9.1.2 一元线性回归模型（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（苏教版）

第9章　统计 9.1　线性回归分析 9.1.2　一元线性回归模型 基础过关练 题组一　经验回归方程及其应用 1.(2025湖北荆州沙市中学月考)用最小二乘法得到一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)的经验回归方程为=2x+3,若xi=30,则yi=(　　) A.11　　　B.13　　　C.63　　　D.78 2.(2025江苏常州北郊高级中学期末)已知由样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,8)组成的样本的经验回归方程为=2x+0.75,且=1.125.增加样本点(-2,5)和(1,3)后,得到新样本的经验回归方程为,则在新的经验回归方程下,样本数据(3,9.3)的残差为(　　) A.1.1　　　B.0.5　　　C.-0.5　　　D.-1.1 3.(多选题)(2024江西师大附中期末)已知某产品的销售额y(单位:万元)与广告费用x(单位:万元)之间的关系如表: x/万元 0 1 2 3 4 y/万元 10 15 m 30 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得y与x的经验回归方程为=6.5x+9,则下列说法正确的是(　　) A.m的值是20 B.该经验回归直线过点(2,22) C.该产品的销售额与广告费用正相关 D.当广告费用为10万元时,销售额一定为74万元 4.(多选题)某课外兴趣小组在探究学习活动中,测得变量x,y的10组成对数据如下表所示: x 165 168 170 172 173 174 175 177 179 182 y 55 89 61 65 67 70 75 75 78 80 由最小二乘法计算得到y关于x的经验回归方程为x,样本相关系数为r1,经过观察散点图,分析残差,把数据(168,89)去掉后,用剩下的9组数据计算得到的经验回归方程为x,样本相关系数为r2,则(　　) A. C.>0 5.(2025河南省实验中学开学考试)为实施乡村振兴,科技兴农,某村建起了田园综合体,并从省城请来专家进行技术指导.根据统计,该田园综合体中的西红柿亩产量的增加量y(单位:千克)与某种液体肥料每亩使用量x(单位:千克)之间的对应数据如表所示. x/千克 2 4 5 6 8 y/千克 300 400 400 400 500 (1)通过计算样本相关系数r来判断是否可用一元线性回归模型拟合y与x的关系(若|r|>0.75,则线性相关程度很高,可以用一元线性回归模型拟合); 参考公式:样本相关系数r=. 参考数据:≈3.16. (2)求y关于x的经验回归方程,并估计当液体肥料每亩使用量为15千克时,西红柿亩产量的增加量. 参考公式:在中,. 题组二　非线性回归分析 6.(2024江苏盐城五校联盟月考)用模型y=aekx拟合一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,2 024),若x1+x2+…+x2 024=2 024,y1y2…y2 024=e20 240,设z=ln y,变换后的经验回归方程为x+6,则ak=　(　　) A.20 240　　　B.6e4　　　C.4e6　　　D.2 024 7.(2025广东梅州质检)某科技公司在人工智能领域逐年加大投入,根据近年来该公司对产品研发年投入额x(单位:百万元)与其年销售量y(单位:千件)的数据,得到散点图如图. 用线性回归模型和指数型回归模型分别进行拟合,得到的决定系数分别为=0.891 3,=0.994 0,则下列模型最适宜拟合y与x之间的关系的为(　　) 参考公式:在经验回归方程中,. 参考数据:令ωi=ln yi. )2 ) ) 3 2.5 0.5 10 12 6 A.y=1.2x-1.1　　　B.y=0.6x-1.3 C.y=e1.2x-1.1　　　D.y=e0.6x-1.3 8.某乡政府为提高当地农民的收入,指导农民种植药材,并取得了较好的效果.以下是某农户2018~2022年种植药材的平均收入的统计数据: 年份 2018 2019 2020 2021 2022 年份代码x 1 2 3 4 5 平均收入y/千元 59 61 64 68 73 (1)根据表中数据,现有y=a+bx与y=c+dx2两种模型可以拟合y与x之间的关系,请分别求出两种模型的回归方程;(结果保留一位小数) (2)统计学中常通过比较残差的平方和来比较两个模型的拟合效果,请根据残差平方和说明上述两个模型哪一个的拟合效果更好,并据此预测2030年该农户种植药材的平均收入. 参考数据:)2=374,其中ti=. 参考公式:经验回归方程中,. 能力提升练 题组一　经验回归方程及其应用 1.(2024河南南阳六校联考)某学习小组对一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,7)进行回归分析,甲同学求出经验回归方程为=3x+2,样本点的中心为(2,m).乙同学对甲的计算过程进行检查,发现甲将数据(4,6)误输成了(6,4),将这两个数据修正后得到经验回归方程为x+4,则=(　　) A. 2.(多选题)(2025江苏部分学校调研)某农科所针对耕种深度x(单位:cm)与水稻每公顷产量(单位:t)的关系进行研究,所得部分数据如下表: 耕种深度x/cm 8 10 12 14 16 18 每公顷产量y/t 6 8 m n 11 12 已知0<m<n,用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程)2=24,数据在样本点(12,m),(14,n)的残差分别为ε1,ε2,则下列正确的是(　　) 参考公式:在经验回归方程中,;样本相关系数r=. 参考数据:变量x与y之间的样本相关系数r=. A.m+n=17　　　B. C.　　　D.ε1+ε2=-1 3.(2024江西新余期末)某地政府为解决空巢老人日常护理和社会照料的困境,大力培育发展养老护理服务市场.从2017年开始新建社区养老机构,下表为该地区2017~2023年新建社区养老机构的数量对照表. 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 新建社区 养老机构 数量y/个 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 (1)若该地区参与社区养老的老人的年龄X近似服从正态分布N(70,16),其中年龄X∈(78,82]的有54人,试估计该地参与社区养老的老人有多少;(结果按四舍五入取整数) (2)已知变量x与y之间的样本相关系数r=,请求出y关于x的经验回归方程,并据此估计2026年该地区新建社区养老机构的数量.(结果按四舍五入取整数) 参考公式与数据:①; ②若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 4; ③=1 597. 4.(2025江苏南通如皋中学月考)自2016年1月1日起,我国全面二孩政策正式实施,这次人口与生育政策的历史性调整,使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿,某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查,得到如下数据: 产假安排时长x/周 14 15 16 17 18 有生育意愿的 家庭数y/户 4 8 16 20 26 (1)请用样本相关系数说明该组数据中变量y与x之间的关系可以用线性回归模型拟合,并求y关于x的经验回归方程; (2)用(1)中所求得的经验回归方程来拟合这组成对数据,当样本数据的残差的绝对值大于1时,称该对数据为一个“次数据”.现从这5个成对数据中任取3个做残差分析,求取到的数据中“次数据”的个数X的概率分布和数学期望. 附:①样本相关系数r=,当|r|∈[0.75,1]时,线性相关程度较强;当|r|∈[0.3,0.75)时,线性相关程度一般. ②在经验回归方程x中,. ③xiyi=1 240,=1 412,≈4.7. 题组二　非线性回归分析 5.(2024广东中山杨仙逸中学月考)某商场推出“云闪付”购物活动,因为推广期内优惠力度较大,所以吸引了越来越多的顾客使用这种支付方式.现统计了活动刚推出一周内每天使用“云闪付”支付的人数,用x表示活动推出的天数,y表示每天使用该支付方式支付的人数,统计数据如下表所示: x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 13 25 40 73 110 201 根据散点图判断,在推广期内,y关于x的回归方程适合用y=c·dx表示. (1)求该回归方程,并预测活动推出第8天使用“云闪付”支付的人数;(lg c,lg d的结果精确到0.01) (2)推广期结束后,商场对顾客的支付方式进行统计,结果如下表: 支付方式 云闪付 会员卡 其他支付方式 比例 30% 30% 40% 商场规定:使用会员卡支付的顾客享8折,使用“云闪付”支付的顾客随机优惠,使用其他支付方式支付的顾客无优惠,根据统计结果得,使用“云闪付”支付的顾客享7折的概率为,享8折的概率为,享9折的概率为.设顾客购买标价为a元的商品支付的费用为X元,根据所给数据用事件发生的频率估计相应事件发生的概率,求X的概率分布及数学期望E(X). 参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 参考数据:设vi=lg yi,vi≈1.59,xivi≈51.30,100.63≈4.27,101.92≈83.18. 6.(2025湖北武汉华中师大一附中检测)红蜘蛛是柚子的主要害虫之一,会对柚子树造成严重伤害,每只红蜘蛛的平均产卵数y(个)和平均温度x(℃)有关.现收集了以往某地的7组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值. 参考数据:设z=ln y. 5 215 17 713 714 27 81.3 3.6 (1)根据散点图判断y=bx+a与y=cedx(其中e=2.718…为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型;(给出判断即可,不必说明理由) (2)由(1)的判断结果及表中数据,求y关于x的回归方程; (3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计,得到以下数据:平均气温在22 ℃以下的年数占60%,红蜘蛛对柚子产量影响不大,不需要采取防虫措施;平均气温在22 ℃至28 ℃的年数占30%,柚子产量会下降20%;平均气温在28 ℃以上的年数占10%,柚子产量会下降50%.