第1章 第4节 4.1 数列在日常经济生活中的应用 4.2 数列的其他应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（北师大版）

第一章　数列 §4　数列的应用 4.1　数列在日常经济生活中的应用　4.2　数列的其他应用 基础过关练 题组一　数列在日常经济生活中的应用 1.(2024江西部分学校联考)银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期可以取出全部本金与利息和(简称本利和),这是整取.已知一年期的年利率为1.35%,规定每次存入的钱不计复利.若某人采取零存整取的方式,从今年1月开始,每月1日存入4 000元,则到今年12月底的本利和为(　　) A.48 027元　　　　　B.48 351元　　　　　 C.48 574元　　　　　D.48 744元 2.(2025江西南昌进贤二中等多校期中联考)小琴3月8日用分期付款的方式购买了一件商品,商品价格为2 200元,购买当天支付了200元,当年4月为分期付款的第一个月,月利率为0.5%,25个月还完. (1)已知从当年4月开始,每月8日都还款本金80元,并加付欠款利息,则全部欠款付完后,购买这件商品实际付款　　　　元;  (2)若从当年4月开始,每月8日还款一次,每次还款数额相同,按复利计息,则每月还款金额为　　　元.(最后结果保留4位有效数字,参考数据:(1+0.5%)25≈1.133)  题组二　数列与概率的结合应用 3.(创新题　新考法)(2025福建福州模拟)在如图所示的斜方格阵中,一机器人从中心方格O出发,每次运动可以跨越机器人所在方格的一条边(如第1次运动,机器人可以运动到Q1,Q2,Q3,Q4).若机器人走出斜方格阵视为“失败”,反之视为“成功”,则运动2 025次后机器人“成功”的概率为　　　　.  4.(2024山东省实验中学诊断考试)某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动,每位顾客只用一个会员号登陆,每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为;从第二次摸球开始,若前一次没抽中奖品,则这次抽中的概率为,若前一次抽中奖品,则这次抽中的概率为.记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为Pn. (1)求P2的值,并探究数列{Pn}的通项公式; (2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大,请给出证明过程. 题组三　数列在其他实际问题中的综合应用 5.(2025上海松江期末)渐进式延迟退休是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工,法定退休年龄每四个月延迟一个月,逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟退休年龄部分对照表如表所示: 出生 时间 1965年 1-4月 1965年 5-8月 1965年 9-12月 1966年 1-4月 … 改革后法 定退休 年龄 60岁 1个月 60岁 2个月 60岁 3个月 60岁 4个月 … 那么1974年5月出生的男职工退休年龄为(　　) A.62岁3个月　　　　　B.62岁4个月　　　　　 C.62岁5个月　　　　　D.63岁 6.(2025江西上饶余干中学期中)按照纸张幅面的基本面积,把幅面规格分为A系列,B系列,C系列,其中A系列的幅面规格分为A0,A1,A2,…,A9,所有规格的纸张的长度x和幅宽y的比例关系都为x∶y=∶1.将A0纸张沿长度方向对开成两等份,便成为A1规格;将A1纸张沿长度方向对开成两等份,便成为A2规格;……,如此对开至A9规格.现有A0,A1,A2,…,A9纸各一张,若A1纸的幅宽为t,则这10张纸的面积之和为(　　) A.t2　　　　　 B.t2 C.t2　　　　　D.t2 7.(2025江西多校一联)某公园有4条同心圆环步道,其长度(单位:m)构成公比为2的等比数列,若最长步道与最短步道之差为840 m,则最长步道为　　　　m.  8.(2025北京门头沟一模)某城市为推动新能源汽车普及,第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩,随着新能源汽车保有量快速增长,以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入,每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%,按照这样的发展趋势,那么该城市第3年在市区公共区域新建设了　　　　万个充电桩;从第1年起,约　　　　年内,可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个(结果保留到个位,参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)  9.(2024安徽皖东智校协作联盟联考)教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄,是一种专门用来为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄,储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入2 000元,并且在你每年的生日当天存入2 000元,连续存6年,在你十八岁生日当天一次性取出,假设教育储蓄存款的年利率为10%. (1)在你十八岁生日当天时,一次性取出的金额总数为多少?(参考数据:1.17≈1.95) (2)高考毕业后,为了增加自己的教育储蓄,你利用暑假时间到一家商场勤工俭学,该商场向你提供了三种付酬方案: 第一种,每天支付38元; 第二种,第1天支付4元,从第2天起,每一天都比前一天多支付4元; 第三种,第1天支付0.4元,以后每一天都比前一天翻一番(即增加1倍). 你会选择哪种方式领取报酬? 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.B 5.C 6.C 1.B　所有利息的和为4 000××12+4 000××11+…+4 000×=4 000××(12+11+…+1)=4 000××=351(元), 故到今年12月底的本利和为4 000×12+351=48 351元. 2.答案　 (1)2 330　(2)85.19 解析　(1)设第n个月付款an元,则an=80+[2 000-80(n-1)]×0.5%=90.4-0.4n, 所以购买这件商品实际付款为an+200=90.4×25-0.4×+200=2 330(元). (2)按复利计算,2 000元贷款经过25期连本带息增值为2 000×(1+0.5%)25元, 设每月还款x元,则x(1+0.5%)24+x(1+0.5%)23+…+x=2 000×(1+0.5%)25, 可得=2 000×(1+0.5%)25, 整理可得x=≈≈85.19, 所以每月还款金额为85.19元. 3.答案　 解析　如图,斜方格阵具有对称性,若机器人在运动过程中不走出斜方格阵,则只需考虑机器人位于斜方格阵中的①,②,③处位置即可,设n次运动后机器人在O处的概率为an,在①处的概率为bn,在②处的概率为cn,在③处的概率为dn, 则cn=bn-1①,dn=bn-1②,an=bn-1③,bn=cn-1+dn-1+an-1④. 将①②③式代入④式,得bn=bn-2, 又由题意得b1=1,b2=0,所以bn= 所以b2 025==,则a2 025=b2 024=0,c2 025=b2 024=0,d2 025=b2 024=0, 所以所求概率P=a2 025+b2 025+c2 025+d2 025=. 4.解析　(1)记该顾客第i(i∈N+)次摸球抽中奖品为事件Ai,依题意,P(A1)=, P2=P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=×+×=. 因为P(An|An-1)=(n≥2),P(An|)=(n≥2),Pn=P(An), 所以P(An)=P(An-1)P(An|An-1)+P()P(An|),所以Pn=Pn-1+(1-Pn-1)=-Pn-1+, 所以Pn-=-(n≥2), 又因为P1=,则P1-=-≠0, 所以数列是首项为-,公比为-的等比数列,故Pn=-. (2)当n为奇数时,Pn=-<<, 当n为偶数时,Pn=+,则Pn随着n的增大而减小,所以Pn≤P2=. 综上,该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大. 5.C　设1965年5月出生的男职工退休年龄为a1岁,1966年5月出生的男职工退休年龄为a2岁,……,则a1=60,a2=60+,……,故数列{an}是首项为60,公差为的等差数列, 即an=60+(n-1),则1974年5月出生的男职工退休年龄为a10=60+9×=62(岁),故1974年5月出生的男职工退休年龄为62岁5个月. 6.C　已知A1纸的幅宽为t,则A1纸的长、宽分别为t,t,由题意可得A0纸的长、宽分别为2t,t, A2纸的长、宽分别为t,t,……, 则A0,A1,A2,…,A9纸的面积构成以2t2为首项,为公比的等比数列, 所以这10张纸的面积之和为=t2. 7.答案　960 解析　设这4条同心圆环步道的长度构成的等比数列为{an},公比q=2,首项为a1(a1>0),则an=a1×2n-1. 因为n越大,an的值越大,所以最短步道为a1,最长步道为a4,而a4=a1×24-1=8a1. 已知最长步道与最短步道之差为840 m,即a4-a1=840,则a1=120, a4=960,所以最长步道为960 m. 8.答案　2.88;8 解析　由题意可知第3年新建设2×(1+0.2)2=2.88万个充电桩. 假设第n年后充电桩总量达到了30万个, 则2+2×(1+0.2)+…+2×(1+0.2)n-1≥30, 即≥30,即1.2n≥4, 两边分别取对数,得n≥=≈≈8, 即约8年内,可达到要求. 9.解析　(1)由等比数列的前n项和公式可得, 2 000×(1+10%)6+2 000×(1+10%)5+…+2 000×(1+10%)=2 000×≈17 000, 即在十八岁生日当天时,一次性取出的金额总数为17 000元. (2)设到商场勤工俭学的天数为n(n∈N+). 若选择第一种方案,则领取的总报酬为38n元,记An=38n; 若选择第二种方案,则每天领取的报酬元数构成首项为4,公差为4的等差数列,利用等差数列的前n项和公式可得, 领取的总报酬为4n+×4=2n2+2n(元),记Bn=2n2+2n; 若选择第三种方案,则每天领取的报酬元数构成首项为0.4,公比为2的等比数列,利用等比数列的前n项和公式可得, 领取的总报酬为=(2n-1)(元),记Cn=(2n-1). Bn-An=2n2+2n-38n=2n2-36n=2n(n-18), 则当n>18时,Bn>An;当n=18时,Bn=An;当n<18时,Bn<An.令xn=Cn-An=(2n-1)-38n, 则xn+1-xn=(2n+1-1)-38(n+1)-(2n-1)-38n=-38=(2n-95), 当n≤6时,<xn,此时数列{xn}为递减数列,则x1>x2>…>x7; 当n≥7时,>xn,此时数列{xn}为递增数列,则x7<x8<…,∵x1<0,∴x7<x6<…<x1<0, 又∵x9<0,x10>0,∴当n≥10时,xn>0,即Cn>An, 当n≤9时,xn<0,即Cn<An. 令yn=Cn-Bn=(2n-1)-2n(n+1),其中n≥10, 则yn+1-yn=-=-4(n+1), 令tn=-4(n+1),n≥10, 则tn+1-tn=-=-4, 当n≥10时,tn+1>tn,此时数列{tn}为递增数列,则tn≥t10>0,则yn+1>yn≥y10>0,即Cn>Bn(n≥10). 综上所述,当n≤9时,max{An,Bn,Cn}=An,应选择第一种方案;当n≥10时,max{An,Bn,Cn}=Cn,应选择第三种方案. 1 学科网（北京）股份有限公司 $