10.3～10.4实际问题与二元一次方程组、三元一次方程组的解（讲义）（知识点梳理+常考题型+综合测试）-2025-2026学年人教版数学七年级下学期.

10.3~10.4实际问题与二元一次方程组、三元一次方程组的解（讲义）人教版 💧 预习内容概览 预习目标◆难点：明确要掌握的核心内容，有方向，抓住关键； 核心知识◆梳理：理清知识结构，提升学习逻辑性，培养归纳总结的学习能力； 常见考点◆精讲精练：明确考试方向，巩固核心知识点，提高效率； 强化巩固◆过关测试：检验知识运用与综合解题能力，查漏补缺。 ★ 预习目标 预习目标◆难点 （1）了解二元一次方程组在实际生活中的应用价值，明确含两个未知数的实际问题可以用二元一次方程组解决； （2）能初步识别和差倍比、行程、工程等基础题型，记住各类题型的核心等量关系框架，能区分“和、差、倍、比”的基本表述； （3）掌握“审、设、列、解、验、答”六步的基本思路，能尝试从简单实际问题中找出两个不重复的等量关系； （4）初步学会设两个未知数（直接未知数为主），能根据找到的等量关系，尝试列出二元一次方程组，体会建模思想的初步应用； ☘ 重点知识●梳理归纳 ◉ 知识点一、常见实际问题题型及等量关系（高频考点） 1.和差倍比问题 核心等量关系：根据题目中“和、差、倍、比”的描述列等式。 示例（二元）：甲数与乙数的和是20，甲数是乙数的3倍，求甲乙两数。 等量关系：① 甲数 + 乙数 = 20；② 甲数 = 3×乙数 2. 行程问题 核心公式：路程 = 速度×时间（s = vt），分两种常见场景： ◆ 相遇问题：相向而行，总路程 = 甲走的路程 + 乙走的路程； ◆ 追及问题：同向而行，路程差 = 快者走的路程 - 慢者走的路程。 3.工程问题 核心公式：工作总量 = 工作效率×工作时间，通常将工作总量看作单位“1”。 等量关系：① 甲的工作总量 + 乙的工作总量 = 总工作总量；② 甲的效率×时间 + 乙的效率×时间 = 1 4. 利润与价格问题 ◆ 核心公式：① 利润 = 售价 - 进价；② 利润率 = （利润÷进价）×100%；③ 总价 = 单价×数量 ◆ 等量关系：根据“总价、单价、数量”或“利润、进价、售价”的关系列等式。 ◉ 知识点二、列方程组解实际问题的核心步骤（必记） 1.审：仔细审题，读懂题意，明确题目中的已知量、未知量，找出题目中的等量关系（二元需2个，三元需3个，均为关键难点）； 2.设：设未知数（二元设2个，三元设3个），一般设直接未知数，若直接设麻烦可设间接未知数，用字母表示（如x、y、z），并注明单位； 3.列：根据找出的等量关系，分别列出对应个数的一次方程，组成方程组（二元一次方程组含2个方程，三元一次方程组含3个方程）； 4.解：二元用代入消元法或加减消元法；三元需先通过消元，将其转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程求解； 5.验：检验所有解的正确性（代入方程组，看左右两边是否相等），同时检验解是否符合实际意义（如人数、物品数量不能为负数、小数，时间不能为负数等）； 6.答：用完整的文字，回答题目中的问题，注明单位（与未知数单位一致）。 ◉ 知识点三、三元一次方程的定义 1.含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做三元一次方程。 一般形式：ax+by+cz=d（其中a、b、c不同时为0，x、y、z为未知数，a、b、c、d为常数）。 关键特征：① 含3个相同未知数；② 每个方程都是三元一次方程；③ 共3个方程（缺一不可，否则无法确定唯一解）。 注意：三元一次方程的解有无数组（单独一个三元一次方程，无法确定唯一解），只有组成方程组，才能确定唯一解（或无解、无数解）。 ◉ 知识点四、三元一次方程组的解 1.使三元一次方程组中每个方程左右两边都相等的一组未知数的值（即x、y、z三个值），叫做这个三元一次方程组的解。 2.特点：三元一次方程组的解是一组有序的三个数（如x=2，y=3，z=5），需同时满足方程组中的所有三个方程。 ◉ 知识点五、解三元一次方程组的核心方法——消元法（延伸） 核心思路：三元→二元→一元，逐步消元，转化为已学的二元一次方程组、一元一次方程求解。 常用两种消元方式： （1）代入消元法：从其中一个方程中，用含两个未知数的式子表示出第三个未知数，代入另外两个方程，消去一个未知数，转化为二元一次方程组； （2）加减消元法：选取两个方程，通过两边同乘适当的数，使其中一个未知数的系数相等或互为相反数，将两个方程相加或相减，消去一个未知数，转化为二元一次方程组。 口诀：先消一个未知数，转化二元再求解；消元优先选系数简单的未知数，避免计算繁琐。 💦常见考点●精讲精练 题型1根据实际问题列二元一方程组 例1．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果个，苦果个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵设甜果个，苦果个，两种果一共个， ∴， ∵文可买个甜果，因此单个甜果价格为文，文可买个苦果，因此单个苦果价格为文，总花费为文， ∴， 综上可得方程组． 变式1．一个学习小组共有个学生，分为个小组．若每组分人，则余下人；若每组分人，则有一组少人，则可得方程组______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设总人数为，组数为，根据题意列方程组即可，读懂题意，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设总人数为，组数为， 若每组人，则余下人，即，整理得； 若每组人，则有一组少人，即，整理得， 所以方程组为， 故答案为：． 变式2．踩高跷是中国先秦时期起源的传统民俗表演形式，汉代被纳入“百戏”，每逢春节、庙会等节庆，表演者会踩着高跷演绎民俗故事．某流派高跷有“身高半数”的传统规制（即高跷高度为表演者实际身高的一半）．在一场庙会高跷表演中，一位演员踩着符合该规制的高跷，已知脚踏处距离高跷顶端，演员踩上高跷后的总“身高”（含高跷）为，请利用二元一次方程组求出演员的实际身高以及高跷的高度． 【答案】演员的实际身高为，高跷的高度为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．设演员的实际身高为，高跷的高度为，等量关系：高跷高度为表演者实际身高的一半；演员的实际身高加上高跷的高度再减去等于；据此列出方程组求解即可． 【详解】解：设演员的实际身高为，高跷的高度为， 则， 解得， 答：演员的实际身高为，高跷的高度为． 题型2根据几何图形列二元一次方程组 例2．如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题干配图，根据配图给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组． 根据设小长方形的长和宽为y、x，可得到关于x、y的两个方程，即得答案． 【详解】解：∵设小长方形的宽为，长为， 如图可知，1个小长方形的宽加1个小长方形的长等于7；1个小长方形的长减去1个小长方形的宽等于3． ∴． 故选：B． 变式1．如图，正方形的边长为1，以各边为直径在正方形内画半圆，在求图中阴影部分的面积时，我们可以将这个几何问题转化为代数中的方程问题，通过解方程从而解决问题．若设图中的面积为，的面积为，则可列出方程：________（填写一个）． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程，正确理解题意是解题的关键． 由图可知，阴影部分和空白部分的面积和为正方形的面积，据此即可列方程． 【详解】解：正方形的面积为， 由图可知，阴影部分和空白部分的面积和为正方形的面积， ∴， 故答案：． 变式2．一副三角板按如图方式摆放，已知的度数比的度数大，若设，，列出方程组并解答．    【答案】，，． 【分析】本题考查了角的和差计算，二元一次方程组的应用，根据平角的定义及已知条件列出方程组求解即可． 【详解】解：由已知得， 得：，解得：， 将代入①，解得：， 原方程组的解为， ，． 题型3方案问题（二元一次方程组的应用） 例3．为积极响应“环保垃圾分类”政策，某小区计划采购A、B两种类型的垃圾桶，用于提升小区垃圾分类的效率和质量．已知A型垃圾桶每个80元，B型垃圾桶每个60元．小区准备投入1200元资金全部用于购买这两种垃圾桶两种垃圾桶都要买，则共有（    ）种购买方案 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 购买x个A型垃圾桶，y个B型垃圾桶，利用总价单价数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出共有4种购买方案． 