6.1.1 空间向量的线性运算（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（苏教版）

第6章　空间向量与立体几何 6.1　空间向量及其运算 6.1.1　空间向量的线性运算 基础过关练 题组一　空间向量的基本概念 1.(2025广东深圳实验学校月考)下列说法正确的是(　　) A.空间向量就是空间中的一条有向线段 B.空间中共线的向量必在同一条直线上 C.不相等的两个空间向量的长度必不相等 D.向量与向量的长度相等 2.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.正方体ABCD-A1B1C1D1中,与是相等向量 B.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p D.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线 题组二　空间向量的线性运算 3.如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,设=a,=b,=c,则下列各式的运算结果为的是(　　) A.-a+b+c　　　B.a-b+c C.a-b-c　　　D.a+b-c 4.(教材习题改编)四面体OABC中,=a,=b,=c,M,N分别为OA,BC的中点,则=(　　) A.a-b+c　　　B.-a+b+c C.a+b-c　　　D.a-b-c 5.(2025江苏连云港新海高级中学期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD的中点,若=a,=b,=c,则=(　　) A.a+b+c　　　B.a-b-c C.a-b+c　　　D.a+b-c 6.(2025山东省实验中学月考)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,M为BC的中点,N为A1C1上靠近点A1的一个三等分点,设=a,=b,=c,则用a,b,c表示为(　　) A.a+b-c　　　B.-a+b+c C.a-b-c　　　D.-a-b+c 7.(2024江苏南通中学月考)在四面体ABCD中,点E满足(λ∈R),F为BE的中点,且,则λ=(　　) A. 8.《九章算术》中的“商功”篇讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1C1,BB1的中点,G是MN的中点,若,则x+y+z=(　　) A.1　　　B. 9.(2024江苏常州联盟学校调研)在四面体OABC中,=a,=b,=c,G为△ABC的重心,点M在线段OC上,且OM=2MC,则=(　　) A.a+b-c　　　B.a+b+c C.-a+b+c　　　D.a-b+c 题组三　共线向量定理 10.(教材习题改编)已知e1,e2是两个不共线的空间向量,=2e1+ke2,=e1+3e2,=-2e1+e2,若A,B,D三点共线,则实数k的值为(　　) A.-　　　B.2　　　 C.8　　　D.-8 11.(2025贵州贵阳乐湾国际实验学校月考)三棱柱ABC-A1B1C1如图所示,P为空间内一点,且,λ,μ∈[0,1],则下列说法错误的是(　　) A.当λ=0时,点P在棱BB1上 B.当λ=μ时,点P在线段B1C上 C.当μ=1时,点P在棱B1C1上 D.当λ+μ=1时,点P在线段B1C上 12.(2025广东清远期中)已知A,B,C三点共线,对空间内任一点O,存在3个均不为0的实数λ,m,n,使λ=0,那么λ+m+n的值为　　　　.  13.(2025江苏宿迁桃源路中学月考)如图,四棱柱ABCD-A'B'C'D'的六个面都是平行四边形,点M在面对角线A'B上,且A'M=MB,点N在体对角线A'C上,且A'N=NC. (1)若=a,=b,=c,用a,b,c表示向量; (2)求证:M,N,D'三点共线. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.D 2.AC 3.D 4.B 5.C 6.A 7.D 8.A 9.A 10.D 11.B 1.D　有向线段是空间向量的一种表示形式,与起点有关,但向量与起点无关,故A错误;空间中共线的向量不一定在同一条直线上,有可能在平行直线上,故B错误;两向量不相等,有可能满足方向不同但长度相等,故C错误;只是方向相反,它们的长度是相等的,故D正确. 2.AC　的方向相同,长度相等,所以是相等向量,故A中说法正确;两个向量相等不仅要保证模相等,还要保证方向相同,但a与b的方向不一定相同,故B中说法错误;向量的相等具有传递性,故C中说法正确;向量的平行不具有传递性,若b=0,则a与b共线,b与c共线,但a与c不一定共线,故D中说法错误. 3.D　对于A,-a+b+c=; 对于B,a-b+c=; 对于C,a-b-c=; 对于D,a+b-c=.方法总结 　　空间向量运算中化简的常用思路 ①分组:将向量合理分组,以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简. ②利用多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,可利用多边形法则,即将若干个向量的和转化为首尾相接的向量的和. ③“走边路”:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量“走边路”(即沿几何体的棱选择化简途径). 4.B　如图,连接ON,则a+b+c. 5.C　连接BD(图略),则a-b+c. 6.A　连接AM,AN(图略),则a+b-c. 7.D　连接AE.因为F为BE的中点,所以, 又,所以. 由,得),即,所以λ=. 8.A　连接AM,AN(图略).∵G是MN的中点,∴,∴x+y+z=1. 9.A　如图,因为G为△ABC的重心,所以.因为OM=2MC,所以,所以a+b-c. 10.D　因为A,B,D三点共线,所以存在λ∈R,使得. 由题意得=2e1+ke2,=-e1+4e2, 又e1,e2不共线,所以 11.B　对于A,当λ=0时,,μ∈[0,1],又过同一点B,所以点P在棱BB1上,故A中说法正确. 对于B,连接BC1(图略),当λ=μ时,),λ∈[0,1],即,λ∈[0,1],即,又过同一点B,所以点P在线段BC1上,故B中说法错误. 对于C,当μ=1时,,λ∈[0,1],所以λ,λ∈[0,1],所以,λ∈[0,1],即,又过同一点B1,所以点P在棱B1C1上,故C中说法正确. 对于D,当λ+μ=1时,,λ∈[0,1],所以,λ∈[0,1],即,λ∈[0,1],所以,又过同一点B1,所以点P在线段B1C上,故D中说法正确. 12.答案　0 解析　因为A,B,C三点共线,所以存在唯一的实数k使,显然k≠0且k≠1,否则点A,B重合或点B,C重合,故),整理得(k-1)=0,又λ=0,所以λ=k-1,m=1,n=-k,所以λ+m+n的值为0. 13.解析　(1)∵A'M=MB, ∴, ∴a-b-c. ∵A'N=), ∴a-b-c. (2)证明:∵,且, 又过同一点M,∴M,N,D'三点共线. 10 学科网（北京）股份有限公司 $