第9章 统计 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（苏教版）

本章复习提升 易混易错练 易错点1　选错回归模型致错 1.(2024江苏常州高级中学期末)某公司为了了解年研发资金投入金额x(单位:亿元)对年销售额y(单位:亿元)的影响,对公司近12年的年研发资金投入金额和年销售额的数据进行了对比分析,建立了两个模型:①y=α+βx2,②y=eλx+t,其中α,β,λ,t均为常数,e为自然对数的底数,并得到一些统计量的值.令ui=,vi=ln yi,i=1,2,3,…,12,经计算得如下数据: )2 )2 22 66 77 2 )2 )2 460 5 31 250 3.08 ) ) 220 14 (1)请从样本相关系数的角度,分析哪一个模型拟合效果更好; (2)根据(1)中分析及表中数据,求y关于x的回归方程. 附:样本相关系数r=;经验回归方程x中,的计算公式分别为. 2.(2025山东潍坊青州第一中学月考)经观测,长江中某些鱼类的产卵数y与温度x有关,现将收集到的温度xi和产卵数yi(i=1,2,…,10)的10组观测数据做了初步处理,得到如下散点图及统计量. xi ti yi zi 360 54.5 1 360 44 )2 )2 ) 384 3 588 ) ) 32 6 430 表中ti=,zi=ln yi,zi. (1)根据散点图判断,y=a+bx(a,b为常数),y=n+m(x≥0,n,m为常数)与y=c1(c1,c2为常数,且c1>0,c2≠0)哪一个更适宜作为y与x之间的回归模型(给出判断即可,不必说明理由),并求出y关于x的回归方程; (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵,已知第一批中共有6个鱼卵,其中死卵有2个;第二批中共有8个鱼卵,其中死卵有3个.现随机挑选一批,然后从该批次中随机取出2个鱼卵,求取出的死卵的个数的概率分布及数学期望. 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归直线u的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 易错点2　用错公式致错 3.(2024河南新乡联考)根据变量x,y的一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,10)得到其经验回归方程为=2x-0.4,且=2.去除两个样本数据(-3,-1)和(3,-3)后,得到新的经验回归直线的斜率为3,则样本数据(4,8)对应的残差为(　　) A.1.5　　　B.-1　　　C.-1.5　　　D.1 4.(2024江苏淮安马坝高级中学学情调研)某商场统计了2022年1月~5月某商品的线上月销售量y(单位:千件)与售价x(单位:元/件)的情况如下表所示. 月份 1 2 3 4 5 售价x/ (元/件) 60 56 58 57 54 线上月销售 量y/千件 5 9 7 10 9 (1)求样本相关系数r,并说明是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系(当|r|∈[0.75,1]时,可以认为两个变量有很强的线性相关关系;否则,没有很强的线性相关关系);(结果精确到0.01) (2)建立y关于x的经验回归方程,并估计当售价为55元/件时,该商品的线上月销售量为多少千件; (3)若每件商品的进价为(0.5x+25)元,不考虑其他费用,由(2)中结论,当商品售价为多少时,可使得该商品的月利润最大?(结果保留整数) 5.为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果,需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内,一段时间后测量小白鼠的某项指标值,按[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组,绘制频率分布直方图如图所示,试验发现小白鼠体内产生抗体的有160只,其中该项指标值不小于60的有110只,假设小白鼠每次注射疫苗后是否产生抗体相互独立. (1)填写下面的2×2列联表,并根据列联表及独立性检验,判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关; 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 (2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性,对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次疫苗注射,结果有20只小白鼠产生抗体. ①用频率估计概率,求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p; ②以①中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率,进行人体接种试验,记n个人均注射2次疫苗后产生抗体的人数为X.试验后统计数据显示,P(X=99)最大,求参加人体接种试验的人数n. 参考公式: χ2=,其中n=a+b+c+d. 参考数据: P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 思想方法练 一、数形结合思想在统计中的应用 1.(多选题)某小卖部5天内卖出热茶的杯数y与当天气温x(单位:℃)的数据如下表所示: 气温x/℃ 4 7 10 13 17 杯数y 50 35 37 33 24 若去掉气温为7 ℃时的数据,则下列说法正确的有(　　) A.决定系数R2变大 B.变量x与y的相关程度变弱 C.样本相关系数r的绝对值变大 D.当气温为11 ℃时,估计卖出热茶的杯数为35 2.某企业新研发了一种产品,产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每批产品的非原料总成本(单位:元)y与生产该产品的数量(单位:千件)x有关,经统计得到如下数据: x/千件 1 2 3 4 5 6 7 y/元 6 11 21 34 66 101 196 (1)根据上述数据,y=a+bln x与y=c·dx(c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为非原料总成本y关于生产该产品的数量x的回归方程类型? (2)根据(1)的判断结果及表中的数据,建立y关于x的回归方程; (3)已知每件产品的原料成本为10元,若该产品的生产总成本不得高于123 470元,请估计最多能生产多少千件该产品. 参考数据: xiyi xivi 100.54 4 62.14 1.54 140 2 535 50.12 3.47 其中vi=lg yi,vi. 参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归直线u的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 二、转化与化归思想在统计中的应用 3.(2024江苏南通适应性考试)随着科技的发展,手机的功能已经非常强大,各类App让用户的生活质量得到极大的提升,但是大量的青少年却沉迷于手机游戏,不良游戏极大地毒害了青少年的身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏,适度参与益脑游戏,某游戏公司开发了一款益脑游戏App,在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间,如下表: 关卡x 1 2 3 4 5 6 平均过关 时间y/秒 50 78 124 121 137 352 (1)通过分析,可用模型y=aebx(a为大于零的常数)拟合y与x的关系,试求y关于x的回归方程; (2)甲和乙约定举行对战赛,每局比赛通关用时少的人获胜(假设甲、乙都能通关),两人约定先胜4局者赢得比赛.已知甲每局获胜的概率为,乙每局获胜的概率为,若前3局中甲胜2局,乙胜1局,求甲最终赢得比赛的概率. 参考公式:对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 参考数据:ui≈28.67,xiui≈106.05,其中ui=ln yi. 答案与分层梯度式解析 易混易错练 1.解析　(1)设模型①和②的样本相关系数分别为r1,r2. 由题意可得,r1==0.88, r2=≈0.91, 所以|r1|<|r2|,由样本相关系数的性质可得,模型②的拟合效果更好. (2)因为y=eλx+t,所以ln y=λx+t, 由题知,v=ln y,则v=λx+t, 可得×22=1,所以v关于x的经验回归方程为x+1, 即y关于x的回归方程为. 易错警示 　　从题中所给多个模型中选择一个最合适的模型时,常因选择的不是最佳模型而导致错误.产生错误的原因一般有两种:一是根据散点图判断时,由于题中所给散点的个数不多,造成错误判断;二是对数据的分析过于简单,比如仅从变量的增减进行判断,缺乏对线性与非线性、增减快与慢的分析等. 2.解析　(1)根据题中的散点图,选择合适的回归方程模型,体现了数形结合思想. 根据题中的散点图判断,y=c1更适宜作为y与x之间的回归模型. 由题知,z=ln y,则z=c2x+ln c1, ,ln ,所以, 所以y关于x的回归方程为. (2)由题意,设随机挑选一批,取出2个鱼卵,其中死卵个数为ξ,则ξ的可能取值为0,1,2, 设事件Ai=“所取2个鱼卵来自第i批”(i=1,2),则P(A1)=P(A2)=, 设事件Bj=“所取2个鱼卵中有j个死卵”(j=0,1,2), 由全概率公式得, P(ξ=0)=P(A1)P(B0|A1)+P(A2)P(B0|A2)=, P(ξ=1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)=, P(ξ=2)=P(A1)P(B2|A1)+P(A2)P(B2|A2)=, 所以ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 P 所以E(ξ)=0×. 3.C　将=2代入=2x-0.4,得=2×2-0.4=3.6, 去除两个样本数据(-3,-1)和(3,-3)后,=5,又新的经验回归直线的斜率为3,所以其截距,故新的经验回归方程为,当x=4时,,则样本数据(4,8)对应的残差为8-=-1.5. 易错警示 　　经验回归直线必过样本点的中心,残差=观测值-估计值,解题时防止记错公式导致错误. 4.解析　(1)由题表中的数据,得=8, 则, =4, )=3×(-3)+(-1)×1+1×(-1)+0×2+(-3)×1=-14, 所以r=≈-0.78, 因为|r|>0.75,所以y与x有很强的线性相关关系,可以用线性回归模型拟合y与x的关系. (2)设y关于x的经验回归方程为, =-0.7, =8-(-0.7)×57=47.9, 所以y关于x的经验回归方程为=-0.7x+47.9, 当x=55时,=-0.7×55+47.9=9.4, 故当售价为55元/件时,该商品的线上月销售量约为9.4千件. (3)设该商品的月利润为Z元,则Z=1 000(x-0.5x-25)×(-0.7x+47.9)=50(-7x2+829x-23 950), 当x=≈59时,Z取得最大值. 故当商品售价为59元/件时,可使得该商品的月利润最大. 易错警示 　　决定系数R2,样本相关系数r以及经验回归方程中的公式很相似,使用时首先要分清公式结构,不要弄混,其次数字计算都较为复杂,计算时需仔细. 5.解析　(1)由题中的频率分布直方图,知200只小白鼠按指标值分布如下: 在[0,20)内的有0.002 5×20×200=10只; 在[20,40)内的有0.006 25×20×200=25只; 在[40,60)内的有0.008 75×20×200=35只; 在[60,80)内的有0.025×20×200=100只; 在[80,100]内的有0.007 5×20×200=30只. 由题意知有抗体且指标值小于60的有50只, 而指标值小于60的小白鼠共有10+25+35=70只, 所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只, 同理,指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只, 故2×2列联表如下: 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计 70 130 200 提出假设H0:注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关. 根据列联表中的数据,得χ2=≈4.945>3.841, 因为当H0成立时, χ2≥3.841的概率约为0.05, 所以我们有95%的把握认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关. (2)①设事件A=“小白鼠第一次注射疫苗后产生抗体”,事件B=“小白鼠第二次注射疫苗后产生抗体”,事件C=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”, 则P(A)==0.5, P(C)=P(A)+P()P(B)=0.8+0.2×0.5=0.9, 所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p=0.9. ②由题意知随机变量X~B(n,0.9), P(X=k)=×0.9k×0.1n-k(k=0,1,2,…,n), 因为P(X=99)最大, 所以 解得109≤n≤, 又因为n是整数,所以n=109或n=110, 所以参加人体接种试验的人数n为109或110. 易错警示 　　注意χ2的计算公式中a,b,c,d要准确对应,不要弄混. 思想方法练 1.AC　根据题表作出散点图,如图所示. 由图可知,去掉样本点(7,35)后,变量x与y的相关程度变强,故决定系数R2变大,故A正确,B错误; 因为x与y的相关程度变强,所以样本相关系数r的绝对值变大,故C正确; 设去掉样本点(7,35)后,y关于x的经验回归方程为, =36, xi'yi'=4×50+10×37+13×33+17×24=1 407, x'2i =42+102+132+172=574, 所以≈-1.97, '=36+1.97×11=57.67, 所以y关于x的经验回归方程为=-1.97x+57.67, 当x=11时,=-1.97×11+57.67=36, 故当气温为11 ℃时,估计卖出热茶的杯数为36,故D错误. 2.解析　(1)根据题表中数据作出散点图,如图所示. 由图可知,y=c·dx(c,d均为大于零的常数)适宜作为非原料总成本y关于生产该产品的数量x的回归方程类型. (2)对y=c·dx两边同时取常用对数,得lg y=lg c+xlg d. 由题知,v=lg y,∴v=lg c+xlg d, lg =0.25, lg lg =1.54-4×0.25=0.54, ∴=0.54+0.25x,∴lg =0.54+0.25x, ∴=100.54+0.25x=3.47×100.25x, 即y关于x的回归方程为=3.47×100.25x. (3)设生产了x千件该产品,生产总成本为g(x)元,则g(x)=3.47×100.25x+x×10×1 000=3.47×100.25x+10 000x, 易知g(x)=3.47×100.25x+10 000x在其定义域内单调递增,且g(12)=3.47×103+120 000=123 470, ∴估计最多能生产12千件该产品. 思想方法 　　数形结合思想是一种非常重要的思想方法,就是把“数”与“形”巧妙地结合起来,充分应用“形”的直观性、“数”的严密性与准确性,使抽象问题直观化、复杂问题简单化,从而使问题得到解决. 3.解析　(1)通过换元,将y=aebx转化为经验回归方程,进而利用公式求解. 由y=aebx,得ln y=ln a+bx, 由题知,u=ln y,则u=ln a+bx, 由已知,得≈4.78,=12+22+32+42+52+62=91, ∴=0.324, ln =4.78-0.324×3.5=3.646, ∴ln =3.646+0.324x, ∴=e0.324x+3.646. (2)记“甲最终赢得比赛”为事件A,则事件A包含三种情况: ①接下去进行两局比赛,甲都赢了; ②接下去进行三局比赛,乙在前两局胜了其中一局,甲赢了剩余两局; ③接下去进行四局比赛,乙在前三局胜了其中两局,甲赢了剩余两局, ∴P(A)=, ∴甲最终赢得比赛的概率为. 思想方法 　　转化与化归思想在本章中的应用主要体现在解决非线性回归问题,即两个变量不是线性相关关系时,利用变量间的转换,把非线性回归问题转化为线性回归问题加以解决. 22 学科网（北京）股份有限公司 $