第1章 专题强化练2 等比数列的综合运用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（北师大版）

专题强化练2　等比数列的综合运用 1.(2025江西赣州中学月考)已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若S6=9S3,则(　　) A.q=2　　　　　B.q=　　　　　C.q=-2　　　　　D.q=- 2.(2025重庆部分区县月考)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,从低到高依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比值都等于.若第一个单音的频率为f,则第六个单音的频率为(　　) A.f　　　　　B.f　　　　　C.f　　　　　D.f 3.(2025江西宜春一中月考)已知Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an-4,若λan≥2log2an+1对任意正整数n恒成立,则实数λ的最小值为(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 4.(2024江苏盐城联盟校联考)已知数列{an}的首项为a1=,且an+1=,++…+<2 025,则满足条件的最大正整数n=(　　) A.2 022　　　　　B.2 023　　　　　C.2 024　　　　　D.2 025 5.(创新题　新情境)(2025陕西西安一中期中)在流行病学中,基本传染数R0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数R0=4,平均感染周期为7天,那么由1个初始感染者增加到1 000个感染者所需的传染轮数大约为(初始感染者传染R0个人为第一轮传染,这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染,……)(　　) A.4　　　　　B.5　　　　　C.6　　　　　D.7 6.(2024江西九师联盟月考)在1,3中间插入二者的乘积,得到1,3,3,称数列1,3,3为数列1,3的第一次扩展数列,数列1,3,3,9,3为数列1,3的第二次扩展数列,重复上述规则,可得1,x1,x2,…,,3为数列1,3的第n次扩展数列,令an=log3(1·x1·x2·…··3),则数列{an}的通项公式为　　　　.  7.(2023山东烟台期末)已知数列{an}满足a1=-,an+1=(n∈N+). (1)证明是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足bn=(n-3),记{bn}的前n项和为Tn,若Tn≤tbn对任意n∈N+恒成立,求实数t的取值范围. 答案与分层梯度式解析 1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 1.A　已知S6=9S3,若q=1,则S6=6a1,S3=3a1,则9S3=27a1, 又a1≠0,所以S6≠9S3,所以q=1不符合题意. 当q≠0且q≠1时,由S6=9S3,得=, 即1-q6=9(1-q3),即(1+q3)(1-q3)=9(1-q3), 则1+q3=9,解得q=2. 2.B　由题意得,十三个单音的频率构成首项为f,公比为的等比数列,设该等比数列为{an}, 则第六个单音的频率a6=f·()5=f. 3.C　已知Sn=2an-4, 令n=1,得S1=2a1-4,即a1=2a1-4,解得a1=4, 当n≥2时,由得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即=2(n≥2), 所以数列{an}是以4为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n+1. 由λan≥2log2an+1恒成立,得λ≥恒成立,即λ≥, 令cn=,则cn+1-cn=-=<0,所以cn+1<cn, 即数列{cn}单调递减,故(cn)max=c1=,所以λ≥,所以实数λ的最小值为. 4.C　因为an+1=,所以==+, 所以-1=,所以数列是等比数列,其首项为-1=-1=,公比为,所以-1=×=2×,即=2×+1,设数列的前n项和为Sn, 则Sn=++…+=2×++…++n=2×+n=n+1-,n∈N+, 易知{Sn}是递增数列,又因为S2 024=2 025-<2 025,且S2 025=2 026->2 025,所以满足条件的最大正整数n=2 024. 5.B　由题意得1个初始感染者经过第一轮传染,感染人数为R0,经过第二轮传染,感染人数为,……,设第n轮感染人数为an,则数列{an}为等比数列,首项a1=R0=4,公比q=R0=4,所以经过n轮传染后感染人数为=, 令+1≥1 000,因为+1=341<1 000且+1=1 365>1 000,n∈N+,所以n≥5,所以由1个初始感染者增加到1 000个感染者大约需要5轮传染. 6.答案　an= 解析　因为an=log3(1·x1·x2·…··3), 所以an+1=log3[1·(1·x1)x1(x1x2)x2…(·3)·3]=log3(12·…·32)=3an-1, 所以an+1-=3, 又a1=log3(1×3×3)=2,所以a1-=, 所以是以为首项,3为公比的等比数列, 所以an-=×3n-1=,所以an=. 7.解析　(1)因为a1=-≠0,an+1=,所以an≠0,所以==-, 故+2=-+2=, 又因为+2=,所以是以为首项,为公比的等比数列, 故+2==2×,即an=. (2)由(1)得,bn=(n-3)=(n-3), 则Tn=(-2)×+(-1)×+0×+…+(n-3)×, Tn=(-2)×+(-1)×+…+(n-4)×+(n-3)×, 两式相减得,Tn=-+-(n-3)×=-+-(n-3)×=-+-(n-3)×=-n, 所以Tn=-2n, 所以Tn≤tbn恒成立即-2n≤t(n-3)恒成立,即t(n-3)+2n≥0恒成立, 当n=3时,不等式恒成立,t∈R; 当n<3时,t≤-=-2-,易知y=-2-(n<3,n∈N+)单调递增,故当n=1时,ymin=1,所以t≤1; 当n>3时,t≥-=-2-,易知g(n)=-2-(n>3,n∈N+)单调递增,且当n趋于正无穷时,g(n)趋于-2,所以g(n)<-2,所以t≥-2. 综上可得,实数t的取值范围为[-2,1]. 1 学科网（北京）股份有限公司 $