第2章 专题强化练5 导数运算法则的简单应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（北师大版）

专题强化练5　导数运算法则的简单应用 1.(2025安徽阜阳临泉田家炳实验中学期中)已知曲线y=ln(x-1)+ax在x=2处的切线方程为y=2x+b,则b=(　　) A.-2　　　　　B.-1　　　　　C.1　　　　　D.2 2.(2024陕西咸阳永寿中学月考)已知幂函数f(x)=(2m2-m)在区间(0,+∞)上单调递增,曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴、y轴分别相交于A、B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积为2,则点P的坐标为(　　) A.(2,2)　　　　　B.(4,2)　　　　　 C.　　　　　 D.(2,8) 3.(2025江西萍乡期中)已知气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V=πr3,气球半径r关于气球体积V的导数被称为气球的瞬时膨胀率,则当气球的瞬时膨胀率为时,体积为(　　) A.π L　　　　　B.2π L　　　　　C. L　　　　　D. L 4.(多选题)(2025陕西西安联考)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=[f'(x)]'.若f″(x)≥0在D上恒成立,则称f(x)在D上是“下凸函数”.下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是(　　) A.f(x)=x2-4x+3　　　　　 B.g(x)=x C.h(x)=x2+2cos x　　　　　D.φ(x)=x2ln x 5.(2025河南青桐鸣大联考)若曲线y=mex与y=ln x有且仅有一条斜率为1的公切线,则实数m=(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 6.(多选题)(2024江西吉安井冈山宁冈中学开学考试)已知函数f(x)及其导函数f '(x)的定义域均为R,记g(x)=f '(x).若f ,g(2+x)均为偶函数,则(　　) A. f(0)=0　　　　　 B.g=0 C. f(-1)=f(4)　　　　　D.g(-1)=g(2) 7.(多选题)(2024山东日照期中)已知定义在R上的函数f(x)和g(x),g'(x)是g(x)的导函数且定义域为R.若g(x)为偶函数, f(x)+g'(x)-5=0, f(x)-g'(4-x)-5=0,则下列选项正确的是(　　) A. f(4)=5 B.g'(-4)=1 C. f(1)+f(3)=10 D.g'(-2)+f(2)=10 8.我们把分子、分母同时趋于0的分式结构称为型,比如:当x→0时,的极限即为型,两个无穷小之比的极限可能存在,也可能不存在.1696年,洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法(洛必达法则),用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限,洛必达法则是在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法. 如===1,则=　　　　.  9.(2025江西抚州临川一中月考)已知实数x,y满足x2-3ln x-y=0,则(m∈R)的最小值为　　　　.  10.(2025江西南昌进贤二中等多校期中联考)已知函数f(x)=x2ln x. (1)求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程; (2)若直线3ex-y-2e2=0是曲线y=f(x)的一条切线,求切点的坐标; (3)设函数g(x)=f'(x),P(m,n)为曲线C:y=x2+g'(x)上任意一点,求曲线C在点P处的切线斜率的最小值. 11.(创新题　新考法)如图,过点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y=ex于点Q1(0,1),曲线y=ex在点Q1处的切线与x轴交于点P2,再过点P2作x轴的垂线交曲线于点Q2,依次重复上述过程得到一系列点:P1,Q1;P2,Q2;…;Pn,Qn.记点Pk的坐标为(xk,0)(k=1,2,…,n). (1)试求xk与xk-1的关系(2≤k≤n,且k∈N); (2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|. 答案与分层梯度式解析 1.A 2.B 3.D 4.ABC 5.B 6.BC 7.AC 1.A　因为y=ln(x-1)+ax,所以y'=+a, 当x=2时,y=2a,y'=a+1,即切点坐标为(2,2a),切线斜率为a+1, 由题意可得解得 2.B　依题意得2m2-m=1,解得m=1或m=-, 当m=-时, f(x)=x-1,在(0,+∞)上单调递减,不合题意;当m=1时, f(x)=,在(0,+∞)上单调递增,符合题意. 对f(x)=求导,得f'(x)=,设P(x0,), 则曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y-=(x-x0),整理得y=x+,令x=0,得y=;令y=0,得x=-x0, 所以S△OAB=·|-x0|·=2,解得x0=4,所以点P的坐标为(4,2). 3.D　由V=πr3,得r==·V,求导,得r'=·,令r'=,所以V=. 4.ABC　对于A, f(x)的定义域为R, f'(x)=2x-4, f″(x)=2>0,故A符合. 对于B,g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)==-,g″(x)=>0,故B符合. 对于C,h(x)的定义域为R,h'(x)=2x-2sin x,h″(x)=2-2cos x≥0,故C符合. 对于D,φ(x)的定义域为(0,+∞),φ'(x)=2xln x+x2·=2xln x+x,φ″(x)=2ln x+2x·+1=2ln x+3,当0<x<时,φ″(x)<0,故D不符合. 5.B　设公切线与曲线y=mex和y=ln x的切点分别是A(x1,y1),B(x2,y2), 由y=ln x,得y'=,所以=1,解得x2=1, 又y2=ln x2=ln 1=0,即B(1,0),所以切线方程为y=x-1. 由y=mex,得y'=mex,所以m=1,解得x1=-ln m, 又y1=m=me-ln m=1,所以A(-ln m,1), 且点A(-ln m,1)也在切线y=x-1上, 所以1=-ln m-1,解得m=. 6.BC　解法一:设f(x)=1,则g(x)=f'(x)=0,易知所设f(x)符合题意,此时f(0)=1,故A错误. 设f(x)=sin πx,则g(x)=f '(x)=πcos πx, 由于f=sin=sin=-cos 2πx, g(2+x)=πcos[π(2+x)]=πcos(2π+πx)=πcos πx, 所以f ,g(2+x)均为偶函数,所以所设f(x)符合题意, 于是g(-1)=πcos(-π)=-π,g(2)=πcos 2π=π,故D错误. 因为f 是偶函数,所以f '是奇函数, 即g是奇函数,则g=0, 又因为g(2+x)是偶函数, 所以g=g=-g =-g=-g=-g =g=g=g=g=0, 故B正确. 由题得f =f ,取x=,则f(-1)=f(4),故C正确. 解法二:由题意知f=f⇔f=f ⇔f(-x)=f(3+x)①, 取x=1,知f(-1)=f(4),C正确. 对①两边求导知-f '(-x)=f '(3+x)⇔f '(-x)=-f '(3+x),即g(-x)=-g(3+x)②, 取x=-,知g=0. 由题意知g(2+x)=g(2-x),所以g(-x)=g(x+4)③, 由②③知g(x+4)=-g(x+3),即g(x+1)=-g(x), 所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x). 从而g=g=g=0,B正确. 同解法一可判断出A,D错误. 7.AC　因为g(x)为偶函数,所以g(-x)=g(x),两边求导得-g'(-x)=g'(x),又g'(x)的定义域为R,关于原点对称,所以g'(x)为奇函数, 因为f(x)+g'(x)-5=0, f(x)-g'(4-x)-5=0, 所以f(x)-5=-g'(x)=g'(4-x),故g'(-x)=g'(4-x),所以g'(x)=g'(4+x), 即g'(x)的周期为4且g'(0)=g'(4)=0,则g'(-4)=g'(0)=0,故B错误; 在f(x)+g'(x)-5=0中,令x=4,得f(4)+g'(4)-5=0,所以f(4)=5,故A正确; 在f(x)+g'(x)-5=0中,令x=1,得f(1)+g'(1)-5=0, 在f(x)-g'(4-x)-5=0中,令x=3,得f(3)-g'(1)-5=0, 两式相加得f(1)+f(3)-10=0,即f(1)+f(3)=10,故C正确; 在f(x)-5=-g'(x)=g'(4-x)中,令x=2,得f(2)-5=g'(2)=-g'(2),则g'(2)=0,所以g'(-2)=-g'(2)=0,则f(2)-5=0,即f(2)=5,所以g'(-2)+f(2)=5,故D错误. 8.答案　2 解析　由题意得= ====2. 9.答案　 解析　由题意得, =, 则问题可转化为求曲线y=x2-3ln x上一点到点的距离的最小值, 又因为点在直线y=-x上,所以当曲线y=x2-3ln x的切线与直线y=-x平行时,距离取得最小值, 由y=x2-3ln x(x>0)得y'=2x-(x>0),令y'=2x-=-1,解得x=1或x=-(舍去), 当x=1时,y=1,即切点为(1,1),点(1,1)到直线x+y=0的距离为=,即所求最小值为. 10.解析　(1)因为f(x)=x2ln x,所以f'(x)=2xln x+x, 可得f(1)=0, f'(1)=1, 即切点坐标为(1,0),切线斜率为1, 所以切线方程为y=x-1. (2)直线3ex-y-2e2=0即为y=3ex-2e2, 设切点坐标为(x0,ln x0),x0>0, 则切线斜率为2x0ln x0+x0, 则切线方程为y-ln x0=(2x0ln x0+x0)(x-x0),即y=(2x0ln x0+x0)x-(ln x0+), 可得消去ln x0可得(x0+4e)(x0-e)=0, 又x0>0,所以x0=e,而f(e)=e2, 所以切点坐标为(e,e2). (3)由(1)可知,g(x)=2xln x+x,则g'(x)=2ln x+3, 令h(x)=x2+g'(x)=x2+2ln x+3, 则h(x)的定义域为(0,+∞),则m>0, 又h'(x)=2x+,所以曲线C在点P处的切线斜率为h'(m)=2m+≥2=4, 当且仅当2m=,即m=1时,等号成立, 所以曲线C在点P处的切线斜率的最小值为4. 11.解析　(1)因为点Pk-1的坐标是(xk-1,0), 所以点Qk-1的坐标是(xk-1,). 因为y=ex,所以y'=ex,故曲线y=ex在点Qk-1(xk-1,)处的切线方程是y-=(x-xk-1), 令y=0,则x=xk=xk-1-1(2≤k≤n,且k∈N). (2)因为x1=0,xk-xk-1=-1(2≤k≤n,且k∈N),所以数列{xk}是首项为0,公差为-1的等差数列,故xk=-(k-1)(k∈N+), 所以|PkQk|==e-(k-1),则==e-1(2≤k≤n,且k∈N),所以|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|=1+e-1+e-2+…+e-(n-1)==. 1 学科网（北京）股份有限公司 $