第1章 第1节 1.1 数列的概念 1.2数列的函数特性（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（北师大版）

第一章　数列 §1　数列的概念及其函数特性 1.1　数列的概念　1.2　数列的函数特性 基础过关练 题组一　对数列概念的理解 1.(2025江西南昌中学期中)下列有关数列的说法正确的是(　　) ①数列-1,0,1与数列1,0,-1是同一个数列; ②数列的第(k-1)(k≥2,k∈N+)项是; ③数列中的每一项都与它的序号有关. A.①②　　　　　B.②③　　　　　C.①③　　　　　D.①②③ 2.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.数列1,2,3,4,…,n是无穷数列 B.数列{2n+1}的第6项是13 C.若用图象表示数列,则图象是一群孤立的点 D.数列0,2,4,6,…可记为{2n},n∈N+ 题组二　数列的通项公式及其应用 3.(2025广东广州第四中学等三校期中联考)已知数列{an}的通项公式是an=n2+1,n∈N+,则122是该数列的(　　) A.第10项　　　　　B.第11项　　　　　 C.第12项　　　　　D.第13项 4.(2025江西赣州十八县二十五校联考)已知数列{an}的前4项依次为3,6,11,20,则{an}的一个通项公式为(　　) A.an=3n　　　　　B.an=2n+n C.an=3n　　　　　 D.an=4n-n 5.(2025山东烟台期末)若一数列的前4项分别为,-,,-,则该数列的通项公式可能为(　　) A.an=　　　　　B.an= C.an=　　　　　D.an= 6.已知数列{an}的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则a19=(　　) A.200　　　　　B.182　　　　　C.180　　　　　D.181 7.(多选题)(2025广东中山一中月考)下列有关数列的说法正确的是(　　) A.已知数列,,,,,…,按照这个规律,这个数列的第211项为 B.数列{an}的通项公式为an=n(n+1),则120是该数列的第11项 C.在数列1,,,2,,…中,第8项是2 D.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为an=2n+1 8.(2024江西景德镇期中)分形几何学是数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科,它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图是按照,的分形规律生长成的一个树形图,则第10行的实心圆圈的个数是(　　) A.89　　　　　B.55　　　　　C.34　　　　　D.144 9.(2024重庆模拟)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏,它由九个铁丝圆环相连成串,按一定规则移动圆环,移动的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中,用an表示解下n(n≤9,n∈N+)个圆环最少需要移动的次数,数列{an}满足a1=1,且an+1=(n≤8,n∈N+),则解下5个圆环最少需要移动的次数为(　　) A.7　　　　　B.10　　　　　C.16　　　　　D.31 10.写出下列各数列的一个通项公式: (1)4,6,8,10,…; (2),,,,,…; (3)-1,,-,,…; (4)5,55,555,5 555,…. 11.在数列{an}中,a1=2,a17=66,其通项公式是关于n的一次函数. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求a2 026; (3)2 026是不是数列{an}中的项?若是,求出它是第几项;若不是,请说明理由. 题组三　数列的函数特性 12.(2023河北邢台一中期末)下列通项公式满足{an}是递增数列的是(　　) A.an= 　　　　　 B.an=1-n　　　　　 C.an=　　　　　D.an=2n2-5n+1 13.(2025江西赣州部分学校期中联考)已知数列{an}的通项公式为an=,则{an}的最小项为(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 14.(2025江西南昌进贤二中等多校期中联考)若数列{an}满足an+1=+1,a1=,则a102=(　　) A.0　　　　　B.　　　　　C.3　　　　　D.1 15.已知数列{an}的通项公式为an=4n-102,则从第　　　　项开始,数列中的项都大于零.  16.(2025河南驻马店新蔡一高期中)已知数列{an}的通项公式为an=n2-tn+2,且{an}是递增数列,则实数t的取值范围是　　　　.  17.已知数列{an}的通项公式为an=-n2+10n+11,试作出其图象,并判断数列的增减性. 能力提升练 题组一　数列的通项公式及其应用 1.(2025广东深圳实验学校月考)在数列{an}中,a1=1,an=an-1,n≥2,n∈N,则数列{an}的通项公式为(　　) A.an=　　　　　B.an= C.an=　　　　　 D.an= 2.(2025河南南阳六校期中)已知数列{an}满足a1=2,且an+1=an+3n+2(n∈N+),则a5=(　　) A.34　　　　　B.36　　　　　C.38　　　　　D.40 3.(2025湖北六校期中联考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数,他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类,如图中第一行的1,3,6,10称为三角形数,第二行的1,4,9,16称为正方形数,第三行的1,5,12,22称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第5项分别为(　　) A.24,34　　　　　B.25,35　　　　　 C.25,34　　　　　D.24,35 4.(多选题)(2023重庆十一中期末)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了类似如图所示的形状,后人称之为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,……,以此类推.设从上到下各层球数构成数列{an},则　(　　) …… A.a4=9　　　　　B.an+1-an=n+1,n∈N+ C.a20=210　　　　　D.=anan+2,n∈N+ 5.(2024山西怀仁第一中学期中)已知数列{an}的通项公式为an=3n+1,{bn}的通项公式为bn=n2,若将数列{an},{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列{cn},则484是数列{cn}中的第(　　) A.12项　　　　　B.13项　　　　　C.14项　　　　　D.15项 6.(2025河南新乡期末)已知数列{an}满足a1=1,an+1-an=,则a10=　　　　　.  7.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)(2)(3)(4)为最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形个数越多,刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图案包含f(n)个小正方形,则f(6)=　　　　.  8.(2023江苏扬州仪征中学期中)已知数列{an}的通项公式是an=. (1)判断是不是数列{an}中的项; (2)试判断数列{an}中的各项是否都在区间(0,1)内; (3)试判断在区间内是否有数列{an}中的项,若有,说明是第几项;若没有,请说明理由. 题组二　数列的函数特性 9. (2025湖北部分高中协作体联考)若数列{an}满足a1=2,an+1= (n∈N+),则该数列的前2 025项的乘积是(　　) A.-2　　　　　B.-1　　　　　C.2　　　　　D.1 10.(2025四川绵阳南山中学月考)已知数列{an}的通项公式为an=,则an取到最小值时,n的值是(　　) A.6　　　　　B.7　　　　　 C.8　　　　　D.9 11.(2025江西上饶横峰中学期中)任取一个正整数,若是奇数,则将该数乘3再加上1;若是偶数,则将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环1→4→2→1,这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).已知{an}满足:a1=1,an+1=若数列{an}的前n项和为Sn,则S2 025=(　　) A.4 720　　　　　B.4 722　　　　　C.4 723　　　　　D.4 725 12.(多选题)()若数列{an}满足对任意正整数n,{an+1-an}为递减数列,则称数列{an}为“差递减数列”.给出下列通项公式,其中满足数列{an}是“差递减数列”的有(　　) A.an=3n　　　　　 B.an=n2+1　　　　　 C.an=　　　　　D.an=ln 13.(2025安徽宣城期末)已知数列{an}满足an= (n∈N+),且数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是(　　) A.(2,3)　　　　　B.[2,3)　　　　　C.　　　　　D.(1,3) 14.(2025河北张家口模拟)已知数列{an}不是递增数列,且an=则实数k的取值范围为　　　　.  15.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4. (1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出这个最小值; (2)若对任意的n∈N+,都有an+1>an,求实数k的取值范围. 16.()已知数列{an}满足an=1+(n∈N+,a∈R且a≠0). (1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的n∈N+,都有an≤a6成立,求实数a的取值范围. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.B 2.BC 3.B 4.B 5.A 6.C 7.ACD 8.C 9.C 12.D 13.A 14.A 1.B　对于①,数列-1,0,1与数列1,0,-1中的项的顺序不一样,故不是同一个数列; 对于②,数列的第(k-1)(k≥2,k∈N+)项,即把n=k-1代入,故数列的第(k-1)项是; 对于③,由数列的概念可知,数列中的每一项都与它的序号有关.故②③中说法正确. 易错警示　 需特别注意的是,数列中的项具有三大特性:确定性,有序性(与各项的排列顺序有关),可重复性. 2.BC　数列1,2,3,4,…,n,共n项,是有穷数列,A中说法错误;当n=6时,2×6+1=13,B中说法正确;易知C中说法正确;数列中的第一项不能用2n,n∈N+表示,D中说法错误. 3.B　令n2+1=122,解得n=±11,又n∈N+,所以n=11,即122是该数列的第11项. 4.B　已知数列{an}的前4项依次为3,6,11,20,则a1=3,a2=6,a3=11,a4=20, 验证选项中的通项公式,只有an=2n+n符合, 所以{an}的一个通项公式为an=2n+n. 5.A　观察数列的前4项,-,,-,可以发现奇数项为正,偶数项为负,故选择(-1)n+1作为通项的一个因式,又每一项的分母依次为3,5,7,9,可写成2n+1的形式,所以该数列的一个通项公式为an=. 方法技巧　 当一个数列中的项的符号正负相间时,应先把符号分离出来,可用(-1)n或(-1)n+1表示. 6.C　观察前10项发现,当n为偶数时,an=,当n为奇数时,an=,所以a19==180. 7.ACD　对于A,由题意得该数列的一个通项公式为an=,则a211=,故A正确; 对于B,令n(n+1)=120,则n2+n-120=0,显然11不是该方程的解,故B错误; 对于C,数列1,,,2,,…可改写为,,,,,…,所以该数列的一个通项公式为an=,所以第8项是=2,故C正确; 对于D,数列3,5,9,17,33,…可改写为21+1,22+1,23+1,24+1,25+1,…, 所以该数列的一个通项公式为an=2n+1,故D正确. 8. C　设第n行的实心圆圈的个数为an,由题图可得,a1=0,a2=1,a3=1, a4=2,a5=3,a6=5,……,则an=an-2+an-1(n≥3),故a7=a5+a6=8,a8=a6+a7=13, a9=a7+a8=21,a10=a8+a9=34. 9.C　由题意知a5=2a4+2=2(2a3-1)+2=4(2a2+2)=8(2a1-1)+8=16a1=16. 10.解析　(1)易知该数列由从4开始的偶数构成,所以该数列的一个通项公式为an=2n+2,n∈N+. (2)易知该数列中每一项的分子比分母少1,且分母可依次写成21,22,23,24,25,…,故该数列的一个通项公式为an=,n∈N+. (3)通过观察可知,该数列中的奇数项为负,偶数项为正,故选择(-1)n作为通项的一个因式.又第1项可改写成分数-,所以每一项的分母依次为3,5,7,9,…,可写成2n+1的形式.分子为3=1×3,8=2×4, 15=3×5,24=4×6,……,可写成n(n+2)的形式,所以该数列的一个通项公式为an=(-1)n·,n∈N+. (4)这个数列的前4项可以变为×9,×99,×999,×9 999, 即×(10-1),×(100-1),×(1 000-1),×(10 000-1), 即×(10-1),×(102-1),×(103-1),×(104-1), 所以该数列的一个通项公式为an=×(10n-1),n∈N+. 11.解析　(1)由题意设数列{an}的通项公式为an=kn+b(k≠0), ∵a1=2,a17=66,∴解得 ∴an=4n-2,n∈N+. (2)由(1)得a2 026=4×2 026-2=8 102. (3)2 026是数列{an}中的项. 令an=2 026,则4n-2=2 026,解得n=507, ∵507∈N+, ∴2 026是数列{an}中的第507项. 12.D　对于A,an=,则an+1-an=-=<0,故数列{an}是递减数列,不符合题意; 对于B,an=1-n,则an+1-an=1-(n+1)-1+n=-1<0,故数列{an}是递减数列,不符合题意; 对于C,an=则a2=5,a3=4,故数列{an}不是递增数列,不符合题意; 对于D,an=2n2-5n+1,则an+1-an=2(n+1)2-5(n+1)+1-2n2+5n-1=4n-3, 由于n∈N+,所以an+1-an=4n-3>0,故数列{an}是递增数列,符合题意. 13.A　由数列的函数特性可知当n=1或n=2时,an取最小值,又a1=,a2=,>,所以{an}的最小项为a2=. 14.A　由已知得a1=,则a2=+1=+1=3,a3=+1=+1=0,a4=+1=+1==a1,a5=+1=+1=a2,……, 所以{an}是周期为3的周期数列,所以a102=a3×34=a3=0. 15.答案　26 解析　令4n-102>0,得n>25,n∈N+, ∴从第26项开始,数列中的项都大于零. 16.答案　(-∞,3) 解析　解法一:依题意,an+1>an,即(n+1)2-t(n+1)+2>n2-tn+2,整理得t<2n+1, ∵n∈N+,∴2n+1≥3,∴t<3. 解法二:an=n2-tn+2=+2-, ∵{an}是递增数列,∴<,解得t<3. 17.解析　列表: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … an 20 27 32 35 36 35 32 27 20 11 0 … 该数列的图象如图所示: 由数列的图象知,当1≤n≤5时,数列递增;当n≥5时,数列递减. 能力提升练 1.C 2.D 3.B 4.BC 5.C 9.C 10.B 11.D 12.CD 13.C 1.C　因为an=an-1,n≥2,n∈N,所以=, 则an=··…···a1 =××…×××1=,n≥2,n∈N, 当n=1时,a1=1符合上式,故数列{an}的通项公式为an=. 2.D　∵an+1=an+3n+2,∴an+1-an=3n+2,∴an-an-1=3(n-1)+2(n≥2,n∈N+), ∴a5=(a5-a4)+(a4-a3)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=14+11+8+5+2=40. 3.B　设正方形数构成的数列为{an},则a1=12,a2=22,a3=32,a4=42,由此得出a5=52=25, 设五边形数构成的数列为{bn},则b1=1,b2=5=1+4,b3=12=1+4+7,b4=22=1+4+7+10,由此得出b5=1+4+7+10+13=35. 4.BC　因为a1=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3,所以a4=1+2+3+4=10,an+1-an=n+1,n∈N+,故A错误,B正确; 由前面的规律可知an=1+2+…+n=, 则a20==210,故C正确; 因为=,anan+2=, 所以≠anan+2,故D错误. 5.C　令an=bm,即3n+1=m2,m,n∈N+.易知a1=4,b2=4符合题意. 若m=3k,则bm=9k2,它不是{an}中的项; 若m=3k+1,则bm=(3k+1)2=9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1,它是{an}中的项; 若m=3k+2,则bm=(3k+2)2=9k2+12k+4=3(3k2+4k+1)+1,它是{an}中的项. 故除b2外,当m=3k+1或m=3k+2,k∈N+时,项bm才能在{an}中出现,即为公共项. 所以公共项为b2,b4,b5,b7,b8,b10,b11,b13,b14,b16,b17,b19,b20,b22,…, 令m2=484,得m=22,即b22=484,为数列{bn}中的第22项,{cn}中的第14项. 6.答案　 解析　 由an+1-an=,可得an+1-an=-,所以an+1+=an+, 所以数列为常数列, 又a1+=2,所以an+=2,所以an=2-, 所以a10=2-=. 7.答案　61 信息提取　①四个对称图形;②f(1)=1, f(2)=1+3+1, f(3)=1+3+5+3+1, f(4)=1+3+5+7+5+3+1. 数学建模　本题以小正方形的个数变化为背景构建“数列模型”.题目中前四个图案中小正方形的个数分别是1,5,13,25,排成一列构成一个数列,从而把实际问题抽象成数列问题,再探索规律,总结得出f(n). 解析　由题图得, f(1)=1, f(2)=1+3+1=2×1+3=2×(2-1)2+3, f(3)=1+3+5+3+1=2×(1+3)+5=2×(3-1)2+5, f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×(1+3+5)+7=2×(4-1)2+7, 故f(n)=2(n-1)2+2n-1=2n(n-1)+1, 所以f(6)=2×6×5+1=61. 8.解析　(1)an===, 令=,解得n=. 因为不是正整数,所以不是数列{an}中的项. (2)由(1)可得an===1-, 因为n∈N+,所以0<<1,所以0<an<1. 所以数列{an}中的各项都在区间(0,1)内. (3)在区间内有数列{an}中的项. 令<an<,得<<, 即解得<n<, 又因为n∈N+,所以n=2. 故在区间内有且仅有一个数列{an}中的项,它是第2项,且a2=. 9.C　因为数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N+),所以a2===-3, 同理可得a3=-,a4=,a5=2,……,所以{an}是周期为4的周期数列,即an+4=an,且a1·a2·a3·a4=1, 又2 025=506×4+1,所以该数列的前2 025项的乘积是a1·a2·a3·a4·…·a2 025=1506×a1=2. 10.B　由已知得an===1+, 当n>7,n∈N+时,2n-15>0,此时{an}为递减数列, an=1+>1; 当n≤7,n∈N+时,2n-15<0,此时{an}为递减数列, an=1+≥a7=1+=-12, 所以an取到最小值时,n的值是7. 11.D　由已知得a1=1,a2=4,a3=2,a4=1,a5=4,a6=2,……,则{an}是以3为周期的周期数列, 又2 025=3×675,所以S2 025=675×(1+4+2)=4 725. 12.CD　选项A,由an=3n,得an+1-an=3,则{an+1-an}为常数列,不满足“差递减数列”的定义; 选项B,由an=n2+1,得an+1-an=(n+1)2+1-n2-1=2n+1,则{an+1-an}为递增数列,不满足“差递减数列”的定义; 选项C,由an=,得an+1-an=-=, 显然{an+1-an}为递减数列,满足“差递减数列”的定义; 选项D,由an=ln,得an+1-an=ln-ln=ln=ln,随着n的增大,此式的值变小,所以{an+1-an}为递减数列,满足“差递减数列”的定义. 13.C　由数列{an}是递增数列,得解得<a<3,即a的取值范围为. 易错警示　分段形式的数列的增减性与相应分段函数的单调性有所不同,如本题中数列{an}是递增数列需满足a7>a6,而函数f(x)=单调递增需满足a6-6≥6(3-a)-8. 14.答案　 解析　 因为{an}不是递增数列, 所以k≤0或所以k≤. 所以实数k的取值范围为. 15.解析　(1)当k=-5时,an=n2-5n+4. 由n2-5n+4<0,解得1<n<4. 因为n∈N+, 所以n=2或n=3, 所以数列中有两项是负数,即为a2,a3. 易得an=n2-5n+4=-, 由二次函数的性质,结合n∈N+得,当n=2或n=3时,an有最小值,最小值为a2=a3=-2. (2)因为an+1>an,所以(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4,整理得k>-2n-1, 又对任意的n∈N+,都有an+1>an, 所以k>(-2n-1)max,所以k>-2-1=-3. 所以实数k的取值范围为(-3,+∞). 16.解析　(1)解法一:∵a=-7,∴an=1+. 结合函数y=1+的单调性,可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1(n∈N+), ∴数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0. 解法二:∵a=-7,∴an=1+. 设数列中的最大项为an, 则(n≥2且n∈N+), 即 解得<n<. 又∵n≥2且n∈N+, ∴n=5,即数列{an}中的最大项为a5=2. 同理可得,数列{an}中的最小项为a4=0. (2)an=1+=1+. ∵对任意的n∈N+,都有an≤a6成立, ∴结合函数y=1+的单调性,知5<<6, ∴-10<a<-8. 故实数a的取值范围为(-10,-8). 1 学科网（北京）股份有限公司 $