第2章 导数及其应用 章末综合测试　（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（北师大版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第二章　导数及其应用 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数f(x)=x2-sin x在区间[0,π]上的平均变化率为(　　) A.-π-　　　　B.-π　　　　C.π　　　　D.π+ 2.若函数y=f(x)在x=x0处的导数等于a,则的值为(　　) A.0　　　　B.a　　　　C.a　　　　D.2a 3.一质点做直线运动,若它所经过的路程与时间的关系为s(t)=t3+1,设其在时间段[1,2]内的平均速度为v1,在t=2时的瞬时速度为v2,则=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 4.已知函数f(x)=x2+ax+bln x+a2在x=1处取得极小值21,则b=(　　) A.4　　　　B.3　　　　C.-5　　　　D.-6 5.已知函数y=f(x)的图象如图所示,f'(x)是函数f(x)的导函数,则(　　) A.2f'(2)<f(4)-f(2)<2f'(4) B.2f'(4)<2f'(2)<f(4)-f(2) C.2f'(2)<2f'(4)<f(4)-f(2) D.f(4)-f(2)<2f'(4)<2f'(2) 6.已知函数f(x)=x3+3x2-9x+1,若f(x)在区间(k,2]上的最大值为28,则实数k的值可以是(　　) A.-4　　　　B.-3　　　　C.-2　　　　D.-1 7.已知函数f(x)=x2-xln x(a∈R),若对任意x1>x2>0,f(x1)>f(x2)恒成立,则a的取值范围为(　　) A.[1,+∞)　　　　B.(-∞,1] C.[e,+∞)　　　　D.[1,e] 8.已知正实数x,y满足+3y-2=ln x+ln y,则x+y=(　　) A.2　　　　B.　　　　C.　　　　D. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知f'(x)为函数f(x)的导函数,若函数y=f'(x)-1的图象大致如图所示,则(　　) A.f(x)有3个极值点　　　　B.x=-4是f(x)的极大值点 C.x=0是f(x)的极大值点　　　　D.f(x)在(0,4)上单调递减 10.意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》中,女士脖颈上的黑色珍珠项链与主人相互映衬,呈现出不一样的美与光泽,达·芬奇提出:固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”.后人给出了悬链线的函数解析式:f(x)=acosh,其中a为曲线顶点到横坐标轴的距离,cosh x称为双曲余弦函数,其函数表达式为cosh x=,相应地,双曲正弦函数的表达式为sinh x=.若直线x=m与双曲余弦函数C1,双曲正弦函数C2的图象分别相交于点A,B,曲线C1在点A处的切线l1与曲线C2在点B处的切线l2相交于点P,则下列结论正确的为(　　) A.cosh(x-y)=cosh xcosh y-sinh xsinh y B.y=sinh xcosh x是偶函数 C.(cosh x)'=sinh x D.若△PAB是以A为直角顶点的直角三角形,则m=0 11.若定义域为(0,+∞)的函数f(x)的导函数f'(x)满足xf'(x)+1>0,且f(1)=1,则下列结论正确的是(　　) A. f(e)>0　　　 　 B. f <2 C.∀x∈(1,e),f(x)>0　　　　D.∃x∈(1,e),f(x)-f +2<0 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=x3+x2f'(1)+4x,则f'(2)=　　　　.  13.已知函数f(x)=ln(ax+1),且直线y=2x为曲线y=f(x)的一条切线,则a=　　　　.  14.已知函数f(x)=xln x-emx对定义域内任意x1<x2,都有 <1,则正实数m的取值范围为　　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分)在①f(x)的一个极值点为0,②曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+(e-1)y-1=0垂直,③f(-x)-f'(x)为奇函数这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答. 已知函数f(x)=ex+ax-1,且　　　　,求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.  注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分. 16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=ax2+x-xln x. (1)若a=0,求函数f(x)的单调区间; (2)若f(e)=e2,且在(0,+∞)上, f(x)-2x-mx2≥0恒成立,求实数m的取值范围. 17.(本小题满分15分)某商场在“五一”劳动节期间对某商品进行调价,已知该商品的每日销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:百元/千克)满足y=+,其中≤x≤,该商品的成本为1百元/千克. (1)将该商场每日销售该商品所获利润f(x)表示为关于销售价格x的函数; (2)当每日销售该商品所获利润最大和最小时,销售价格分别是多少?(参考数据:e2≈7.389,≈4.482,≈12.182) 18.(本小题满分17分)已知函数f(x)=1-,a∈R. (1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于直线y=x,求该切线方程; (2)若a=1,求证:当x>0时, f(x)>0; (3)若f(x)有且只有两个零点,求a的值. 19.(本小题满分17分)阅读材料一:“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利提出来的,大意如下:一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封,他把这n封信都装错了信封,问都装错信封的这一情况有多少种.后来瑞士数学家欧拉给出了解答:记都装错n封信的情况为Dn种,可以用全排列n!减去有装正确的情况种数,结合容斥原理可得公式:Dn=n!,其中n∈N+. 阅读材料二:英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当f(x)在x=0处n阶可导,则有f(x)=f(0)+f'(0)x+x2+…+xn+…(注:f(n)(x)(n≥2)表示f(x)的n阶导数,如f(2)(x)=[f'(x)]', f(3)(x)=[f(2)(x)]'),该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题: (1)求出D1,D2,D4的值; (2)估算的大小(结果保留小数点后2位),并给出用e和n表示Dn的估计公式; (3)求证:2tan+4tan+…+2ntan<2n+1,其中n∈N+. 答案全解全析 1.C　所求平均变化率为 ==π. 2.D　=2=2f'(x0)=2a. 3.B　由题意得,该质点在时间段[1,2]内的平均速度v1===,因为s'(t)=t2,所以s'(2)=4,即该质点在t=2时的瞬时速度v2=4,所以=. 4.D　由已知得f(x)的定义域为(0,+∞),且f '(x)=2x+a+, 因为函数f(x)在x=1处取得极小值21,所以解得或 当a=4,b=-6时, f(x)=x2+4x-6ln x+16,可得f '(x)=2x+4-=,x>0,当x∈(0,1)时, f '(x)<0, f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0, f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,为f(1)=21,符合题意. 当a=-5,b=3时, f(x)=x2-5x+3ln x+25,可得f '(x)=2x-5+=,x>0,当x∈(0,1)时, f '(x)>0, f(x)单调递增;当x∈时, f '(x)<0, f(x)单调递减;当x∈时, f '(x)>0, f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极大值,不符合题意,舍去. 综上可得,a=4,b=-6. 5.A　由题图得经过点(2,f(2))和点(4,f(4))的割线的斜率大于曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率,且小于曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线的斜率, 即f'(2)< <f'(4),∴2f'(2)<f(4)-f(2)<2f'(4). 6.A　f'(x)=3x2+6x-9,令f'(x)=3x2+6x-9=0,解得x1=-3,x2=1, 所以当x∈(-∞,-3)∪(1,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(-3,1)时,f'(x)<0, 所以函数f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)上单调递增,在(-3,1)上单调递减,因为f(2)=3,f(-3)=28,且f(x)在区间(k,2]上的最大值为28,所以k<-3,结合选项知k的值可以是-4. 7.A　由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, 因为f(x)=x2-xln x,所以f'(x)=ax-ln x-1, 则f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立, 因为x∈(0,+∞),所以a≥在(0,+∞)上恒成立,即a≥, 令g(x)=,则g'(x)=-, 所以当x∈(0,1)时,g'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0, 所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 所以g(x)max=g(1)=1,所以a≥1. 8.D　设f(x)=-ln x-2(x>0),则f'(x)=-=, 令f'(x)<0,得0<x<3,令f'(x)>0,得x>3, 所以f(x)在(0,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增, 所以f(x)≥f(3)=-ln 3-1. 设g(y)=ln y-3y(y>0),则g'(y)=-3=, 令g'(y)>0,得0<y<,令g'(y)<0,得y>, 所以g(y)在上单调递增,在上单调递减, 所以g(y)≤g=-ln 3-1, 所以当x=3,y=时, f(x)=g(y),即+3y-2=ln x+ln y,此时x+y=. 9.AB　由函数y=f'(x)-1的图象向上平移一个单位长度即得函数y=f'(x)的图象, 因此在区间(-∞,-4),(0,4)上, f'(x)>0, f(x)单调递增; 在区间(-4,0),(4,+∞)上, f'(x)<0, f(x)单调递减, 所以f(x)有3个极值点,x=-4是f(x)的极大值点, x=0是f(x)的极小值点,f(x)在(0,4)上单调递增,所以A,B正确. 10.ACD　cosh xcosh y-sinh xsinh y=·-·==cosh(x-y),A正确; y=sinh xcosh x=,记g(x)=,易知其定义域为R, 且g(-x)==-g(x),故g(x)为奇函数,即y=sinh xcosh x是奇函数,B错误; (cosh x)'===sinh x,C正确; 因为AB⊥x轴,所以若△PAB是以A为直角顶点的直角三角形,则kPA=0,设S(x)=,则S'(x)=,则kPA=S'(m)==0,解得m=0,D正确. 11.ABC　若定义域为(0,+∞)的函数f(x)的导函数f'(x)满足xf'(x)+1>0, 则f'(x)+>0, 设g(x)=f(x)+ln x,则g'(x)=f'(x)+>0,g(1)=f(1)+ln 1=1, 则g(x)在(0,+∞)上为增函数. 对于A,e>1,则g(e)>g(1),即f(e)+ln e>1,即f(e)>0,A正确; 对于B,<1,则g<g(1),即f +ln <1,即f <2,B正确; 对于C,因为g(x)在(1,e)上为增函数,且g(1)=1,所以∀x∈(1,e),f(x)+ln x>1,则f(x)>1-ln x,由1<x<e,得1-ln x>0,则f(x)>0,C正确; 对于D,当x∈(1,e)时,x>>0,则g(x)>g, 所以f(x)+ln x>f +ln ,即f(x)-f +2ln x>0, 由1<x<e,得0<ln x<1, 则f(x)-f +2>0恒成立,D不正确. 12.答案　-12 解析　f'(x)=3x2+2f'(1)x+4,则f'(1)=3+2f'(1)+4,得f'(1)=-7, 所以f'(x)=3x2-14x+4,则f'(2)=12-28+4=-12. 13.答案　2 解析　设直线y=2x与曲线y=f(x)相切于点(x0,ln(ax0+1)), 由f(x)=ln(ax+1)得f'(x)=,故切线斜率为f'(x0)=, 因此切线方程为y-ln(ax0+1)=(x-x0), 依题意得=2,且=ln(ax0+1),联立消去ax0得ln a+-1-ln 2=0,令g(a)=ln a+-1-ln 2,a>0,则g'(a)=-=, 当0<a<2时,g'(a)<0,当a>2时,g'(a)>0,所以g(a)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故当a=2时,g(a)取得最小值,且g(a)min=g(2)=0,故方程g(a)=0有唯一实数根2,即a=2. 14.答案　 解析　因为<1,x1<x2,所以<0. 令函数g(x)=f(x)-x=xln x-x-emx(x>0),则<0,则g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以g'(x)=ln x-memx≤0在(0,+∞)上恒成立,所以ln x≤memx,即xln x≤mxemx=emxln emx. 令函数h(x)=xln x(x>0),则h'(x)=ln x+1, 当x∈时,h'(x)<0,当x∈时,h'(x)>0, 所以h(x)在上单调递减,在上单调递增. 当x∈(0,1]时,h(x)≤0,当x∈(1,+∞)时,h(x)>0, 又m>0,x>0,所以emx>1,当x∈(0,1]时,x<emx恒成立,当x∈(1,+∞)时,xln x≤emxln emx即h(x)≤h(emx),所以x≤emx, 故当x∈(0,+∞)时,x≤emx恒成立,故m≥. 令函数φ(x)=(x>0),则φ'(x)=, 当x∈(0,e)时,φ'(x)>0,当x∈(e,+∞)时,φ'(x)<0, 所以φ(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, 所以φ(x)max=φ(e)=,所以m≥. 综上所述,正实数m的取值范围为. 15.解析　选择①,因为f(x)=ex+ax-1,所以f'(x)=ex+a, 由题意得f'(0)=e0+a=0,故a=-1.(3分) 所以f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1. 令f'(x)=ex-1=0,得x=0.(6分) 当x∈(-1,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,1)时,f'(x)>0. 所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,(9分) 所以f(x)在[-1,1]上的最小值为f(0)=0.(11分) 因为f(-1)=<f(1)=e-2. 所以f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=e-2.(13分) 选择②,因为f(x)=ex+ax-1,所以f'(x)=ex+a, 由题意得f'(1)=e+a=e-1,故a=-1.(3分) 以下同选择①.(13分) 选择③,因为f(x)=ex+ax-1,所以f'(x)=ex+a, 因为f(-x)-f'(x)为奇函数,所以f(-x)-f'(x)=f'(-x)-f(x), 即e-x-ax-1-ex-a=e-x+a-ex-ax+1,解得a=-1.(3分) 以下同选择①.(13分) 16.解析　(1)当a=0时, f(x)=x-xln x,函数的定义域为(0,+∞).(2分) f'(x)=-ln x,令f'(x)=0,得x=1.(4分) 当x∈(0,1)时, f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时, f'(x)<0, ∴f (x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).(7分) (2)由f(e)=e2,得ae2+e-e=e2,∴a=1,∴f(x)=x2+x-xln x.(9分) 由f(x)-2x-mx2≥0,得(1-m)x2-x-xln x≥0, ∴m≤1--在(0,+∞)上恒成立. 令g(x)=1--,可得g'(x)=,(12分) 当x∈(0,1)时,g'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0, ∴g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴g(x)min=g(1)=0,∴m的取值范围是(-∞,0].(15分) 17.解析　(1)由题意得f(x)=(x-1)·=+ex.(3分) (2)由(1)可得f'(x)=-+ex=.(4分) 设g(x)=ex(x-1)2-e2,(5分) 则g'(x)=ex(x-1)2+ex·2(x-1), 因为≤x≤,所以g'(x)>0,(7分) 所以函数g(x)在上单调递增.(8分) 又g=-e2≈×4.482-7.389<0,g=-e2≈×12.182-7.389>0,g(2)=e2-e2=0,(10分) 所以当≤x<2时,g(x)<0,所以f'(x)<0,所以f(x)在上单调递减;当2<x≤时,g(x)>0,所以f'(x)>0,所以f(x)在上单调递增.(12分) 又f=2e2+≈2×7.389+4.482=19.26,f(2)=2e2≈14.78,f=e2+≈×7.389+12.182≈17.11.(14分) 所以当销售价格为百元/千克时,利润最大;当销售价格为2百元/千克时,利润最小.(15分) 18.解析　(1)f'(x)=,则f'(1)=-=1,故a=-e,(2分) 所以f(1)=1-=2, 所以所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.(4分) (2)证明:当a=1时, f(x)=1-, f'(x)=. 当x∈(0,2)时, f'(x)<0;当x∈(2,+∞)时, f'(x)>0,(6分) 所以f(x)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增,(7分) 所以f(x)min=f(2)=1->0,(8分) 故当x>0时, f(x)>0.(9分) (3)对于函数f(x)=1-,a∈R, (i)当a≤0时, f(x)>0, f(x)没有零点,不符合题意.(10分) (ii)当a>0时, f'(x)=, 当x∈(-∞,0)时, f'(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,0)上单调递增; 当x∈(0,2)时, f'(x)<0,所以f(x)在区间(0,2)上单调递减; 当x∈(2,+∞)时, f'(x)>0,所以f(x)在区间(2,+∞)上单调递增, 所以f(0)=1是f(x)的极大值, f(2)=1-是f(x)的极小值. 因为f=1-=1-=1-<0, 所以f(x)在(-∞,0)上有且只有一个零点.(13分) 由于f(2)=1-, ①若f(2)>0,即a<,则f(x)在区间(0,+∞)上没有零点;(14分) ②若f(2)=0,即a=,则f(x)在区间(0,+∞)上有一个零点;(15分) ③若f(2)<0,即a>,且f(0)=1,则f(x)在区间(0,2)上有一个零点, 由(2)知,当x>0时,ex>x2,所以f(4a)=1-=1->1-=1->0,故f(x)在区间(2,4a)上有一个零点. 因此当a>时, f(x)在区间(0,+∞)上有两个零点. 综上,当f(x)有两个零点时,a=.(17分) 19.(1)因为Dn=n!, 所以D1=1!×=1×(1-1)=0, D2=2!×=2×=1, D4=4!×=24×=9, 所以D1=0,D2=1,D4=9.(4分) (2)由麦克劳林公式,可令f(x)=ex,则ex=1+x+++…++…, 取x=,可得=1++++…++…≈1+0.5+0.125+0.020 8+…≈1.645 8,(6分) 所以的估算值为1.65.(7分) 在ex=1+x+++…++…中,取x=-1,可得Dn≈.(9分) (3)证明:由麦克劳林公式得,当x∈(0,1)时,令f(x)=sin x,则sin x=x-+-…,猜想:sin x<x.(10分) 令f(x)=cos x,则cos x=1-+-…,猜想:cos x>1-.(11分) 令g(x)=sin x-x(x>0),由g'(x)=cos x-1≤0,得g(x)<g(0)=0,即sin x<x. 令h(x)=cos x-1+(x>0),则h'(x)=-sin x+x, 再令p(x)=-sin x+x(x>0),则p'(x)=-cos x+1≥0,(13分) 所以h'(x)(x>0)单调递增,则h'(x)>h'(0)=0, 所以h(x)(x>0)单调递增,所以h(x)>h(0)=0,即cos x>1-.(14分) 又x∈(0,1)时,0<sin x<x,cos x>1->0,所以tan x<.(15分) 令x=, 当n≥2,n∈N+时,有ntan<=<=2+=2+-, 则2tan+4tan+…+2ntan<2+-+2+-+…+2+-=2n+1-<2n+1,命题得证.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $