第9章 统计 测评卷（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（苏教版）

密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 第9章　统计 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.对两个变量x,y的三组数据进行统计,得到以下散点图,关于两个变量相关系数的比较,正确的是(　　) 　　 A.r1>r2>r3　　　B.r2>r3>r1　　　 C.r1>r3>r2　　　D.r3>r2>r1 2.根据最小二乘法求得一组样本数据(xi,yi)(其中i=1,2,…,300)的经验回归方程是,则下列说法正确的是(　　) A.至少有一个样本点落在经验回归直线上 B.若所有样本点都在经验回归直线上,则变量间的样本相关系数为1 C.对所有的变量xi(i=1,2,…,300),的值一定与yi有误差 D.若经验回归直线>0,则变量x与y正相关 3.为维护市场秩序,保护消费者权益,在十一假期来临之际,某市物价部门对某商品在5家商场的售价x(元)及其一天的销售量y(件)进行调查,得到五组数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5),经过分析、计算,得=8,y关于x的经验回归方程为,则点(9,10)的残差为(　　) A.-1　　　B.1　　　 C.-3　　　D.3 4.某公司收集了某商品的销售收入y(万元)与相应的广告支出x(万元)的10组数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,10),绘制出如下散点图,并利用线性回归模型进行拟合. 若去掉A点后再重新进行线性回归分析,则下列说法正确的是(　　) A.决定系数R2变小　　　B.残差平方和变小 C.样本相关系数r的值变小　　　D.x与y的相关性变弱 5.为促进学生积极参加体育锻炼,养成良好的锻炼习惯,提高体质健康水平,某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查,统计结果如表所示: 体育锻炼 合计 喜欢 不喜欢 性别 男 女 50 80 合计 110 附: χ2=,其中n=a+b+c+d. P(χ2≥x0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 下列结论不正确的是(　　) A.样本中男生所占比例为60% B.估计该校不喜欢体育锻炼的学生所占比例为45% C.样本中喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人 D.没有99.9%的把握认为是否喜欢体育锻炼与性别有关 6.某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据: 单价x/元 9 9.2 9.4 9.6 9.8 10 销量y/件 100 94 93 90 85 78 预计在今后的销售中,销量与单价仍然满足这种线性相关关系,且该产品的成本是5元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为(　　) 参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其经验回归直线. 参考数据:. A.9.4元　　　B.9.5元　　　 C.9.6元　　　D.9.7元 7.为了解喜爱足球是否与性别有关,随机抽取了若干人进行调查,抽取女性人数是男性人数的2倍,男性喜爱足球的人数占男性人数的,女性喜爱足球的人数占女性人数的,若本次调查得出“至少有99.5%的把握认为喜爱足球与性别有关”的结论,则被调查的男性至少有(　　) 附: χ2=,其中n=a+b+c+d. P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.6人　　　B.12人　　　C.18人　　　D.24人 8.在某活动现场,为了解不同时段的入口人流量,从上午10时开始第一次向指挥中心反馈入口人流量,以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据(i,yi),其中i=1,2,3,4,5,yi为第i次入口人流量数据(单位:百人),由此得到y关于i的回归方程为log2(i+1)+5.已知=9,根据回归方程,预测下午4时时入口人流量数据(单位:百人)为(参考数据:log23≈1.6,log25≈2.3)(　　) A.9.6　　　B.11.0　　　 C.11.3　　　D.12.0 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.为调研加工零件效率,调研员通过试验获得加工零件个数x与所用时间y(单位:min)的5组数据为(1,5),(2,9),(3,12),(4,15),(5,19),根据以上数据可得经验回归方程为,则下列选项正确的有(　　) A.=1.8 B.经验回归直线必过点(2,9) C.加工6个零件所用的时间大约为22.2 min D.去掉(3,12),剩下4组数据的经验回归方程不会变化 10.有一组成对样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),设yi.由这组数据得到新成对样本数据(x1+),…,(xn+).利用一元线性回归模型,根据最小二乘法,下列结论一定正确的是(　　) 参考公式:经验回归直线中,斜率和截距的最小二乘估计分别为.样本相关系数r=,决定系数R2=1-. A.两条经验回归直线都过点() B.两条经验回归直线的截距相同 C.两组数据的样本相关系数相同 D.两组数据的决定系数相同 11.已知某学校高二年级男生人数是女生人数的2倍,该年级全部男、女生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如图,下列说法正确的是(　　) 附: χ2=,其中n=a+b+c+d. P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.010 x0 2.706 3.841 6.635 A.参加调查的学生中喜欢徒步的男生比喜欢徒步的女生多 B.参加调查的学生中不喜欢徒步的男生比不喜欢徒步的女生少 C.若参加调查的学生总人数为300,则有99%的把握认为喜欢徒步和性别有关 D.无论参加调查的学生总人数为多少,都有99%的把握认为喜欢徒步和性别有关 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.某地为响应“绿水青山就是金山银山”的号召,经过多年的环境治理,将荒山改造成了林区.为了解该林区某种树木的材积量与根部横截面面积之间的关系,随机选取了一定量的这种树木进行测量,得到每棵树的根部横截面面积x(单位:m2)和材积量y(单位:m3)如下表所示,则y关于x的经验回归方程为　　　　　　　　.  根部横截面面积x/m2 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 材积量y/m3 0.25 0.34 0.40 0.46 0.50 附:经验回归方程中,. 13.已知一组数据(18,24),(13,34),(10,38),(-1,m)的经验回归方程为=-2x+59.5,则该组数据的样本相关系数r=　　　　(精确到0.001).  14.新疆某农科所为了研究不同土壤环境下棉花的品质,选取了甲、乙两块试验田进行种植.在棉花成熟后采摘,分别从甲、乙两块试验田采摘的棉花中各随机抽取50份样本,测定其马克隆值,整理测量数据得到如下2×2列联表(单位:份),其中40≤a≤50且a∈N*. 注:棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标,是棉花纤维重要的内在质量指标之一.根据国家标准规定,马克隆值可分为A,B,C三个级别,A级品质最好,B级品质为标准,C级品质最差. A级或B级 C级 合计 甲试验田 a 50-a 50 乙试验田 80-a a-30 50 合计 80 20 100 当a=a0时,至少有99%的把握认为该品种棉花的马克隆值级别与土壤环境有关,则a0的最小值为　　　　　.  附: χ2=,其中n=a+b+c+d. P(χ2≥x0) 0.05 0.010 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)电机与变压器中绕组常用的绝缘材料的耐热等级根据绝缘耐温(绝缘材料的极限允许工作温度)分为如下7个级别: 耐热等级 Y A E B F H C 绝缘耐温/℃ [90, 105) [105, 120) [120, 130) [130, 155) [155, 180) [180, 200) [200, 230) 某绝缘材料生产企业为测试甲、乙两种生产工艺对绝缘耐温的影响,分别从采用两种工艺生产的产品中各随机抽取50件,测量各件产品的绝缘耐温(单位:℃),其频率分布直方图如下: 甲 乙 (1)若10月份该企业采用甲工艺生产的产品为65万件,估计其中耐热等级达到C级的产品数; (2)若规定产品耐热等级达到C级为合格,除此之外均为不合格.