3. 万有引力理论的成就（同步讲义）物理人教版必修第二册

3. 万有引力理论的成就 【知识梳理】 1 一、“称量”地球的质量 1 二、计算天体的质量 1 三、 发现未知天体、预言哈雷慧星回归 2 【重难探究】 2 探究1 天体质量和密度的计算 2 探究2 天体运动的分析探究 6 探究3 万有引力与重力的关系 8 【课堂自测·基础练】 8 【素养进阶·提升练】 16 【知识梳理】 知识点1 “称量”地球的质量 实验探究气体等温变化规律 1.实验器材：铁架台、 注射器、 橡胶塞 、压力表(压强表)等．注射器下端用橡胶塞密封，上端用活塞封闭一段空气柱，这段 空气柱 是我们的研究对象． 2.数据收集：空气柱的压强p由上方的 压力表 读出，体积V用 刻度尺 读出的空气柱的长度l乘气柱的横截面积S.用手把活塞向下压或向上拉，读出体积与压强的几组值． 3.数据处理 以压强p为纵坐标，以体积的倒数为横坐标建立直角坐标系，将收集的各组数据描点作图，若图象是过原点的直线，说明压强跟体积的倒数成 正比 ，也就说明压强跟体积成 反比 ． 知识点2 计算天体的质量 1.思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力提供向心力。 2.关系式： (m太为太阳的质量，r为行星与太阳的距离) 3.结论：m太＝，只要知道行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。 知识点3 发现未知天体、预言哈雷慧星回归 1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。 2.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。 3.哈雷彗星回归 英国天文学家哈雷计算出在1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道如出一辙，并预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年，还预言它将于1758年底或1759年初再次回归。1759年3月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在2061年左右。 【重难探究】 探究1 天体质量和密度的计算 【探究导入】如图，甲图中质量为m的物体放置在地面上，乙图中质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动，探究如下问题： 甲　　　　　　　　　　　　　乙 (1)怎样用甲图来计算地球的质量和密度？ 提示：根据物体所受重力等于地球引力 mg＝G，解得M＝ 由V＝πR3，ρ＝＝ (2)怎样用乙图来计算地球的质量和密度？ 提示：根据万有引力提供向心力， G＝mr，解得M＝. 由V＝πR3，ρ＝＝ (3)在乙图中，若卫星做近地的圆周运动，则地球的密度是多少？ 提示：若卫星做近地圆周运动，则r＝R，ρ＝. 【探究归纳】1、天体质量的计算 （1）重力加速度法：若已知天体（如地球）的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得，解得天体的质量，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。这是黄金代换公式的一个常见应用。 （2）环绕法：借助环绕中心天体做匀速圆周运动的行星（或卫星）计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下： 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期 ★特别提醒 计算中心天体的质量需要知道： （1）行星或卫星运行的轨道半径，以及运行的任一参数（如线速度或角速度或向心加速度等）。 （2）如果是忽略天体自转、或在天体表面附近、或提示万有引力近似等于重力，则可以应用黄金代换计算中心天体质量，此时需要知道天体的半径，以及天体表面的重力加速度。 2.万有引力与重力的关系（黄金代换）：对地球上的物体而言，受到的万有引力要比地球自转引起的物体做圆周运动所需的向心力大的多，所以通常可以忽略地球自转带来的影响，近似认为万有引力完全等于重力。即，化简得到：GM=gR2，其中g是地球表面的重力加速度，R表示地球半径，M表示地球 【典例赏析】 [例1]　（多选）如图所示，固定在地面上的斜面，斜面的高度为，底边的长度为，在斜面的顶点沿水平方向以抛出一个小球，经时间时落回该斜面，已知地球半径，引力常量为。设地球的质量为，地球的平均密度为，地球表面的重力加速度为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】AB．令小球的位移为，则有 解得，故A错误，B正确； C．在地球表面有 结合上述解得，故C错误； D．地球的密度 结合上述解得，故D正确。 故选BD。 【针对训练】 1．（多选）人类发射的火星探测器进入火星的引力范围后，绕火星做匀速圆周运动。已知引力常数为G，火星的半径为R，探测器运行轨道在其表面上空高h处，运行周期为T，则下列关于火星的质量和平均密度的表达式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】探测器绕火星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 解得火星的质量为 又 解得火星的平均密度为 故选AB。 2.2024年1月18日，由大连理工大学研制的“大连1号—连理卫星”从天舟六号货运飞船成功释放入轨，并成功回传高清图像。若“连理卫星”的轨道可视为圆周，已知引力常量和“连理卫星”距地面的高度，再结合下列信息能计算出地球平均密度的是（    ） A．地球对“连理卫星”的万有引力和地球半径 B．“连理卫星”绕地球运动的周期和线速度 C．“连理卫星”绕地球运动的周期和角速度 D．地球两极处的重力加速度和地球自转周期 【答案】B 【解析】要求出地球的平均密度，需要求出地球的质量和地球的体积，已知引力常量和“连理卫星”距地面的高度： A．再知道地球对“连理卫星”的万有引力和地球半径可知求出地球的体积，但是无法求出地球的质量，所以无法求出地球的平均密度，故A错误； B．再知道“连理卫星”绕地球运动的周期和线速度，根据 以及 可以求出地球的质量和体积，可以求出地球的平均密度，故B正确； C．“连理卫星”绕地球运动的周期和角速度无法求出地球的质量和体积，无法求出地球的平均密度，故C错误； D．根据 可得 地球的体积 则 无法求出地球的半径，则无法求出地球的密度，故D错误。 故选B。 探究2 天体运动的分析探究 【探究导入】 如图，太阳系中的行星绕太阳在不同轨道上运动，探究以下问题： (1)将行星的运动近似看作匀速圆周运动，轨道半径最小的是哪颗行星？ 提示：水星． (2)地球、金星和火星的周期，哪个最大？ 提示：根据G＝mr，T＝故轨道半径越大，周期越大，即火星周期最大． (3)金星和木星的角速度，哪个大？ 提示：根据G＝mω2r，ω＝故轨道半径越小，角速度越大，金星大． 【探究归纳】1.环绕天体的运行参量 行星（或卫星）绕中心天体的运动可看作为匀速圆周运动，万有引力提供向心力。 ，= ；轨道半径越大，向心加速度越小； ， ，轨道半径越大，环绕速度越小； ， ，轨道半径越大，环绕角速度越小； ， ，轨道半径越大，环绕周期越大； 2.忽略自转，中心天体表面物体的重力近似等于物体所受的万有引力 ， (该公式通常被称为黄金代换式) ， ， ， ①卫星的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，与卫星的质量无关； ②卫星的轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越 【例2】 两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其质量之比为1:2，轨道半径之比为1:2，则（　　） A．它们的线速度大小之比为2:1 B．它们的运行周期之比为1:2 C．它们的向心加速度大小之比为1:4 D．它们所受向心力大小之比为2:1 【答案】D 【解析】A．根据万有引力提供向心力 则线速度 所以，故A错误； B．根据万有引力提供向心力 则周期 所以周期之比，故B错误； C．根据万有引力提供向心力 则向心加速度 所以向心加速度之比，故C错误； D．向心力大小为 所以向心力之比，故D正确。 故选D。 【针对训练】 3．由于人造地球卫星在运行中受到大气阻力的影响，其轨道半径逐渐减小，相应的线速度和周期的变化情况分别是（　　） A．线速度变大，周期变小 B．线速度不变，周期变大 C．线速度变小，周期变小 D．线速度变小，周期变大 【答案】A 【解析】由万有引力提供向心力得 解得 故半径减小，则线速度变大。由开普勒第三定律得（常量） 得 故半径减小，则周期变小。 故选A。 4.2025年4月25日1时17分，在执行任务的神舟十九号航天员乘组打开“家门”，欢迎神舟二十号航天员乘组入驻中国空间站。神舟二十号航天员乘组入驻后，空间站仍在原来的轨道（视为近地圆轨道）上运行，则（　　） A．空间站的运行周期变长 B．空间站的速度大小不变 C．新入驻空间站的航天员所受合外力为零 D．新入驻空间站的航天员所受合外力比静止在地面上时小 【答案】B 【解析】根据万有引力提供向心力的原理，空间站轨道为近地圆轨道，轨道半径不变。入驻后空间站质量增加，但轨道参数（如周期、速度）仅取决于地球质量和轨道半径，与空间站质量无关。 A. 空间站的运行周期，只与轨道半径和地球质量有关，入驻后不变，故周期不变，故A错误。 B. 空间站的速度大小，只与和有关，入驻后不变，故速度大小不变，故B正确。 C. 新入驻航天员在轨道上受地球引力作用，引力提供向心力，合外力不为零，故C错误。 D. 新入驻航天员在近地圆轨道上所受合外力即万有引力，不为零；而静止在地面上时所受的合外力是使其随地球自转的向心力，该力远小于在轨道上受到的万有引力。因此，航天员在轨道上所受合外力比静止在地面上时大，故D错误。 故选B。 探究3 万有引力与重力的关系 【探究导入】物体在地球表面上所受引力等于其重力吗？为什么？ 提示：地球在不停地自转，地球上的物体随着地球自转而做圆周运动，做圆周运动需要一个向心力，所以重力不直接等于万有引力而近似等于万有引力，如图所示，万有引力为F引，重力为G，自转向心力为F′.，很显然物体在地球表面上所受引力不一定等于其重力。 【探究归纳】如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F=。 除南北两极外，万有引力有两个分力，一个分力F1提供物体随地球自转的向心力，方向垂直于地轴，为物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn；另一个分力F2是重力，产生使物体压地面的效果，就是物体的重力mg。 2.重力与纬度的关系 地面上物体的重力随纬度的升高而变大。 (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mRω2＋mg，所以mg＝G－mRω2。 (2)球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G。 (3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心。 3．重力、重力加速度与高度的关系 (1)由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近，地球表面的重力约等于地球的万有引力，即mg＝G，所以地球表面的重力加速度g＝。 (2)地球上空h高度，万有引力等于重力，即mg＝G，所以h高度的重力加速度g＝。 【例3】由于地球有自转，所以在地球表面不同的纬度上重力加速度数值一般不同，纬度越高则重力加速度越大。假设地球可视为质量均匀分布的规则球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0、在赤道的大小为g，地球自转周期为T，则地球半径可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，两极处有 赤道处有 联立可得 故选B。 【针对训练】 5.若地球是质量均匀分布的球体，测得两极附近的重力加速度为，赤道附近的重力加速度为。在赤道地面上，一个质量为m的物体随地球自转。则物体（　　） A．受到的万有引力大小等于 B．对地面的压力大小等于 C．受到的向心力大小等于 D．受到的合力大小等于 【答案】D 【解析】ACD．在两极物体受到的万有引力大小为 地球看成质量均匀分布的球体，则物体在赤道受到的万有引力大小等于在两极物体受到的万有引力大小，所以物体在赤道受到的万有引力大小等于。在赤道地面上，设物体受到的向心力大小为，则有 可得 所以物体受到的合力大小 故AC错误，D正确； B．物体对地面的压力大小 故B错误。 故选D。 6.假设地球可视为质量分布均匀的球体，由于地球的自转，地球表面上不同纬度的重力加速度有所差别。已知地球表面的重力加速度在赤道的大小为g，在两极的大小为kg。则地球表面上北纬37°处的重力加速度大小为（　　） A．g B． C．g D．g 【答案】B 【解析】物体在两极时，根据万有引力等于重力有 物体在赤道时，万有引力的一个分力提供向心力，另一个分力为重力，设T为地球自转周期，则有 地球表面上北纬37°处，设向心力为F，重力加速度为，由余弦定理得 又 ， 解得 故选B。 【课堂自测·基础练】 1．2025年1月7日，长征三号乙火箭成功将“太空加油站”——实践25号卫星送入太空（如图），解决了一个困扰航天工程师多年的问题：卫星燃料补给问题。若卫星质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则卫星所在轨道处的重力加速度大小为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】卫星所在轨道处有 解得 故选B。 2．2025年3月17日，我国在酒泉卫星发射中心用谷神星一号运载火箭成功发射云遥一号55~60星，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功。若卫星沿圆轨道运行，轨道半径为，卫星在时间内通过的运动轨迹对应的圆心角为，引力常量为，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设地球的质量为，卫星的质量为， 根据万有引力提供向心力有 卫星的角速度 联立解得 故选A。 3．一颗卫星通过火箭于某日7时37分成功发射入轨，该卫星运行在600千米的轨道高度上。下列说法正确的是（　　） A．7时37分指时间间隔 B．在组装火箭与卫星时卫星可看作质点 C．该卫星绕地球一圈平均速度为0 D．卫星在太空中不受重力 【答案】C 【详解】A．7时37分为时刻，不是时间间隔，故A错误； B．在组装火箭与卫星时需考虑卫星的结构，所以不能将卫星视为质点，故B错误； C．平均速度等于总位移与运动时间的比值，卫星绕地球一圈的位移为0，所以平均速度也为0，故C正确； D．卫星在太空中仍受到重力的作用，地球对卫星的引力提供其做圆周运动的向心力，故D错误。 故选C。 4．假设航天员在探索某颗质量为地球质量的4倍、半径也为地球半径的4倍的星球。航天员从离该星球表面高度为1.25m处以大小为的速度水平抛出一小球，取地球表面重力加速度大小，不考虑地球和该星球的自转，则该小球从抛出到落至星球表面过程中的水平位移大小为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 【答案】A 【详解】设质量为的物体在该星球表面上，不考虑该星球的自转，故万有引力等于重力，则有 解得星球表面重力加速度 已知该星球质量，半径 ，则有 代入得 该小球在竖直方向做自由落体运动，则有 解得 该小球在水平做匀速直线运动，可得水平位移为 故选A。 5．“北斗”是我国自主研制、独立运行的全球卫星导航系统，某同步卫星的对地张角为2θ，运行轨道如图中圆形虚线所示。已知地球半径为R、自转周期为T、地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G。由此可知地球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设卫星的轨道半径为r，由题意可知 解得 对卫星绕地球做圆周运动 可得地球的质量 故选C。 6．某次科学实验中，用火箭将一个质量m=1kg的物体和一颗卫星一起送上太空，某时刻物体随火箭一起竖直向上做加速运动，加速度大小为a=2m/s2，而称量物体的台秤显示物体的重力为4.5N。已知地球表面重力加速度g取10m/s2，地球半径R=6.4×106m，不计地球自转的影响，则下列说法正确的是（　　） A．此处的重力加速度为5m/s2 B．此处的重力加速度为10m/s2 C．此时火箭离地面的高度h=3.2×106m D．此时火箭离地面的高度h=6.4×106m 【答案】D 【详解】对物体受力分析可知，物体受到支持力和万有引力作用，支持力即台秤显示的数值，由牛顿第二定律有 又有 地球表面上物体受到的重力等于万有引力有 其中 解得，，故D正确，ABC错误。 故选D。 7．下列说法正确的是（　　） A．哥白尼提出日心说，指出行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆 B．开普勒认为行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积均相等 C．伽利略用实验直接证实了自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动 D．牛顿提出了万有引力定律，并通过计算测出了地球的质量 【答案】B 【详解】A．哥白尼提出日心说，但行星轨道为椭圆是开普勒的发现，故A错误； B．开普勒第二定律指出，同一行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等，故B正确； C．伽利略通过斜面实验间接推导自由落体规律，而非直接实验证实，故C错误； D．牛顿提出万有引力定律，但地球质量是卡文迪许通过实验测得引力常数后计算的，故D错误。 故选B。 8．2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】AB．对于环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有 可得，故AB错误； CD．对于环月圆轨道，根据万有引力提供向心力可得 可得，故C正确，D错误。 故选C。 9．如图所示，在遥远的银河中有一颗行星，卫星绕其做匀速圆周运动，卫星绕其运行的轨迹为椭圆，两卫星的绕行方向均为顺时针方向，为椭圆轨道的“近地点”，为椭圆轨道的上顶点。已知行星的半径为，卫星的绕行半径和卫星运行轨道的半长轴均为，卫星的周期为，引力常量为，忽略行星的自转，不计两卫星之间的作用力。下列说法正确的是（　　） A．卫星的运行周期为 B．卫星从点运行到点所需的时间为 C．行星的密度为 D．行星表面的重力加速度为 【答案】D 【详解】A．根据开普勒第三定律可知，绕同一中心天体运行的行星（卫星），其轨道半长轴的三次方与周期的平方之比是一常数，即 由于卫星的绕行半径和卫星运行轨道的半长轴均为，因此二者的周期相等，故A错误； B．卫星Q从H点运动到K点的过程中，卫星Q要克服万有引力做功，动能减小，速度减小，因此卫星Q从H点到K点的平均速度大于从K点到“远地点”的平均速度，故卫星从点运到点所需的时间小于，故B错误； C．万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律可得 结合密度公式， 联立解得行星的密度为，故C错误； D．在星球表面，万有引力大小等于重力的大小，则有 结合上述结论可知 联立解得，行星表面的重力加速度为，故D正确。 故选D。 10．我国一直努力进行火星生命迹象的探索。如图所示，某火星探测器先在椭圆轨道Ⅰ上绕火星运动，周期为2T，后从A点进入圆轨道Ⅱ绕火星做匀速圆周运动，周期为T。当探测器即将着陆前悬停在距离火星表面附近h的高度时，以v0的初速度水平弹出一个小球，测得小球弹出点到落地点之间的直线距离为2h。已知火星的半径为R，引力常量为G，下列判断正确的是（　　） A．火星表面的重力加速度大小为 B．火星的质量为 C．椭圆轨道Ⅰ的半长轴为圆轨道Ⅱ半径的2倍 D．探测器从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，需要在A处点火加速 【答案】B 【详解】AB．设火星表面的重力加速度为，根据平抛运动的规律，有 水平方向 联立可得 根据火星表面物体受到的万有引力等于重力，有 可得，选项A错误，B正确； C．根据开普勒第三定律 可得半长轴，选项C错误； D．从高轨道向低轨道变轨，需要点火减速，选项D错误。 故选B。 11．（多选）“夸父逐日”的故事最早出自《山海经·海外北经》。若夸父“逐日”的足迹遍及全球，且总在地面上，则下列说法正确的是（　　） A．夸父所受的重力竖直向下 B．夸父所受的重力垂直地面向下 C．夸父在赤道时所受的重力比其在北极时所受的重力大 D．夸父在赤道时所受的重力比其在北极时所受的重力小 【答案】AD 【详解】AB．重力的方向始终是竖直向下的，故A正确，B错误； CD．重力加速度的大小与纬度有关，纬度越大，重力加速度越大，即北极的重力加速度大于赤道的重力加速度，根据可知，夸父在赤道时所受的重力比其在北极时所受的重力小，故C错误，D正确。 故选AD。 12．（多选）已知地球质量约为火星质量的9倍，地球半径约为火星半径的2倍，若某天你到火星上旅行，跟在地球上相比较，忽略星球自转的影响，下列判断正确的有（    ） A．体重会变大 B．体重会变小 C．以相同速度竖直跳起会跳得更高 D．以相同速度竖直跳起会跳得更低 【答案】BC 【详解】AB．在星球表面，有，则 则，则体重会变小，故A错误，B正确； CD．竖直跳起的最大高度，由，则，故C正确，D错误。 故选BC。 13．（多选）工程上常利用“重力加速度反常”来探测矿物，原理简化为如图所示，P为某地区地面附近的一点，若地下无矿物时，地下岩石的平均密度为，其正常加速度为g，若在地下存在一半径为R的球形的矿坑，则P点的重力加速度变为，矿物的平均密度为，矿坑的中心O离P点的距离为L，定义为“重力加速度反常值”，已知当时，测得“重力加速度反常值”为，下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若L变为2倍，则 D．若R变为2倍，则 【答案】BC 【详解】设地球质量为M，半径为，若地下无矿物时，地下岩石的平均密度为，其正常加速度为g，根据万有引力等于重力得 若在地下存在一半径为R的球形的矿坑，则P点的重力加速度变为，矿物的平均密度为，则有 联立解得 则重力加速度反常值 已知当时，测得“重力加速度反常值”为。 A．若，则，故A错误； B．若，则，故B正确； C．若L变为2倍，则，故C正确； D．若R变为2倍，则，故D错误。 故选BC。 14．（多选）宇宙中行星M 和行星N 可能适宜人类居住，M半径是 N 半径的 ，若分别在行星 M 和行星N 上让小球做自由落体运动，并绘出小球自由落体运动的下落高度h随时间t²的函数图像如图所示，忽略空气阻力，忽略行星自转。下列判断正确的是（　　） A．行星 M 和行星N 表面的重力加速度之比为1：1 B．行星 M 和行星N 表面的重力加速度之比为2：1 C．行星 M 和行星N 的密度之比为4：1 D．行星M 和行星N 的密度之比为1：4 【答案】BC 【详解】AB．根据自由落体运动 可知图像的斜率表示该行星表面重力加速度的一半，有 可得行星 M 和行星N 的重力加速度之比为，故A错误，B正确； CD．由， 可得 可得行星 M 和行星N 的密度之比为，故C正确，D错误。 【素养进阶·提升练】 1．（2025·湖南·高考真题）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到。下列选项正确的是（　　） A．a为为为 B．a为为为 C．a为为为 D．a为为为 【答案】A 【详解】根据题意，卫星在同步轨道和表面附近轨道运行时轨道半径分别为 设小行星和卫星的质量分别为 由开普勒第三定律有 解得 卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有 解得 对应结果可得a为为为。 故选A。 2．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约3750km，轨道周期约2h。引力常量G取6.67 × 10－11N⋅m2/kg2，根据以上数据可推算出火星的（   ） A．质量 B．体积 C．逃逸速度 D．自转周期 【答案】A 【详解】轨道器绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，可得 A．题中已知的物理量有轨道半径r，轨道周期T，引力常量G，可推算出火星的质量，故A正确； B．若想推算火星的体积和逃逸速度，则还需要知道火星的半径r，故BC错误； D．根据上述分析可知，不能通过所提供物理量推算出火星的自转周期，故D错误。 故选A。 3．（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设月球半径为，质量为，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力 月球的体积 月球的平均密度 联立可得 故选D。 4．（2025·安徽·高考真题）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】AB．对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有 可得 故A错误，B正确； CD．对于环月圆轨道，根据万有引力提供向心力可得 可得 故C正确，D错误。 故选BC。 5．（2021·福建·高考真题）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段。在动力减速阶段，探测器速度大小由减小到0，历时。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，地球表面重力加速度大小取，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动。求： （1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离； （2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。 【详解】（1）设探测器在动力减速阶段所用时间为t，初速度大小为，末速度大小为，加速度大小为a，由匀变速直线运动速度公式有    ① 代入题给数据得    ② 设探测器下降的距离为s，由匀变速直线运动位移公式有    ③ 联立②③式并代入题给数据得    ④ （2）设火星的质量、半径和表面重力加速度大小分别为、和，地球的质量、半径和表面重力加速度大小分别为、和由牛顿运动定律和万有引力定律，对质量为m的物体有 ⑤ ⑥ 式中G为引力常量。设变推力发动机的最大推力为F，能够悬停的火星探测器最大质量为，由力的平衡条件有 ⑦ 联立⑤⑥⑦式并代入题给数据得    ⑧ 在悬停避障阶段，该变推力发动机能实现悬停的探测器的最大质量约为。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3. 万有引力理论的成就 【知识梳理】 1 一、“称量”地球的质量 1 二、计算天体的质量 1 三、 发现未知天体、预言哈雷慧星回归 2 【重难探究】 2 探究1 天体质量和密度的计算 2 探究2 天体运动的分析探究 6 探究3 万有引力与重力的关系 8 【课堂自测·基础练】 8 【素养进阶·提升练】 16 【知识梳理】 知识点1 “称量”地球的质量 实验探究气体等温变化规律 1.实验器材：铁架台、 注射器、 橡胶塞 、压力表(压强表)等．注射器下端用橡胶塞密封，上端用活塞封闭一段空气柱，这段 空气柱 是我们的研究对象． 2.数据收集：空气柱的压强p由上方的 压力表 读出，体积V用 刻度尺 读出的空气柱的长度l乘气柱的横截面积S.用手把活塞向下压或向上拉，读出体积与压强的几组值． 3.数据处理 以压强p为纵坐标，以体积的倒数为横坐标建立直角坐标系，将收集的各组数据描点作图，若图象是过原点的直线，说明压强跟体积的倒数成 正比 ，也就说明压强跟体积成 反比 ． 知识点2 计算天体的质量 1.思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力提供向心力。 2.关系式： (m太为太阳的质量，r为行星与太阳的距离) 3.结论：m太＝，只要知道行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。 知识点3 发现未知天体、预言哈雷慧星回归 1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。 2.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。 3.哈雷彗星回归 英国天文学家哈雷计算出在1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道如出一辙，并预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年，还预言它将于1758年底或1759年初再次回归。1759年3月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在2061年左右。 【重难探究】 探究1 天体质量和密度的计算 【探究导入】如图，甲图中质量为m的物体放置在地面上，乙图中质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动，探究如下问题： 甲　　　　　　　　　　　　　乙 (1)怎样用甲图来计算地球的质量和密度？ 提示：根据物体所受重力等于地球引力 mg＝G，解得M＝ 由V＝πR3，ρ＝＝ (2)怎样用乙图来计算地球的质量和密度？ 提示：根据万有引力提供向心力， G＝mr，解得M＝. 由V＝πR3，ρ＝＝ (3)在乙图中，若卫星做近地的圆周运动，则地球的密度是多少？ 提示：若卫星做近地圆周运动，则r＝R，ρ＝. 【探究归纳】1、天体质量的计算 （1）重力加速度法：若已知天体（如地球）的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得，解得天体的质量，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。这是黄金代换公式的一个常见应用。 （2）环绕法：借助环绕中心天体做匀速圆周运动的行星（或卫星）计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下： 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期 ★特别提醒 计算中心天体的质量需要知道： （1）行星或卫星运行的轨道半径，以及运行的任一参数（如线速度或角速度或向心加速度等）。 （2）如果是忽略天体自转、或在天体表面附近、或提示万有引力近似等于重力，则可以应用黄金代换计算中心天体质量，此时需要知道天体的半径，以及天体表面的重力加速度。 2.万有引力与重力的关系（黄金代换）：对地球上的物体而言，受到的万有引力要比地球自转引起的物体做圆周运动所需的向心力大的多，所以通常可以忽略地球自转带来的影响，近似认为万有引力完全等于重力。即，化简得到：GM=gR2，其中g是地球表面的重力加速度，R表示地球半径，M表示地球 【典例赏析】 [例1]　（多选）如图所示，固定在地面上的斜面，斜面的高度为，底边的长度为，在斜面的顶点沿水平方向以抛出一个小球，经时间时落回该斜面，已知地球半径，引力常量为。设地球的质量为，地球的平均密度为，地球表面的重力加速度为，则（　　） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（多选）人类发射的火星探测器进入火星的引力范围后，绕火星做匀速圆周运动。已知引力常数为G，火星的半径为R，探测器运行轨道在其表面上空高h处，运行周期为T，则下列关于火星的质量和平均密度的表达式正确的是（　　） A． B． C． D． 2.2024年1月18日，由大连理工大学研制的“大连1号—连理卫星”从天舟六号货运飞船成功释放入轨，并成功回传高清图像。若“连理卫星”的轨道可视为圆周，已知引力常量和“连理卫星”距地面的高度，再结合下列信息能计算出地球平均密度的是（    ） A．地球对“连理卫星”的万有引力和地球半径 B．“连理卫星”绕地球运动的周期和线速度 C．“连理卫星”绕地球运动的周期和角速度 D．地球两极处的重力加速度和地球自转周期 探究2 天体运动的分析探究 【探究导入】 如图，太阳系中的行星绕太阳在不同轨道上运动，探究以下问题： (1)将行星的运动近似看作匀速圆周运动，轨道半径最小的是哪颗行星？ 提示：水星． (2)地球、金星和火星的周期，哪个最大？ 提示：根据G＝mr，T＝故轨道半径越大，周期越大，即火星周期最大． (3)金星和木星的角速度，哪个大？ 提示：根据G＝mω2r，ω＝故轨道半径越小，角速度越大，金星大． 【探究归纳】1.环绕天体的运行参量 行星（或卫星）绕中心天体的运动可看作为匀速圆周运动，万有引力提供向心力。 ，= ；轨道半径越大，向心加速度越小； ， ，轨道半径越大，环绕速度越小； ， ，轨道半径越大，环绕角速度越小； ， ，轨道半径越大，环绕周期越大； 2.忽略自转，中心天体表面物体的重力近似等于物体所受的万有引力 ， (该公式通常被称为黄金代换式) ， ， ， ①卫星的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，与卫星的质量无关； ②卫星的轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越 【例2】 两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其质量之比为1:2，轨道半径之比为1:2，则（　　） A．它们的线速度大小之比为2:1 B．它们的运行周期之比为1:2 C．它们的向心加速度大小之比为1:4 D．它们所受向心力大小之比为2:1 【针对训练】 3．由于人造地球卫星在运行中受到大气阻力的影响，其轨道半径逐渐减小，相应的线速度和周期的变化情况分别是（　　） A．线速度变大，周期变小 B．线速度不变，周期变大 C．线速度变小，周期变小 D．线速度变小，周期变大 4.2025年4月25日1时17分，在执行任务的神舟十九号航天员乘组打开“家门”，欢迎神舟二十号航天员乘组入驻中国空间站。神舟二十号航天员乘组入驻后，空间站仍在原来的轨道（视为近地圆轨道）上运行，则（　　） A．空间站的运行周期变长 B．空间站的速度大小不变 C．新入驻空间站的航天员所受合外力为零 D．新入驻空间站的航天员所受合外力比静止在地面上时小 探究3 万有引力与重力的关系 【探究导入】物体在地球表面上所受引力等于其重力吗？为什么？ 提示：地球在不停地自转，地球上的物体随着地球自转而做圆周运动，做圆周运动需要一个向心力，所以重力不直接等于万有引力而近似等于万有引力，如图所示，万有引力为F引，重力为G，自转向心力为F′.，很显然物体在地球表面上所受引力不一定等于其重力。 【探究归纳】如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F=。 除南北两极外，万有引力有两个分力，一个分力F1提供物体随地球自转的向心力，方向垂直于地轴，为物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn；另一个分力F2是重力，产生使物体压地面的效果，就是物体的重力mg。 2.重力与纬度的关系 地面上物体的重力随纬度的升高而变大。 (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mRω2＋mg，所以mg＝G－mRω2。 (2)球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G。 (3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心。 3．重力、重力加速度与高度的关系 (1)由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近，地球表面的重力约等于地球的万有引力，即mg＝G，所以地球表面的重力加速度g＝。 (2)地球上空h高度，万有引力等于重力，即mg＝G，所以h高度的重力加速度g＝。 【例3】由于地球有自转，所以在地球表面不同的纬度上重力加速度数值一般不同，纬度越高则重力加速度越大。假设地球可视为质量均匀分布的规则球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0、在赤道的大小为g，地球自转周期为T，则地球半径可表示为（　　） A． B． C． D． 【针对训练】 5.若地球是质量均匀分布的球体，测得两极附近的重力加速度为，赤道附近的重力加速度为。在赤道地面上，一个质量为m的物体随地球自转。则物体（　　） A．受到的万有引力大小等于 B．对地面的压力大小等于 C．受到的向心力大小等于 D．受到的合力大小等于 6.假设地球可视为质量分布均匀的球体，由于地球的自转，地球表面上不同纬度的重力加速度有所差别。已知地球表面的重力加速度在赤道的大小为g，在两极的大小为kg。则地球表面上北纬37°处的重力加速度大小为（　　） A．g B． C．g D．g 【课堂自测·基础练】 1．2025年1月7日，长征三号乙火箭成功将“太空加油站”——实践25号卫星送入太空（如图），解决了一个困扰航天工程师多年的问题：卫星燃料补给问题。若卫星质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则卫星所在轨道处的重力加速度大小为（　　） A．0 B． C． D． 2．2025年3月17日，我国在酒泉卫星发射中心用谷神星一号运载火箭成功发射云遥一号55~60星，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功。若卫星沿圆轨道运行，轨道半径为，卫星在时间内通过的运动轨迹对应的圆心角为，引力常量为，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 3．一颗卫星通过火箭于某日7时37分成功发射入轨，该卫星运行在600千米的轨道高度上。下列说法正确的是（　　） A．7时37分指时间间隔 B．在组装火箭与卫星时卫星可看作质点 C．该卫星绕地球一圈平均速度为0 D．卫星在太空中不受重力 4．假设航天员在探索某颗质量为地球质量的4倍、半径也为地球半径的4倍的星球。航天员从离该星球表面高度为1.25m处以大小为的速度水平抛出一小球，取地球表面重力加速度大小，不考虑地球和该星球的自转，则该小球从抛出到落至星球表面过程中的水平位移大小为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 5．“北斗”是我国自主研制、独立运行的全球卫星导航系统，某同步卫星的对地张角为2θ，运行轨道如图中圆形虚线所示。已知地球半径为R、自转周期为T、地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G。由此可知地球的质量为（　　） A． B． C． D． 6．某次科学实验中，用火箭将一个质量m=1kg的物体和一颗卫星一起送上太空，某时刻物体随火箭一起竖直向上做加速运动，加速度大小为a=2m/s2，而称量物体的台秤显示物体的重力为4.5N。已知地球表面重力加速度g取10m/s2，地球半径R=6.4×106m，不计地球自转的影响，则下列说法正确的是（　　） A．此处的重力加速度为5m/s2 B．此处的重力加速度为10m/s2 C．此时火箭离地面的高度h=3.2×106m D．此时火箭离地面的高度h=6.4×106m 7．下列说法正确的是（　　） A．哥白尼提出日心说，指出行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆 B．开普勒认为行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积均相等 C．伽利略用实验直接证实了自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动 D．牛顿提出了万有引力定律，并通过计算测出了地球的质量 8．2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A． B． C． D． 9．如图所示，在遥远的银河中有一颗行星，卫星绕其做匀速圆周运动，卫星绕其运行的轨迹为椭圆，两卫星的绕行方向均为顺时针方向，为椭圆轨道的“近地点”，为椭圆轨道的上顶点。已知行星的半径为，卫星的绕行半径和卫星运行轨道的半长轴均为，卫星的周期为，引力常量为，忽略行星的自转，不计两卫星之间的作用力。下列说法正确的是（　　） A．卫星的运行周期为 B．卫星从点运行到点所需的时间为 C．行星的密度为 D．行星表面的重力加速度为 10．我国一直努力进行火星生命迹象的探索。如图所示，某火星探测器先在椭圆轨道Ⅰ上绕火星运动，周期为2T，后从A点进入圆轨道Ⅱ绕火星做匀速圆周运动，周期为T。当探测器即将着陆前悬停在距离火星表面附近h的高度时，以v0的初速度水平弹出一个小球，测得小球弹出点到落地点之间的直线距离为2h。已知火星的半径为R，引力常量为G，下列判断正确的是（　　） A．火星表面的重力加速度大小为 B．火星的质量为 C．椭圆轨道Ⅰ的半长轴为圆轨道Ⅱ半径的2倍 D．探测器从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，需要在A处点火加速 11．（多选）“夸父逐日”的故事最早出自《山海经·海外北经》。若夸父“逐日”的足迹遍及全球，且总在地面上，则下列说法正确的是（　　） A．夸父所受的重力竖直向下 B．夸父所受的重力垂直地面向下 C．夸父在赤道时所受的重力比其在北极时所受的重力大 D．夸父在赤道时所受的重力比其在北极时所受的重力小 12．（多选）已知地球质量约为火星质量的9倍，地球半径约为火星半径的2倍，若某天你到火星上旅行，跟在地球上相比较，忽略星球自转的影响，下列判断正确的有（    ） A．体重会变大 B．体重会变小 C．以相同速度竖直跳起会跳得更高 D．以相同速度竖直跳起会跳得更低 13．（多选）工程上常利用“重力加速度反常”来探测矿物，原理简化为如图所示，P为某地区地面附近的一点，若地下无矿物时，地下岩石的平均密度为，其正常加速度为g，若在地下存在一半径为R的球形的矿坑，则P点的重力加速度变为，矿物的平均密度为，矿坑的中心O离P点的距离为L，定义为“重力加速度反常值”，已知当时，测得“重力加速度反常值”为，下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若L变为2倍，则 D．若R变为2倍，则 14．（多选）宇宙中行星M 和行星N 可能适宜人类居住，M半径是 N 半径的 ，若分别在行星 M 和行星N 上让小球做自由落体运动，并绘出小球自由落体运动的下落高度h随时间t²的函数图像如图所示，忽略空气阻力，忽略行星自转。下列判断正确的是（　　） A．行星 M 和行星N 表面的重力加速度之比为1：1 B．行星 M 和行星N 表面的重力加速度之比为2：1 C．行星 M 和行星N 的密度之比为4：1 D．行星M 和行星N 的密度之比为1：4 【素养进阶·提升练】 1．（2025·湖南·高考真题）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到。下列选项正确的是（　　） A．a为为为 B．a为为为 C．a为为为 D．a为为为 2．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约3750km，轨道周期约2h。引力常量G取6.67 × 10－11N⋅m2/kg2，根据以上数据可推算出火星的（   ） A．质量 B．体积 C．逃逸速度 D．自转周期 3．（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·安徽·高考真题）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A． B． C． D． 5．（2021·福建·高考真题）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段。在动力减速阶段，探测器速度大小由减小到0，历时。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，地球表面重力加速度大小取，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动。求： （1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离； （2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $