知=0.64,p=0.5,n=150, p+1.65≈0.5+≈0.567. ∵0.64>0.567,∴, ∴可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了. 7.解析　(1)X的可能取值为0,1,2. P(X=0)=, ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴E(X)=0×=1. (2)(i)m==23.4. 完成的列联表如下: <m ≥m 对照组 6 14 试验组 14 6 (ii)由(i)可得χ2==6.4>3.841. ∴有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异. 8.解析　(1)列联表如下: 不够良好 良好 合计 病例组 40 60 100 对照组 10 90 100 合计 50 150 200 故χ2==24>6.635, 所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. (2)(i)证明: R= = =. (ii)由题意得,P(A|B)=, P(A|, P(, P(, 所以R==6. 高考模拟练 1.解析　(1)作出散点图,如图所示. 由图可知,y=cedx(c>0)更适宜作为经济收入y关于月份x的回归方程类型. (2)对y=cedx两边同时取自然对数得ln y=ln c+dx. 由u=ln y,得u=ln c+dx, ≈0.38, ln =2.85-0.38×3.50=1.52, ∴=1.52+0.38x,即ln =1.52+0.38x, ∴=e1.52+0.38x=4.57×e0.38x. 令x=7,得=4.57×e2.66=4.57×14.30≈65.35, 故预测该公司7月份的经济收入为65.35百万元. (3)易知前6个月的经济收入中超过20百万元的有3个,∴随机变量X的可能取值为0,1,2, P(X=0)=, P(X=2)=, 故X的概率分布为 X 0 1 2 P 故E(X)=0×=1. 2.解析　(1)×(2.2+2.6+3.1+5.2+6.9)=4, 则样本相关系数r=≈0.95. 因为|r|≈0.95>0.75,所以y与x的线性相关程度很强,可以用线性回归模型拟合y与x的关系. =1.2, =4-1.2×3=0.4, 所以y关于x的经验回归方程为=1.2x+0.4. (2)记“甲从2号门出学校”为事件A,“甲从1号门进学校”为事件B,“甲从2号门进学校”为事件C,“甲从3号门进学校”为事件D, 由题意可得P(B)=, P(A|B)=P(A|D)=. 由全概率公式得P(A)=P(BA)+P(CA)+P(DA)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)+P(D)P(A|D)=, 同理得乙、丙、丁从2号门出学校的概率也均为, 则X~B, X的所有可能取值为0,1,2,3,4, P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=, P(X=4)=. 故X的概率分布为 X 0 1 2 3 4 P E(X)=4×. 3.解析　(1)依题意得2×2列联表如下: 5局3胜制 7局4胜制 合计 甲俱乐部胜 0.8m 0.9m 1.7m 乙俱乐部胜 0.2m 0.1m 0.3m 合计 m m 2m χ2=. 令≥6.635,得m≥169.192 5,又m∈N*,所以当m≥170时,有99%的把握认为赛制对甲俱乐部获胜的场数有影响;当m≤169时,没有99%的把握认为赛制对甲俱乐部获胜的场数有影响. (2)①证明:P(A)=p3+p5=p3(6p2-15p+10),所以P(A)=P(B). ②设甲俱乐部赢得比赛的概率为P2n,M=“进行2n局比赛且甲俱乐部赢得比赛”,N=“第一局甲俱乐部获胜”,C=“第二局甲俱乐部获胜”, 则P2n=P(M)=P(N), C发生及N发生意味着前两局比赛甲恰好赢一局,则甲赢得比赛的条件为当且仅当甲在后续的(2n-2)局比赛中获胜的局数大于n-1, 因此P(M|NC)=P2n-2. NC发生意味着甲已经赢了前两局,则甲赢得比赛的条件为当且仅当甲在后续的(2n-2)局比赛中获胜的局数大于或等于n-1,则P(M|NC)=P2n-2+pn-1(1-p)n-1. 发生意味着甲输掉前两局,则甲赢得比赛的条件为当且仅当甲在后续的(2n-2)局比赛中获胜的局数大于n,可以看成事件“甲在后续的(2n-2)局比赛中获胜的局数大于n-1”与事件“甲在后续的(2n-2)局比赛中获胜的局数为n”的差事件,则P(M|pn(1-p)n-2, 因此P2n=2p(1-p)P2n-2+p2[P2n-2+pn(1-p)n-2] =P2n-2+pn(1-p)n =P2n-2+pn(1-p)n-1[1-p-(1-2p)n]. 令P2n-P2n-2≥0,得n≤, 则当p=时,n≤, 所以当n=2,即2n=4时,P2n最大. 故进行4局比赛时,甲俱乐部赢得比赛的概率最大. 4.解析　(1)样本相关系数r=≈0.70. (2)证明:由题意知{Ri}和{Si}都是1,2,…,N的一个排列, 所以,所以, 所以, 同理,得. 由于), 所以ρ=. 15 学科网（北京）股份有限公司 $