7.2 排列（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（苏教版）

第7章　计数原理 7.2　排列 基础过关练 题组一　对排列的概念的理解 1.(2025广东东莞中学段考)下列问题不属于排列问题的是(　　) A.从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B.从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C.从10个不同的质数中取2个数求其商 D.从5,6,7三个数字中取两个组成一个两位数 2.(多选题)从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,下列问题属于排列问题的是(　　) A.相加可得多少个不同的和 B.相除可得多少个不同的商 C.作为椭圆方程=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆 D.作为双曲线方程=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线 题组二　排列数与排列数公式 3.(2024江苏淮安淮阴中学阶段测试)若1≤n≤10且n∈N*,则(11-n)(12-n)…(20-n)=(　　) A. 4.(多选题)=(　　) A. 5.(2025上海浦东月考)计算0!+1!+2!+3!+4!+…+100!得到的数的个位数字是(　　) A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5 6.(2024江苏苏州青云实验中学月考)解下列不等式: (1); (2)3≤2. 题组三　无限制条件的排列问题 7.参加完某项活动的6名成员合影留念,前排和后排各3人,则不同排法的种数为(　　) A.360　　　B.720　　　C.2 160　　　D.4 320 8.(2025江苏宿迁期中)已知3张卡片的正、反两面分别写有数字1和2,3和4,5和6,将这3张卡片排成一排,则可构成不同的三位数的个数为(　　) A.120　　　B.60　　　C.48　　　D.36 9.(2024江苏南通如皋中学阶段考试)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列,则第85个数为(　　) A.2 301　　　B.2 304　　　C.2 305　　　D.2 310 10.(2025湖南衡阳期末)用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色,要求每个正四面体四个面颜色各不相同.我们规定:如果两个已上色的四面体,可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同,则认为它们用了同一种上色模式,那么不同的上色模式共有　　　　种.  题组四　“在”与“不在”问题 11.(2025江苏常州期末)某班一天上午有4节课,下午有2节课,现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表,要求数学课排在上午,体育课排在下午,则不同的排法种数是(　　) A.96　　　B.192　　　C.384　　　D.768 12.(2025河北部分学校联考)某电影院在国庆节的白天、晚上分别可以放映5场和3场电影,若A,B两部电影均只放映一次,且不能都在白天放映,则放映这两部电影的不同安排方式共有(　　) A.17种　　　B.32种　　　C.34种　　　D.36种 13.(2025河北邯郸联考)已知甲、乙、丙等5人站成一列,并要求甲站在乙、丙前面,则不同的安排方法的种数为(　　) A.24　　　B.26　　　C.32　　　D.40 14.(2025江苏泰州中学质量检测)现有甲、乙等5名大学生志愿者,通过培训后,拟安排在全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑(5.5公里)三个项目进行志愿者活动,已知这5人的身高各不相同,若安排5人拍照,前排2人,后排3人,且后排3人中身高最高的站中间,则有　　　　种不同的站法.  题组五　“相邻”与“不相邻”问题 15.(2025江苏泰州中学质量检测)某中学为了弘扬我国二十四节气文化,特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里,要求“立春”和“春分”两块展板相邻,且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻,则不同的放置方式种数为(　　) A.24　　　B.48　　　C.144　　　D.240 16.(2025山东济南开学考试)由0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中任意两个偶数都不相邻,则满足条件的六位数的个数为　(　　) A.60　　　B.108　　　C.132　　　D.144 17.(2025百师联盟联考)某次会议安排甲、乙等六人的座位在第一排的1~6号,其中甲的座位号为奇数,乙的座位号为偶数,且甲、乙不相邻,则这六人不同的座位安排方法种数为(　　) A.48　　　B.96　　　C.128　　　D.186 18.(2025河北邢台开学考试)有4名男生和3名女生参与一个活动,活动中有2个不同的道具(记作A和B).活动要求:所有人站成一排,女生必须站在一起,并且按照身高从左到右由高到低排列(假设女生的身高各不相同),道具A和B被分配给队伍中的两个人(可以是男生,也可以是女生),但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有(　　) A.2 400种　　　B.3 600种 C.2 880种　　　D.4 220种 题组六　“定序”问题 19.(2025广东东莞第二高级中学月考)4位同学排成一排准备照相时,又来了2位同学要加入,若保持原来4位同学的相对顺序不变,则不同的加入方法种数为(　　) A.10　　　B.20　　　C.24　　　D.30 20.(2025河南部分学校开学考试)某同学将英文单词“better”中的字母顺序记错了,则该同学写错的情况有(　　) A.360种　　　B.359种　　　C.180种　　　D.179种 21.(2024江苏镇江扬中第二高级中学期末)花灯,又名“彩灯”“灯笼”,是中国传统农业时代的文化产物,兼具生活功能与艺术特色.如图,现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下,每次取1盏,则不同的取法种数为　　　　.  能力提升练 题组　排列数的应用 1.(2025江苏扬州高邮中学期中)毕业前夕,某高中高三(6)班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师合影留念,站成前后相对应的两排,每排3人,老师站在前排中间,其中甲、乙两名同学不相邻(相邻仅包括正前后或左右),则不同的站法种数为(　　) A.96　　　B.84　　　C.72　　　D.48 2.(2024江苏南通如皋诊断)15个人围坐在圆桌旁,从中任取4人,他们两两互不相邻的概率是　(　　) A. 3.(2024江苏南通海安高级中学检测)某运动会的7名队员合影留念,计划站成一横排,但甲不站最左端,乙不站最右端,丙不站正中间,则不同的排法有(　　) A.3 864种　　　B.3 216种 C.3 144种　　　D.2 952种 4.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示,这个弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色,要求相邻的区域不能用同一种颜色,则不同的涂色方案种数为(　　) A.180　　　B.192　　　C.300　　　D.420 5.(2025江苏部分高中联合测评)某学校要安排一场文艺晚会的8个节目的演出顺序,2个集体节目分别安排在第1个和最后1个,还有3个音乐节目、2个舞蹈节目、1个小品节目,要求同类节目不能连续安排,则共有　　　　种不同的排法.  6.(2025湖南部分名校联考)将2个“0”,2个“1”和2个“2”这6个数按从左到右的顺序排成一排,则能构成　　　　个自然数;在所有构成的自然数中,第一位数为1的所有自然数之和为　　　　.  7.(2025江苏盐城中学质量检测)一个综艺节目中,3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈,则参与者连续站在一起的人数不超过13的概率是　　　　.  8.(2024江苏徐州第七中学期中)有甲、乙、丙、丁在内的8名同学站成一排照相,求符合下列要求的不同排法种数.(用数字作答) (1)甲同学既不站在排头也不站在排尾; (2)甲、乙、丙三名同学两两互不相邻; (3)甲、乙两同学相邻,且丙、丁两同学也相邻; (4)甲、乙两同学不相邻,且乙、丙两同学也不相邻; (5)甲、乙、丙三名同学从左到右的相对顺序固定. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.B 2.BD 3.A 4.ABD 5.C 7.B 8.C 9.A 11.B 12.D 13.D 15.C 16.B 17.B 18.B 19.D 20.D 1.B　对于A,选出的2人有分工的不同,是排列问题;对于B,选出的5人与顺序无关,不是排列问题;对于C,取出的2个数哪个作为被除数哪个作为除数的结果不同,与顺序有关,是排列问题;对于D,取出2个数字后,还需对2个数字进行排序,与顺序有关,是排列问题. 方法总结 　　判断一个具体问题是不是排列问题,就看取出元素后的安排是有序的还是无序的,而检验是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应由具体问题的性质和条件来决定),看其结果是否有变化,有变化就是排列问题,无变化就不是排列问题. 2.BD　因为加法满足交换律,所以A中问题不是排列问题;因为除法不满足交换律,所以B中问题是排列问题;若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b>0,所以C中问题不是排列问题;在双曲线=1中,不管a>b>0还是0<a<b,方程均表示焦点在x轴上的双曲线,且是不同的双曲线,所以D中问题是排列问题. 3.A　因为(11-n)(12-n)…(20-n)=(20-n)(19-n)…(12-n)(11-n),(20-n)-(11-n)+1=10, 所以(11-n)(12-n)…(20-n)=. 4.ABD　. 5.C　5!=5×4×3×2×1=120,6!=6×5×4×3×2×1=720, 因为5!,6!,…,100!中都有2×5, 所以从5!开始个位数字全部是0, 故只需看0!+1!+2!+3!+4!的个位数字即可, 又0!+1!+2!+3!+4!=34, 所以计算0!+1!+2!+3!+4!+…+100!得到的数的个位数字是4. 6.解析　(1)由题意得∴3≤x≤8,且x∈N*, 由,得,即1<, 整理,得x2-19x+84<0,解得7<x<12, 又3≤x≤8,且x∈N*,∴7<x≤8,且x∈N*,即x=8, ∴不等式的解集为{8}. (2)∵3≤2, ∴ 即 整理,得 解得3≤x≤5,且x∈N*, ∴不等式的解集为{3,4,5}. 方法总结 　　排列数的计算问题,要注意中隐含了3个条件:①m,n∈N*;②m≤n;③的运算结果为正整数.在解与排列数有关的方程或不等式时,应先求出未知数的取值范围,再利用排列数公式化简方程或不等式,最后得出方程的解或不等式的解集. 7.B　解法一:不管前排还是后排,共有6个位置,这6名成员依次选择位置即可,故不同排法的种数为=6×5×4×3×2×1=720. 解法二:先安排后排3人,有种不同排法,再安排前排3人,有种不同排法,故共有=720种不同排法. 8.C　分两步: 第一步:确定排在百位、十位、个位上的卡片,即3个元素的一个全排列,即; 第二步:分别确定百位、十位、个位上的数字,各有2种可能,即23. 根据分步计数原理,得可构成不同的三位数的个数为×23=48. 9.A　首位为1的没有重复数字的四位数有=60个,千位和百位上的数字分别为2,0的有=12个,千位和百位上的数字分别为2,1的有=12个,因为60+12+12=84,所以第85个数是千位和百位上的数字分别为2,3的最小数,即为2 301. 10.答案　2 解析　设正四面体的四个顶点分别为A,B,C,D. 以顶点A为定点时,通过旋转,除底面外的三个侧面的朝向有3种,如图所示: 同理,以顶点B,C,D为定点时也分别有3种朝向, 所以一个正四面体通过旋转可以得到12种朝向. 将四种颜色全排列,得=24种排列方式, 所以一共有=2种不同的上色模式. 11.B　因为数学课排在上午,体育课排在下午,所以数学、体育课有=8种排法,再将剩余的4节课进行全排列,有=24种排法, 所以满足题意的不同排法种数是8×24=192. 12.D　若A,B两部电影均在晚上放映,则不同的安排方式有=6种; 若白天一部、晚上一部,则不同的安排方式有5×3×=30种. 故放映这两部电影的不同安排方式共有6+30=36种. 13.D　若甲排第一位,则乙、丙等四人全排列,有=24种排法; 若甲排第二位,则乙、丙排甲的后三位中的两位,其余两人全排列,有=12种排法; 若甲排第三位,则乙、丙排最后两位,其余两人全排列,有=4种排法. 故不同的安排方法的种数为24+12+4=40. 14.答案　40 解析　从5人中选2人站前排,剩下的3人中身高最高的站后排的中间,其余2人站后排的两边,所以共有=40种不同的站法. 15.C　将“立春”和“春分”两块展板看成一个整体,与“雨水”“谷雨”两块展板进行全排列,再将“清明”和“惊蛰”两块展板插空,所以不同的放置方式种数为=2×6×12=144. 16.B　先排3个奇数,有=6种排法, 排完奇数后形成4个空,插入余下的3个偶数,有=24种排法,其中0放在首位的情况有=6种, 故满足条件的六位数的个数为6×(24-6)=108. 17.B　先安排甲、乙,若甲坐1号座位,则乙坐4号或6号座位;若甲坐3号座位,则乙坐6号座位;若甲坐5号座位,则乙坐2号座位,所以甲、乙共有4种安排方法. 在甲和乙的座位确定了的情况下,其余四人的座位安排方法有种,故这六人不同的座位安排方法种数为4=96. 18.B　女生必须站在一起且按照身高从左到右由高到低排列,则可将3名女生捆绑在一起且顺序固定,与4名男生全排列,共有种方法,在7人中选出不相邻的2人分配道具,有()种方法,故满足条件的排列方式共有)=3 600种. 19.D　6位同学排成一排照相,共有种排法,若保持原来4位同学的相对顺序不变,则有=30种排法. 方法总结 　　对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列.对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题,可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列,然后用总排列数除以m个顺序一定的元素之间的全排列数,即得到不同排法种数为. 20.D　“better”中的字母共有=180种排法,所以该同学写错的情况有180-1=179种. 21.答案　90 解析　对6盏不同的花灯进行全排列,共有种排法,因为取花灯时每次只能取1盏,所以每串花灯必须先取下面的花灯,即每串花灯取下的顺序确定,故不同的取法有=90种. 能力提升练 1.C 2.A 3.B 4.D 1.C　不考虑甲、乙不相邻,站法种数为=120. 当甲、乙两名同学正前后相邻时,必有1人站在老师的左侧或右侧,另1人站在这位同学的正后面,其余3人全排列,站法种数为2=24; 当甲、乙两名同学左右相邻时,两人必都站在后排, 从其余的3人中选2人站在老师的左、右两侧,将甲、乙两名同学看成一个元素,与余下的1人进行全排列,站法种数为=24. 故不同的站法种数为120-(24+24)=72. 2.A　先让11个人坐好,再让其余4人插空,共有种不同的围坐方法,所以所求概率是. 3.B　分三类进行求解: 第一类,甲在最右端. 若乙在正中间,则丙有5个位置可选,再将剩余的4人全排列,则不同的排法有5=120种; 若乙不在正中间,则乙有5个位置可选,此时丙有4个位置可选,再将剩余的4人全排列,则不同的排法有5×4=480种. 故甲在最右端的不同的排法有120+480=600种. 第二类,甲在正中间. 同理,分丙在最右端与丙不在最右端两种情况,所以甲在正中间的不同的排法有(5+5×4)×=600种. 第三类,甲既不在正中间也不在最右端. 先排甲,有4个位置可选,再排乙,若乙在正中间,则丙有5个位置可选,再将剩余的4人全排列;若乙不在正中间,则乙有4个位置可选,然后排丙,有4个位置可选,最后将剩余的4人全排列. 故甲既不在正中间也不在最右端的不同的排法有4×(5+4×4)×=2 016种. 综上,不同的排法共有600+600+2 016=3 216种. 4.D　 思路点拨 思路一: 思路二: 解析　解法一:先用3种颜色涂①②③,再根据②④同色与否分类,则不同的涂色方案种数为)=420. 解法二:根据所用颜色种数不同分三类:用5种颜色涂,用4种颜色涂,用3种颜色涂,则不同的涂色方案种数为=420. 5.答案　240 解析　安排2个集体节目有=2种排法. 下面安排第2个到第7个节目. 若将3个音乐节目排在第2,4,6位,则有=36种排法. 若将3个音乐节目排在第2,4,7位,则有=24种排法. 若将3个音乐节目排在第2,5,7位,则有=24种排法. 若将3个音乐节目排在第3,5,7位,则有=36种排法. 综上,共有2×(36+24+24+36)=240种不同的排法. 6.答案　 60;3 333 330 解析　因为要构成自然数,所以第一位数只能是1或2,所以共有=60个自然数. 第一位数为1的自然数共有30个, 其中第二位数为0,1,2的自然数分别有=12个. 易得第二位数至第六位数均可为0,1,2,且均分别对应有12,6,12个自然数, 所以所有第一位数为1的自然数之和为1×30×105+(0×12+1×6+2×12)×(104+103+102+101+100)=3 333 330. 7.答案　 解析　记3名主持人分别为甲、乙、丙. 将主持人甲作为参照物,则只需考虑剩下的35人从甲开始顺时针排列的顺序. 3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈有种站法. 若参与者连续站在一起的人数不超过13,则主持人乙、丙将33位参与者分隔成3组. 按照顺时针方向记为第一、二、三组. 易知33=7+13+13=8+12+13=9+11+13=9+12+12=10+10+13=10+11+12=11+11+11. 考虑33=7+13+13的情况,按人数,第一、二、三组有3种分组方法. 考虑33=8+12+13的情况,按人数,第一、二、三组有种分组方法. 考虑33=11+11+11的情况,按人数,第一、二、三组有1种分组方法. 同理得,共有3++1=28种分组方法, 所以参与者连续站在一起的人数不超过13的站法共有28种, 所以参与者连续站在一起的人数不超过13的概率为. 8.解析　(1)先安排甲,有种排法,其余7人进行全排列,所以不同排法种数为=6×5 040=30 240. (2)先排除甲、乙、丙三名同学以外的5名同学,再在6个间隙中插入甲、乙、丙,所以不同排法种数是=120×120=14 400. (3)将甲、乙视为一个整体,丙、丁视为一个整体,与其余4名同学进行全排列,再分别对甲、乙和丙、丁内部进行排列,所以不同排法种数是=720×2×2=2 880. (4)先求出8个人的全排列,再去掉甲、乙相邻和乙、丙相邻的排列数,补上乙在甲、丙中间的3人相邻的排列数,所以不同排法种数是=40 320-2×2×5 040+2×720=21 600. (5)因为甲、乙、丙三名同学从左到右的相对顺序固定,所以不同排法种数是=6 720. 13 学科网（北京）股份有限公司 $