为了更好地防治红蜘蛛虫害,农科所研发出各种防害措施供果农选择.在每年价格不变,无虫害的情况下,某果园年产值为200万元,根据以上数据,以得到最高收益(单位:万元)(收益=产值-防害费用)为目标,请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案,并说明理由. 方案1:选择防害措施A,可以防治各种气温的红蜘蛛虫害,费用是18万元; 方案2:选择防害措施B,可以防治22 ℃至28 ℃的红蜘蛛虫害,但无法防治28 ℃以上的红蜘蛛虫害,费用是10万元; 方案3:不采取防虫害措施. 参考公式:在经验回归方程中,. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.D 2.C 3.ABC 4.BCD 6.C 7.D 1.D　∵×30=5, ∵经验回归直线=2x+3一定过点(), ∴+3=2×5+3=13,因此yi=6×13=78. 方法总结 　　经验回归直线不一定过样本点,但一定过样本点的中心(). 2.C　∵xi=1.125×8=9,∴增加样本点(-2,5)和(1,3)后x的平均数为=0.8. ∵对原样本数据,易得yi=3×8=24,∴增加样本点(-2,5)和(1,3)后y的平均数为=3.2,∴新的经验回归直线必过点(0.8,3.2), ∴3.2=3×0.8+,解得=0.8,∴新的经验回归方程为=3x+0.8,当x=3时,=9.8, ∴样本数据(3,9.3)的残差为9.3-9.8=-0.5. 3.ABC　由题表中数据可得,又y与x的经验回归方程为=6.5×2+9,解得m=20,因此A正确; ∵=22,∴该经验回归直线过点(2,22),因此B正确; ∵=6.5>0,∴该产品的销售额与广告费用正相关,因此C正确; 当x=10时,=6.5×10+9=74,故当广告费用为10万元时,销售额约为74万元,因此D错误. 4.BCD　对于10组数据,×(165+168+170+172+173+174+175+177+179+182)=173.5, 因为离群点(168,89)的横坐标168小于平均值173.5,纵坐标89相对较大,所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小而斜率变大,所以,故A错误,B正确; 去掉离群点后,成对样本数据的线性相关程度更强,拟合效果会更好,所以|r1|<|r2|,由题中表格可知,x与y正相关,所以0<r1<r2,>0,所以,故C,D正确. 5.解析　(1)由题表可得=5, =400, 所以)=(-3)×(-100)+(-1)×0+0×0+1×0+3×100=600, )2=(-3)2+(-1)2+02+12+32=20, )2=(-100)2+02+02+02+1002=20 000, 所以r=≈0.95. 因为|r|>0.75,所以可以用一元线性回归模型拟合y与x的关系. (2)结合(1)知,=30, 所以=400-5×30=250,所以=30x+250. 当x=15时,=30×15+250=700, 故估计当液体肥料每亩使用量为15千克时,西红柿亩产量的增加量为700千克. 6.C　对y=aekx的两边同时取以e为底的对数,得ln y=kx+ln a. 因为z=ln y,所以z=kx+ln a, 又x+6,所以=k,ln a=6,则a=e6. 由题意得,ln yi=10, 所以10=+6,解得=4,所以k=4,所以ak=4e6. 7.D　由题意得,所以指数型回归模型最适宜拟合y与x间的关系,故排除A,B. 设y=ebx+a,对其两边同时取以e为底的对数,得ln y=bx+a. 又ω=ln y,所以ω=bx+a, =0.5-0.6×3=-1.3, 所以=0.6x-1.3,所以模型y=e0.6x-1.3符合题意. 8.解析　(1)由题表得×(59+61+64+68+73)=65, 所以)2=10, 所以=65-3.5×3=54.5,所以=3.5x+54.5. 由题知,t=x2,则y=c+dx2=c+dt, 易得×(12+22+32+42+52)=11, ≈0.6, 则=65-0.6×11=58.4,所以=0.6x2+58.4. 故两种模型的回归方程分别为=0.6x2+58.4. (2)对于模型y=3.5x+54.5,其残差平方和为(59-58)2+(61-61.5)2+(64-65)2+(68-68.5)2+(73-72)2=3.5. 对于模型y=0.6x2+58.4,其残差平方和为(59-59)2+(61-60.8)2+(64-63.8)2+(68-68)2+(73-73.4)2=0.24. 因为0.24<3.5,所以模型y=0.6x2+58.4的拟合效果更好. 当x=13时,=0.6×132+58.4=159.8, 故预测2030年该农户种植药材的平均收入为159.8千元. 能力提升练 1.D　由题意可得m=3×2+2=8, 假设甲输入的(x1,y1)为(6,4),则6+x2+x3+…+x7=2×7=14,4+y2+y3+…+y7=8×7=56,所以x2+x3+…+x7=8,y2+y3+…+y7=52, 将(6,4)改为(4,6)后,有4+x2+x3+…+x7=12,6+y2+y3+…+y7=58,所以,所以修正后样本点的中心为, 将x+4,得+4,解得. 2.ABD　对于A,因为=24,所以=81,所以=9,所以=9,所以m+n=17,故A正确. 对于B,=13,所以)2=(8-13)2+(10-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2+(18-13)2=70,又r=,所以=40, 所以,故B正确. 对于C,,故C错误. 对于D,由以上分析得, ε1=m-, 所以ε1+ε2=m+n-18=-1,故D正确. 3.解析　(1)由题意可知,μ=70,σ=4,则78=μ+2σ,82=μ+3σ, 所以P(78<X≤82)=P(μ+2σ<X≤μ+3σ) =[P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)-P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)] ≈=0.021 5, 所以估计该地参与社区养老的老人人数为≈2 512. (2)由题表中的数据可得=4, 所以)2=(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28, 由已知条件可得r=, 所以, 所以, 因为=1 597-7=225,所以=196, 显然≥0,所以=14,则, 所以y关于x的经验回归方程为, 当x=10时,=25.25≈25, 故2026年该地区新建社区养老机构的数量约为25个. 4.解析　(1)由题表得×(4+8+16+20+26)=14.8, )2=(14-16)2+(15-16)2+(16-16)2+(17-16)2+(18-16)2=10, 所以r= = =≈0.993. 因为|r|≈0.993>0.75,所以线性相关程度很强,所以变量y与x之间的关系可以用线性回归模型拟合. 易得=5.6, =14.8-5.6×16=-74.8, 所以y关于x的经验回归方程为=5.6x-74.8. (2)由题意及(1)得, 产假安排时长x/周 14 15 16 17 18 有生育意愿的家庭数y/户 4 8 16 20 26 预测值 3.6 9.2 14.8 20.4 26 残差的绝对值 0.4 1.2 1.2 0.4 0 是不是“次数据” 不是 是 是 不是 不是 由上表得,“次数据”有2个,非“次数据”有3个,则X的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)=, 所以X的概率分布为 X 0 1 2 P 所以E(X)=0×. 5.解析　(1)y=c·dx两边同时取对数,得lg y=lg c+xlg d. 设v=lg y,b=lg d,a=lg c,则v=a+bx. 易得=140, 所以≈0.24, 所以回归方程为, 将样本点的中心(4,1.59)代入,得1.59=0.24×4+,解得=0.63,所以=0.24x+0.63, 所以lg =0.24x+0.63, 所以回归方程为=100.24x+0.63=100.63×100.24x. 当x=8时,=100.63×100.24×8≈4.27×83.18≈355. 故预测活动推出第8天使用“云闪付”支付的人数为355. (2)X的所有可能取值为0.7a,0.8a,0.9a,a. P(X=0.7a)=30%×=0.1, P(X=0.8a)=30%+30%×=0.35, P(X=0.9a)=30%×=0.15, P(X=a)=40%=0.4, 所以X的概率分布为 X 0.7a 0.8a 0.9a a P 0.1 0.35 0.15 0.4 所以E(X)=0.7a×0.1+0.8a×0.35+0.9a×0.15+a×0.4=0.885a. 6.解析　(1)由题图可以判断,y=cedx更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型. (2)对y=cedx两边同时取自然对数,得ln y=ln c+dx,设z=ln y,则z=dx+ln c. 易得=5 215-7×272=112,所以=0.3, 所以ln =3.6-0.3×27=-4.5, 所以=0.3x-4.5,即ln =0.3x-4.5, 所以y关于x的回归方程为=e0.3x-4.5. (3)用X1,X2,X3分别表示选择方案1,方案2,方案3的收益. 采用方案1,无论平均温度如何,产值不受影响,收益为200-18=182万元,即X1=182,所以E(X1)=182. 采用方案2,若不发生28 ℃以上的红蜘蛛虫害,则收益为200-10=190万元;若发生28 ℃以上的红蜘蛛虫害,则收益为200×50%-10=90万元 , 即X2= 所以E(X2)=190×P(X2=190)+90×P(X2=90)=190×0.9+90×0.1=171+9=180. 采用方案3, 同理得X3= 所以E(X3)=200×P(X3=200)+160×P(X3=160)+100×P(X3=100)=200×0.6+160×0.3+100×0.1=178. 因为E(X1)>E(X2)>E(X3),所以选择方案1最佳. 24 学科网（北京）股份有限公司 $