第1章 第3节 3.2 等比数列的前n项和（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和，涵盖公式、函数特性、性质及求和方法，通过无人机高度、身高问题等现实情境导入，衔接等比数列定义与通项公式，构建知识支架帮助学生形成完整知识链。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题抽象数列模型，通过性质应用中的分类讨论（如公比q=1或±1）培养逻辑推理的数学思维，用错位相减、分组求和等方法强化符号表达的数学语言。实例丰富如知识辨析题、典例中的方程组求解，助力学生提升运算与探究能力，为教师提供系统教学资源与高效教学方法。

3.2 等比数列的前n项和 必备知识 清单破 知识点 1 等比数列的前n项和公式 已知量 求和公式 首项、公比 与项数 Sn=  首项、末项 与公比 Sn=  第一章 数列 高中同步 知识点 2 等比数列{an}的前n项和公式的函数特性 1.当公比q>0且q≠1时,设A= ,则等比数列的前n项和公式是Sn=A(qn-1),即Sn是关于n的指数 型函数. 2.当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,即Sn是关于n的正比例函数. 第一章 数列 高中同步 　已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则利用等比数列的通项公式及其前n项和公 式可推得Sn有如下性质: (1)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm,m,n∈N+. (2)当q≠-1或q=-1且k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是公比为qk的等比数列,当q=-1,且k为偶数时, Sk,S2k,S3k均为0,不能构成等比数列. (3)设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n,则 =q;若项数为2n+1,则 = q. (4)当q=1时, = ;当q≠±1时, = . 知识点 3 等比数列前n项和的性质 第一章 数列 高中同步 1.一架无人机放置在地面上,每分钟上升的高度(单位:m)构成以20为首项,2为公比的等比数 列,则5分钟后这架无人机离地的高度能超过600 m吗? 2.10位同学的身高(单位:cm)构成等比数列,若第1位同学与第10位同学的身高均为160 cm,则 这10位同学的身高之和是16 m吗? 知识辨析 3.已知数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和Sn一定是 吗? 4.已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,则S10,S20-S10,S30-S20,…一定是等比数列吗? 5.已知等比数列{an}是递增数列,其前n项和为Sn,则{Sn}也是递增数列吗? 第一章 数列 高中同步 1.能.5分钟后这架无人机离地的高度为 =620(m). 一语破的 2.是.该数列为常数列,故这10位同学的身高之和为160 cm×10=1 600 cm=16 m. 3.不一定.当a=1时,Sn=n,题中结论不成立. 4.不一定.当公比为-1时不成立. 5.不是.当a1<0,0<q<1时,等比数列{an}是递增数列,此时an<0,从而{Sn}是递减数列,结论错误. 第一章 数列 高中同步 　　在等比数列{an}中,对于a1,an,n,q,Sn这五个量,已知其中三个量就可利用通项公式和前n项 和公式求出另外两个量. (1)当条件与结论间的联系不明显时,可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解. (2)等比数列的前n项和公式分q=1与q≠1两种情况,因此当公比未知时,要对公比进行分类讨 论. (3)q≠1时,公式Sn= 与Sn= 是等价的,利用an=a1qn-1可以实现它们之间的相互转 化. 当已知a1,q与n时,用Sn= 较方便;当已知a1,q与an时,用Sn= 较方便. 定点 1 等比数列前n项和公式的应用 关键能力 定点破 第一章 数列 高中同步 已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn. (1)若a1=8,an= ,Sn= ,求n; (2)若S3= ,S6= ,求an及Sn; (3)若a6-a4=24,a3·a5=64,求S8; (4)若a3= ,S3= ,求a1. 典例 第一章 数列 高中同步 解析    (1)显然q≠1, 由Sn= = ,得q= . 又an=a1qn-1, ∴ =8× , ∴n=6. (2)解法一:由S6≠2S3知q≠1, 则  ②÷①,得1+q3=9, 第一章 数列 高中同步 ∴q3=8,即q=2. 将q=2代入①得a1= , ∴an=a1qn-1= ×2n-1=2n-2, Sn= =2n-1- . 解法二:由S3=a1+a2+a3,S6=S3+a4+a5+a6=S3+q3(a1+a2+a3)=S3+q3S3=(1+q3)S3,得1+q3= =9,∴q3=8, ∴q=2. 将q=2代入S3= = 得a1= , ∴an=a1qn-1= ×2n-1=2n-2, 第一章 数列 高中同步 Sn= =2n-1- . (3)解法一:由题意得  化简得  ③÷④,得q2-1=3(负值舍去), ∴q2=4, ∴q=2或q=-2. 当q=2时,代入③得a1=1, ∴S8= =255; 当q=-2时,代入③得a1=-1, 第一章 数列 高中同步 ∴S8= =85. 综上可知,S8=255或85. 解法二:由等比数列的性质得a3·a5= =64,∴a4=±8. 当a4=8时,∵a6-a4=24, ∴a6=32, ∴q2= =4, ∴q=±2. 当a4=-8时,∵a6-a4=24, ∴a6=16, ∴q2= =-2,无解. 第一章 数列 高中同步 故q=±2,a4=8. 当q=2时,a1= =1,S8= =255; 当q=-2时,a1= =-1,S8= =85. 综上可知,S8=255或85. (4)当q=1时,a1=a2=a3= ,满足S3= . 当q≠1时,由题意得  解得  综上可知,a1= 或6. 第一章 数列 高中同步 规律总结 　　对于等比数列中基本量的计算,列方程组求解是基本方法,通常用约分或两式相除的方 法进行消元,有时也会用到整体代换. 第一章 数列 高中同步 　根据等比数列的概念和前n项和公式,可推导出等比数列前n项和的若干性质,在等比数 列前n项和的有关问题中,恰当运用性质能简化运算,快速解题. 定点 2 等比数列前n项和性质的应用 第一章 数列 高中同步  (1)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n=　　　    ; (2)一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,则此数列的公 比为　　　    ,项数为　　　    ; (3)若{an}是等比数列,且其前n项和Sn=3n-1+t,则t=　　　    . 典例 思路点拨    (1)应用当q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列求解. (2)根据等比数列前n项和的性质求解. (3)利用等比数列前n项和的函数特性求解. 30  - 2 8  第一章 数列 高中同步 解析    (1)易知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列, 设公比为q1(q1>0), 则S3n=Sn+(S2n-Sn)+(S3n-S2n)=2×(1+q1+ )=14, 解得q1=2(负值舍去), 所以S4n-S3n=2 =2×8=16, 所以S4n=S3n+16=14+16=30. (2)设该数列的公比为q2,项数为2n,奇数项的和为T奇,偶数项的和为T偶, 则q2= = =2, 则该数列的奇数项构成以1为首项, =4为公比,n为项数的等比数列, 所以 =85,所以4n=256,解得n=4. 第一章 数列 高中同步 所以原数列的项数为8. (3)Sn=3n-1+t= ·3n+t, 由等比数列前n项和的函数特性知t=- . 第一章 数列 高中同步 解后反思 　　本例中各小题均可列出关于首项和公比的方程组来求解,但灵活运用性质往往能简化运 算,且思路清晰. 第一章 数列 高中同步 定点 3 与等比数列有关的数列求和 1.分组求和法 一般地,若{an},{bn}中一个是等差数列,一个是等比数列,则常用分组求和法求数列{an±bn}的 前n项和,即先分别求{an},{bn}的前n项和,再将两个和式合在一起. 2.错位相减法 已知数列{an}为等差数列,数列{bn}为公比不为1的等比数列,由这两个数列中序号相同的项 的乘积组成的新数列为{anbn},在求该数列的前n项和时,常常将{anbn}和式中的各项乘{bn}的 公比q,并向后错位一项,与{anbn}和式中q的同次项对应相减,即可转化为特殊数列的求和,这 种求数列前n项和的方法称为错位相减法.若公比不确定,则需对其进行分类讨论. 第一章 数列 高中同步 已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,bn=an+1. (1)证明:数列{bn}是等比数列; (2)求数列　　　    的前n项和Sn. 从条件①{bn+log2bn},② ,③{nbn}中任选一个补充在横线中,并解答. 典例 第一章 数列 高中同步 解析    (1)证明:由an+1=2an+1,得an+1+1=2(an+1), 因为a1+1=2≠0, 所以 =2,即 =2, 所以数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列. (2)由(1)知,数列{bn}的通项公式为bn=2·2n-1=2n. 选①.bn+log2bn=2n+n, 则Sn=(21+1)+(22+2)+(23+3)+…+(2n+n) =(21+22+…+2n)+(1+2+…+n) = +  =2n+1+ . 第一章 数列 高中同步 选②.  = = - , 则Sn= + + +…+ =1- = . 选③.nbn=n·2n, 则Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n, 2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1, 两式相减得,Sn=-(2+22+…+2n)+n·2n+1 =- +n·2n+1=(n-1)·2n+1+2. 第一章 数列 高中同步 $