9.2 独立性检验（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（苏教版）

第9章　统计 9.2　独立性检验 基础过关练 题组一　2× 2列联表 1.(2024吉林白城通榆一中期中)已知甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于或等于85分为优秀,85分以下为非优秀,得到如下列联表: 优秀 非优秀 总计 甲班 10 b 乙班 c 30 总计 105 已知在105人中随机抽取1人,成绩优秀的概率为,则下列说法正确的是(　　) A.列联表中c的值为30,b的值为35 B.列联表中c的值为15,b的值为50 C.列联表中c的值为20,b的值为50 D.由列联表可以看出成绩与班级有关系 2.某次国际会议为了搞好对外宣传工作,会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作,在如下“性别与是否会外语”的2×2列联表中,d=　　　　　.  会外语 不会外语 合计 男 a b 20 女 6 d 合计 18 50 题组二　独立性检验及其应用 3.(2024江西九江同文中学期末)假设有两个变量X和Y,它们的取值集合分别为{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列联表如下. y1 y2 x1 a b x2 c d 根据以下选项中的数据计算χ2的值,其中χ2的值最大的一组为(　　) A.a=60,b=50,c=40,d=30 B.a=60,b=40,c=50,d=30 C.a=40,b=30,c=50,d=60 D.a=30,b=40,c=50,d=60 4.(多选题)(2024江苏南通期中)某高校有在校学生9 000名,其中男生4 000名,女生5 000名,为了解学生每天自主学习中国古典文学的时长,随机调查了40名男生和50名女生,其中每天自主学习中国古典文学的时长超过3小时的学生称为“古文迷”,否则为“非古文迷”,调查结果如下表,则(　　) 古文迷 非古文迷 男生 20 20 女生 40 10 参考公式及数据: χ2=,其中n=a+b+c+d. P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010 x0 0.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635 A.该校某名学生为“古文迷”的概率为0.6 B.随机调查的男、女生人数符合分层抽样的抽样方法 C.有99%的把握认为学生是不是“古文迷”与性别有关系 D.没有99%的把握认为学生是不是“古文迷”与性别有关系 5.(2024黑龙江哈尔滨模拟)某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关,先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(单位:分,满分为100分),剔除平均分在30分以下的学生后,共有男生300名,女生200名,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,按性别分为两组,并将两组学生成绩分为6组,得到如下频数分布表. 分数段 [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100] 男生 3 9 18 15 6 9 女生 6 4 5 10 13 2 (1)估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表),从计算结果看,能否认为数学成绩与性别有关? (2)规定80分以上(含80分)为优分,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“数学成绩是否优分与性别有关”. 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. P(χ2≥x0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 6.(2025江苏扬州调研)社会生活日新月异,看纸质书的人越来越少,更多的年轻人(35岁及以下)喜欢阅读电子书籍,而年长者(35岁以上)更喜欢阅读纸质书.现在某书店随机抽取60名顾客进行调查,得到了如下列联表: 年长者 年轻人 总计 喜欢阅读电子书 24 30 喜欢阅读纸质书 12 总计 60 (1)请将上面的列联表补充完整,并判断是否有90%的把握认为是否喜欢阅读电子书与年龄有关; (2)若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取7人,再从抽取的7人中随机抽取3人,求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的概率分布及数学期望. 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.010 0.005 x0 2.706 3.841 6.635 7.879 能力提升练 题组　独立性检验的综合应用 1.(多选题)(2024湖北八市联考)某校为了解高一新生对数学是否感兴趣,从400名女生和600名男生中通过分层抽样的方式随机抽取了100名学生进行问卷调查,将调查的结果进行统计,得到如下条形图和列联表,则(　　) 对数学的兴趣 合计 感兴趣 不感兴趣 性别 女生 a b a+b 男生 c d c+d 合计 a+c b+d 100 参考数据: P(χ2≥x0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.表中a=12,c=30 B.可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生比男生多 C.有95%的把握认为性别与对数学的兴趣有关 D.有99%的把握认为性别与对数学的兴趣有关 2.(2024山东潍坊昌邑第一中学月考)为了调查学生是否喜欢网络课程,研究人员随机调查了相同人数的男、女学生,发现男生中有80%喜欢网络课程,女生中有40%不喜欢网络课程,且有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关,但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关.已知被调查的男、女学生的总人数为20k(k∈N+),则k=　　　　.  附:χ2=,其中n=a+b+c+d. P(χ2≥x0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 3.(2024江西吉安期末)某校对学生餐厅的就餐环境、菜品种类与质量等方面进行了改造与提升,随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分(满分100分)调查,调查结果统计如下表: 评分分组 70分以下 [70,80) [80,90) [90,100] 男生 3 27 38 32 女生 5 35 34 26 学校规定:评分大于或等于80分为满意,小于80分为不满意. (1)由以上数据完成下面的2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联; 满意 不满意 总计 男生 女生 总计 (2)从男生、女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人进行座谈调研,记X为3人中男生的人数,求X的概率分布及数学期望. 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. P(χ2≥x0) 0.1 0.05 0.01 x0 2.706 3.841 6.635 4.(2024江苏泰州兴化中学期末)为培养学生的阅读习惯,某学校规定所有学生每天在校阅读时长不得少于1小时.若认为每天在校阅读时长不少于1小时为达标,达到2小时的学生为“阅读之星”.假设该校学生每天在校阅读时长X~N(1.5,σ2)(X的单位:小时),达标学生是“阅读之星”的概率为. (1)从该校学生中随机选出1人,求其达标的概率; (2)为进一步了解该校学生不达标是否与性别有关,随机调查了90名学生,其中男生占,已知不达标的人数恰是其均值,且不达标的学生中男生占,是否有99%的把握认为不达标与性别有关? 参考公式: χ2=,其中n=a+b+c+d. 参考数据: P(χ2≥x0) 0.050 0.025 0.010 0.001 x0 3.841 5.024 6.635 10.828 5.(2025江苏南京大学附属中学月考)某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动,为了调查学生对本次活动的满意度,从该校学生中随机抽取一个容量为m(m∈N*)的样本进行调查,调查结果如下表: 满意 不满意 合计 男生 m m 女生 合计 m (1)完成上面的列联表,若有不少于99%的把握认为“性别与满意度有关系”,求样本容量m的最小值; (2)假设本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目,至少答对2道题目则晋级,否则被淘汰.某年级有20名同学进入晋级环节,根据统计,每人答对第1题、第2题、第3题的概率分别为,且3道题目答对与否互不影响. (i)用X表示这20人中晋级的人数,求E(X); (ii)记这20人中有k(k∈N)人晋级的概率为P(k),求P(k)取得最大值时的k的值. 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. P(χ2≥x0) 0.1 0.05 0.01 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 10.828 6.(2025江苏南通海安高级中学月考)为了测试一种新药对某种疾病的治疗效果,研究人员对一地区某种动物种群(数量较大)进行试验,从该试验种群中随机抽查了80只,得到如下的样本数据(单位:只): 发病 没发病 合计 使用药物 10 30 40 没使用药物 25 15 40 合计 35 45 80 (1)是否有99.9%的把握认为该药物与预防该疾病有关? (2)从该地区此动物群中任取一只,用事件A表示此动物发病,表示此动物没发病,B表示此动物使用药物,定义事件A的优势R1=,在事件B发生的条件下A的优势R2=,证明:,并利用表中数据求出的值; (3)若把表中的频率视为概率,现从该地区没发病的动物中抽取3只动物,记抽取的3只动物中使用药物的只数为X,求随机变量X的概率分布及数学期望. 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 7.(2025江苏南京中华中学月考)某学校有甲、乙、丙三家餐厅,分布在生活区的南、北两个区域,其中甲、乙餐厅在南区,丙餐厅在北区,各餐厅菜品丰富多样,可以满足学生的不同口味和需求. (1)现对学生性别与在南、北两个区域就餐的相关性进行分析,得到下表所示的抽样数据,是否有90%的把握认为在不同区域就餐与学生性别有关联? 就餐区域 南区 北区 性别 男 25 15 女 15 5 (2)张同学选择餐厅就餐时,如果前一天去甲餐厅,那么后一天去甲、乙餐厅的概率均为;如果前一天去乙餐厅,那么后一天去甲、丙餐厅的概率分别为;如果前一天去丙餐厅,那么后一天去甲、乙餐厅的概率均为.张同学第1天选择甲、乙、丙餐厅就餐的概率分别为. (i)求张同学第2天去乙餐厅就餐的概率; (ii)求张同学第n(n∈N*)天去甲餐厅就餐的概率pn. 附:χ2=,n=a+b+c+d. P(χ2≥x0) 0.100 0.050 0.025 0.010 x0 2.706 3.841 5.024 6.635 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.D 3.C 4.BC 1.D　依题意,得,解得c=20,由10+b+20+30=105,得b=45. 补全列联表如下: 优秀 非优秀 总计 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 总计 30 75 105 甲班的优秀率为,乙班的优秀率为, ,所以成绩与班级有关系. 2.答案　24 解析　由题意得 3.C　对于A, ; 对于B, ; 对于C, ; 对于D, . 显然最大,故C正确. 4.BC　由题表中数据知,该校某名学生为“古文迷”的概率为≠0.6,A错误. 男生共4 000名,女生共5 000名,随机调查了40名男生和50名女生,4 000∶5 000=40∶50,符合分层抽样的抽样方法,B正确. 提出假设H0:学生是不是“古文迷”与性别无关,由题表中数据得χ2==9,因为当H0成立时, χ2≥6.635的概率约为0.01,所以我们有99%的把握认为学生是不是“古文迷”与性别有关系,故C正确,D错误. 5.解析　(1)由题意得抽取男生人数为×100=60,抽取女生人数为100-60=40, 男生的平均分×(45×3+55×9+65×18+75×15+85×6+95×9)=71.5分, 女生的平均分×(45×6+55×4+65×5+75×10+85×13+95×2)=71.5分, 故,因此不能认为数学成绩与性别有关. (2)由频数分布表可知,在抽取的100名学生中,男生中分数为优分的有15人,女生中分数为优分的有15人,据此可得2×2列联表如下: 优分 非优分 合计 男生 15 45 60 女生 15 25 40 合计 30 70 100 提出假设H0:数学成绩是否优分与性别无关, 由表中数据得χ2=≈1.786<2.706, 所以没有90%的把握认为“数学成绩是否优分与性别有关”. 6.解析　(1)2×2列联表如下: 年长者 年轻人 总计 喜欢阅读电子书 6 24 30 喜欢阅读纸质书 12 18 30 总计 18 42 60 提出假设H0:是否喜欢阅读电子书与年龄无关,由表中数据得χ2=≈2.857>2.706, 因为当H0成立时, χ2≥2.706的概率约为0.1, 所以有90%的把握认为是否喜欢阅读电子书与年龄有关. (2)由题意得,抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数为4,喜欢阅读纸质书的年轻人人数为3,所以X的所有取值为0,1,2,3. P(X=0)=, P(X=2)=, 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)=0×. 能力提升练 1.AC　由题可知,抽取的男生人数为600×=60,抽取的女生人数为400×=40,由题中条形图知,抽取的男生中感兴趣的人数为60×0.5=30,不感兴趣的人数为60×0.5=30,抽取的女生中感兴趣的人数为40×0.3=12,不感兴趣的人数为40×0.7=28, 故2×2列联表如下: 对数学的兴趣 合计 感兴趣 不感兴趣 性别 女生 12 28 40 男生 30 30 60 合计 42 58 100 由此表可知,a=12,c=30,故A正确; 用样本估计总体,可知该校高一新生中,对数学不感兴趣的女生人数约为400×=280,对数学不感兴趣的男生人数约为600×=300, 所以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生比男生少,故B错误; 提出假设H0:性别与对数学的兴趣无关, 易得χ2=≈3.941>3.841, 因为当H0成立时,χ2≥3.841的概率约为0.05,所以有95%的把握认为性别与对数学的兴趣有关,故C正确; 由C中分析知χ2≈3.941<6.635, 所以没有99%的把握认为性别与对数学的兴趣有关,故D错误. 2.答案　5或6 解析　根据题意,2×2列联表为 是否喜欢网络课程 合计 喜欢 不喜欢 性别 男生 8k 2k 10k 女生 6k 4k 10k 合计 14k 6k 20k 提出假设H0:喜欢网络课程与性别无关, 由表中数据得χ2=. 因为有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关,但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关, 所以3.841≤<6.635,所以4.033 05≤k<6.966 75, 又k∈N*,所以k=5或k=6. 3.解析　(1)由题意得2×2列联表为 满意 不满意 总计 男生 70 30 100 女生 60 40 100 总计 130 70 200 提出假设H0:学生的就餐满意度与性别无关, χ2=≈2.198<2.706, 所以没有90%的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联. (2)由已知得X的所有可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=, P(X=2)=, 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 则E(X)=0×. 4.解析　(1)从该校学生中随机选出1人,记其达标为事件A,是“阅读之星”为事件B, 由题意得P(A)=P(X≥1),P(B)=P(AB)=P(X≥2), 所以P(B)=1-P(A), 又达标学生是“阅读之星”的概率为, 所以P(B|A)=,解得P(A)=, 即从该校学生中随机选出1人,其达标的概率为. (2)依题意,随机调查的90名学生中,男生人数为40,女生人数为50. 设这90名学生中,不达标的学生人数为Y. 由(1)知,不达标的概率为,则Y~B, 所以E(Y)=90×=18,即不达标的人数为18. 因为不达标的学生中有是男生,所以不达标的男生人数为3,不达标的女生人数为15,则达标的男生人数为37,达标的女生人数为35,得到如下2×2列联表: 男生 女生 合计 达标 37 35 72 不达标 3 15 18 合计 40 50 90 提出假设H0:不达标与性别无关, χ2==7.031 25>6.635. 因为当H0成立时, χ2≥6.635的概率约为0.01,所以有99%的把握认为不达标与性别有关. 5.解析　(1)由题意得2×2列联表如下: 满意 不满意 合计 男生 m m m 女生 m m m 合计 m m m 提出假设H0:性别与满意度没有关系. 易得χ2=. 由题意得χ2=≥6.635,解得m≥82.937 5. 由题意得,m为30的整数倍,所以m的最小值为90. (2)(i)用事件A1表示答对第1题,A2表示答对第2题,A3表示答对第3题,B表示该年级的20名同学中任意一人晋级, 则P(A1)=,则P(B)=P(A1A2A3)+P() =. 由题意得,X~B,所以E(X)=20×. (ii)易得P(k)=,k=0,1,2,3,…,20, 由题意得 解得≤k≤,所以k=12,故P(k)取得最大值时的k的值为12. 6.解析　(1)提出假设H0:该药物与预防该疾病无关, 根据题表得χ2=≈11.429>10.828, 因为当H0成立时, χ2≥10.828的概率约为0.001, 所以有99.9%的把握认为该药物与预防该疾病有关. (2). 由题表中数据可知,P(B|A)=, 则. (3)从该地区没发病的动物中任取1只,其使用药物的概率为,则X~B, X的所有可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=, 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P E(X)=3×=2. 7.解析　(1)提出假设H0:在不同区域就餐与学生性别没有关联, 易得χ2==0.937 5<2.706, 所以没有90%的把握认为在不同区域就餐与学生性别有关联. (2)设Ai=“第i天去甲餐厅就餐”,Bi=“第i天去乙餐厅就餐”,Ci=“第i天去丙餐厅就餐”,i=1,2,…,n,则Ai,Bi,Ci两两相互独立. 由题意得P(A1)=P(B1)=, P(Ai+1|Ci)=. (i)易知B2=A1B2+C1B2, 所以P(B2)=P(A1B2+C1B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(C1)·P(B2|C1)=, 即张同学第2天去乙餐厅就餐的概率为. (ii)设张同学第n(n∈N*)天去乙、丙餐厅就餐的概率分别为qn,rn,则p1=q1=. 当n≥2时,由全概率公式得 pn=P(An)=P(An-1An+Bn-1An+Cn-1An) =P(An-1An)+P(Bn-1An)+P(Cn-1An) =P(An-1)P(An|An-1)+P(Bn-1)P(An|Bn-1)+P(Cn-1)·P(An|Cn-1), 所以pn=rn-1(n≥2)①. 同理,得qn=rn-1(n≥2)②,rn=qn-1(n≥2)③,pn+qn+rn=1④. 由①②得pn=qn+qn-1(n≥2), 由④得pn-1=1-qn-1-rn-1(n≥2),代入②,得qn=qn-1(n≥2),即qn-(n≥2), 又q1-≠0, 所以数列是首项为-,公比为-的等比数列, 所以qn-,即qn=, 所以当n≥2时,pn=qn+; 当n=1时,p1=,不满足上式. 综上,pn= 25 学科网（北京）股份有限公司 $