【详解】解：购买x个A型垃圾桶，y个B型垃圾桶， 根据题意得：， ， 又，y均为正整数， 或或或， 共有4种购买方案． 故选：． 变式1．大学生运动会召开时，某校有56名学生报名参加志愿者活动，这些学生被分为4人小组或6人小组，则分组的方案共有________种． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程的非负整数解，设4人小组有x组，6人小组有y组，则 化简得，求出方程的非负整数解，问题得解﹒ 【详解】解：设4人小组有x组，6人小组有y组，则 化简得， 方程的非负整数解有， ∴有5种分组方案﹒ 故答案为：5 变式2．2025年世乒赛在成都举办，来自世界各地的乒乓球运动员与观众齐聚蓉城，体验“乒坛盛宴”与“天府文化”的融合魅力，组委会为感谢工作人员与志愿者，计划购买蜀绣纪念品与熊猫文创纪念品共件，其中蜀绣纪念品每件售价元，熊猫文创纪念品每件售价元． (1)如果购买蜀绣、熊猫文创两种纪念品一共花费了元，求购买这两种纪念品各是多少件？ (2)设购买蜀绣纪念品件，问组委会共有几种购买方案？哪一种方案总费用最低？则费用是多少元？ 【答案】(1)购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件． (2)共有三种购买方案，购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件时，总费用最低，为元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组与实际问题： （1）题目中的等量关系为：蜀绣纪念品数量熊猫文创纪念品数量件，蜀绣纪念品总价熊猫文创纪念品总价元，据此列二元一次方程组即可； （2）根据题意可知，共有三种购买方案：购买蜀绣纪念品件，购买熊猫纪念品件；购买蜀绣纪念品件，购买熊猫纪念品件；购买蜀绣纪念品件，购买熊猫纪念品件． 【详解】（1）解：设购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件． 根据题意，得 解得 所以，购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件． （2）根据题意可知，共有三种购买方案： （Ⅰ）购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件，可得 总费用（元） （Ⅱ）购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件，可得 总费用（元） （Ⅲ）购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件，可得 总费用（元） 综上所述，购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件时，总费用最低，为元． 题型4行程问题（二元一次方程组的应用） 例4．线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用——行程问题，关键是根据线段图准确分析两次行程中甲乙的行驶时间、路程与总路程的数量关系． 【详解】解：根据第一次行程的线段图可知，甲先行驶小时，再与乙共同行驶2小时，两人走完的路程， 甲的总路程为，乙的路程为，因此列方程为； 根据第二次行程的线段图可知，甲乙同时行驶1小时后，两人之间仍相距，总路程为， 因此甲乙1小时的路程和加上等于总路程，列方程为； 综上，可列方程组为， 故选：A． 变式1．一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需秒．若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是________，动车组的速度是________． 【答案】 90千米/时 180千米/时 【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，掌握追及问题和相遇问题的公式，以及根据路程=速度×时间建立方程组的方法是解题的关键． 同向而行时，相对速度为两车速度之差，路程为两车长度之和；相向而行时，相对速度为两车速度之和，路程同样为两车长度之和．根据这两个等量关系建立二元一次方程组，求解两车速度． 【详解】解：设普通列车速度为米/秒，动车组速度为米/秒， 两车总长度为：米， 相对速度为，时间秒：， 时间为​秒秒，相对速度为：， 即 ​解得： 因此：普通列车速度：米/秒，动车组速度：米/秒． 米/秒千米/小时，米/秒千米/小时， 故答案为：千米/时；千米/时． 变式2．李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 【答案】(1)李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米 (2)相遇后经过刘伟到达A地 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． （1）设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据路程速度时间解答即可． 【详解】（1）解：设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米； （2）解：， 答：相遇后经过刘伟到达A地． 题型5工程问题（二元一次方程组的应用） 例5．现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；设A、B、C、D的工作效率分别为、、、，通过比较各组合的工作效率，确定每个人的工作效率高低，从而找出单独完成时间最短的人即可． 【详解】解：设A、B、C、D的工作效率分别为、、、（效率指每天完成的工作量）．根据组合时间可得： 1． 2． 3． 4． 解前三个方程： 联立方程1、2、3，得： ，，． 比较可知：． 由方程4得：（负数不合理，说明D效率极低）． 综上，B的效率最高，单独完成时间最短，应安排B． 故选：B． 变式1．两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产________个零件、第二组生产________个零件． 【答案】 320 360 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件，根据题意列二元一次方程求解即可． 【详解】解：设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 则， 解得：， 即原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 故答案为：320；360． 变式2．某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【答案】甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，列二元一次方程组是解题的关键． 假设甲、乙两队原计划每天分别施工x、y米，根据题意120天完成可得方程，后逐步分析实际情况甲前60天与后60天的总工程量，乙前60天与后30天（离开30天）的工程量，总工程量与总时间按原计划未变，故可得另一方程，建立方程组，最终求出x、y的值． 【详解】解：假设甲队原计划每天施工x米，乙队原计划每天施工y米， 原计划120天合作施工， 故可得方程， 实际情况：甲先以原计划施工60天，后甲按照每天施工剩余的60天； 乙先以原计划施工60天，后停工30天，最后按照每天施工剩余的30天； 由此可得方程， 可得方程组， 化简得， 解得， 故甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 题型6数学问题（二元一次方程组的应用） 例6．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则x，y的值分别是（   ） 2x 3 2 4y A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．利用幻方每行、每列、每条对角线之和相等的性质，通过已知单元格列出方程组求解． 【详解】解：由题意得， 整理得， 得，解得； 将代入①，得， 解得； ∴， 故选：C． 变式1．如图，这是工作表的一部分，字母依次表示列，数依次表示行．该表中每一列中的数都比前一列相应的数大，每一行中的数都比前一行相应的数大n．若，x与a的数量关系为：________． 【答案】 【分析】根据题意可列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：由已知得：， 得：， ∴． 即x与a的数量关系为． 变式2．有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数． 【答案】25或52 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意设出未知数，列出方程并求解． 设原来两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，表示出原两位数和新两位数，根据它们的积为1300列方程求解． 【详解】解：设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为． 根据题意，得． 整理，得． 解得，． 当时，，原来的两位数为25； 当时，，原来的两位数为52． 答：原来的两位数为25或52． 题型7年龄问题（二元一次方程组的应用） 例7．一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁， 由题意，得， 解得， 所以乌龟现在的年龄为77岁， 故选：C． 变式1．一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是________________岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设爷爷现在的年龄为岁，小红现在的年龄为岁，根据年龄差不变和题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设爷爷现在的年龄是岁，小红现在的年龄是岁． 依题意得： 解得 故爷爷现在的年龄是65岁． 故答案为：． 变式2．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 题型8分配问题（二元一次方程组的应用） 例8．甲、乙两人各有纪念币若干枚，乙的纪念币数量比甲的纪念币数量多12枚；如果甲把他一半的纪念币给乙，那么乙共有纪念币48枚，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键．根据“乙的纪念币数量比甲的纪念币数量多12枚”，可列方程，根据“甲把他一半的纪念币给乙，那么乙共有纪念币48枚”，可列方程，即得答案． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 变式1．在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，根据题意可知，灯身的个数灯座的个数；制作灯身的特殊材料板张数制作灯座的特殊材料板张数，列方程组求解即可． 【详解】解：用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套， 根据题意：即． 故答案为：． 变式2．某宾馆客房部三人间300元/间/天，双人间280元/间/天，为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团体优惠期间到宾馆入住，本着“每间客房均正好住满人”的原则，租了一些三人间和双人间客房，若旅游团体一天共花去3020元，则租了三人间和双人间客房各多少间？ 【答案】三人间客房和双人间客房分别为8间和13间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，根据每间客房正好住满，共50人，住宿费3020元列出方程组求解即可． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房8间，双人间普通客房13间． 题型9销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 例9．根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（    ） A．50元、60元 B．44元、54元 C．40元、50元 D．45元、55元 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元，根据销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元， 由题意得： 解得： 故调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元． 故选：C． 变式1．某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的总利润为780万元．小明列出二元一次方程组刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的x表示的未知量为_______，y表示的未知量为________． 【答案】 去年的总收入为x万元 去年的总支出为y万元 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列出相应的方程组．分析方程组可得方程组中的，表示的未知量分别为：去年的总收入为万元、总支出为万元，根据去年的利润（总收入总支出）为200万元，今年的利润为780万元，即可列方程组． 【详解】解：设去年的总收入为万元、总支出为万元， 由题意得，， 故答案为：去年的总收入为x万元，去年的总支出为y万元 变式2．年是农历马年，某非遗工坊推出“马年生肖”剪纸礼盒，分为“福马”礼盒和“奔马”礼盒两种．若购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元．求每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别是多少元？ 【答案】每个“福马”礼盒的价格为元，每个“奔马”礼盒的价格为元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组与实际问题，题目中的两个等量关系是：购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，可设每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别为元，元，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别为元，元． 根据题意，得 解得 所以，每个“福马”礼盒的价格为元，每个“奔马”礼盒的价格为元． 题型10和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 例10．甘肃省定西市是“中国马铃薯之乡”．某合作社有甲、乙两个马铃薯种植基地，去年共收获马铃薯吨．今年采用新技术，甲基地增产，乙基地增产，两基地总产量达到吨．求甲、乙两个基地去年的产量．设甲基地去年产量为吨，乙基地为吨，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，增长率问题的列式，找到等量关系是解题关键． 根据去年总产量吨列第一方程，再由今年增产比例和总产量吨列第二方程，据此进行判断即可． 【详解】解：∵去年甲产量吨，乙产量吨，总产量吨， ∴， ∵今年甲增产，即产量为吨，乙增产，即产量为吨，总产量吨， ∴， ∴方程组为． 故选：A． 变式1．在校外劳动实践中，某班男生、女生共有15人搬运稻谷．已知男生1人搬2袋稻谷，女生2人搬1袋稻谷，共搬了15袋稻谷，则男生有________人，女生有________人． 【答案】 5 10 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；设男生有x人，女生有y人，然后根据题意可得方程组，进而求解即可． 【详解】解：设男生有x人，女生有y人，由题意得： ， 解得：， ∴男生有5人，女生有10人； 故答案为5；10． 变式2．某停车场共设小型车位和车位300个，其中小型车位每小时2元，车位每小时3元，若全部满位1小时，总收费700元，则停车场共设小型车位和车位各多少个？ 【答案】小型车位200个，车位100个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出其中的等量关系是解答本题的关键． 设小型车位有x个，车位有y个，根据共设小型车位和车位300个、全部满位1小时，总收费700元各列一个方程，组成二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小型车位有x个，车位有y个，由题意，得 ， 解得． 所以小型车位有200个，车位有100个． 题型11几何问题（二元一次方程组的应用） 例11．如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题，找到等量关系，列出方程组是解题的关键．设小长方形的长为米，宽为米，根据图中长方形活动场地的长与宽找到等量关系，列出方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为米，宽为米， 根据题意，得， 解得， ∴布置文化展示区域的面积是， 故选：C． 变式1．已知的周长是，最长边与最短边之差为，最长边与最短边之和为，各边的长分别为________________． 【答案】，， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意，设的最长边为a，最短边为c，利用差与和的关系求出a和c，再通过周长求出第三边b． 【详解】解：设的最长边为a，最短边为c，第三边为b 则， 得， 解得； 得， 解得． 由周长，得， 解得． 故答案为：，，． 变式2．根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 【答案】(1)放入的大球为4个，放入的小球为6个； (2)有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用以及方程的整数解问题，核心是根据“每个球使水面上升的高度×球的数量=水面总上升高度”的关系建立方程(组)． （1）先根据水面上升的总高度和球的总数，设未知数列出二元一次方程组，通过代入消元法求解即可得到大球和小球的个数； （2）设出大球、小球的个数，根据水面上升高度建立方程，结合小球个数为奇数的条件，找出所有符合条件的解，统计解的数量得到可能的种数． 【详解】（1）解：根据图示信息得：每放入一个大球，水面上升，每放入一个小球，水面上升．设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，解得 答：放入的大球为4个，放入的小球为6个． （2）解：设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，变形为， ∵为正整数，为奇数， ∴当时，；当时，． 答：有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 题型12 图表信息题（二元一次方程组的应用） 例12．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格中填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x、y的值分别为（   ） x 8 1 y 6 A．、4 B．3、 C．3、4 D．、 【答案】C 【分析】本题考查了图表信息题(二元一次方程组的应用)，解题关键是准确列出方程组． 根据表中数据，依据“各行、各列及对角线上的三个数之和都相等”，列出方程组求解． 【详解】解：∵各行、各列及对角线上的三个数之和都相等， ∴，解得：， 故选：C． 变式1．如图，在的方格内，填写了一些式子或数，使各行、各列及对角线上三个数之和都相等，则________． 6 1 4 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程组． 根据各行、各列及对角线上三个数之和都相等，列出关于，的方程组，通过加减消元法求出方程组的解，最后代入即可求解． 【详解】解：由题意得： 化简方程组，得： 由②得：， 将代入①，得：， 解得：， 故方程组的解为： ， 故答案为：． 变式2．下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同． 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 请将九年级课外兴趣小组的活动次数填入上表． 【答案】见解析 【分析】通过设未知数表示文艺、科技小组每次活动时间，利用七、八年级数据列方程组求出每次活动时间，再设九年级活动次数，根据总时间列方程，结合正整数解确定次数． 本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握通过设未知数建立方程（组）求解实际问题是解题的关键． 【详解】解：设文艺小组每次活动时间为小时，科技小组每次活动时间为小时．则 ， 解得， 设九年级文艺小组活动次，科技小组活动次． 由题意得，， ∴， ∵、为正整数， ∴，． ∴填表如下： 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 2 2 题型13古代问题（二元一次方程组的应用） 例13．《九章算术》中有一个问题大意是：有几个人共同出钱去买一件物品，若每人出8钱，则剩余3钱；若每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y钱，则所列方程组应为（　　） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据两种出钱方式下物品价格不变的等量关系，分别列方程组成方程组即可． 【详解】解：∵设有人，物品价格为钱，每人出8钱剩余3钱， ∴ ∵每人出7钱差4钱， ∴ ∴所列方程组为， 故选：A． 变式1．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（1托为5尺）．意思是，一支竿子和一根绳子，绳子比竿子长5尺，绳子对折后比竿子短5尺．问，竿子长______尺． 【答案】 15 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．设竿子长为尺，绳子长为尺，根据绳子比竿子长 5 尺和对折后比竿子短 5 尺的条件列出方程组，并求解． 【详解】解：设竿子长为尺，绳子长为尺． 由题意，得， 解得， 则竿子长为 15 尺． 故答案为：． 变式2．今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢．有雀，燕二十五只，并重二斤一十三铢．问：燕，雀各几何？（选自《张丘建算经》）题目大意：只雀重两铢，只燕重两铢．雀和燕一共有只，共重斤铢．燕，雀各有多少只？（这里的“斤”“两”“铢”是我国古代质量单位，斤两，两铢） 【答案】有雀14只，燕11只． 【分析】本题主要考查二元一次方程组与实际问题，题目中的等量关系为：雀的数量燕的数量，雀的总重量燕的总重量斤铢． 【详解】根据题意可知，只雀重铢，只燕重铢，雀和燕共重铢． 设有雀只、燕只，根据题意，得    解得 答：有雀只，燕只． 题型14开放型问题（二元一次方程组的应用） 例14．小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（    ） A．20 B．22 C．23 D．25 【答案】C 【分析】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可； 【详解】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分， 依题意得：， ∴解这个方程组为：， ∴大壮的得分为：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键． 变式1．甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇． (1)甲、乙两人的速度各是多少？请至少写出满足条件的两组解； (2)请你适当增加题目中的条件，使问题（1）有唯一解，并解答你改编后的问题． 【答案】(1)甲的速度是，乙的速度是；甲的速度是，乙的速度是 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．本题是一道开放型题，需要补充一个条件再解二元一次方程组． (1)设甲的速度是，乙的速度是，可列二元一次方程，求出两组满足二元一次方程的条件的解； (2)补充条件已知乙的速度是甲的速度的倍，列二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：设甲的速度是，乙的速度是， ， 根据题意可得：， 当时，解得：， 当时，解得：， 甲的速度是，乙的速度是； 甲的速度是，乙的速度是； （2）解：增加条件：已知乙的速度是甲的速度的倍， 根据题意可得：， 解得：， 答：甲的速度是，乙的速度是． 题型15其他问题（二元一次方程组的应用） 例15．小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖．规定在同一环内（分为内环和外环）得分相同，中靶和得分情况如图所示，则大壮的得分是（   ） A．20分 B．22分 C．23分 D．25分 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设投中外环得分分，投中内环得分，根据小虎得19分和明明得21分，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设投中外环得分分，投中内环得分， 依题意，得：， 解得：， ∴． 故选：D． 变式1．某高速公路收费站对过往车辆的收费标准是大客车10元，小客车6元，某日通过该收费站的大小客车之比为，共收取过路费602元，则共有客车______辆． 【答案】 77 【分析】设出大、小客车的数量，根据题意列出二元一次方程，求解后计算总客车数量即可． 【详解】解：设大客车数量为辆，则小客车数量为辆， 由题可列，， 解得， （辆） 则共有客车辆． 变式2．某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球（每个篮球的价格相同，每个足球的价格相同）；若购买2个篮球和3个足球共需340元，购买1个篮球和2个足球共需200元． (1)求篮球、足球的单价各是多少元； (2)根据学校的实际需要，需一次性购买篮球30个和足球15个．问购买篮球和足球的总费用是多少？ 【答案】(1)篮球的单价是80元，足球的单价是60元 (2)3300元 【分析】（1）设出未知数，根据购买2个篮球和3个足球共需340元，购买1个篮球和2个足球共需200元，列出方程组，解方程组； （2）根据篮球和足球的单价，列出算式计算． 【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价是80元，足球的单价是60元； （2）解：根据题意得： （元）． 答：购买篮球和足球的总费用是3300元． 题型16三元一次方程组的解法 例16．已知方程组，那么代数式8x–y–z的值是(     ) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据“3x−y−2z＝1”，得到−y−z＝1＋z−3x，代入8x−y−z得：5x＋z＋1， ①＋②得：5x＋z＝6，代入5x＋z＋1，即可得到答案． 【详解】解：∵3x−y−2z＝1， ∴−y−z＝1＋z−3x， 8x−y−z＝1＋z−3x＋8x＝5x＋z＋1， ， ①＋②得： 5x＋z＝6， 即8x−y−z＝6＋1＝7， 故选B． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，正确掌握解三元一次方程组的方法是解题的关键． ✍ 强化巩固●过关练习 一、单选题 1．《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡为一群、七鸭为另一群，两群共重24千克，鸡重鸭轻，若从两群中各取一只互换，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总重量和互换后重量相等两个等量关系，分别列出方程即可得到方程组． 【详解】解：∵设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，六鸡、七鸭共重24千克， ∴可得第一个方程，可排除B、C选项； 互换其中一只后，一侧为5只鸡加1只鸭，另一侧为6只鸭加1只鸡，二者重量相等， ∴可得第二个方程； 联立得方程组． 2．实验中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校用480元钱购买A、B两种图书，其中A图书每套16元，B图书每套24元，购买方案有（   ） A．11种 B．10种 C．9 种 D．8种 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程的解，建立方程分析正整数解是解题的关键．设购买种图书本，种图书本，根据共购买A、B两种图书480元列方程，求二元一次方程的正整数解即可求解． 【详解】解：设购买种图书本，种图书本，根据题意，得 , ， 为正整数， ，且为偶数， 解得， ，即， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 共有9种购买方案． 故选：C． 3．在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是，下山速度是，如果他上学用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为，下坡山路为，则列方程组为（  ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，行程问题(二元一次方程组的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据路程、速度、时间的关系，结合上学和放学时上下坡路段的转换，列二元一次方程组求解，注意单位统一（将分钟转化为小时）． 【详解】解：42分钟小时，48分钟小时， ∵上学时，上坡路程，速度，下坡路程，速度，总时间小时， ∴根据“时间=路程÷速度”，得方程：， ∵放学原路返回时，原来的上坡变为下坡，下坡变为上坡，总时间小时， ∴此时上坡路程为，下坡路程为，得方程：， ∴列得方程组为， 故选：C． 4．如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题干配图，根据配图给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组． 根据设小长方形的长和宽为y、x，可得到关于x、y的两个方程，即得答案． 【详解】解：∵设小长方形的宽为，长为， 如图可知，1个小长方形的宽加1个小长方形的长等于7；1个小长方形的长减去1个小长方形的宽等于3． ∴． 故选：B． 5．将9个数填入九宫格的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示的是一个未完成的九宫格，则x与y的和是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 由题意得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵将个数填入幻方的空格中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等， ∴最左下角的数为：， 则最中间的数为：或， 最右下角的数为：或， 依题意得：， 解得：， ∴与的和为， 故选：D． 2、 填空题 6．已知关于，，的方程组，则______． 【答案】8 【分析】方程组两方程相减求出的值，进而求出的值，即可求出所求． 【详解】解：， ②①得：，即， 把代入①得：， 则原式． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 7．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为___________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组，是解题的关键．设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，根据甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，列出方程组，求出即可． 【详解】解：设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： ， 即由此可得： ， ∴，即甲比乙大5岁． 故答案为：5． 8．运输吨化肥，装载了节火车车厢和辆汽车；运输吨化肥，袋载了节火车车厢和辆汽车，则节火车车厢和辆汽车共装________吨化肥． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设节火车车厢装吨化肥，辆汽车装吨化肥，根据运输吨化肥，装载了节火车车厢和辆汽车；运输吨化肥，袋载了节火车车厢和辆汽车，可列方程组，把方程组中的两个方程相加可得：，所以可得节火车车厢和辆汽车共装吨化肥． 【详解】解：设节火车车厢装吨化肥，辆汽车装吨化肥， 根据题意可得：， 得：， 方程两边同时除以得：， 节火车车厢和辆汽车共装吨化肥． 故答案为：． 9．一个各数位均不为零的四位自然数，若满足，则称这个数为“友谊数”，例如四位数，因为，所以是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减的应用，二元一次方程组的应用，根据条件 和，得出，，是连续递增的数字，再结合求出，，，最后通过求出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，得 ；由，得， ∵是一个“友谊数”， ∴，即， ∴，得，解得，则，， 由，得，故， 因此这个数为， 故答案为：． 10．幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为______． x 1 y 5 【答案】20 【分析】本题考查了求代数式的值，二元一次方程的应用，通过幻方的性质，利用行、列和对角线的和相等建立方程，求解出和的值，再计算，正确求出和的值是解此题的关键． 【详解】解：∵幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等， ∴由第一行和主对角线之和相等得：， 化简得：， 解得：． 由第三列和第一行之和相等得：， 代入得：， 解得：． ∴， 故答案为：． 11．小甘到文具超市去买文具．根据图中的对话信息，可求出中性笔和笔记本的单价分别是__________元和__________元． 【答案】 2 6 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设中性笔的单价是元，笔记本的单价是元，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设中性笔的单价是元，笔记本的单价是元， 根据题意得： 解得： 中性笔的单价是元，笔记本的单价是元． 故答案为：，． 三、解答题 12．从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需，求上坡路和平路各有多长． 【答案】上坡路  和平路 【分析】分析题意，由已知设出未知数，找出题目中所含的等量关系列出二元一次方程组即可解决． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡路有，平路有， 根据题意，得解得 答：上坡路和平路分别为和． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，找出题目中的等量关系列出方程组是解决此题的关键． 13．某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 【答案】订货量是套，要求完成的期限是天 【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用（工程任务类），解题关键是根据 “原进度的工作量” 和 “改进后进度的工作量” 两个等量关系，设未知数并列方程组求解． 设订货量为x套，期限为y天，根据原生产情况可得方程，根据改进后生产情况可得方程，解方程组即可． 【详解】解：设订货量为x套，期限为y天． 由题意得， 解得， 经检验，方程组的解符合题意， 答：订货量是套，要求完成的期限是天． 14．从2028年开始，我市中考体育总分将增加到70分，为适应新中考要求，某中学计划购买跳绳和手球供学生体育锻炼．某体育用品店为了吸引顾客，准备在春节假期开展促销活动，其中跳绳打八折，手球打七五折，已知打折前，购买4根跳绳和3个手球共需790元；打折后，购买2根跳绳和4个手球共需406元 (1)打折前购买一根跳绳和一个手球分别需要多少元？ (2)某校需购买跳绳100根，手球40个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 【答案】(1)打折前一根跳绳160元，一个手球50 元； (2)打折后购买比不打折节省3700元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）设打折前一根跳绳为 x 元，一个手球为 y 元，根据题意得：，求解即可得出答案； （2）分别算出每种商品节省的钱，再相加得到总节省金额． 【详解】（1）解：设打折前一根跳绳为 x 元，一个手球为 y 元， 根据题意得：， 解得 答：打折前一根跳绳160元，一个手球50 元； （2）解：跳绳每根节省：元，100 根共省：元 手球每个节省：元，40 个共省： 元 总计节省： 元 答：共节省 3700 元． 15．某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 【答案】(1)租用甲型客车6辆，乙型客车4辆 (2)一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位 【分析】（1）设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，列出方程组，进行求解即可； （2）设一辆乙型客车有个座位，根据一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，得 解得； 答：租用甲型客车6辆，乙型客车4辆． （2）解：设一辆乙型客车有个座位，则一辆甲型客车有个座位，根据题意，得 解得， 答：一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位． 16．某种植场在公顷的果园里分别种植了甜樱桃和苹果，总投入成本万元，其中种植甜樱桃和苹果每公顷的投入成本分别为万元和万元．请解答下列问题： (1)分别求甜樱桃和苹果的种植面积． (2)若甜樱桃和苹果每公顷的销售额分别为万元和万元，则该种植场一共能获得利润多少万元？ 【答案】(1)甜樱桃的种植面积为公顷，苹果的种植面积为公顷； (2)该种植场一共能获得利润万元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设甜樱桃的种植面积为公顷，苹果的种植面积为公顷，根据题意得，然后解方程组即可； （）根据题意列出算式即可求解． 【详解】（1）解：设甜樱桃的种植面积为公顷，苹果的种植面积为公顷， 根据题意，得，解得， 答：甜樱桃的种植面积为公顷，苹果的种植面积为公顷； （2）解：（万元）， 答：该种植场一共能获得利润万元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3~10.4实际问题与二元一次方程组、三元一次方程组的解（讲义）人教版 💧 预习内容概览 预习目标◆难点：明确要掌握的核心内容，有方向，抓住关键； 核心知识◆梳理：理清知识结构，提升学习逻辑性，培养归纳总结的学习能力； 常见考点◆精讲精练：明确考试方向，巩固核心知识点，提高效率； 强化巩固◆过关测试：检验知识运用与综合解题能力，查漏补缺。 ★ 预习目标●难点 预习目标◆难点 （1）了解二元一次方程组在实际生活中的应用价值，明确含两个未知数的实际问题可以用二元一次方程组解决； （2）能初步识别和差倍比、行程、工程等基础题型，记住各类题型的核心等量关系框架，能区分“和、差、倍、比”的基本表述； （3）掌握“审、设、列、解、验、答”六步的基本思路，能尝试从简单实际问题中找出两个不重复的等量关系； （4）初步学会设两个未知数（直接未知数为主），能根据找到的等量关系，尝试列出二元一次方程组，体会建模思想的初步应用； ☘ 重点知识●梳理归纳 ◉ 知识点一、常见实际问题题型及等量关系（高频考点） 1.和差倍比问题 核心等量关系：根据题目中“和、差、倍、比”的描述列等式。 示例（二元）：甲数与乙数的和是20，甲数是乙数的3倍，求甲乙两数。 等量关系：① 甲数 + 乙数 = 20；② 甲数 = 3×乙数 2. 行程问题 核心公式：路程 = 速度×时间（s = vt），分两种常见场景： ◆ 相遇问题：相向而行，总路程 = 甲走的路程 + 乙走的路程； ◆ 追及问题：同向而行，路程差 = 快者走的路程 - 慢者走的路程。 3.工程问题 核心公式：工作总量 = 工作效率×工作时间，通常将工作总量看作单位“1”。 等量关系：① 甲的工作总量 + 乙的工作总量 = 总工作总量；② 甲的效率×时间 + 乙的效率×时间 = 1 4. 利润与价格问题 ◆ 核心公式：① 利润 = 售价 - 进价；② 利润率 = （利润÷进价）×100%；③ 总价 = 单价×数量 ◆ 等量关系：根据“总价、单价、数量”或“利润、进价、售价”的关系列等式。 ◉ 知识点二、列方程组解实际问题的核心步骤（必记） 1.审：仔细审题，读懂题意，明确题目中的已知量、未知量，找出题目中的等量关系（二元需2个，三元需3个，均为关键难点）； 2.设：设未知数（二元设2个，三元设3个），一般设直接未知数，若直接设麻烦可设间接未知数，用字母表示（如x、y、z），并注明单位； 3.列：根据找出的等量关系，分别列出对应个数的一次方程，组成方程组（二元一次方程组含2个方程，三元一次方程组含3个方程）； 4.解：二元用代入消元法或加减消元法；三元需先通过消元，将其转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程求解； 5.验：检验所有解的正确性（代入方程组，看左右两边是否相等），同时检验解是否符合实际意义（如人数、物品数量不能为负数、小数，时间不能为负数等）； 6.答：用完整的文字，回答题目中的问题，注明单位（与未知数单位一致）。 ◉ 知识点三、三元一次方程的定义 1.含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做三元一次方程。 一般形式：ax+by+cz=d（其中a、b、c不同时为0，x、y、z为未知数，a、b、c、d为常数）。 关键特征：① 含3个相同未知数；② 每个方程都是三元一次方程；③ 共3个方程（缺一不可，否则无法确定唯一解）。 注意：三元一次方程的解有无数组（单独一个三元一次方程，无法确定唯一解），只有组成方程组，才能确定唯一解（或无解、无数解）。 ◉ 知识点四、三元一次方程组的解 1.使三元一次方程组中每个方程左右两边都相等的一组未知数的值（即x、y、z三个值），叫做这个三元一次方程组的解。 2.特点：三元一次方程组的解是一组有序的三个数（如x=2，y=3，z=5），需同时满足方程组中的所有三个方程。 ◉ 知识点五、解三元一次方程组的核心方法——消元法（延伸） 核心思路：三元→二元→一元，逐步消元，转化为已学的二元一次方程组、一元一次方程求解。 常用两种消元方式： （1）代入消元法：从其中一个方程中，用含两个未知数的式子表示出第三个未知数，代入另外两个方程，消去一个未知数，转化为二元一次方程组； （2）加减消元法：选取两个方程，通过两边同乘适当的数，使其中一个未知数的系数相等或互为相反数，将两个方程相加或相减，消去一个未知数，转化为二元一次方程组。 口诀：先消一个未知数，转化二元再求解；消元优先选系数简单的未知数，避免计算繁琐。 💦常见考点●精讲精练 题型1根据实际问题列二元一方程组 例1．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果个，苦果个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 变式1．一个学习小组共有个学生，分为个小组．若每组分人，则余下人；若每组分人，则有一组少人，则可得方程组______． 变式2．踩高跷是中国先秦时期起源的传统民俗表演形式，汉代被纳入“百戏”，每逢春节、庙会等节庆，表演者会踩着高跷演绎民俗故事．某流派高跷有“身高半数”的传统规制（即高跷高度为表演者实际身高的一半）．在一场庙会高跷表演中，一位演员踩着符合该规制的高跷，已知脚踏处距离高跷顶端，演员踩上高跷后的总“身高”（含高跷）为，请利用二元一次方程组求出演员的实际身高以及高跷的高度． 题型2根据几何图形列二元一次方程组 例2．如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为（  ） A． B． C． D． 变式1．如图，正方形的边长为1，以各边为直径在正方形内画半圆，在求图中阴影部分的面积时，我们可以将这个几何问题转化为代数中的方程问题，通过解方程从而解决问题．若设图中的面积为，的面积为，则可列出方程：________（填写一个）． 变式2．一副三角板按如图方式摆放，已知的度数比的度数大，若设，，列出方程组并解答．    题型3方案问题（二元一次方程组的应用） 例3．为积极响应“环保垃圾分类”政策，某小区计划采购A、B两种类型的垃圾桶，用于提升小区垃圾分类的效率和质量．已知A型垃圾桶每个80元，B型垃圾桶每个60元．小区准备投入1200元资金全部用于购买这两种垃圾桶两种垃圾桶都要买，则共有（    ）种购买方案 A．6 B．5 C．4 D．3 变式1．大学生运动会召开时，某校有56名学生报名参加志愿者活动，这些学生被分为4人小组或6人小组，则分组的方案共有________种． 变式2．2025年世乒赛在成都举办，来自世界各地的乒乓球运动员与观众齐聚蓉城，体验“乒坛盛宴”与“天府文化”的融合魅力，组委会为感谢工作人员与志愿者，计划购买蜀绣纪念品与熊猫文创纪念品共件，其中蜀绣纪念品每件售价元，熊猫文创纪念品每件售价元． (1)如果购买蜀绣、熊猫文创两种纪念品一共花费了元，求购买这两种纪念品各是多少件？ (2)设购买蜀绣纪念品件，问组委会共有几种购买方案？哪一种方案总费用最低？则费用是多少元？ 题型4行程问题（二元一次方程组的应用） 例4．线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 变式1．一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需秒．若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是________，动车组的速度是________． 变式2．李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 题型5工程问题（二元一次方程组的应用） 例5．现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 变式1．两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产________个零件、第二组生产________个零件． 变式2．某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 题型6数学问题（二元一次方程组的应用） 例6．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则x，y的值分别是（   ） 2x 3 2 4y A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 变式1．如图，这是工作表的一部分，字母依次表示列，数依次表示行．该表中每一列中的数都比前一列相应的数大，每一行中的数都比前一行相应的数大n．若，x与a的数量关系为：________． 变式2．有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数． 题型7年龄问题（二元一次方程组的应用） 例7．一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 变式1．一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是________________岁． 变式2．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 题型8分配问题（二元一次方程组的应用） 例8．甲、乙两人各有纪念币若干枚，乙的纪念币数量比甲的纪念币数量多12枚；如果甲把他一半的纪念币给乙，那么乙共有纪念币48枚，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为（　　） A．B．C．D． 变式1．在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为___________． 变式2．某宾馆客房部三人间300元/间/天，双人间280元/间/天，为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团体优惠期间到宾馆入住，本着“每间客房均正好住满人”的原则，租了一些三人间和双人间客房，若旅游团体一天共花去3020元，则租了三人间和双人间客房各多少间？ 题型9销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 例9．根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（    ） A．50元、60元 B．44元、54元 C．40元、50元 D．45元、55元 变式1．某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的总利润为780万元．小明列出二元一次方程组刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的x表示的未知量为_______，y表示的未知量为________． 变式2．年是农历马年，某非遗工坊推出“马年生肖”剪纸礼盒，分为“福马”礼盒和“奔马”礼盒两种．若购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元．求每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别是多少元？ 题型10和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 例10．甘肃省定西市是“中国马铃薯之乡”．某合作社有甲、乙两个马铃薯种植基地，去年共收获马铃薯吨．今年采用新技术，甲基地增产，乙基地增产，两基地总产量达到吨．求甲、乙两个基地去年的产量．设甲基地去年产量为吨，乙基地为吨，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 变式1．在校外劳动实践中，某班男生、女生共有15人搬运稻谷．已知男生1人搬2袋稻谷，女生2人搬1袋稻谷，共搬了15袋稻谷，则男生有________人，女生有________人． 变式2．某停车场共设小型车位和车位300个，其中小型车位每小时2元，车位每小时3元，若全部满位1小时，总收费700元，则停车场共设小型车位和车位各多少个？ 题型11几何问题（二元一次方程组的应用） 例11．如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是（    ） A． B． C． D． 变式1．已知的周长是，最长边与最短边之差为，最长边与最短边之和为，各边的长分别为________________． 变式2．根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 题型12 图表信息题（二元一次方程组的应用） 例12．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格中填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x、y的值分别为（   ） x 8 1 y 6 A．、4 B．3、 C．3、4 D．、 变式1．如图，在的方格内，填写了一些式子或数，使各行、各列及对角线上三个数之和都相等，则________． 6 1 4 变式2．下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同． 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 题型13古代问题（二元一次方程组的应用） 例13．《九章算术》中有一个问题大意是：有几个人共同出钱去买一件物品，若每人出8钱，则剩余3钱；若每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y钱，则所列方程组应为（　　） A．B． C． D． 变式1．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（1托为5尺）．意思是，一支竿子和一根绳子，绳子比竿子长5尺，绳子对折后比竿子短5尺．问，竿子长______尺． 变式2．今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢．有雀，燕二十五只，并重二斤一十三铢．问：燕，雀各几何？（选自《张丘建算经》）题目大意：只雀重两铢，只燕重两铢．雀和燕一共有只，共重斤铢．燕，雀各有多少只？（这里的“斤”“两”“铢”是我国古代质量单位，斤两，两铢） 题型14开放型问题（二元一次方程组的应用） 例14．小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（    ） A．20 B．22 C．23 D．25 变式1．甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇． (1)甲、乙两人的速度各是多少？请至少写出满足条件的两组解； (2)请你适当增加题目中的条件，使问题（1）有唯一解，并解答你改编后的问题． 题型15其他问题（二元一次方程组的应用） 例15．小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖．规定在同一环内（分为内环和外环）得分相同，中靶和得分情况如图所示，则大壮的得分是（   ） A．20分 B．22分 C．23分 D．25分 变式1．某高速公路收费站对过往车辆的收费标准是大客车10元，小客车6元，某日通过该收费站的大小客车之比为，共收取过路费602元，则共有客车______辆． 变式2．某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球（每个篮球的价格相同，每个足球的价格相同）；若购买2个篮球和3个足球共需340元，购买1个篮球和2个足球共需200元． (1)求篮球、足球的单价各是多少元； (2)根据学校的实际需要，需一次性购买篮球30个和足球15个．问购买篮球和足球的总费用是多少？ 题型16三元一次方程组的解法 例16．已知方程组，那么代数式8x–y–z的值是(     ) A．6 B．7 C．8 D．9 ✍ 强化巩固●过关练习 一、单选题 1．《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡为一群、七鸭为另一群，两群共重24千克，鸡重鸭轻，若从两群中各取一只互换，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 2．实验中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校用480元钱购买A、B两种图书，其中A图书每套16元，B图书每套24元，购买方案有（   ） A．11种 B．10种 C．9 种 D．8种 3．在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是，下山速度是，如果他上学用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为，下坡山路为，则列方程组为（  ） A．B． C． D． 4．如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为（  ） A． B． C． D． 5．将9个数填入九宫格的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示的是一个未完成的九宫格，则x与y的和是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 2、 填空题 6．已知关于，，的方程组，则______． 7．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为___________． 8．运输吨化肥，装载了节火车车厢和辆汽车；运输吨化肥，袋载了节火车车厢和辆汽车，则节火车车厢和辆汽车共装________吨化肥． 9．一个各数位均不为零的四位自然数，若满足，则称这个数为“友谊数”，例如四位数，因为，所以是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为______． 10．幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为______． x 1 y 5 11．小甘到文具超市去买文具．根据图中的对话信息，可求出中性笔和笔记本的单价分别是__________元和__________元． 三、解答题 12．从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需，求上坡路和平路各有多长． 13．某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 14．从2028年开始，我市中考体育总分将增加到70分，为适应新中考要求，某中学计划购买跳绳和手球供学生体育锻炼．某体育用品店为了吸引顾客，准备在春节假期开展促销活动，其中跳绳打八折，手球打七五折，已知打折前，购买4根跳绳和3个手球共需790元；打折后，购买2根跳绳和4个手球共需406元 (1)打折前购买一根跳绳和一个手球分别需要多少元？ (2)某校需购买跳绳100根，手球40个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 15．某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 16．某种植场在公顷的果园里分别种植了甜樱桃和苹果，总投入成本万元，其中种植甜樱桃和苹果每公顷的投入成本分别为万元和万元．请解答下列问题： (1)分别求甜樱桃和苹果的种植面积． (2)若甜樱桃和苹果每公顷的销售额分别为万元和万元，则该种植场一共能获得利润多少万元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $