第7章 3 万有引力理论的成就（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一物理必修第二册（人教版）

第七章　万有引力与宇宙航行 3　万有引力理论的成就 基础过关练 题组一　计算天体的质量 1.(2025陕西榆林期中)“开普勒-90”星系距离太阳系约2 545光年,是一个类太阳系的恒星系统。目前已经发现该星系有8颗行星,与太阳系内的大行星数量相同。其中一颗行星“开普勒-90d”的公转轨道半径约为地球公转轨道半径的,公转周期约为地球公转周期的,则该星系中心天体“开普勒-90”与太阳的质量之比约为 (　　) A.4∶1　　　　B.3∶1　　　　C.9∶4　　　　D.4∶3 2.(多选题)(2025东北师大附中等校期中)一颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动,运行周期为T,线速度为v,引力常量为G,下列说法正确的是　 (　　) A.该人造卫星的轨道半径为 B.该人造卫星的轨道半径为 C.地球的质量为 D.地球的质量为 3.(2025江西赣州中学期中)2024年6月,内蒙古乌兰察布阿木古郎草原迎回了携带月背“土特产”的嫦娥六号返回器,这是人类历史上首次实现月球背面采样返回。返回器在返回地球前绕地球运行的某段可视为匀速圆周运动,在该段运动过程中,返回器转过圆心角θ所用的时间为t、速度大小为v。已知引力常量为G,则地球的质量可表示为 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 4.(2025黑龙江大庆模拟)火星移民计划是人类探索太空的一次重要尝试,人类可能将在火星上建立新家园。如果让一小球在火星表面一定高度处自由下落,测得它在第2 s内(未着陆)的位移大小是6 m。已知火星的半径约为地球半径的,地球表面的重力加速度g=10 m/s2,则火星的质量M火和地球的质量M地之比为 (　　) A.10　　　　B.　　　　C.　　　　D. 5.(2025四川攀枝花模拟)我国计划在2030年前实现首次中国人登陆月球,假设航天员登陆月球前先随着陆器和登月飞船绕月球做匀速圆周运动,周期为T,登月后在月球表面用弹簧测力计测量一个质量为m的物体的重力,当物体静止时,弹簧测力计的示数为F。已知引力常量为G,着陆器和登月飞船绕月球做圆周运动时距月球表面的高度可忽略不计,则月球的质量为 (　　) A.　B.　C.　D. 6.(2025山东枣庄第八中学模拟)地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为r1,周期为T1,月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r2,周期为T2,地球表面的重力加速度为g,引力常量为G。下列说法正确的是 (　　) A.地球的质量可表示为 B.地球的半径可表示为 C.太阳与地球的质量之比为 D.太阳与地球的质量之比为 题组二　计算天体的密度 7.(2025山东聊城期中)北京时间2025年1月7日,实践二十五号卫星发射升空,为超期服役的“北斗三号”G7星注入142公斤推进剂,使后者寿命延长8年。若“北斗三号”G7星在预定轨道做匀速圆周运动的周期为T,其轨道半径r和地球半径R的比值为k,引力常量为G,则地球的平均密度为 (　　) A.　B.　C.　D. 8.(2025安徽芜湖模拟)2025年中国航天将迎来更多突破,新一代载人飞船和月面着陆器将进入实质性测试阶段,我国第四批预备航天员不仅要执行空间站任务,未来也将执行载人登月任务。假设以同样大小的初速度分别在月面和地面竖直上抛小球(不计地面上的空气阻力),小球在月面上升的最大高度为在地面上的6倍。已知地球半径为月球半径的4倍,则地球和月球的平均密度之比为 (　　) A.6∶1　　　　B.1∶6　　　　C.2∶3　　　　D.3∶2 9.(2025山东济宁期末)北斗卫星导航系统是我国自主研制、独立运行的全球卫星导航系统,其中一颗静止轨道卫星的运行轨道如图中圆形虚线所示,其对地张角为2θ。已知地球半径为R、自转周期为T,地球表面的重力加速度为g,引力常量为G,则地球的平均密度为 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 10.(2025浙江宁波期末)某同学想利用小孔成像实验估测太阳的平均密度。设计如图所示的装置,不透明的圆筒上底密封,但中央有一小孔O,下底为半透明纸,将圆筒轴线正对太阳,可在半透明纸上观察到太阳的像的直径d=1 cm。已知圆筒长L=1 m,引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2。根据以上信息可得到太阳的平均密度的数量级为 (　　) A.101 kg/m3　　　　　　　　B.103 kg/m3 C.105 kg/m3　　　　　　　　D.106 kg/m3 11.(2025重庆渝北中学期中)为了今后登陆火星,我国于2020年7月23日在文昌成功发射天问一号火星探测器,假设探测器在到达火星表面前,绕其表面附近匀速飞行(不计其他天体的影响),测量得到探测器绕火星n圈的时间为t,火星半径为R,引力常量为G,求: (1)火星探测器在轨道上匀速飞行的周期T; (2)火星探测器在轨道上匀速飞行的速度v大小; (3)火星的平均密度ρ。 题组三　发现未知天体 12.关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实,下列说法中正确的是　 (　　) A.天王星和海王星都是运用万有引力定律经过大量计算而发现的 B.在18世纪已经发现的七颗行星中,人们发现第七颗行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差,于是有人推测,在天王星轨道外还有一颗行星,是它的存在引起了上述偏差 C.第八颗行星是牛顿运用自己发现的万有引力定律,经过大量计算而发现的 D.天王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶合作研究后共同发现的 能力提升练 题组一　地表重力加速度法计算天体质量和密度　 1.(多选题)(2025湖南常德临澧一中月考)若已知引力常量为G,地球表面处的重力加速度为g,地球半径为R,地球上一个昼夜的时间为T1(地球自转周期),一年的时间为T2(地球公转周期),地球中心到月球中心的距离为L1,地球中心到太阳中心的距离为L2,则 (　　) A.地球的质量m地= B.太阳的质量m太= C.月球的质量m月= D.地球的密度ρ地= 2.(多选题)(2025山西太原第五中学月考)由于地球自转的影响,地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。假设地球可视为质量均匀分布的球体,地球表面两极处的重力加速度大小为g,地球半径为R,地球自转的周期为T,引力常量为G。下列说法正确的是 (　　) A.地球的质量为 B.地球的密度为 C.地球近地卫星的运行速度为 D.在地球赤道处的重力加速度大小为g-R 题组二　环绕运行法计算天体质量和密度 3.(多选题)(2025山东日照校际联考)如图所示是地球和木星的不同卫星做匀速圆周运动的轨道半径r的立方与周期T的平方的关系图像。木星的公转轨道半径约为地球公转轨道半径的5倍,木星的半径约为地球半径的11倍,木星的质量大于地球的质量。已知引力常量为G,地球的半径为R。下列说法正确的是 (　　) A.图线甲表示木星的卫星 B.木星与地球的线速度大小之比为1∶5 C.木星与地球的质量之比为 D.地球的密度为 4.(2025江西临川一中质量监测)卫星在不同轨道绕地球做圆周运动,卫星速率平方的倒数与轨道距地面高度h的关系图像如图所示,已知图线的纵轴截距为b,斜率为k,引力常量为G,则下列说法正确的是 (　　) A.地球的半径为 B.地球表面附近的重力加速度为kb2 C.地球的质量为 D.地球的平均密度为 5.(2024重庆西南大学附属中学月考)中国空间站是我国自主建成的太空实验室。已知空间站绕地球做匀速圆周运动,经过时间t,运动的弧长为s,与地球中心连线转过的角度为θ(弧度),引力常量为G。 (1)求空间站环绕地球的周期T; (2)求地球的质量M; (3)已知地球半径为R,求地球的平均密度。 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.D　行星“开普勒-90d”围绕“开普勒-90”做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力,有=mr,可得中心天体“开普勒-90”的质量M=r3,同理可得M太=,故==,D正确。 2.AC　由v=Rω=R,可得该人造卫星的轨道半径为R=,A正确,B错误;由万有引力提供向心力,可得G=mR=m,R=,解得M=,C正确,D错误。 3.A　返回器做匀速圆周运动,角速度为ω=,则返回器的轨道半径r==,根据万有引力提供向心力,有G=m,联立解得地球的质量M=,A正确。 4.D　 5.D　设月球的质量为M,半径为R,月球表面的重力加速度为g,根据题意有F=mg(点拨:二力平衡);对于航天器绕月球表面做匀速圆周运动,有=m'R;在月球表面,物体的重力和月球对其的万有引力大小相等,则有=m'g,联立解得M=,D正确。 6.D　设地球半径为R,不考虑地球自转,地球表面的物体所受的万有引力等于其重力,即有G=mg,解得M地=,A错误;月球绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,有G=m1,结合M地=,解得R=,B错误;地球绕太阳做匀速圆周运动,有G=M地,解得M太=,而地球质量M地=,解得=,故C错误,D正确。 7.C　设地球的质量为M,“北斗三号”G7星的质量为m,“北斗三号”G7星绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,有G=mr,解得M=,地球的密度ρ===,由题可知=k,整理可得ρ=,C正确。 8.D　根据竖直上抛运动规律可得h=,故==;根据G=mg、M=ρ·πR3,可得ρ==,解得=·=,D正确。 9.C　 模型建构 地球半径为R,卫星绕地球做圆周运动的轨道半径为r,则 sin θ=。 由sin θ=,解得r=;卫星绕地球做圆周运动,有G=m,解得M==;地球的体积为V=,则地球密度为ρ==,C正确。 10.B　设太阳的半径为R,太阳到地球的距离为r,由光路图结合相似三角形知识可得=,解得R=;地球绕太阳做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,设太阳质量为M,地球质量为m,则G=mr,太阳的体积为V=πR3,则太阳的密度为ρ==,代入数据解得ρ≈1.136×103 kg/m3,B正确。 11.答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)探测器绕火星n圈所用的时间为t,则火星探测器在轨道上匀速飞行的周期T=。 (2)探测器在火星表面附近匀速飞行,其轨道半径近似为火星半径R,则匀速飞行的速度v==。 (3)设火星质量为M,根据万有引力提供向心力,有=m 平均密度ρ= 联立解得ρ= 12.B　天王星是在1781年发现的,而卡文迪什测出引力常量G的值是在1798年,在此之前人们还不能用万有引力定律做有实际意义的计算,故A错误;太阳系的第八颗行星即海王星,是由英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶各自独立地利用万有引力定律计算出轨道,由德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近首先发现的,C、D错误。 能力提升练 1.BD　在地球表面,地球对物体的万有引力近似等于物体的重力,有G=mg,则m地=,A错误;地球绕太阳做圆周运动,太阳对地球的万有引力提供向心力,有G=m地L2,则m太=,B正确;由m地=和ρ地=,V地=πR3,解得地球的平均密度ρ地=,D正确;由题中数据无法求出月球的质量,C错误。 2.BD　在地球南、北两极处,物体所受地球的万有引力等于物体的重力,有=mg,解得地球的质量M=;地球的体积V=πR3,可得密度ρ==,A错误,B正确。近地卫星绕地球做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力,有=m,解得v=,C错误;在地球赤道处的物体随地球自转,有-FN=mR,物体受到的支持力FN等于重力mg0,即FN=mg0,解得赤道处的重力加速度g0=g-R,D正确。 方法技巧　研究天体的圆周运动和天体表面物体的运动问题,重力加速度g是联系的桥梁,需掌握两种关系:一是在星球表面物体所受重力等于星球对其的万有引力(忽略星球自转);二是物体绕星球做匀速圆周运动,其向心力由万有引力提供。 3.ACD　卫星绕行星做圆周运动,万有引力提供向心力,有=mr,解得r3=T2,故r3-T2图线的斜率为k=;木星的质量大于地球的质量,则木星的卫星做圆周运动的r3-T2图线的斜率大,即图线甲表示木星的卫星,则k木=,k地=,故木星与地球的质量之比为==,故A、C正确。由图示图像可知k地==,故地球的质量为M地=,则地球的密度ρ==,D正确。木星和地球绕太阳做匀速圆周运动,有=m,解得线速度v=,设地球、木星的公转轨道半径分别为r地、r木,则木星与地球的线速度大小之比为==,B错误。 4.C　设地球半径为R,卫星绕地球做圆周运动,由万有引力提供向心力,有=m,又M=ρ·πR3,联立得=h+,所以-h图线的斜率k=,纵轴截距b=(破题关键),解得地球的半径R=,A错误;对在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的物体,有mg=m,可得g=,结合题图可得=b,解得地球表面附近的重力加速度g=,B错误;在地球表面有mg=G,解得M==,C正确;由于b=,可得ρ=,D错误。 5.答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)空间站环绕地球做圆周运动的角速度为ω= 则周期为T== (2)空间站环绕地球运动的线速度大小为v= 则空间站环绕地球运动的轨道半径为r== 根据万有引力提供向心力,可得=mω2r 联立解得地球质量为M= (3)地球半径为R,则体积为V=πR3 解得地球的平均密度为ρ= 7 $