完成以下表格,并判断是否有95%的把握认为测试结果与不同的生产工艺有关. 合格 不合格 甲 乙 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. P(χ2≥x0) 0.25 0.15 0.10 0.05 x0 1.323 2.072 2.706 3.841 16.(15分)李连贵熏肉大饼是吉林省四平市极具传统特色的美味小吃,有着悠久的历史,创始于1908年,距今已经有着一百多年的历史了.李连贵熏肉大饼是一道集美味和药膳于一体的美味佳肴,很多外地游客慕名前往四平品尝.某调查机构从年龄在[20,70)内的游客中随机抽取100人,对是否有意向购买熏肉大饼进行调查,结果如下表: 年龄/岁 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 抽取人数 18 22 25 27 8 有意向购买熏肉 大饼的人数 8 17 22 24 4 (1)若以40岁为分界线,由以上统计数据完成下面的2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为购买熏肉大饼与人的年龄有关; 低于40岁 不低于40岁 总计 有意向购买熏肉 大饼 无意向购买熏肉 大饼 总计 (2)用样本估计总体,用频率估计概率,从年龄在[60,70)内的所有游客中随机抽取3人,设这3人中打算购买熏肉大饼的人数为X,求X的概率分布和数学期望. 参考公式:χ2=,其中n=a+b+c+d. 参考数据: P(χ2≥x0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17.(15分)某大型企业对F产品进行研发与创新,根据市场调研与模拟,得到研发投入x(单位:亿元)与研发创新的直接收益y(单位:亿元)的数据统计如下: x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 y 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 66 当0<x≤17时,建立了y与x的两个回归模型:模型①=4.1x+11.8;模型②. (1)根据下列表格中的数据,比较当0<x≤17时,模型①和②的决定系数,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测该企业对产品的研发投入为17亿元时的直接收益; 回归模型 模型① 模型② 回归方程 =4.1x+11.8 -14.4 )2 182.4 79.2 (2)为鼓励科技创新,当研发投入不少于20亿元时,国家给予该企业补贴收益10亿元,以回归方程为预测依据,比较研发投入17亿元与20亿元时该企业实际收益的大小; (3)研发改造后,该企业F产品的效率X大幅提高,已知X服从正态分布N(0.52,0.012),该企业对研发团队的奖励方案如下:若F产品的效率不超过50%,不予奖励;若F产品的效率超过50%但不超过53%,每件F产品奖励2万元;若F产品的效率超过53%,每件F产品奖励5万元.求每件F产品获得奖励的数学期望(保留两位小数). 附:①决定系数R2=1-,R2越大,说明拟合效果越好;②;③若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 4;④≈4.1. 18.(17分)抽球试验规则如下:盒子中初始装有1个白球和2个红球,每次有放回地任取1个,连续取两次,将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的2个球都是白球,则记该轮为成功,否则记为失败.在抽取过程中,如果某一轮成功,则停止;否则,在盒子中再放入一个红球,然后接着进行下一轮抽球,如此继续下去,直至成功. (1)某人进行该抽球试验时,最多进行三轮,即使第三轮不成功,也停止抽球,记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X,求X的概率分布和数学期望; (2)为验证抽球试验成功的概率不超过,有1 500名数学爱好者独立进行该抽球试验,记t表示成功时抽球试验的轮次数,y表示对应的人数,部分统计数据如表所示: t 1 2 3 4 5 y 256 100 66 48 30 求y关于t的回归方程,并预测成功的总人数(精确到1). 参考公式:在经验回归方程. 参考数据:xi. 19.(17分)某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人的语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流,记忆功能还可以记住孩子的使用习惯,很快找到孩子想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容,且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长的欢迎.为了更好地服务广大家长,该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人(以下简称产品),统计其性能指数并绘制频率分布直方图(如图1): 产品的性能指数在[50,70)内适合托班幼儿使用(简称A类产品),在[70,90)内适合小班和中班幼儿使用(简称B类产品),在[90,110]内适合大班幼儿使用(简称C类产品),A,B,C三类产品的销售利润分别为每件1.5元,3.5元,5.5元.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率. (1)求每件产品的平均销售利润; (2)该公司为了解年营销费用x(单位:万元)对年销售量y(单位:万件)的影响,对近5年的年营销费用xi和年销售量yi(i=1,2,3,4,5)的数据做了初步处理,得到散点图(如图2)及一些统计量的值(见下表). ui vi ) )2 16.30 24.87 0.41 1.64 表中ui=ln xi,vi=ln yi, 根据散点图可知,y=a·xb可以作为年销售量y关于年营销费用x的回归方程. ①求y关于x的回归方程; ②用①中的回归方程估计该公司应投入多少万元的营销费用,才能使得该产品一年的收益达到最大.(收益=销售利润-营销费用) 参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归直线. 参考数据:取e4.159=64. 答案全解全析 第9章　统计 1.C 2.D 3.A 4.B 5.D 6.B 7.B 8.C 9.ACD 10.CD 11.AC 1.C　由题中散点图可知图1表示的是正相关,故r1>0;图2和图3表示的是负相关,且图2中的点比图3中的点分布更为集中,因此r2<0,r3<0,且|r2|>|r3|,所以r2<r3<0.所以r1>r3>r2. 2.D　经验回归直线必过样本点的中心,但样本点可能都不在经验回归直线上,故A错误;若所有样本点都在经验回归直线上,则变量间的样本相关系数为±1,故B错误;若所有的样本点都在经验回归直线上,则的值与yi相等,故C错误;样本相关系数r与的符号相同,若经验回归直线的斜率>0,则r>0,样本点呈从左下向右上方向发展的趋势,故变量x与y正相关,故D正确. 3.A　由题可知,经验回归直线过样本点的中心(10,8),所以将(10,8)代入,可得8=-3×10+,解得=38,所以=-3x+38,当x=9时,=-3×9+38=11,所以残差为10-11=-1. 4.B　从题图中可以看出A点较其他点偏离直线,故去掉A点后,拟合效果更好,故决定系数R2会变大,残差平方和变小,|r|会更接近于1,由题图可得x与y正相关,故r会更接近于1,即样本相关系数r的值变大,x与y的相关性变强,故A,C,D错误,B正确. 5.D　补全列联表如下: 体育锻炼 合计 喜欢 不喜欢 性别 男 80 40 120 女 30 50 80 合计 110 90 200 对于A,样本中男生所占比例为×100%=60%,故A中结论正确; 对于B,估计该校不喜欢体育锻炼的学生所占比例为×100%=45%,故B中结论正确; 对于C,样本中喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多80-30=50人,故C中结论正确; 对于D,根据表中数据,得χ2=≈16.498>10.828, 所以有99.9%的把握认为是否喜欢体育锻炼与性别有关,故D中结论错误. 6.B　由题意得×(9+9.2+9.4+9.6+9.8+10)=9.5, ×(100+94+93+90+85+78)=90, 则=-20, =90+9.5×20=280,则=-20x+280. 设工厂获得的利润为L元,则L=(x-5)(-20x+280)=-20(x-9.5)2+405, 当x=9.5时,L取得最大值,所以当单价定为9.5元时,工厂获得最大利润. 7.B　设男性人数为k,依题意得2×2列联表如下: 喜爱足球 不喜爱足球 合计 男性 k 女性 2k 合计 3k 所以χ2=, 因为本次调查得出“至少有99.5%的把握认为喜爱足球与性别有关”的结论,所以χ2≥7.879,即≥7.879,解得k≥11.818 5,而k∈N*且k为6的倍数,因此kmin=12. 8.C　设x=log2(i+1),i=1,2,3,4,5,则x+5, ≈=1.9,又=9,所以9=×1.9+5,得,所以log2(i+1)+5,i∈N*, 下午4时对应i=7,预测此时入口人流量数据(单位:百人)为×log28+5≈11.3. 9.ACD　由题意得×(5+9+12+15+19)=12,所以经验回归直线必过点(3,12),所以12=3.4×3+,解得=1.8,故A正确; 当x=2时,=3.4×2+1.8=8.6≠9,故B错误; 令x=6,得=3.4×6+1.8=22.2, 故加工6个零件所用的时间大约为22.2 min,故C正确; 因为经验回归直线=3.4x+1.8恒过点(3,12),所以去掉(3,12),剩下4组数据的经验回归方程不会变化,故D正确. 10.CD　对于A,新成对样本数据所对应的, 所以新成对样本数据的经验回归直线必过点(2),故A错误; 对于B,新成对样本数据的经验回归直线的斜率为,所以新成对样本数据的经验回归直线的截距为·2,故B错误; 对于C,新成对样本数据的样本相关系数 r'= ==r, 所以两组数据的样本相关系数相同,故C正确; 对于D,新成对样本数据的决定系数 R'2=1- =1-,又,所以R'2=1-=R2,所以两组数据的决定系数相同,故D正确. 11.AC　对于A,B,设该学校高二年级男生人数为2a,女生人数为a, 则学生中喜欢徒步的男生人数为2a×0.7=1.4a,喜欢徒步的女生人数为0.4a,不喜欢徒步的男生人数为2a×0.3=0.6a,不喜欢徒步的女生人数为0.6a,故A正确,B错误; 对于C,若参加调查的学生总人数为300,则男生有200人,女生有100人,可得2×2列联表如下: 是否喜欢徒步 性别 合计 男 女 喜欢 140 40 180 不喜欢 60 60 120 合计 200 100 300 则χ2==25>6.635, 所以有99%的把握认为喜欢徒步和性别有关,故C正确; 对于D,由A,B中的分析,可得2×2列联表如下: 是否喜欢徒步 性别 合计 男 女 喜欢 1.4a 0.4a 1.8a 不喜欢 0.6a 0.6a 1.2a 合计 2a a 3a 则χ2==0.25a,不能判断0.25a与6.635的大小关系,故D错误. 12.答案　=6.2x+0.018 解析　易得×(0.04+0.05+0.06+0.07+0.08)=0.06, ×(0.25+0.34+0.40+0.46+0.50)=0.39, xiyi=0.04×0.25+0.05×0.34+0.06×0.40+0.07×0.46+0.08×0.50=0.123 2,=0.042+0.052+0.062+0.072+0.082=0.019, 所以=0.39-6.2×0.06=0.018, 所以y关于x的经验回归方程为=6.2x+0.018. 13.答案　-0.998 解析　由题意得,所以=-2×10+59.5,解得m=62,故. 易得=1 192,=7 020, 所以r=≈-0.998. 14.答案　46 解析　依题意,得χ2≥6.635, 故≥6.635, 整理,得(100a-4 000)2≥265 400,即(10a-400)2≥2 654, 因为40≤a≤50且a∈N*,所以10a-400≥, 所以a≥≈45.2,又a=a0,所以a0的最小值为46. 15.解析　(1)由题中的频率分布直方图知,采用甲工艺生产的产品中,耐热等级达到C级的频率为(0.06+0.02)×10=0.8,(2分) ∴估计10月份该企业采用甲工艺生产的产品中,耐热等级达到C级的产品有65×0.8=52万件.(5分) (2)由题中的频率分布直方图知,采用甲工艺生产的产品中,耐热等级达到C级的有50×0.8=40件,则未达到C级的有10件;(7分) 采用乙工艺生产的产品中,耐热等级达到C级的有50×(0.02+0.04)×10=30件,则未达到C级的有20件.(9分) 由此可得表格如下: 合格 不合格 甲 40 10 乙 30 20 ∴χ2=≈4.762>3.841,(12分) ∴有95%的把握认为测试结果与不同的生产工艺有关.(13分) 16.解析　(1)2×2列联表如下: 低于40岁 不低于40岁 总计 有意向购买熏肉大饼 25 50 75 无意向购买熏肉大饼 15 10 25 总计 40 60 100 (3分) 提出假设H0:购买熏肉大饼与人的年龄无关. 易得χ2==≈5.556>3.841,(5分) 因为当H0成立时, χ2≥3.841的概率约为0.05,所以有95%的把握认为购买熏肉大饼与人的年龄有关.(7分) (2)由题意得X~B,(8分) 所以P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==,P(X=3)==,(12分) 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P (13分) E(X)=3×=.(15分) 17.解析　(1)由题表得182.4>79.2,则>,所以模型①的决定系数小于模型②的决定系数,说明模型②的拟合精度更高、更可靠.(2分) 当x=17时,=21.3×-14.4≈21.3×4.1-14.4=72.93,所以预测该企业对产品的研发投入为17亿元时的直接收益为72.93亿元.(4分) (2)当x>17时,由已知得-20==3,-60==7.2,所以=23,=67.2,所以=+0.7=67.2+0.7×23=83.3, 所以当x>17时,y与x满足的经验回归方程为=-0.7x+83.3.(6分) 当x=20时,=-0.7×20+83.3=69.3, 所以当x=20时,实际收益的预测值为69.3+10=79.3亿元, 因为79.3>72.93,所以研发投入20亿元时该企业的实际收益更大.(9分) (3)因为P(0.52-0.02<X≤0.52+0.02)≈0.954 4, 所以P(X>0.50)=0.5+=0.977 2, 所以P(X≤0.50)=1-P(X>0.50)=0.022 8, 因为P(0.52-0.01<X≤0.52+0.01)≈0.682 6, 所以P(X>0.53)=0.5-=0.158 7, 所以P(0.50<X≤0.53)=0.977 2-0.158 7=0.818 5.(13分) 设每件F产品获得的奖励为Y万元,则Y的概率分布为 Y 0 2 5 P 0.022 8 0.818 5 0.158 7 (14分) 所以E(Y)=0×0.022 8+2×0.818 5+5×0.158 7≈2.43. 所以每件F产品获得奖励的数学期望为2.43万元.(15分) 18.解析　(1)记事件A1表示“第一轮成功”,事件A2表示“第一轮失败”, 则P(A1)=×=,P(A2)=1-=; 记事件B1表示“第二轮成功”,事件B2表示“第二轮失败”, 则P(B1)=×=,P(B2)=1-=; 记事件C1表示“第三轮成功”,事件C2表示“第三轮失败”, 则P(C1)=×=,P(C2)=1-=.(3分) 由题意可知X的可能取值为1,2,3, 则P(X=1)=P(A1)=,P(X=2)=P(A2)P(B1)=×=, P(X=3)=P(A2)P(B2)=×=,(6分) 所以X的概率分布为 X 1 2 3 P 所以E(X)=1×+2×+3×=.(8分) (2)xi=(i=1,2,3,4,5),由题知,==100, xiyi=1×256+×100+×66+×48+×30=346, 则=≈=290, =-=100-290×0.46=-33.4, 所以=290x-33.4,则=-33.4.(11分) 当t=6时,=-33.4≈15;当t=7时,=-33.4≈8; 当t=8时,=-33.4≈3;当t=9时,=-33.4≈-1<0, 根据反比例函数的单调性,易知当t≥9时,<0,(15分) 而256+100+66+48+30+15+8+3=526,故预测成功的总人数为526.(17分) 19.解析　(1)设每件产品的销售利润为ξ元,则ξ的所有可能取值为1.5,3.5,5.5,(1分) 由题图1可得,A,B,C三类产品的频率分别为0.15,0.45,0.4, 所以P(ξ=1.5)=0.15,P(ξ=3.5)=0.45,P(ξ=5.5)=0.4, 所以随机变量ξ的概率分布为 ξ 1.5 3.5 5.5 P 0.15 0.45 0.4 所以E(ξ)=1.5×0.15+3.5×0.45+5.5×0.4=4, 所以每件产品的平均销售利润为4元.(5分) (2)①由y=a·xb得,ln y=ln(a·xb)=ln a+bln x, 又因为u=ln x,v=ln y,所以v=ln a+bu, 由题表中的数据可得,===0.25, 则ln =-=-0.25×=4.159,(8分) 因为e4.159=64,所以=64,故y关于x的回归方程为=64.(10分) ②设年收益为z万元,则=4×64-x=256-x,(11分) 设t=,t>0,则f(t)=256t-t4,t>0, 所以f'(t)=256-4t3=4(64-t3),(13分) 当t∈(0,4)时, f'(t)>0, f(t)在(0,4)上单调递增, 当t∈(4,+∞)时, f'(t)<0, f(t)在(4,+∞)上单调递减,(15分) 所以当t=4,即x=256时,取得最大值, 即估计该公司应投入256万元的营销费用,才能使得该产品一年的收益达到最大.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $