勾股定理单元复习（交互动画）八年级数学

可学科网·上好课 www.z×xk.com 上好每一堂课 勾股定理的逆定理及其应用典型例题 题型1：判断三角形是否为直角三角形 (数值判断)1.下列各组数中，能构成直角三角形的是() A.5,12,13 B.7,14,16 C.6,8,12 D.9,15,18 【解答】解：A:,52+122=25+144=169,132=169, ,52+122=132,能构成直角三角形，所以此选项正确，符合题意： B:,72+142=49+196=245,162=256, ,724142≠162，不能构成直角三角形，所以此选项错误，不符合题意： C:62+82=36+64=100,122=144, ∴.62+82≠122，不能构成直角三角形，所以此选项错误，不符合题意； D:92+152=81+225=306,182=324, ∴92+152≠182，不能构成直角三角形，所以此选项错误，不符合题意： 故选：A (网格判断)2.如图，在4×4网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为 格点格点C与图中的格点A,B可构成直角三角形，则这样的格点C有() B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】D 【详解】解：如图， B 格点C与图中的格点A,B可构成直角三角形，则这样的格点C有5个 故选：D 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型2：利用逆定理证明两条线段垂直 如图，在△ABC中，AD LBC,垂足为点D,AD=√5，BD=1,∠ACB=30°. D (1)求证∠BAC=90°： (2)若CP平分∠ACB交AB于点P,求AP的长. 【详解】(1)证明：，AD LBC, ∴.∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ABD中，AD=V3,BD=1, AB=VAD+BD=VI2+(N3)°=2， 在Rt△ACD中，∠ACB=30°，AD=V3, .AC=2AD=2v3, CD=AC2-AD-23-(（V3=3, .BC=BD+CD=1+3=4, AB2+AC2=22+(2W5=4+12=16=42=CD2, ,△ABC是直角三角形，∠BAC=90°： (2)解：如图所示，过点P作PE⊥BC于点E, :CP平分∠ACB,PE⊥BC,∠BAC=90°， .AP=EP, S.ABC=S.ACP+S.BCP C号AB:ACAP:AC+BCEP 2 ×2×2W5=x2V5AP+x44P, 2 AP=4V3-6. BED 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型3：逆定理与勾股数的综合应用 已知：满足a2+b2=c2的三个正整数α，b,c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设a<b<c,，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数： 当a为奇数时如①3,4,5：②5,12,13；③7,24,25：④9,40,41，⑤11，， 当a为偶数时，如①6,8,10；②8,15,17：③10,24,26：④12,35,37， ⑤14，，： (2)猜想：三个整数中，若最小的数为奇数，另外两个数分别为，，则这三个数为勾股 数，请你补充完整的猜想并验证这一猜想是否正确 【详解】(1)设a<b<c,观察提供的4组勾股数的规律，完成第(5)组勾股数： 当a为奇数时，如(1)3,4,5：(2)5,12,13：(3)7,24,25：(4)9,40,41；(5) 11,60,61: 当a为偶数时，如6,8,10；(2)8,15,17：(3)10,24,26；(4)12,35,37：(5) 14,48,50: 故答案为：60,61：48,50： (2)猜翅：三个整数中，若最小的数为奇数，另外两个数分别为士，则这三个 数为勾股数. 证明： 4 4 ㎡ 又，n为奇数， 为整数 这三个数为勾股数 故答案为：-12+1 2,2 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 突破：逆定理与三角形形状的综合判断（多边长、含参数） 如图，P是等边△ABC内一点，连接PA、PB、PC,PA:PB:PC=3:4:5,以AP为边作 等边△APP,则以下结论错误的是() A.△AP'C≌△APB B.△PCP是直角三角形 C.∠APC=135° D.∠APB=150° 【详解】解：：△ABC是等边三角形， ,AB=AC,∠BAC=60°，.△APP是等边三角形， AP=AP',∠PAP′=60°， ∴.∠BAP+∠PAC=∠CAP'+∠PAC,·∠BAP=∠CAP', 在△AP'C和△APB中 「AB=AC ∠BAP=∠CAP,∴△AP'C≌△APB(SAS), AP=AP 故A正确，该选项不符合题意： △APP是正三角形，PP=PA, ,△AP'C≌AAPB,.PC=PB, 又PA:PB:PC=3:4:5, 设PA=3x,则：PP'=PA=3x,PC=PB=4x,PC=5x, .PP2+P'C2=25x2=PC2, 根据勾股定理的逆定理可得△PCP'是直角三角形，且∠PP'C=90°， 故B正确，该选项不符合题意： 又：△APP是正三角形， .∠AP'P=60°， .∠APB=∠APC=∠APP+∠PP'C=150°， 故D正确，该选项不符合题意： .∠APP=60°，∠P'PC≠90°， .∠APC≠135°， 故C错误，该选项符合题意： 故选：C 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 突破2：逆定理与几何图形的综合证明（折叠、全等、平行四 边形) 如图，在△ABC中AB=10,BC=m,AC=n,且m,n满足Vm-6+1-8=0,D,E分 别是边AC,BC上的动点，连接DE,将△DCE沿直线DE折叠得到△DFE,点F恰好 落在边AB上. B E C----- D 图1 图2 (1)求证：△ABC是直角三角形： (2)如图1，若D为AC的中点，求证：∠BFE=∠DEF; (3)如图2，若F为AB的中点，判断线段BE,AD与DE之间的数量关系，并说明理由. 【详解】(1)证明：：√-6+n-8=0, ∴.m=6,n=8, .BC=6,AC=8, AB=10, .BC2+AC2=62+82=100=AB2, .∠C=90°， 即△ABC是直角三角形： (2)证明：连接CF, :△DCE沿直线DE折叠得到△DFE, .DC=DF,DE⊥CF, .∠DFC=∠DCF, :D为AC的中点， ..CD=AD, .DF=AD, .∠DFA=∠A, .·∠DCF+∠DFC+∠DFA+∠A=180°， .2∠DFC+2∠DFA=180°， .∠DFC+∠DFA=90°， 即∠AFC=90°， 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CF⊥AB, .DE∥AB, .∠BFE=∠DEF: B F E Q D A 图1 (3)解：BE2+AD2=DE2. 理由如下： 过点A作AH∥BC,交EF的延长线于点H,连接DH, ∠B=∠FAH,∠BEF=∠AHF, :F为AB的中点， :BF=AF, :,△BEF2△AHF(AAS), :BE=AH,EF=HF, :△DCE沿直线DE折叠得到△DFE, ∠DFE=∠C=90°， DF⊥EH, .DE=DH, ,AH∥BC, ∴∠DAH=180°-∠C=90°， ..BE2+AD2=AH2+AD2=DH2=DE. B 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 突破3：逆定理在实际问题中的进阶应用（航海、测量、折叠 最值) 如下图，某湿地公园有一块四边形草坪ABCD,公园管理处计划修一条从点A到点C的小 路，经测量，∠ADC=90°，AD=7m,DC=24m,AB=20m,CB=15m. (1)小路AC的长为.m. (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗从点B开始以1.5/s的速度在小路 上沿B→C→A的方向奔跑，到点A时停止奔跑.当小狗在小路CA上奔跑且与淇淇的距 离最近时，小狗总共跑了多少秒？ 【详解】(1)解：∠D=90°，AD=7m,DC=24m 在RtAADC中， AC=√AD2+CD2=25(d, .小路AC的长为25m. (2)解：如图所示，过点B作BH⊥AC于点H. 当小狗在小路CA上奔跑，且跑到点H的位置时，小狗与淇淇的距离最近. AB=20m,CB=15m,AC=25m,202+152=625=252, AC2=AB2+BC2,△ABC是直角三角形，∠ABC=90°， 则Sc=号ABBC=ACBH, 2 :.BH=AB.BC_20x15 AC 25 =12(m), .HC=√BC2-HB2=V152-122=9(m), .HC+BC=9+15=24(m). 24÷1.5=16(s). 故当小狗在小路CA上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了165可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 勾股定理及其应用典型例题 题型1：已知直角三角形两边，求第三边 如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD的延长线上一点，连接AE, AF,AM平分LEAF交CD于点M.若BE=DF=2,则FM的长度为() M A.号 B. c.号 0.号 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠ABE=∠ADF=90°， .在Rt△ABE和Rt△ADF中， AB=AD ∠ABE=∠ADF, BE=DF .Rt△ABE≌Rt△ADF(SAS),.AE=AF: ,AM平分∠EAF,.∠EAM=∠FAM, ∴.在△AEM和△AFM中， AE=AF ∠EAM=∠FAM, AM=AM ∴.△AEM≌△AFM(SAS),.EM=FM, ,四边形ABCD是正方形，BC=CD=8,LBCD=90°， 设EM=x,则FM=x,MC=CD-DM=8-(x-2)=10-x, CE=BC-BE=8-2=6, 在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM2=MC2+CE2, 即x2=(10-x)2+62, 解得：x=兰 ∴.FM=34, 5 故选：B. 可学科网·上好课 www.zxk.com 上好每一堂课 题型2：勾股数的判断与应用 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其 中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所 示.如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂"如图2所示，若“生长”了2025次后，形成 的图形中所有的正方形的面积和是() 图1 图2 A.2026 B.2025 C.22025 D.22022-1 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， A 由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=正方形A的面积=1， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， ∴.“生长"了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026 故选：A. 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型3：勾股定理在实际生活中的基础应用（平面图形） 如图，甲货船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以12海里/时的速 度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船之间的距离是() 不 南 A.40海里 B.32海里 C.24海里 D.20海里 【解答】解：：两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴.∠BAC=90°， 两小时后，两镀船分别行驶了AB=16×2=32(海里)，AC=12×2=24(海里)， 根据勾股定理得BC=√AB2+ACZ=√322+24平=40（海里）. 故选：A. 突破1：勾股定理与非直角三角形的结合（构造直角三角形） 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边 形ABED和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a,b,c之 间的一个重要结论：a2+b2=c2. B 6 B 图1 图2 图3 (1)请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 己知：在Rt△ABC中，LACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c.求证：a2+b2=c2, 证明：由图1可知S正方形ABED=4S△ABC+S正方形CFGH' SE方形ABED=C己，SAABC=一， 正方形CFGH边长为一， c2=4×3ab+(a-b)2=2ab+a2-2ab+b2, 即a2+b2=c2 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC=Q,AC=b,AB=c,以AB为直角边在AB的右 侧作等腰直角△ABD,其中AB=BD,∠ABD=90°，过点D作DE L CB,垂足为点E.你 用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明a2+b2=c2; (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到如图3所示 的“数学风车”.若a=12,b=9,“数学风车"外围轮廓（图中实线部分）的总长度为 108,求这个风车图案的面积. 【详解】(1)证明：由图可知S正方形ABED=4S△ABC+S正方形CFGH' yS正方形AeD=c2,SAABC-=b, 正方形CFGH边长为a-b, ∴c2=4×3ab+(a-b)2=2ab+a2-2ab+b2, 即a2+b2=c2. 故答案为：b,a-b: (2)解：DE1BC,.∠DBE+LBDE=90°， ,∠ABD=90°，∴.∠ABC+∠DBE=90°，∴.∠ABC=∠BDE, 又LC=LBED=90°，AB=BD, ∴.△ABC≌△BDE(AAS).∴.BC=DE=a,AC=BE=b: 由题意，第一种方法： SACE=SAAC++5AB=ab+ic+ab=ab+ic; 第二种方法： 5BACED=(AC+DE)(CB+BE)=(a+b)(a+b)=(a+b, (a+b)2=ab++c2,a2+2ab+b2=2ab+c2, a2+b2=c2 (3)由题意，如图， ,“数学风车"外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108， AD+BD=108÷4=27, 设AD=x,则BD=27-x, 在△BCD中，BC2+CD2=BD2 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a2+b+x)2=(27-x)2, 将a=12,b=9代入可得， (9+x)2+144=(27-x)2,x=7, .小正方形的边长等于a-b=12-9=3, :.风车的面积为：BC×CD×4+3×3=×12×16×4+3×3=393. 突破2：勾股定理与折叠、旋转的综合应用 如图，已知正方形ABCD的边长为I2,BE=EC,将正方形边CD沿DE折叠到DF,延长 EF交AB于点G,则△BEG的周长为24 B E 【解答】解：连接GD,如图所示， D G B 由折叠可知，DF=DC=DA,∠DFE=∠C=90°， ∴.∠DFG=∠A=90°， .Rt△ADG≌Rt△FDG(HL), ..AG=FG, :正方形边长是12， ∴BE=EC=EF=6, 设AG=FG=x,则EG=x+6,BG=12-x, 由勾股定理得：EG=BE2+BG2, 即：(x+6)2=62+(12-x)2, 解得：x=4, ..AG=GF=4,BG=8, ∴，GE=√BE2+BG2=V62+8=10, ∴.△BEG的周长为BE+EG+GB=6+8+10=24, 故答案为：24. 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 突破3：勾股定理与最短路径问题（立体图形表面） 如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为3.5cm,3.5c,24cm,一只蚂蚁想从盒 底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B,则它爬行的最短路程是25c. 24cm 3.5cm 3.5cm 【解答】解：分两种情况： ①如图，展开后连接AB,则AB就是在表面上从A到B的最短距离， B 在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB=VAM2+BM=√3.5+3.5)2+24平=25； ②如图，展开后连接AB,则AB就是在表面上从A到B的最短距离， B 在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB=VAN2+BN7= 3. 52+(24+3.5)2=V768.5: ,V768.5>25, ∴.爬行的最短路程是25cm, 故答案为：25null