第1章 第5节 数学归纳法（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（北师大版）

第一章　数列 *§5　数学归纳法 基础过关练 题组一　用数学归纳法证明等式 1.(2025江西六校联考)用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N+),在验证n=1成立时,左边计算所得的项是(　　) A.1　　　 　　B.1+a C.1+a+a2　　　　　 D.1+a+a2+a3 2.用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)×(2n+1)(n∈N+)时,从n=k到n=k+1,等式的左边需要增乘的代数式是(　　) A.2k+1　　　　　 B. C.　　 　　　D.2(2k+1) 3.(2024山西朔州期中)用数学归纳法证明…=(n≥2,n∈N+). 题组二　用数学归纳法证明不等式 4.(2025陕西榆林镇川中学月考)用数学归纳法证明不等式1+++…+<n(n≥2,n∈N+)时,由n=k到n=k+1,左边增加了(　　) A.(2k-1)项　　　　　B.2k项　　　　　C.k项　　　　　D.1项 5.(2025辽宁沈阳二中期中)下列命题错误的个数是(　　) ①用数学归纳法证明2n>n2时,正整数n的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明+++…+≥(n≥1,n∈N)时,由n=k到n=k+1,不等式左边应添加的项是+. ③设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立,若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立. ④用数学归纳法证明不等式<n+1(n∈N+),过程如下: (i)当n=1时,左边=,右边=1+1,不等式成立; (ii)假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立,即<k+1, 那么当n=k+1时,= <==(k+1)+1, 所以当n=k+1时,不等式成立. 综上,<n+1(n∈N+). A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4 6.(2025湖南师大附中期末)用数学归纳法证明1+++…+<n(n>1且n∈N),则第一步要证的不等式是　　　　　.  7.已知f(n)=1+++…+(n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)>时, f(2k+1)-f(2k)=　　　　　　　　.  8.用数学归纳法证明>对任意n≥n0的正整数n都成立时,第一步证明中的起始值n0应为　　　　.  9.(2023江西宜春八校联考)已知数列{an}中,a1=2,an+1=(2-)an+3-,n∈N+. (1)求{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足b1=2,bn+1=,证明:<bn≤a2n-1,n∈N+. 题组三　用数学归纳法解决归纳—猜想—证明问题 10.(2024江苏盐城响水中学期中)正项数列{an}中,若a1+a2+a3+…+an=,n∈N+,则a2 023的值是(　　) A.+　　　　　B.+ C.-　　　　　D.- 11.(2025上海复旦大学附属中学月考)数学的浪漫难以言表,今年是2025年,2 025=452,2 025=13+23+33+43+53+63+73+83+93,我们将这样可以表示成某个整数的平方且可以表示为连续正整数的立方和的年份称为“完美平方年”,小张同学想给下一个“完美平方年”的人写一封信,则标题可起为　　　年之约.  12.(2025河南百师联盟联考)在数列{an}中,a1=1,an+1=. (1)求a2,a3,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的猜想. 13.定义在正整数集上的函数y=f(n)满足f(n)·[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],且f(1)=2. (1)求证:f(3)-f(2)=; (2)是否存在实数a,b,使f(n)=+1对任意正整数n恒成立?并证明你的结论. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.C 2.D 4.B 5.D 10.C 1.C　因为1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N+),所以当n=1时,等号左边为1+a+a1+1=1+a+a2. 2.D　从n=k到n=k+1,等式的左边需要增乘的代数式是=2(2k+1). 3.证明　当n=2时,左边=1-=,右边==, 左边=右边, 所以当n=2时,等式成立. 假设当n=k(k∈N+,k≥2)时等式成立, 即…=, 那么当n=k+1时,·…·=·=·==,即当n=k+1时,等式也成立. 故对任意n≥2,n∈N+,等式恒成立. 4.B　当n=k时,不等式左边为1+++…+, 当n=k+1时,不等式左边为1+++…++++…+, 故增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2×2k-2k=2k. 5.D　对于①,当n=1时,21>12成立, 当n=2时,22=22,不满足题意, 根据数学归纳法的要求可知,正整数n的第一个取值不是1,故①错误; 对于②,当n=k时,左边=+++…+, 当n=k+1时,左边=++…++,故由n=k到n=k+1,不等式左边应添加的项是+-=-,故②错误; 对于③,由题意得f(7)<49无法推出当k≥8时,均有f(k)<k2成立,故③错误; 对于④,当n=k+1时,没有用到n=k时的假设结论,故④错误. 6.答案　1++<2 解析　由n>1且n∈N,可知n的第一个取值为2, 由题意可知,当n=2时,1++<2, 所以第一步要证的不等式为1++<2. 易错警示　在利用数学归纳法证明命题时,不能误以为n的初始值只能取1,n的初始值是使命题成立的n的最小正整数. 7.答案　++…+ 解析　因为当n=k时, f(2k)=1+++…+, 当n=k+1时, f(2k+1)=1+++…+++…+, 所以f(2k+1)-f(2k)=1++…+-=++…+. 8.答案　3 解析　不等式>即1->1-,即3n>6n+1,当n=1时,3<7,不等式不成立;当n=2时,32<13,不等式不成立;当n=3时,33>19,不等式成立;当n=4时,34>25,不等式成立;当n≥5时,根据指数函数与一次函数的性质可得3n>6n+1.所以第一步证明中的起始值n0应为3. 9.解析　(1)因为an+1=(2-)an+3-, 所以an+1-=(2-)an+3-2, 即an+1-=(2-)an+(-2), 即an+1-=(2-)(an-), 所以数列{an-}是首项为2-,公比为2-的等比数列, 故an-=(2-)(2-)n-1=(2-)n,即{an}的通项公式为an=(2-)n+. (2)证明:(i)当n=1时,因为<2,b1=a1=2,所以<b1≤a1,结论成立. (ii)假设当n=k(k∈N+)时,结论成立,即<bk≤a2k-1,即0<bk-≤a2k-1-. 当n=k+1时,bk+1-=-==>0, 又<=2-,所以bk+1-=<(bk-)≤(2-)2·(a2k-1-)=a2k+1-,所以当n=k+1时,结论也成立. 根据(i)和(ii)知<bn≤a2n-1,n∈N+恒成立. 10.C　∵a1+a2+a3+…+an=, ∴当n=1时,a1=, 又{an}为正项数列,∴a1=1, 当n=2时,1+a2=,∴a2=-1, 同理可得a3=-,a4=2-,……, 故猜想an=-. 证明:当n=1时,显然成立; 假设当n=k(k∈N+)时猜想成立,即ak=-, 则当n=k+1时,a1+a2+a3+…+ak+ak+1==+ak+1 =+ak+1, ∴-ak+1=2⇒ak+1=-. 故当n=k+1时,猜想也成立. 故an=-,∴a2 023=-. 11.答案　千(或1 000) 解析　由题得2 025=452=(1+2+3+4+5+6+7+8+9)2=13+23+33+43+53+63+73+83+93, 故可猜想13+23+…+n3=(1+2+…+n)2, 当n=1时,13=12,等式成立, 假设当n=k时(k∈N+)猜想成立,即13+23+…+k3=(1+2+…+k)2, 则当n=k+1时,13+23+…+k3+(k+1)3=(1+2+…+k)2+(k+1)3=+(k+1)3=(k+1)2·=(k+1)2·==[1+2+…+k+(k+1)]2,所以当n=k+1时,13+23+…+n3=(1+2+…+n)2也成立, 又(1+2+…+10)2==3 025, 所以下一个“完美平方年”为3025年, 又3 025-2 025=1 000, 所以标题可起为千年之约或1 000年之约. 12.解析　(1)由an+1=,a1=1, 可得a2===,a3===, 因此可猜想an=. (2)证明:当n=1时,a1=1,等式成立; 假设当n=k(k∈N+)时,等式成立,即ak=, 则当n=k+1时,ak+1====, 即当n=k+1时,等式也成立. 综上所述,对任意n∈N+,an=. 13.解析　(1)证明:由f(n)[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],得f(n+1)=, 则f(2)===, f(3)==, 所以f(3)-f(2)=-=. (2)存在.由f(1)=2, f(2)=,得a=-,b=. 故猜想存在实数a=-,b=, 使f(n)=+1对任意正整数n恒成立.用数学归纳法证明如下: ①当n=1时,显然成立. ②假设当n=k(k∈N+)时,猜想成立, 即f(k)=+1, 则当n=k+1时, f(k+1)= == =1+=+1, 即当n=k+1时, f(k+1)=+1成立. 由①②可知,存在实数a=-,b=,使f(n)= +1对任意正整数n恒成立. 1 学科网（北京）股份有限公司 $