全书综合测评(一)（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（北师大版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 全书综合测评(一) 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+a13=1,则S16=(　　) A.4　　　　B.8　　　　C.16　　　　D.32 2.已知函数f(x)=x3-,则=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 3.在等比数列{an}中,a1a2a3=1,a3a4a5=6,则a7a8a9的值为(　　) A.48　　　　B.72　　　　C.216　　　　D.192 4.已知函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　) A.x=-1是函数f(x)的极小值点 B.x=-4是函数f(x)的极小值点 C.函数f(x)在区间(-∞,-4)上单调递增 D.函数f(x)在区间(-4,-1)上先增后减 5.在明朝程大位的《算法统宗》中有这样一个问题:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”其描述的这个宝塔古称浮屠,它一共有7层,从上数第二层开始,每层悬挂的灯数是它上一层的2倍,7层共有381盏灯,则塔顶的灯的盏数为(　　) A.5　　　　B.6　　　　C.4　　　　D.3 6.已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a4a8a9=-3,b4+b8+b9=5π,则tan=(　　) A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D. 7.已知函数f(x)=xex-ex-a有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是(　　) A.　　　　B.(-1,0]　　　　C.　　　　D.(-1,0) 8.设函数f(x)的定义域为D,如果存在[m,n]⊆D,使得f(x)在[m,n]上的值域为[m,n],则称函数f(x)在[m,n]上为“等域函数”.若定义域为的函数g(x)=cx(c>0,c≠1)在其定义域的某个子区间上为“等域函数”,则实数c的取值范围为(　　) A.　　　　B.　　　　C.[,]　　　　D.[,) 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,当首项a1和d变化时,a3+a8+a13是一个定值,则下列各数也为定值的有(　　) A.a7　　　　B.a8　　　　 C.S15　　　　D.S16 10.若数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=-an+1(n∈N+),则(　　) A.a1=　　　　B.S3= C.数列{an}是等比数列　　　　D.Sn+1=Sn 11.若函数f(x)的图象上存在无数个点,使得f(x)的图象在这无数个点处的切线重合,则称f(x)为“共切线函数”,则下列函数中是“共切线函数”的是(　　) A.f(x)=sin x+2cos x　　　　B.f(x)=x3+sin x C.f(x)=　　　　D.f(x)=xsin x 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知等比数列{an}中,a7=8,a11=32,则a9=　　　　.  13.已知数列{an}中,a1=1,an+1=-,则a2 026=　　　　.  14.已知函数f(x)=ex-ln x+(1-m)x-ln m的最小值为0,则m=　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分)已知数列{an}满足a1=2,a2=4,an+2=4(an+1-an). (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. 16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=(x-1)ex-ax. (1)当a=0时,求f(x)的极值; (2)若f(x)在[0,+∞)上的最小值为-a,求实数a的值. 17.(本小题满分15分)甲、乙两超市同时开业,第一年的全年销售额均为a万元.由于经营方式不同,甲超市前n年的总销售额为万元,乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多a万元. (1)求甲、乙两超市第n年全年的销售额; (2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪个超市有可能被收购.如果有这种情况,将会出现在第几年? 18.(本小题满分17分)在①Sn=n,②an≠0,Sn=这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答下列问题. 已知数列{an}的前n项和为Sn,a2=3,且满足　　　　.  (1)证明:数列{an}是等差数列,并求{an}的通项公式; (2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn. (i)求Tn; (ii)是否存在互不相等的正整数p,q,r,使得p,q,r成等差数列且Tp+2,Tq+2,Tr+2成等比数列?若存在,求出满足条件的所有p,q,r的值;若不存在,请说明理由. 注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分. 19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=-x+aln x(a∈R). (1)当a=1时,求函数f(x)的零点; (2)若f(x)在(2,+∞)上单调递减,求a的取值范围; (3)若a>0, f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:<a-2. 答案全解全析 1.B　S16===8×1=8. 2.D　f'(x)=3x2+2x-3,所以f'(1)=5, ==f'(1)=. 3.C　由a1a2a3=1,得=1,由a3a4a5=6,得=6,设等比数列{an}的公比为q,则q6==6,所以a7a8a9=a1a2a3q18=q18=63=216. 4.B　对于A,由题图可知,当-4<x<-1时,f'(x)>0,当x>-1时,f'(x)>0,故x=-1不是函数f(x)的极小值点,故A错误; 对于B,由题图可知,当x<-4时,f'(x)<0,当x>-4时,f'(x)≥0(在任意区间内不恒为0),故x=-4是函数f(x)的极小值点,故B正确; 对于C,由题图可知,当x<-4时,f'(x)<0,故函数f(x)在区间(-∞,-4)上单调递减,故C错误; 对于D,由题图可知,当-4<x<-1时, f'(x)>0,故函数f(x)在区间(-4,-1)上单调递增,故D错误. 5.D　由题意可知,各层悬挂的灯的盏数从上到下依次构成公比为2的等比数列,设塔顶的灯的盏数为a1,则=(27-1)a1=127a1=381,解得a1=3. 6.A　由a4a8a9=-3及等比数列的性质可得=-3,所以a7=-. 由b4+b8+b9=5π及等差数列的性质可得3b7=5π,所以b7=. 所以tan=tan=tan=-. 7.D　令f(x)=0,则xex-ex=a, 令g(x)=xex-ex,则g'(x)=ex+xex-ex=xex, ∴当x<0时,g'(x)<0,当x>0时,g'(x)>0,∴g(x)min=g(0)=-1, 易知g(1)=0,当x<1时,g(x)<0恒成立. 由此可以画出函数g(x)的大致图象,如图所示, 由图象可得,要使函数f(x)有且仅有两个零点,只需g(0)<a<0,即-1<a<0. 8.D　由题意得,函数g(x)与函数y=x的图象在上有两个交点, 即方程cx=x在上有两个不相等的实数根, 即方程ln c=在上有两个不相等的实数根. 设函数h(x)=,则h'(x)=, 易知当≤x<e时,h'(x)>0,h(x)单调递增, 当e<x≤e2时,h'(x)<0,h(x)单调递减, 所以h(x)在x=e处取得极大值,也是最大值,h(x)max=h(e)=, 又h=-e,h(e2)=,故≤ln c<,即≤c<. 9.BC　∵a3+a8+a13=3a8为定值,∴a8为定值,∴S15==15a8,为定值,a7=a8-d,不为定值, S16==8(a8+a9)=16a8+8d,不为定值. 10.AC　由已知得,a1=S1=-a1+1,解得a1=,A正确; 因为Sn=-an+1(n∈N+),所以Sn-1=-an-1+1(n≥2,n∈N+), 所以an=Sn-Sn-1=-an+an-1(n≥2,n∈N+),即=(n≥2,n∈N+), 所以数列{an}是首项为,公比为的等比数列,C正确; Sn==1-, 所以S3=1-=,Sn+1=1-≠Sn,B,D错误. 11.ACD　对于A, f(x)=sin x+2cos x=sin(x+φ),其中φ为锐角且tan φ=2,显然直线y=±是f(x)图象的切线且切点有无数个,故A符合. 对于B, f'(x)=3x2+cos x,令g(x)=3x2+cos x,则g'(x)=6x-sin x, 令h(x)=6x-sin x,则h'(x)=6-cos x>0, 所以h(x)在R上单调递增,即g'(x)在R上单调递增,又g'(0)=0,所以当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0, f'(x)单调递减,当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0, f'(x)单调递增,所以f'(x)=m(m为常数)至多有两个解,故B不符合. 对于C,作出f(x)=的部分图象,如图所示: 则f(x)的图象与直线y=-1相切,切点的横坐标分别为-1,1,3,5,…, 所以f(x)=是“共切线函数”,故C符合. 对于D, f'(x)=sin x+xcos x,注意到f'=1,k∈Z, f=+2kπ,k∈Z,所以曲线f(x)在点(k∈Z)处的切线方程均为y=x,故D符合. 12.答案　16 解析　∵{an}是等比数列,∴a7a11==8×32, 又a9与a7同号,∴a9=16. 13.答案　1 解析　a2=-=-,a3=-=-=-2,a4=-=-=1,……,所以数列{an}是周期为3的周期数列,故a2 026=a675×3+1=a1=1. 14.答案　e 解析　依题意,ex-ln x+(1-m)x-ln m≥0对于任意x>0恒成立, 即ex+x≥ln(mx)+mx=ln(mx)+eln(mx)对于任意x>0恒成立, 令g(x)=ex+x,则g(x)≥g(ln(mx)),易知g(x)=ex+x单调递增,则x≥ln(mx),即ex≥mx,因此m≤在(0,+∞)上恒成立, 设h(x)=(x>0),则m是函数h(x)在(0,+∞)上的最小值,h'(x)=,当x∈(0,1)时,h'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0, 所以h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,则h(x)min=h(1)=e,所以m=e. 15.解析　(1)∵an+2=4(an+1-an),∴an+2-2an+1=2(an+1-2an),(2分) ∵a2-2a1=0,∴an+2-2an+1=an+1-2an=…=a2-2a1=0,即an+1=2an.(4分) ∵a1=2≠0,∴数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,(5分) ∴an=2×2n-1=2n.(6分) (2)由(1)得,bn==(2n-1)·,(7分) 则Tn=1×+3×+5×+…+(2n-1)·, Tn=1×+3×+5×+…+(2n-1)·,(9分) 两式相减,得Tn=1×+2×+2×+…+2·-(2n-1)·=-+-(2n-1)·=--(2n-1)·,(11分) ∴Tn=3--(2n-1)·=3-(2n+3)·.(13分) 16.解析　(1)当a=0时,f(x)=(x-1)ex,f'(x)=xex.(2分) 当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.(4分) 所以f(x)在x=0处取得极小值,极小值为f(0)=-1,无极大值.(5分) (2)易得f'(x)=xex-a.(6分) 若x∈[0,+∞),则xex≥0. 当a≤0时,-a≥0,故f'(x)≥0(不恒为0)在[0,+∞)上恒成立, 所以f(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以f(x)min=f(0)=-1=-a,解得a=(舍去).(9分) 当a>0时,f'(0)=-a<0,f'(a)=a(ea-1)>0,且f'(x)在[0,+∞)上单调递增,其图象是连续不间断的, 故f'(x)在[0,+∞)上有唯一零点,设为x0,则x0∈(0,a),且a=x0. 当x∈[0,x0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以f(x)min=f(x0)=(x0-1)-ax0=(x0-1)·-ax0=a=-a,所以1-x0-=-,解得x0=或x0=2.(12分) 当x0=时,a==;当x0=2时,a=2e2.(14分) 综上,a的值为或2e2.(15分) 17.解析　(1)设甲、乙两超市第n年全年的销售额分别为an万元、bn万元,甲超市前n年的总销售额为Sn万元,则Sn=.(2分) 当n=1时,S1=a1=a;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=·[n2-n+2-(n-1)2+(n-1)-2]=(n-1)a. 经检验,a1=a不满足上式, 故an=(5分) 因为b1=a,n≥2时,bn-bn-1=a, 所以bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=a+a+a+…+a=·a=a.(7分) 显然b1=a也满足上式,所以bn=a(n∈N+).(8分) (2)当n=2时,a2=a,b2=a,则a2>b2;(9分) 当n=3时,a3=2a,b3=a,则a3>b3; 当n≥4时,an≥3a,bn<3a,故乙超市有可能被甲超市收购.(12分) 当n≥4时,令an>bn,则(n-1)a>a, 整理得n+4×>7,所以n≥7,(14分) 即第7年开始乙超市的年销售额不足甲超市的年销售额的50%,乙超市将被甲超市收购.(15分) 18.解析　(1)若选①,由Sn=n得Sn+1=(n+1),(2分) 两式相减得an+1=(n+1)-n, 整理得(n-1)an+1=nan-1,所以nan+2=(n+1)an+1-1,(4分) 两式相减得nan+nan+2=2nan+1,所以an+an+2=2an+1,所以{an}是等差数列.(6分) 由Sn=n得a1=,所以a1=1,又a2=3,所以{an}的公差为a2-a1=2,则an=1+2(n-1)=2n-1.(8分) 若选②,由Sn=得4Sn=anan+1+1,则4Sn+1=an+1an+2+1,(2分) 两式相减得4an+1=an+1an+2-anan+1,因为an≠0,所以an+1≠0,所以an+2-an=4,则{an}的奇数项、偶数项分别构成公差为4的等差数列.(4分) 由Sn=得a1=S1=,所以a1=1,(5分) 结合累加法可得a2n-1=a1+4(n-1)=1+4(n-1)=4n-3=2×(2n-1)-1, a2n=a2+4(n-1)=3+4(n-1)=4n-1=2×(2n)-1. 综上,an=2n-1. 因为an+1-an=2n+1-(2n-1)=2,(7分) 所以{an}是等差数列,且an=2n-1.(8分) (2)(i)由(1)得an=2n-1, 所以bn===-,(10分) 所以Tn=-+-+…+-=-2.(12分) (ii)假设存在满足题意的正整数p,q,r,则p+r=2q,且·=,(14分) 因为2p+1·2r+1=2p+r+2=22q+2,所以(2p+1)(2r+1)=(2q+1)2, 即(2p+1)(2r+1)-(p+r+1)2=-(p-r)2=0,所以p=r, 这与p,q,r互不相等矛盾,(16分) 所以不存在互不相等的正整数p,q,r,使得p,q,r成等差数列且Tp+2,Tq+2,Tr+2成等比数列.(17分) 19.解析　 (1)当a=1时, f(x)=-x+ln x,该函数的定义域为(0,+∞), f'(x)=--1+=-=-<0对任意的x>0恒成立,(2分) 所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,(3分) 又f(1)=0,故当a=1时,函数f(x)的零点为1.(4分) (2)f'(x)=--1+=-,因为f(x)在(2,+∞)上单调递减, 所以-≤0在(2,+∞)上恒成立,即x2-ax+1≥0在(2,+∞)上恒成立,(6分) 所以a≤x+在(2,+∞)上恒成立,设h(x)=x+,则h'(x)=1-, 当x>2时,h'(x)>0,所以h(x)在(2,+∞)上单调递增,所以h(x)>h(2)=,(8分) 所以a≤,即实数a的取值范围是.(9分) (3)证明:由(2)知,x1,x2满足x2-ax+1=0,则x1x2=1,(10分) 不妨设0<x1<x2,则0<x1<1,x2>1, 所以 =--1+a=-2+a =-2+a,(12分) 则证 <a-2,即证a<a,(13分) 即证2ln x2<x2-,即证-x2+2ln x2<0成立, 设函数g(x)=-x+2ln x(x>1),则g'(x)=--1+=-<0, 所以g(x)在(1,+∞)上单调递减,(15分) 又g(1)=0, 所以当x∈(1,+∞)时,g(x)<0, 故-x2+2ln x2<0,即 <a-2.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $