全书综合测评(二)（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（北师大版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 全书综合测评(二) 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知函数f(x)=x2+2 024,当自变量由1变到1.1时,函数y=f(x)的平均变化率为(　　) A.1　　　　B.1.1　　　　C.2　　　　D.2.1 2.在数列{an}中,an+2=an+1-an,a1=3,a2=5,则a4=(　　) A.-3　　　　B.9　　　　C.-5　　　　D.13 3.某滑雪运动员在一次滑雪训练中行进的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为s(t)=2t2+t,则该运动员的滑雪路程为11 m时的滑雪速度为(　　) A.44.5 m/s　　　　B.12.5 m/s　　　　 C.11 m/s　　　　 D.9.5 m/s 4.函数f(x)=(x2-2x)ex的大致图象是(　　) 　　　　　　　　　　　　 5.各项均为正数的等比数列{an}中,+a5a9+=25,则a1a13的最大值为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.5 6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫作“物不知数”.原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?现有一个相关的问题:被3除余1且被4除余2的正整数,按照从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则a2 025的值为(　　) A.24 294　　　　B.24 296　　　　C.24 298　　　　D.24 300 7.在等比数列{an}中,a2=1,a9=9,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)·…·(x-a10),则f'(0)=(　　) A.0　　　　 B.1　　　　 C.-310　　　　D.310 8.若存在斜率为3a(a>0)的直线l与曲线f(x)=x2+2ax-2b和g(x)=3a2ln x都相切,则实数b的取值范围为(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　D. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知数列{an}的前n项和为Sn,下列说法正确的是(　　) A.若a,b,c均不为0且b2=ac,则a,b,c成等比数列 B.若{an}为等差数列,则{}为等差数列 C.若{an}为等比数列,则{lg an}为等差数列 D.若a1=1,a2=2,3an+1=an+2an+2(n∈N+),则{an+1-an}为等比数列 10.已知函数f(x)=,则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)存在三个不同的零点 B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值 C.若当x∈[t,+∞)时, f(x)max=,则t的最小值为2 D.若方程f(x)=k有两个实根,则k∈(-e,0]∪ 11.设函数f(x)=ax-xa(a>1)的定义域为(0,+∞),已知f(x)有且只有一个零点,则下列结论正确的有(　　) A.a=e　　　　 B.f(x)在区间(1,e)上单调递增 C.x=1是f(x)的极大值点　　　　 D.f(e)是f(x)的最小值 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4=8,a1=2,则S5-S3=　　　　.  13.若函数y=f(x)使得数列{an}(an=f(n),n∈N+)为递增数列,则称函数f(x)为数列{an}的保增函数.已知函数f(x)=ex-ax为数列{an}的保增函数,则实数a的取值范围为　　　　.  14.已知圆锥SO'的顶点和底面的圆周都在球O的球面上,圆锥SO'的底面半径为r,高为h,当该圆锥的体积取得最大值时,=　　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且a2+a7=20,S5=35. (1)求Sn; (2)若数列{bn}满足bnSn=1,求数列{bn}的前n项和Tn,并证明Tn<. 16.(本小题满分15分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+2. (1)证明数列{an+2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}落在区间(10,2 026)内的所有项的和. 17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x3+x2-x+. (1)当m=1时,求曲线f(x)过点(1,f(1))的切线方程; (2)若f(x)　　　　,求实数m的取值范围.  从①在上存在单调减区间,②在区间(m,+∞)上存在极小值这两个条件中选择一个,补充在上面的问题中并作答. 注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分. 18.(本小题满分17分)某公司生产一种产品,第一年投入资金1 000万元,出售产品后收入40万元,预计以后每年的投入资金是上一年的一半,出售产品所得收入比上一年多80万元.同时,当预计投入资金低于20万元时,就按20万元投入,且当年出售产品的收入与上一年相同. (1)设第n(n∈N+)年的投入资金和收入金额分别为an万元,bn万元,请求出数列{an},{bn}的通项公式; (2)从第几年起该公司开始并持续盈利?请说明理由(盈利是指总收入大于总投入). 19.(本小题满分17分)设函数f(x)在区间I上有定义,若∀x1,x2∈I,∀t∈(0,1), f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2),则称f(x)是I上的凹函数.若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则f(x)为凹函数的充要条件是其导函数f'(x)在(a,b)上单调递减. (1)若函数y=ax2-2xln x是定义在[2,4]上的凹函数,求实数a的取值范围; (2)已知函数f(x)是定义在I上的凹函数,证明:对于任意的x1,x2,x3∈I,若x1<x3<x2,则 ≥; (3)已知函数g(x)=eax,若∀x∈(-1,0),都有g(x)>,求实数a的取值范围. 答案全解全析 1.D　===2.1. 2.A　由an+2=an+1-an,可得a3=a2-a1=2,a4=a3-a2=2-5=-3. 3.D　令s(t)=2t2+t=11,得t=2或t=-(舍去), 易得s'(t)=4t+,则s'(2)=4×2+=9.5(m/s). 故该运动员的滑雪路程为11 m时的滑雪速度为9.5 m/s. 4.A　令f(x)=(x2-2x)ex=0,解得x=0或x=2,排除C,D; f'(x)=(2x-2)ex+(x2-2x)ex=(x2-2)ex, 当x>或x<-时, f'(x)>0,当-<x<时, f'(x)<0, 故f(x)在(-∞,-),(,+∞)上单调递增,在(-,)上单调递减,排除B,故A符合. 5.A　由题意可得an>0,+a5a9+≥2a6a8+a5a9=2a1a13+a1a13=3a1a13, 所以3a1a13≤25,所以a1a13≤,当且仅当a6=a8=时等号成立,所以a1a13的最大值为. 6.C　被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排成一列, 构成首项为10,公差为3×4=12的等差数列,所以an=10+12×(n-1)=12n-2,则a2 025=12×2 025-2=24 298. 7.D　令g(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a10),则f(x)=xg(x), ∴f'(x)=g(x)+xg'(x),∴f'(0)=g(0)=a1a2…a10, ∵数列{an}是等比数列,且a2=1,a9=9, ∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9,∴f'(0)=g(0)=95=310. 8.A　易得f'(x)=x+2a,g'(x)=, 令f'(x)=x+2a=3a,得x=a, 令g'(x)==3a,得x=a, 因此l与两条曲线有公共切点,切点的横坐标为a, 所以f(a)=g(a),即a2+2a2-2b=3a2ln a,故b=a2-ln a, 令h(a)=a2-ln a,则h'(a)=a-a-3aln a=a-3aln a=a(1-3ln a), 当0<a<时,h'(a)>0,h(a)单调递增,当a>时,h'(a)<0,h(a)单调递减,所以h(a)max=h()=, 显然当a→+∞时,h(a)→-∞,所以b≤. 9.AD　对于A,由等比中项可得A正确; 对于B,若{an}为等差数列,取an=n+1,则-=(n+2)2-(n+1)2=2n+3,不是常数,根据等差数列的定义可知B错误; 对于C,若{an}为等比数列,取an=(-1)n,则当n为奇数时,an=-1,则lg an无意义,故C错误; 对于D,∵3an+1=an+2an+2(n∈N+),∴an+1-an=2an+2-2an+1(n∈N+), 因为a2-a1=2-1=1≠0,所以=(n∈N+), 故数列{an+1-an}是首项为1,公比为的等比数列,故D正确. 10.BD　易知f(x)的定义域为R, f '(x)==-, ∴当x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时, f '(x)<0,当x∈(-1,2)时, f '(x)>0, ∴f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上单调递减,在(-1,2)上单调递增. 对于A,∵f(-1)=-e<0, f(2)=>0, f(-2)=e2>0, ∴f(x)在(-2,-1)和(-1,2)内各存在一个零点, 当x>2时,x2+x-1>0,ex>0,∴f(x)>0恒成立, ∴f(x)有且仅有两个不同的零点,A错误; 对于B,由f(x)的单调性可知, f(x)的极小值为f(-1)=-e,极大值为f(2)=,B正确; 对于C,结合以上分析作出f(x)的图象,如图所示,可知方程f(x)=存在另一个解x0, 若当x∈[t,+∞)时, f(x)max=,则t∈[x0,2],C错误; 对于D,方程f(x)=k有两个实根等价于f(x)的图象与直线y=k有两个交点, 结合图象可知,k∈(-e,0]∪,D正确. 11.ACD　f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点,即方程ax=xa在(0,+∞)上只有一个实数根,对ax=xa的两边同时取自然对数得xln a=aln x,即=只有一个正根. 设h(x)=,则h'(x)=,令h'(x)=0,得x=e.当0<x<e时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x>e时,h'(x)<0,h(x)单调递减,故h(x)max=h(e)=, 当x→0+时,h(x)→-∞,当x→+∞时,h(x)→0, 所以要使方程=只有一个正根,则=或≤0,解得a=e或0<a≤1,又因为a>1,所以a=e,故A正确. f(x)=ex-xe,则f'(x)=ex-exe-1,令f'(x)=0,得ex-1=xe-1,两边同时取自然对数得x-1=(e-1)·ln x,易知x=1和x=e是此方程的解. 设p(x)=(e-1)ln x-x+1,则p'(x)=-1, 当0<x<e-1时,p'(x)>0,p(x)单调递增,当x>e-1时,p'(x)<0,p(x)单调递减,故p(e-1)是p(x)的极大值, 又p(1)=p(e)=0,所以p(x)有且只有两个零点, 当0<x<1或x>e时,p(x)<0,即(e-1)ln x<x-1, 所以xe-1<ex-1,所以exe-1<ex,所以f'(x)>0, 同理可得,当1<x<e时,f'(x)<0, 所以f(x)在(0,1)和(e,+∞)上单调递增,在(1,e)上单调递减,所以f(x)的极小值为f(e)=0,极大值为f(1), 又f(0)=1,所以f(e)是最小值,故B错误,C,D正确. 12.答案　18 解析　设等差数列{an}的公差为d,则d===2, 所以a5=a4+d=10,所以S5-S3=a4+a5=8+10=18. 13.答案　(-∞,e2-e) 解析　由题意可得,∀n∈N+,f(n+1)-f(n)>0,即[en+1-a(n+1)]-(en-an)=(e-1)en-a>0,即a<(e-1)en对任意正整数n都成立, 易知y=(e-1)ex在R上单调递增,所以=(e-1)×e=e2-e,故a<e2-e,所以a∈(-∞,e2-e). 14.答案　 解析　设球O的半径为R,则球心O到圆锥底面圆心O'的距离d=OO'=|R-h|,0<h<2R, 由d2+r2=R2,得r2=2Rh-h2,则圆锥的体积V=πr2h=(2Rh2-h3)(0<h<2R), 求导得V'=(4Rh-3h2)=πh,当0<h<时,V'>0,当<h<2R时,V'<0, 因此函数V=(2Rh2-h3)在h∈上单调递增,在h∈上单调递减, 则当h=时,圆锥的体积V取得最大值,此时==-1=, 所以=. 15.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d, 则(2分) 即解得(4分) 故an=3+(n-1)×2=2n+1,(5分) 故Sn==n2+2n.(6分) (2)由已知得bn===,(8分) 所以Tn= ===-,(11分) 因为>0,>0,所以Tn=-<.(13分) 16.解析　(1)由an+1=2an+2,得an+1+2=2(an+2),(2分) 又a1+2=3,所以数列{an+2}是首项为3,公比为2的等比数列,(4分) 所以an+2=3×2n-1,所以an=3×2n-1-2.(7分) (2)令10<an<2 026,即10<3×2n-1-2<2 026,即4<2n-1<676,解得3<n≤10,n∈N+,(10分) 故数列{an}落在区间(10,2 026)内的项为a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10,(12分) 所以数列{an}落在区间(10,2 026)内的所有项的和为a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=3×(23+24+…+29)-2×7=3×-14=3 034.(15分) 17.解析　(1)当m=1时,f(x)=x3+x2-x+, 则f(1)=0,f'(x)=x2+x-1.(2分) 设切点的坐标为(x0,y0),则切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0), 因为f'(x0)=+x0-1,y0=f(x0)=+-x0+, 所以切线方程为y-=(+x0-1)(x-x0),(4分) 因为切线过点(1,0), 所以--+x0-=(+x0-1)(1-x0), 即4-3-6x0+5=(4x0+5)=0,解得x0=-或x0=1(二重根), (6分) 故切线方程为y=-x+或y=x-1,即11x+16y-11=0或x-y-1=0.(8分) (2)易得f'(x)=x2+mx-1.(9分) 若选①:f(x)在上存在单调减区间,则f'(x)<0在区间上有解,即m<-x在区间上有解,(11分) 令g(x)=-x,易知g(x)在区间上单调递减, 所以g(x)<g=,(14分) 所以m<.(15分) 若选②:f(x)在区间(m,+∞)上存在极小值,则函数f(x)的极小值点在区间(m,+∞)内.(10分) 令f'(x)=x2+mx-1=0,得x=或x=, 故f(x)在,上单调递增,在上单调递减, 所以x=是函数f(x)的极小值点,(12分) 故>m,即>3m,(13分) 当m≤0时,不等式恒成立,当m>0时,m2+4>9m2,所以0<m<.(14分) 综上可得,m<.(15分) 18.解析　(1)由题意得当投入资金不低于20万元时,an=1 000×,(2分) 令1 000×≥20,解得1≤n≤6,(4分) 所以an=(5分) 当1≤n≤6时,易知{bn}是首项为40,公差为80的等差数列, 故bn=40+(n-1)×80=80n-40,当n≥7时,bn=b6=440, 所以bn=(7分) (2)设该公司生产此产品的总利润为Sn万元, 则当1≤n≤6时,Sn=-=2 000×+40n2-2 000.(9分) 当2≤n≤6时,Sn-Sn-1=-2 000×+80n-40, 令f(x)=-2 000×+80x-40(x≥2), 易知f(x)为增函数,且f(3)=-2 000×+240-40=-50<0,f(4)=-2 000×+320-40=155>0,(13分) 所以当2≤n≤3时,Sn<Sn-1,当4≤n≤6时,Sn>Sn-1, 因为S1=-960<0,S6=2 000×+40×36-2 000=-528.75<0, 所以当1≤n≤6时,Sn<0,即前6年均未盈利.(15分) 当n≥7时,Sn=-528.75+(440-20)×(n-6), 令Sn>0,得n≥8,所以该公司从第8年开始并持续盈利.(17分) 19.解析　(1)y'=2(ax-ln x-1), 因为函数y=ax2-2xln x是定义在[2,4]上的凹函数, 所以y'=2(ax-ln x-1)在[2,4]上单调递减,(2分) 设z=2(ax-ln x-1),x∈[2,4], 则z'=2≤0(不恒等于0)恒成立,(3分) 所以a≤,x∈[2,4],(4分) 所以a≤.(5分) (2)证明:要证 ≥, 即证f(x3)≥f(x1)+f(x2),(6分) 由∀x1,x2,x3∈I,且x1<x3<x2,可令t=,则0<t<1,1-t=,x3=tx1+(1-t)x2,又函数f(x)是凹函数,所以f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2),(8分) 所以f(x3)≥f(x1)+f(x2),得证.(10分) (3)∀x∈(-1,0),都有eax>0,>0, 因为g(x)>,所以ax>ln(1+x)-ln(1-x),(11分) 设h(x)=ax-ln(1+x)+ln(1-x),则h'(x)=a--=a-.(12分) ①当a≤2时,因为x∈(-1,0),所以∈(2,+∞),则h'(x)=a-<0,则h(x)单调递减,所以h(x)>h(0)=0, 因此a≤2满足题意.(14分) ②当a>2时,令h'(x)=a-=0,-1<x<0,所以x=-,(15分) 所以当-<x<0时,h'(x)>0,h(x)单调递增, 所以h(x)<h(0)=0,所以ax<ln(1+x)-ln(1-x),不符合题意. 综上所述,实数a的取值范围为(-∞,2].(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $