2.1.2 两角和与差的正弦公式 课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

2.1.2 两角和与差的正弦公式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 简记： cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 简记： 两角和与差的余弦公式： 公式的结构特征: 左边是复角α±β的余弦,右边是单角α、β的余弦积与正弦积的差与和. 问：两角和与差的正弦公式是怎样的呢? 你还记得如何实现正、余弦的互化吗？ sin(α-β)=cos =cos =coscos β-sinsin β =sin αcos β-cos αsin β. 试一试：借助诱导公式sin α=cos推导出sin(α-β)的公式. 说一说：如何借助sin(α-β)的公式推导出sin(α+β)的公式呢？ 用-β替换上面公式中的β即可. 两角和与差的正弦公式 sin(α+β)= ，其中α，β∈R，简记为S(α+β)；  sin(α-β)= ，其中α，β∈R，简记为S(α-β).  sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β 要点归纳 提示： (1)公式展开形式的记忆口诀：两角和差之正弦，正余余正号相同. (2)公式的逆用一定要注意函数名称的顺序和角的顺序. (2)sin 20°cos 40°+cos 20°sin 40°=　　　　；  (2)sin 20°cos 40°+cos 20°sin 40°=sin(20°+40°)=sin 60°=. 例1 求值.（小组合作解决，并归纳解决此类问题的方法和易错点） (1)sin 15°=　　　　；  解： (3)sin 15°+sin 75°=　　　.  5 (3)sin 15°+sin 75°=　　　.  (3)sin 15°+sin 75° =sin(45°-30°)+sin(45°+30°) =sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°+sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30° =2sin 45°cos 30° =. 6 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形. (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形使用公式. 解决“给角求值”问题的策略 方法归纳 7 解：方法一　原式=sin 20°sin 40°-cos 20°cos 40° =-(cos 20°cos 40°-sin 20°sin 40°)=-cos 60°=-. 1.cos 70°cos 50°+cos 200°cos 40°的值为（ ） A.-　 B.-　 C.　 D. B 方法二　原式=cos 70°sin 40°-cos 20°cos 40° =sin 40°cos 70°-sin 70°cos 40° =sin(40°-70°)=sin(-30°)=-sin 30°=-. 8 例2 已知sin=,∈(,π),cosβ=,β∈(,2π).求sin()的值. 解：sin=,∈(,π),cosβ=,β∈(,2π). cos=-,sinβ=-. sin()=sincosβ+cossinβ =×-×(-)=. sin(-β)=sincosβ-cossinβ =××(-)=. 你能归纳解决此类问题的方法吗？ (1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、凑角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： ①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； ②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角. (2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围. 解决“给值求值”问题的策略 方法归纳 例2 已知sin=,∈(,π),cosβ=,β∈(,2π).求sin()的值. 变式1 已知锐角α，β满足sin α=，sin β=，求()的值. 两类问题有何区别，你能求解下面的题目吗？ 变式1： 已知锐角α，β满足sin α=，sin β=，求()的值. 解：由α，β∈且sin α=，sin β=可知，cos α=，cos β=. ∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=-. 又α，β∈，∴-<α-β<， ∴α-β=-. 12 变式2 已知cos α=，sin(α+β)=，0<α<，0<β<，求角β的值. 解：因为0<α<，cos α=，所以sin α=. 又因为0<β<，所以0<α+β<π. 因为sin(α+β)=<sin α， 所以<α+β<π，所以cos(α+β)=-， 所以sin β=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =×-×=. 又因为0<β<，所以β=. 13 (1)解题步骤：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角. (2)选三角函数的方法：例如，若角的取值范围在某一个象限内，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围在第一、二或第三、四象限，则选余弦函数；若角的取值范围在第一、四或第二、三象限，则选正弦函数等. 解决“给值求角”问题的策略 方法归纳 1.知识点： (1)两角和与差的正弦公式的推导. (2)给角求值、给值求值、给值求角. (3)公式的正用、逆用、变形用. 2.方法归纳：构造法. 3.常见误区：求值或求角时忽视角的范围. 本节课你学到了哪些知识与方法？ 1.化简sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°等于（ ） A.-　 B.-　 C.　 D. 解：原式=sin(21°-81°)=sin(-60°)=-. A 2.已知角α的终边与单位圆交于点P，则sin等于（ ） A.- B. C. D.- 解：根据三角函数的定义可知sin α=-，cos α=，所以sin= sin αcos-cos αsin=-. D 3.设0<α<β<，sin α=，cos(α-β)=，则sin β的值为（ ） A.　 B.　 C.　 D. 解：因为0<α<β<，所以-<α-β<0，所以cos α==，sin(α-β)=-=-， 故sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos (α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=. C 4.形如的式子叫作行列式，其运算法则为=ad-bc，则行列式 的值是　　　.  - =sin 15°-cos 15°=sin(15°-45°)=sin(-30°)=-. 解： （1）sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4). $